文档内容
专题 21.10 一元二次方程全章专项复习【3 大考点 12 种题型】
【人教版】
【考点1 一元二次方程】..........................................................................................................................................1
【题型1 根据一元二次方程的定义求值】..............................................................................................................1
【题型2 根据实际问题列一元二次方程】..............................................................................................................3
【题型3 根据方程的根整体代入求代数式的值】.................................................................................................4
【考点2 解一元二次方程】......................................................................................................................................6
【题型4 一元二次方程的解法】..............................................................................................................................8
【题型5 一元二次方程根的判别式的应用】.......................................................................................................10
【题型6 一元二次方程根与系数关系的应用】...................................................................................................13
【题型7 配方法的应用】........................................................................................................................................19
【考点3 实际问题与一元二次方程】....................................................................................................................26
【题型8 列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】...................................................................................26
【题型9 列一元二次方程解决循环传播问题】...................................................................................................29
【题型10 列一元二次方程解决有关面积问题】...................................................................................................32
【题型11 列一元二次方程解决销售利润问题】....................................................................................................36
【题型12 一元二次方程与动点综合应用】...........................................................................................................40
【考点1 一元二次方程】
（1）一元二次方程的定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做
一元二次方程。
注意以下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程。
（2） 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次
项系数；c就是常数项。
（3）一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解
的定义就是解方程过程中验根的依据。
【题型1 根据一元二次方程的定义求值】
【例1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知一元二次方程(a+5)x2+4ax+a2−25=0有一个根为0，则a=．
【答案】5
【分析】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左
右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根就是一元二次方程的解，把x=0代入方程代入进行求解
即可．
【详解】解：∵一元二次方程(a+5)x2+4ax+a2−25=0有一个根为0，
∴把x=0代入方程得：a2−25=0，
解得：a=5或a=−5，
∵a+5≠0，即a≠−5，
∴a=5，
故答案为：5．
【变式1-1】（23-24九年级·云南曲靖·期中）关于x的方程ax2−3x+2=0是一元二次方程，则（ ）
A．a>0 B．a≠0 C．a=1 D．a≥0
【答案】B
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式
方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方
程．
【详解】解：若关于x的方程ax2−3x+2=0是一元二次方程，则a≠0．
故选：B．
【变式1-2】（23-24九年级·广西崇左·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
1
A．2x+1=0 B．x2+1=0 C．y2+x=1 D．x2+ =1
x
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一
次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、2x+1=0是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、x2+1=0是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、y2+x=1含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
1
D、x2+ =1是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
x
故选：B．【变式1-3】（23-24九年级·浙江嘉兴·期中）若方程(m+2)xm2−2+(m−1)x−2=0是关于x的一元二次方
程，则m= ．
【答案】2
【分析】此题主要是注意一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得
为0，根据一元二次方程的定义得到m2−2=2且m+2≠0，求得m的值即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义，得m2−2=2且m+2≠0，
解得m=2.
故答案为：2
【题型2 根据实际问题列一元二次方程】
【例2】（23-24九年级·贵州贵阳·期中）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积
八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步?”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为
864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步?利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为
，化为一般形式 ．
【答案】 x(x+12)=864 x2+12x−864=0
【分析】本题主要考查了列方程解应用题．一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，根据题
意列出方程，再化成一般形式即可．
【详解】设宽为x步，则长为(x+12)步，根据题意得
x(x+12)=864，
化为一般式为：x2+12x−864=0．
故空1答案为：x(x+12)=864，
空2 答案为：x2+12x−864=0．
【变式2-1】（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日
常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人
次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ．
【答案】6500(1+x) 2=7600
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得6月份租车量为6500(1+x) 2次，进而可求解；掌握增长率
的典型模型a(1+x) 2=b（a0，
2 4
∴a+b+c=0，
a2 b2 c2
∴ + +
bc ca ab
a3+b3+c3
=
abc
(a+b)(a2−ab+b2)+c3
=
abc
(a+b)[(a+b) 2−3ab)+c3
=
abc
−c(c2−3ab)+c3
=
abc
3abc
=
abc
=3，
故答案为：3．
【考点2 解一元二次方程】
（1） 直接开平方法解一元二次方程
如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数，可以直接开平方。一般地，对于
形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解的x=❑√a,x=-❑√a、
1 2
直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反
数；零的平方根就是零；负数没有平方根。
直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
（2）配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一个一元二次方
程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
①把常数项移到等号的右边；
②方程两边都除以二次项系数；
③方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
④若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
（3） 公式法解一元二次方程
−b±❑√b2−4ac
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x= ，
2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求的
方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
公式法解一元二次方程的具体步骤：
①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值；
②确定公式中a,b,c的值，注意符号；
③求出b2-4ac的值；
④若b2-4ac≥0，则把a,b,c与b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。
（4）一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac、
一元二次方程根的判别式：
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
（5） 因式分解法解一元二次方程
把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的
解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
因式分解法的详细步骤：
①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式；
③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程；
④解一元一次方程即可的到原方程的解。（6） 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x,x,则有x+x=-p,xx=q;
1 2 1 2 1 2
p c
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x,x 则有x+x=- , x x= .
