文档内容
专题 02 一元二次方程的实际应用专项
类型一：一元二次方程与数学文化
类型二：一元二次方程与传播问题专项
类型三：一元二次方程与数字问题专项
类型四：一元二次方程与单双循环问题专项
类型五：一元二次方程与平均增长率问题专项
类型六：一元二次方程与销售利润问题专项
类型七：一元二次方程与几何图形面积问题专项
类型八：一元二次方程与几何动点问题专项
类型一：一元二次方程与数学文化
1．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中
记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的
门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽
为x尺，则依题意所列方程为（1丈＝10尺，1尺＝10寸）（ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102
C．x（x+6.8）＝102 D．x（x﹣6.8）＝102
2．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱
三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210文．如果每株椽的
运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？
设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x+1）x＝6210 B．3 （x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3（x﹣1）x＝6210
3．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量
田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大
意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是 81平方步，从水池边到圆周，
每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）
A． B． （x+6）2﹣x2＝81
π
C． （x+3）2﹣x2＝81 D．
π
4．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦
跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是
多少？”设这群猴子的总数是x只，根据题意可列出的方程是（ ）
A．（8x）2＝x﹣12 B．（8x）2＝x+12
C． D．
5．《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门
狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，
不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿
过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长AC为x尺，依题意可得方
程是（ ）
A．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 B．42+（x﹣2）2＝x2
C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝2x2 D．（x﹣4）2+22＝x2
6．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙
会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为3，
乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少
步？”若设甲乙两人相遇的时间为t，则可列方程是 ．
类型二：一元二次方程与传播问题专项
7．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体
肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有 49人患了支原体肺炎（假设
每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
8．冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，
经过两轮传染后共有64人患流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？（2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
9．某种病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人感染该病毒．若每轮传染
的速度相同．
（1）求每轮每人传染的人数；
（2）第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的50%，求第三轮传播后新增感染
人数．
10．某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有 100人患
病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）．
（1）每轮传染中平均一个人传染多少人？
（2）如果这100位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人
患病？
11．如今，每到春季，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病之一，某一小区有 1位住户不小心感染了
甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有36人患了甲流．
（1）每轮感染中平均一个人传染几人？
（2）如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过200人患了甲流？类型三：一元二次方程与数字问题专项
12．一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．
13．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两
位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数．
14．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？
15．一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与
原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数．16．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小9，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，
得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数．
类型四：一元二次方程与单双循环问题专项
17．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安
排15场比赛，求八年级有多少个班级．
18．2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66
场比赛，那么有多少个球队参加比赛？
19．某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比
赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛？20．某教育局组织教职工男子篮球比赛．
（1）本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少
支队参加比赛？
（2）在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积
是400平方米，求每个正方形的边长．
21．课本再现
（1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，
问应该邀请多少支球队参加比赛？
模型变式
（2）2022年11月8日晚，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛
所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行110场比赛，求有多少支球队
参加比赛．
类型五：一元二次方程与平均增长率问题专项
22．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口
量为20万台，2022年出口量增加到45万台．求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是
多少？23．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，
截止到2022年底广东5G基站的数量约25万座，计划到2024年底，全省5G基站数量将达到36万座．
（1）按照计划，求2022年底到2024年底，全省5G基站数量的年平均增长率；
（2）按照这个年平均增长率，到2025年底，全省5G基站的数量是多少万座？
24．聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某
市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已
知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．
（1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年小区改造的平均费用为每个80万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最
多可以改造多少个小区？25．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2012年底拥有家庭
轿车64辆，2014年底家庭轿车的拥有量达到100辆．
（1）若该小区2012年底到2014年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2015年底家
庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内
车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，
求该小区最多可建室内车位多少个？
26．在九年级迎战体考的氛围带动下，某校八年级同学对体育锻炼越来越重视．同学们在八上期末、八下
开学、八下半期举行的三次体育测试中获得满分的人数逐渐增多，从八上期末的150人满分，到八下半
期满分人数上升至216人．
（1）如果每次测试满分人数增加的百分率相同，求这个百分率；
（2）已知体测满分50分，该年级共700名学生，其中有10名同学因身体原因每次测试只能得到35分．
年级计划通过一系列举措，力争在八下期末测试时满分人数比八下半期满分人数增加 25%．那么除了满
分同学和10名因身体原因同学之外，其余同学至少平均多少分，才能使全年级平均分不低于 46分？
（结果精确到0.1）类型六：一元二次方程与销售利润问题专项
27．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽
快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均
每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？
28．合肥某水果店在5月份准备了一批西山枇杷，每盒利润为30元，平均每天可卖50盒，经过调查发现
每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利3000
元，则每盒枇杷应降价多少元？29．某商场销售一批运动服，平均每天可售出30套，每套盈利100元，为了扩大销售，增加盈利，减少库
存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每套运动服每降价2元，商场平均每天可多售出1套．
（1）当每套运动服降价x（x是偶数）元时，商场每天可售出运动服 套（用含x的代数式表
示）；
（2）若商场每天要盈利3150元，则每套运动服应降价多少元？
30．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，
后来经过市场调查发现，单价每降低3元，则平均每天的销售可增加30千克，若该专卖店销售这种核
桃要想平均每天获利2090元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？31．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．
某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提
升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个
时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10
个，
问题解决
任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际
售价应定为多少元？
类型七：一元二次方程与几何图形面积问题专项
32．如图所示，某农户用16m长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10m），且面积为50m2的长方形花园，
垂直于住房墙的一条边留有一个1m宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为x m，若可列方程为
x•（★）＝50，则★表示的代数式为 ．
33．有一个长、宽分别为20m和12m的矩形水池ABCD，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平
行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与 AB平行，另两
条与BC平行，已知道路的宽为正方形边长的 ，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的 ．
（1）设道路的宽为x m，则正方形的面积为 m2．（用含x的代数式表示）
（2）根据题中所给的信息列方程求道路的宽．34．如图，校园空地上有一面长为4米的墙．为了创建美丽校园，学校决定用这面墙和20米的围栏围成一
个矩形花园ABCD．
（1）如图1，利用墙围成矩形花园ABCD，若围成的花园面积为32平方米，求花园的边长；
（2）如图2，用围栏补墙得到矩形花园ABCD，花园的面积可能为36平方米吗？若能，请求出BC的长；
若不能，请说明理由．
35．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个 1米的门，
墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由．
36．社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车
位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收
入为10125元？
类型八：一元二次方程与几何动点问题专项
37．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿
AB向终点B运动，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向终点C
运动，设点P，Q的运动时间为t秒，连接PQ，当△PBQ的面积为 时，t的值为（
）
A． B．
C． 或 D． 或
38．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以
1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，
另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是（ ）A．2s B．2s或6s C．6s D．6s或8s
39．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，
点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B
点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含t的代数式表
示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
40．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝14cm，CD＝25cm，AD＝5cm，点P从点A出
发，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点D运动．规定其中一个动
点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为t s．
（1）当t＝ s时，四边形PQCB为平行四边形；
（2）当PQ＝13cm时，求t的值．41．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移
动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点
也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．
①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2；
②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由．