1 2 1 2 a 1 2 a
【题型4 一元二次方程的解法】
【例4】（23-24九年级·北京·期中）方程x2−8x+15=0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则
直角三角形的第三条边长是 ．
【答案】❑√34或4
【分析】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
先求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可．
【详解】解：解方程x2−8x+15=0得：x =3或x =5，
1 2
即直角三角形的两边为3或5，
当长为5的边是直角边时，第三边为：❑√32+52=❑√34；
当长为5的边是斜边时，第三边为：❑√52−32=4；
故答案为：❑√34或4．
【变式4-1】（23-24九年级·广西崇左·期中）用适当的方法解下列方程
(1)x2+5x=0
(2)x2−2x+1=0
(3)(y+1) 2+2(y+1)=3
(4)2x2−5x+3=0
【答案】(1)x =0，x =−5
1 2
(2)x =x =1
1 2
(3)y =−4，y =0
1 2
3
(4)x = ，x =1
1 2 2
【分析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解： x2+5x=0，
x(x+5)=0，
∴x=0或x+5=0，
∴x =0，x =−5．
1 2
（2）解：解：x2−2x+1=0，
(x−1) 2=0，
∴x−1=0，
∴x =x =1．
1 2
（3）解：(y+1) 2+2(y+1)=3，
(y+1) 2+2(y+1)−3=0，
(y+1+3)(y+1−1)=0，
y(y+4)=0，
∴y=0或y+4=0，
∴y =0，y =−4．
1 2
（4）解：2x2−5x+3=0，
(2x−3)(x−1)=0，
∴2x−3=0或x−1=0，
3
∴x = ，x =1．
1 2 2
【变式4-2】（23-24九年级·甘肃酒泉·期中）在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为a#b=a2−b2，
根据这个规则，方程(x−3)#5=0的解为 ．
【答案】x =−2,x =8
1 2
【分析】本题主要考查实数的运算，理解新定义是解题的关键．根据题意得到(x−3)#5=(x−3) 2−52，从
而解一元二次方程即可．
【详解】解：由题意得：(x−3)#5=(x−3) 2−52，∴(x−3) 2−52=0，
解得x =−2,x =8．
1 2
故答案为：x =−2,x =8．
1 2
【变式4-3】（2024·北京东城·模拟预测）如果x=5是关于x的一元二次方程(x−m)(x−4+m)=n的一个
根，那么关于x的一元二次方程(x+m−1)(x+3−m)=n的解为（ ）
A．x =−4,x =2 B．x =−2,x =4 C．x =−1,x =3 D．x =−3,x =1
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识
点．将x=5代入(x−m)(x−4+m)=n得到(5−m)(1+m)=n，然后结合(x+m−1)(x+3−m)=n得到
x+3=5或x−1=1，然后求解即可．
【详解】解：∵x=5是关于x的方程(x−m)(x−4+m)=n的根，
∴(5−m)(5−4+m)=n，得(5−m)(1+m)=(−5+m)(−1−m)=n，
∵(x+m−1)(x+3−m)=n，
∴x+3=5或x−1=−5或x+3=−1或x−1=1，
解得x=2或x=−4．
故选：A．
【题型5 一元二次方程根的判别式的应用】
【例5-1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）关于x的一元二次方程(m−1) 2x2+(2m−1)x+1=0有实数根，则
m的取值范围是（ ）
3 3 3 3
A．m> B．m> 且m≠1 C．m≥ D．m≥ 且m≠1
4 4 4 4
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解
题的关键．根据一元二次方程有实数根得到Δ≥0且m−1≠0，即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程(m−1) 2x2+(2m−1)x+1=0有实数根，
∴Δ=(2m−1) 2−4(m−1) 2×1≥0，且m−1≠0，
3
解得m≥ 且m≠1，
4
故选：D．【例5-2】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程mx2−3(m−1)x+2m−3=0（m
为实数）
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根．
【答案】(1)m≠3且m≠0
(2)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的
思想是解题的关键．
（1）由方程有两个不相等的根，可得Δ=(m−3) 2>0，由一元二次方程的定义可得m≠0，由此即可求得
m的取值范围；
（2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证．
【详解】（1）解：Δ=b2−4ac=[−3(m−1)) 2 −4m(2m−3)=(m−3) 2，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴(m−3) 2>0且m≠0，
∴m≠3且m≠0，
∴m的取值范围是m≠3且m≠0；
（2）解：由求根公式得
−b±❑√b2−4ac 3(m−1)±(m−3)
x= = ，
2a 2m
3m−3+m−3 2m−3 3
∴x = = =2− ，
1 2m m m
3m−3−m+3
x = =1，
2 2m
∴无论m为何值，方程总有一个固定的根是1 ．
【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）对于实数m，n定义一种新运算：m★n=m(m−n)，若关于x
的方程x★2=k（k为整数）有两个相等的实数根，则k的值为 ．
【答案】−1
【分析】本题考查了实数的新定义运算，一元二次方程根的判别式，先由新定义运算得x(x−2)=k，即得
x2−2x−k=0，再根据Δ=0即可求解，理解新定义运算是解题的关键．【详解】解：∵m★n=m(m−n)，
∴x★2=x(x−2)=k，
整理得，x2−2x−k=0，
∵关于x的方程x2−2x−k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(−2) 2−4×1×(−k)=0，
解得k=−1，
故答案为：−1．
【变式5-2】（2024·北京东城·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−(m−1)x−(3m+6)=0．
(1)利用判别式判断方程实数根的情况；
(2)若该方程只有一个根小于2，求m的取值范围．
【答案】(1)方程有两个实数根
(2)m≥0
【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握根
的判别式．
（1）根据根的判别式可得出Δ， 利用偶次方的非负性即可判断；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x =−3,x =m+2，结合该方程只有一个根小于 2可得出
1 2
m+2≥2，解之即可得出m的取值范围．
【详解】（1）解：b2−4ac=(m−1) 2−4(−3m−6)=(m+5) 2≥0，
∴原方程有两个实数根；
（2）解：x2−(m−1)x−(3m+6)=0，
故(x+3)(x−m−2)=0，
∴x+3=0,x−m−2=0，
解得，x=m+2或x=−3，
∵方程只有一个根小于2 ，
∴m+2≥2，
解得：m≥0．
【变式5-3】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有
两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（ ）k k k k
A．若﹣1＜a＜0，则 > B．若 > ，则0＜a＜1
a b a b
k k k k
C．若0＜a＜1，则 < D．若 < ，则-1＜a＜0
a b a b
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结
合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，
∴ Δ=(−2a) 2−4a(b+1)=0，
4a2−4ab−4a=0，
又∵ab≠0，
∴a-b-1=0，即a=b+1，
∴ax2-2ax+a=0，
解得：x=x=1，
1 2
∴k=1，
k k 1 1 1
− = − =−
a b a a−1 a(a−1)
k k k k
当 > 时，即 − >0，
a b a b
1
即− >0，
a(a−1)
∴a（a-1）<0，
{ a<0 ) { a>0 )
即 或
a−1>0 a−1<0
解得00，
{ a>0 ) { a<0 )
即 或
a−1>0 a−1<0
解得：a>1或a<0．故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是
解题关键．
【题型6 一元二次方程根与系数关系的应用】
【例6-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程x2−2mx+m2=4有两个根x 、x (x >x )
1 2 2 1
，且满足x =2x +3，则m的值为 ．
1 2
【答案】−9
b c
【分析】本题考查一元二次方程根于系数的关系，根据x +x =− ，x x = 列式结合x =2x +3求解即
1 2 a 1 2 a 1 2
可得到答案；
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2mx+m2=4有两个根x 、x (x >x )，
1 2 2 1
∴x +x =2m，x x =m2−4，
1 2 1 2
∵x =2x +3，
1 2
∴(2x +3)x =m2−4，2x +3+x =2m，
2 2 2 2
2m−3
∴x = ，
2 3
2m−3 2m−3
∴(2× +3)× =m2−4，
3 3
解得：m =3，m =−9，
1 2
2×3−3
当m =3时，x = =1，x =2×1+3=5>x ，故m =3不符合题意舍去，
1 2 3 1 2 1
2×(−9)−3
当m =−9时，x = =−7，x =2×(−7)+3=−11β)是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，设s =α+β，s =α2+β2，…，
1 2
s =αn+βn ，根据根的定义，有α2−α−1=0，β2−β−1=0，将两式相加，得(α2+β2)−(α+β)−2=0，
n
于是，得s −s −2=0．根据以上信息，解答下列问题：
2 1
①直接写出s ，s 的值．
1 2
②经计算可得：s =4，s =7，s =11，当n≥3时，请猜想s ，s ，s 之间满足的数量关系，并给出证
3 4 5 n n−1 n−2
明．
【答案】(1)k的值为1
(2)①s =1，s =3；②猜想：当n≥3时，s =s +s ，证明见解析
1 2 n n−1 n−2
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的定义；
（1）根据根与系数的关系即可求出答案．
（2）①根据根与系数的关系，可得由根的定义可知，α2=α+1,β2=β+1，，根据一元二次方程的解的定
义可得α+β=1，进而求得S ，S ；
1 2
②根据题意s =αn+βn ，s =αn−1+βn−1 ，s =αn−2+βn−2 ，进而即可求解．
n n−1 n−2
【详解】（1）解：∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2−2(k+1)x+k2+2=0的两实根，
1 2
∴Δ=4(k+1) 2−4(k2+2)≥0
1
解得：k≥ ，
2由根与系数的关系可知∶x +x =2(k+1),x x =k2+2，
1 2 1 2
∴(x +1)(x +1)=x x +(x +x )+1=8，即k2+2+2(k+1)+1=8，
1 2 1 2 1 2
整理得：k2+2k−3=0，
解得：k =−3 (舍去)， k =1，
1 2
∴k的值为1．
（2）①由根的定义可知，α2=α+1,β2=β+1，
又∵α,β(α>β)是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，
∴S =α+β=1,S =α2+β2=α+β+2=1+2=3，
1 2
②猜想：当n≥3时，s =s +s
n n−1 n−2
证明：因为α为方程的根，所以有α2−α−1=0，等式两边都乘以αn−2，得αn−αn−1−αn−2=0
同理可得：βn−βn−1−βn−2=0
两式相加可得：(αn+βn)−(αn−1+βn−1)−(αn−2+βn−2)=0
根据题意s =αn+βn ，s =αn−1+βn−1 ，s =αn−2+βn−2 ，
n n−1 n−2
∴s −s −s =0，且根据题意n−2≥1，因此n≥3，
n n−1 n−2
所以当n≥3时，有s =s +s ．
n n−1 n−2
【变式6-2】（23-24九年级·四川凉山·期中）若a，b是两个不相等的实数，且满足a2−a=3，b2−b=3，
则代数式a3+ab+4b的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程
1 2
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
先根据一元二次方程的解得的定义得到a，b是方程x2−x−3=0的两个根，a2=a+3，将代数式化为
3+ab+4(a+b)，再根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=−3，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解： a，b是两个不相等的实数，且满足a2−a=3，b2−b=3，
∴a，b是方程x∵ 2−x−3=0的两个根，
∴a+b=1，ab=−3，
a2−a=3，
∵a2=a+3，
∴∴a3+ab+4b，
=(3+a)a+ab+4b
=3a+a2+ab+4b
=3a+3+a+ab+4b
=3+ab+4(a+b)
=4，
故答案为：4．
【变式6-3】（2024·浙江·模拟预测）已知方程x2+bx+c=0（x为实数），请你解答下列问题：
(1)若b=2,c=−1，解此方程；
(2)若b−c=1，求证：此方程至少有一个实数根；
(3)设此方程有两个不相等的实数根分别为x ,x ．若c=2，求证：x2+x2>4．
1 2 1 2
【答案】(1)x =−1+❑√2,x =−1−❑√2
1 2
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方
程．
（1）将b=2,c=−1代入x2+bx+c=0，利用配方法求解方程即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac=b2−4c，结合b−c=1，得到Δ=b2−4b+4=(b−2) 2，
根据(b−2) 2≥0，即可证明；
（3）根据题意原方程为x2+bx+2=0，由一元二次方程根与系数的关系的到x +x =−b,x x =2，再根
1 2 1 2
据完全平方公式变形得到x2+x2=(x +x ) 2−2x x ，从而得到x2+x2=b2−4，根据根的判别式得到
1 2 1 2 1 2 1 2
b2−8>0即可证明结论．
【详解】（1）解：∵ b=2,c=−1，
∴原方程为x2+2x−1=0，
∴(x+1) 2=2解得：x =−1+❑√2,x =−1−❑√2；
1 2
（2）证明：x2+bx+c=0中，
∴ Δ=b2−4ac=b2−4c，
∵ b−c=1，
∴ Δ=b2−4b+4=(b−2) 2，
∵ (b−2) 2≥0，
∴ Δ≥0，
∴此方程至少有一个实数根；
（3）证明：根据题意原方程为x2+bx+2=0，且方程有两个不相等的实数根分别为x ,x ，
1 2
∴ x +x =−b,x x =2，Δ=b2−8>0
1 2 1 2
∵ x2+x2=(x +x ) 2−2x x ，
1 2 1 2 1 2
∴ x2+x2=b2−4，
1 2
∴ b2−8+4>0+4即b2−4>0，
∴ x2+x2>4．
1 2
【变式6-4】（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程a x2+b x+c =0的两根之
1 1 1
和x +x 与两根之积，x ⋅x 分别是另一个一元二次方程a x2+b x+c =0的两个根，则一元二次方程
1 2 1 2 2 2 2
a x2+b x+c =0称为一元二次方程a x2+b x+c =0的“再生韦达方程”，一元二次方程
2 2 2 1 1 1
a x2+b x+c =0称为“原生方程”．
1 1 1
比如：一元二次方程x2−2x−3=0的两根分别为x =3,x =−1，则x +x =2,x ⋅x =−3，所以它的
1 2 1 2 1 2
“再生韦达方程”为x2+x−6=0．
(1)已知一元二次方程x2−5x+6=0，求它的“再生韦达方程”；
(2)已知“再生韦达方程”x2+x−30=0，求它的“原生方程”．
【答案】(1)x2−11x+30=0(2)y2+6 y+5=0或y2−5 y−6=0
【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的
关系是解题关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出x +x =5,x ⋅x =6，然后根据新定义求解即可；
1 2 1 2
（2）令它的“原生方程”两根分别为y ,y ，根据题意得出y + y =−6,y ⋅y =5，或
1 2 1 2 1 2
y + y =5,y ⋅y =−6，然后求解即可．
1 2 1 2
【详解】（1）解：解x2−5x+6=0
得x =2,x =3，
1 2
则x +x =5,x ⋅x =6，
1 2 1 2
所以一元二次方程x2−5x+6=0的“再生韦达方程”为x2−(5+6)x+5×6=0，
即x2−11x+30=0；
（2）解x2+x−30=0得x =−6,x =5，
1 2
令它的“原生方程”两根分别为y ,y ，
1 2
则y + y =−6,y ⋅y =5，或y + y =5,y ⋅y =−6．
1 2 1 2 1 2 1 2
当y + y =−6,y ⋅y =5，则所求“原生方程”为y2+6 y+5=0；
1 2 1 2
当y + y =5,y ⋅y =−6，则所求“原生方程”为y2−5 y−6=0．
1 2 1 2
综上所述，它的“原生方程”为y2+6 y+5=0或y2−5 y−6=0．
【题型7 配方法的应用】
【例7-1】（23-24九年级·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最
值问题．例如：x2+2x+2=x2+2x+1−1+2=(x+1) 2+1≥1，所以x+2x+2的最小值为1，此时x=−1
．
(1)尝试：①2x2−4x+5=2(x2−2x+1−1)+5=2(x−1) 2+3，因此当x= 时，代数式2x2−4x+5有最
小值，最小值是 ；②−x2−2x=−x2−2x−1+1=−(x+1) 2+1≤1，所以当x= 时，代数式−x2−2x有最 （填“大”或
“小”）值．
(2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是18m，栅栏如何围能使花
圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)①1，3；②−1，大；
9 81
(2)当AB为 米，BC为9米时，面积最大为 平方米．
2 2
【分析】（1）①根据配方后的结果即可求解；②根据配方后的结果即可求解；
（2）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为(18−2x)m，列式表示出矩形的面积，再利用配方法
解答即可求解；
本题考查了利用配方法求代数式的最值，掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解：①∵2x2−4x+5=2(x−1) 2+3，
∴当x=1时，代数式2x2−4x+5有最小值，最小值为3，
故答案为：1，3；
②∵−x2−2x=−(x+1) 2+1≤1，
∴当x=−1时，代数式−x2−2x有最大值，
故答案为：−1，大；
（2）解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为(18−2x)m，
根据题意得，S=x(18−2x)=−2x2+18x=−2 ( x− 9) 2 + 81 ，
2 2
9 81
当x= 时，S有最大值，最大值为 ，
2 2
9 81
∴围成的矩形花圃垂直于墙的栅栏长 m时，能使花圃面积最大，最大面积是 m2 ．
2 2
【例7-2】（23-24九年级·四川南充·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二
次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完
全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意
义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成a2+b2 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为5=22+12，所以5是“完美数”．【解决问题】：
（1）下列各数中，“完美数”有_____ (只填序号)；
①10 ②24 ③34 ④60
【探究问题】：
（2）若y=x2−4x+13可配方成y=(x−m) 2+n2 (m，n为常数)，则mn的值为_____；
（3）已知S=a2+4ab+5b2−2b+k (a，b是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的
一个k值，并说明理由；
【拓展应用】：
（4）已知实数x，y均满足x−y2=3，求代数式x2+2y2−4x+2032的最小值．
【答案】（1）①③；（2）±6；（3）k=1，理由见解析；（4）2029
【分析】本题考查配方法的应用．熟练掌握配方法，理解并掌握完美数的定义是解题的关键．
（1）根据“完美数”的定义，判断各数是否能写成a2＋b2的形式即可；
（2）通过配方将y=x2−4x+13变形，求出m和n的值，代入求解即可；
（3）通过配方将S=a2+4ab+5b2−2b+k变形为S=(a+2b) 2+(b−1) 2+(k−1)，对照“完美数”的定义
即可求解；
（4）通过配方将x2+2y2−4x+2032变形为(x−1) 2+2025，根据x−y2=3求出x的取值范围，根据增减
性即可求解
【详解】解：（1）10=12+32，34=32+52，24和60不能写成a2+b2的形式，
∴10和34是“完美数”， 24和60不是“完美数”，
故答案为：①③；
（2）y=x2−4x+13=x2−4x+4+9=(x−2) 2+32，
∴ m=2，n=±3，
∴ mn=±6，
故答案为：±6；
（3）当k=1时，S是“完美数”，理由如下：
S=a2+4ab+5b2−2b+k
=a2+4ab+4b2+b2−2b+1+k−1
=(a+2b) 2+(b−1) 2+(k−1)，当k=1时，S=(a+2b) 2+(b−1) 2，
∵a，b是整数，
∴a+2b和b−1也是整数，
∴当k=1时，S是“完美数”；
（4）解：∵x−y2=3，
∴y2=x−3，
∴原式=x2+2(x−3)−4x+2032
=x2+2x−6−4x+2032
=x2−2x+2026
=(x−1) 2+2025， ……
又∵y2=x−3≥0，
∴x≥3，
∵1>0，
∴当x≥3时，原式的值随着x的增大而增大，
∴当x=3时，原式取最小值，最小值为：(3−1) 2+2025=2029．
【变式7-1】（2024·安徽马鞍山·二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2，则
a,b,c之间的大小关系是（ ）
A．a0，
∴a0即可求解；
1
（3）根据AC⊥BD，得到S = BD·AC，设AC=x，得到面积关于x的表达式，再对表达式进
四边形ABCD 2
行配方，即可求得最大值．【详解】解：（1）2x2+8x+9
=2x2+8x+8+1
=2(x2+4x+4)+1
=2(x+2) 2+1，
∵2(x+2) 2+1≥1，
故答案为：1；
（2）∵x2+3x+3=x2+3x+ 9 + 3 = ( x+ 3) 2 + 3 ≥ 3 ，
4 4 2 4 4
∴无论x取何实数，二次根式❑√x2+3x+3都有意义；
（3）设AC，BD交于点O，如下图所示，
∵AC⊥BD，
1 1 1
S =S +S = BD·AO+ BD·CO= BD·AC，
四边形ABCD △ABD △CBD 2 2 2
设AC=x，则BD=20−x,
1 1 1
S = (20−x)·x=− (x2−20x+100−100)=− (x−10) 2+50≤50，
四边形ABCD 2 2 2
∴四边形ABCD的面积最大值为：50．
【点睛】本题主要考查了配方法在求最值中的应用，解决问题的关键是熟练掌握配方法，注意当配上一次
项系数一半的平方时，二次项系数要化成“1”后才能配方
【考点3 实际问题与一元二次方程】
（1）列一元二次方程解应用题的一般步骤：
审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间的等量关系。
设：就是指设元，也就就是设出未知数。列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式
表示这个相等关系中的各个量，就的到含有未知数的等式，即方程。
解：就就是解方程，求出未知数的值。
验：就是指检验方程的解就是否保证实际问题有意义，符合题意。
答：写出答案。
（2） 列一元二次方程解应用题的几种常见类型
①数字问题
三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。
三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数就是100a+10b+c、
②增长率问题
设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a
（1±x）2=b。
③利润问题
利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润×总销售量；利润=成本×利润
率。
④图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立
一元二次方程。
【题型8 列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】
【例8】（23-24九年级·山东济宁·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧
启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统
计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长
率相同：
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图
书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由
【答案】(1)20%
(2)能，理由见详解
【分析】（1）设进馆人次的月增长率为x，利用第三个月进馆人次数=第一个月进馆人次数×(1+月平均增
长率）❑ 2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用第四个月进馆人次数=第三个月进馆人次数×(1+月平均增长率），可求出第四个月进馆人次数，再将其与400比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设进馆人次的月增长率为x，
依题意得：200(1+x) 2=288，
解得：x =0.2=20%，x =−2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：进馆人次的月平均增长率20%．
（2）解：学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
∵进馆人次的月平均增长率20%，
∴第四个月的进馆人次为288×(1+20%)=345.6（人次）．
∵345.6<400，
∴学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【变式8-1】（23-24九年级·重庆·期中）某县开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000
万元，2021、2022年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均
增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
【答案】1000(1+x)+1000(1+x) 2=3440
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
根据2020年投入此项工程的专项资金及该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率，可得
出2021、2022年投入此项工程的专项资金，结合2021、2022年投入资金一共为3440万元，即可得出关于
x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项
资金的年平均增长率为x，
∴2021年投入此项工程的专项资金为1000(1+x)万元，2022年投入此项工程的专项资金为1000(1+x) 2
万元．
根据题意得：1000(1+x)+1000(1+x) 2=3440．
故答案为：1000(1+x)+1000(1+x) 2=3440．
【变式8-2】（23-24九年级·广东佛山·期中）甲商品的售价为每件40元．(1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．
若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场
希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？
【答案】(1)10％
(2)该商品在原售价的基础上，再降低25元
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用：平均变化率问题和销售问题，正确分析题目中的数量关系
是解题的关键．
(1)设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解．
(2)根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月销售额为26250元列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设这种商品平均降价率是x，
依题意得：40(1−x) 2=32.4
解得：x =0.1=10％，x =1.9（舍去）
1 2
答：这个降价率为10％。
( y )
（2）设降价y元，则多销售 500+ ×10 件，
0.2
( y )
根据题意得(40−y) 500+ ×10 =26250，
0.2
解得：y =25，y =5
1 2
因为尽可能扩大销售量，所以y=5（舍去）
答：该商品在原售价的基础上，再降低25元．
【变式8-3】（23-24九年级·重庆·期末）某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积
均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B两种地砖，其中50套公寓
全用A种地砖铺满，另外50套公寓全用B种地砖铺满，A种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，B种
地砖是每块而积为0.16平方米的正方形，且A种地砖每块的进价比B种地砖每块的进价高40元，购进A、
B两种地砖共花费350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余）
（1）求A、B两种地砖每块的进价分别是多少元？
（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A种地砖的公寓套数增加了a%，铺满
B种地砖的公寓套数增加了3a%，由于地砖的购进量增加．B种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了5
a%，但A种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B两种地砖的总花费比原计划增加了 a%，求a的值．
7
【答案】（1）A、B两种地砖每块的进价分别是60，20元；（2）a=50
【分析】（1）利用每套公寓需要地砖的数量=公寓的面积÷每块地砖的面积，可分别求出每套公寓需要A
种地砖的数量及每套公寓需要B种地砖的数量，设B种地砖每块的进价为x元，则A种地砖每块的进价为
(x+40)元，根据等量关系：购进A种地砖的钱数+购进B种地砖的钱数=350000，即可列出方程，解方程即
可；
（2）根据等量关系： 购进A种地砖的钱数+购进B种地砖的钱数=总钱数，列出方程，即可得到关于a的
方程，解方程即可求出a的值，当然取正值即可．
【详解】（1）一套公寓用A种地砖需要：32÷0.64=50块
一套公寓用B种地砖需要：32÷0.16=200块
设B种地砖每块的进价为x元
由题可得：50×50×(x+40)+50×200×x=350000
解得：x=20
20+40=60元
故A、B两种地砖每块的进价分别是60，20元．
( 5 )
（2）由题可得：50(1+a%)×50×60+50(1+3a%)×200×20(1−a%)=350000 1+ a%
7
整理得：a2−50a=0
解得然：a =0,a =50．
1 2
∵a>0，
∴a=50
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，关键是找出等量关系，正确列出方程，
同时（2）问是的方程比较复杂，要善于化简．
【题型9 列一元二次方程解决循环传播问题】
【例9】（23-24九年级·河南新乡·阶段练习）2020年赛季中国男子篮球职业联赛，采用循环制（每两队之
间都进行一场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程（ ）
1 1
A． x(x−2)=380 B． x(x−1)=380
2 2
1
C． x(x+1)=380 D．x(x+1)=380
2
【答案】B【分析】设参赛队伍有x支，根据采用循环制共需比赛380场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得
解．
【详解】解：设参赛队伍有x支，
1
根据题意，可得 x(x−1)=380．
2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，正确列出一元二次方程是解题关
键．
【变式9-1】（23-24九年级·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生
活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按
要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人
(2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个
人又要转发x人，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可．
【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
由题意得，1+x+x2=91，
整理得x2+x−90=0，
解得x=9或x=−10（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；
（2）解：1+9+92+93=1+9+81+729=820人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
【变式9-2】（23-24九年级·全国·课后作业）某足球赛实行主客场循环赛制，经计算共要进行132场比
赛，参加比赛的足球队有多少支？
【答案】12支.
【分析】每个队与其它队都要进行主、 客场比赛， 即每两个队之间要进行两场比赛， 设有x个足球队，比赛场次共有x(x−1)场， 再根据共有 132 场比赛活动来列出方程， 从而求解 ．
【详解】解： 设有x个足球队参加， 依题意，
x(x−1)=132，
整理， 得x2−x−132=0，
(x−12)(x+11)=0，
解得：x =12，x =−11（舍 去） ．
1 2
答： 共有 12 个足球队参加比赛 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．此题的关键是抓住“每两支球队都要在自己的主场和客场踢一
场”列等量关系．
【变式9-3】（23-24九年级·广东东莞·期末）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人
患了流感．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了8个人
(2)经过三轮传染后共有729人会患流感
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一
元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患流感的人数=经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数×8
，即可求出结论．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意得：
1+x+x(1+x)=81，
(1+x) 2=81，
1+x=±9，
x =8，x =−10（不合题意，舍去），
1 2
∴每轮传染中平均一个人传染了8个人；
（2）解：81+81×8=729（人），
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．【题型10 列一元二次方程解决有关面积问题】
【例10】（2024·天津河西·一模）把一根长为80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方
形，如图所示，有以下结论：
①当AF的长是12cm时，BC的长为8cm；
②这两个正方形的面积之和可以是198cm2；
③这两个正方形的面积之和可以是288cm2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①利用BC的长=（绳子的长度−4×AF的长）÷4，即可求出BC的长；②假设这两个正方形的面
积之和可以是198cm2，设AF的长为xcm，则BC的长为(80−4x)÷4=(20−x)cm，根据这两个正方形
的面积之和是198cm2，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=−4<0，可得出原方程没有实数
根，进而可得出假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是198cm2；③假设这两个正方形的面积之和
可以是288cm2，设AF的长为ycm，则BC的长为(80−4 y)÷4=(20−y)cm，根据这两个正方形的面积
之和是288cm2，解之可得出y的值，结合0<10−2❑√11<10+2❑√11<20，可得出假设成立，即这两个正
方形的面积之和可以是288cm2．
本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及正方形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程
是解题的关键．
【详解】解：①当AF的长是12cm时，BC的长是(80−12×4)÷4=8(cm)，结论①正确；
②假设这两个正方形的面积之和可以是198cm2，
设AF的长为xcm，则BC的长为(80−4x)÷4=(20−x)cm，
根据题意得：x2+(20−x) 2=198，
整理得：x2−20x+101=0，
∵ Δ=(−20) 2−4×101=−4<0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是198cm2，结论②不正确；③假设这两个正方形的面积之和可以是288cm2，
设AF的长为ycm，则BC的长为(80−4 y)÷4=(20−y)cm，
根据题意得：y2+(20−y) 2=288，
整理得：y2−20 y+56=0，
解得：y =10−2❑√11，y =10+2❑√11，
1 2
∵0<10−2❑√11<10+2❑√11<20，
∴符合题意，
∴假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是288cm2，结论③正确．
∴正确的结论有2个．
故选：C．
【变式10-1】（23-24九年级·江苏扬州·期中）将正方形板材①、②、③如图放置，已知正方形①、②的边
长分别是16cm、24cm，若线段PQ恰好分这三个正方形成面积相等的两部分，则正方形③的边长为
cm．
【答案】8或16
【分析】本题考查了正方形的面积，解一元二次方程的应用；作辅助线，由已知线段PQ恰好分这三个正
方形成面积相等的两部分可得AM⋅AB=CD⋅DN，列方程可解答．
【详解】解：如图，将图形补成长方形PMQN，
设正方形③的边长为acm，则AM=acm，AB=(24−a)cm，
∵正方形①、②的边长分别是16cm，24cm，
∵线段PQ恰好分这三个正方形成面积相等的两部分，
∴AM⋅AB=CD⋅DN，∴a(24−a)=16×(24−16)，
∴(a−16)(a−8)=0，
解得：a =8，a =16，
1 2
则正方形③的边长为8或16cm．
故答案为：8或16．
【变式10-2】（2024·福建莆田·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它
为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接AE,BE，若
△ADE与△BEH的面积相等，AF=2，则EH的长为 ．
【答案】❑√3−1
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、弦图的计算等知识点，明确弦图中的线段关系成为解题的关
键．
设EH=GF=EF=FG=a,进而得到AG=BH=2+a，然后再根据“△ADE与△BEH的面积相等”得到方
程a2+2a−2=0求解即可．
【详解】解：由“赵爽弦图”可知EH=GF=EF=FG,设EH=GF=EF=FG=a，DE=BG=AF=2,
AG=BH
∵AF=2，
∴AG=BH=2+a，
∵△ADE与△BEH的面积相等，
1 1
∴ DE⋅AF= EF⋅BH，
2 2
1 1
∴ ×2×2= a(2+a)，即：a2+2a−2=0，解得：a=❑√3−1（舍弃负值）
2 2
∴EH=❑√3−1．
故答案为：❑√3−1．
【变式10-3】（23-24九年级·河南洛阳·阶段练习）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（
AD位置的墙最大可用长度为27m,AB位置的墙最大可用长度为15m），另两边用木栏围成，中间也用木
栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH,FG,BC上各留1m宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45m．
(1)若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为7m，则AD=_______________m．
(2)若饲养场（矩形ABCD）的面积为192m2，求边CD的长．
(3)饲养场的面积能达到198m2吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
【答案】(1)27
(2)边CD的长为8m
(3)饲养场的面积不能达到198m2，详见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）直接根据图形计算即可；
（2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解；
（3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算．
【详解】（1）解：BC=45−7−2×(7−1)+1=27(米)．
故答案为：27．
（2）解：设CD=x(06)，
此时BP=AP−AB=t−6，BQ=CQ−BC=2t−8，
1 1
∴ BP⋅BQ= ×(t−6)×(2t−8)=1，
2 2
∴t2−10t+23=0，
解得：t =5+❑√2，t =5−❑√2（舍去）；
1 2综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为．
