文档内容
专题05 一元二次方程章末重难点题型专训
【题型目录】
题型一 一元二次方程的概念
题型二 一元二次方程的一般形式
题型三 一元二次方程的解
题型四 一元二次方程的四大解法
题型五 换元法解一元二次方程
题型六 配方法的应用
题型七 根据一元二次方程解的情况求参数
题型八 一元二次方程根的判别式
题型九 一元二次方程根与系数的关系
题型十 一元二次方程的应用—传播问题
题型十一 一元二次方程的应用—图形几何问题
题型十二 一元二次方程的应用—增长率问题
题型十三 一元二次方程的应用—利润问题
题型十四 一元二次方程的应用—动点问题
题型十五 一元二次方程的综合运用
【经典例题一 一元二次方程的概念】
【例1】（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）若方程 是关于x的一元二次方程，则m的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·九年级假期作业）当 ___________时，方程 是一元二次方程．
3．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知方程 .
（1）当 为何值时，此方程为一元二次方程？（2）当 为何值时，此方程为一元一次方程？
【经典例题二 一元二次方程的一般形式】
【例2】（2023春·广东惠州·九年级博罗县平安中学校考开学考试）方程4x2=81-9x化成一般形式后，二次
项的系数为4，它的一次项是（ ）
A．9 B．-9x C．9x D．-9
【变式训练】
1．（2023·山东聊城·统考三模）关于 的一元二次方程 的常数项是0，则
的值
A．1 B．1或2 C．2 D．
2．（2021秋·西藏拉萨·九年级校考期中）方程－x2－2x＋3＝0的二次项系数是______；一次项是______；
常数项是______．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知关于y的一元二次方程 ，求出它各
项的系数，并指出参数m的取值范围．
【经典例题三 一元二次方程的解】
【例3】（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）关于 的一元二次方程 的一个
根为0，则实数 的值是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【变式训练】
1．（2022·九年级单元测试）已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2020的值为（ ）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
2．（2022秋·山东滨州·九年级统考期末）已知 为方程 的根，那么
的值为_________．
3．（2023·全国·九年级假期作业）已知一元二次方程 ，
(1)如果方程有一个根是 ，那么 ， ， 之间有什么关系？
(2)如果方程有一个根是 ，那么 ， ， 之间有什么关系？
(3)如果方程有一个根是 ，那么未知项的系数或常数项有什么特征？
【经典例题四 一元二次方程的四大解法】
【例4】（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）解方程
(1)
(2)
(3) （配方法）
(4)
【变式训练】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）用适当的方法解下列各一元二次方程：(1) ；
(2) （用配方法）；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
2．（2023·上海·八年级假期作业）解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
3．（2022秋·九年级单元测试）解方程：
(1) ．(配方法)
(2) ．(因式分解法)
(3) ．(公式法)
(4) ．(因式分解法)【经典例题五 换元法解一元二次方程】
【例4】（2022秋·广东惠州·九年级统考阶段练习）已知实数x满足 ，则 的
值为（ ）
A．6 B．-2或6 C．-2 D．12
【变式训练】
1．（2021秋·河北沧州·九年级统考期中）若关于x的方程 的解是 ， （a，m，
b均为常数， ），则方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2023春·云南昆明·九年级专题练习）若实数 、 满足 ，则
________．
3．（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）阅读下面的材料：某数学兴趣小组探究下面的方程解答方法，为
解方程： ，可以将 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为
，解得 ， ．
当 时， ，即 ，则 ；当 时， ，即 ，则 ．
故原方程的解为： ， ， ， ．
上述解题方法，我们称之为换元法，请利用换元法解以下方程： ．
【经典例题六 配方法的应用】
【例5】（2023秋·河北秦皇岛·九年级校联考期末）把一元二次方程 化成 的形式
时， 的值为（ ）
A．8 B． C． D．2
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）已知实数 ， ， 满足 ， ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）新定义，若关于 的一元二次方程： 与 ，
称为“同类方程”．如 与 是“同类方程”．现有关于 的一元二次方程：
与 是“同类方程”．那么代数式 能取的最大值是
_________．3．（2023秋·河南信阳·八年级统考期末）教材中这样写道：“我们把多项式 及 叫
做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当
的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是
一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负
数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式 ．
原式 ；；
例如：求代数式 的最小值．
原式 ．
，
当 时， 有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)求代数式 的最小值；
(3)若 当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ．
【经典例题七 根据一元二次方程解的情况求参数】
【例6】（2023·山东青岛·统考一模）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
且k为非负整数，则符合条件的k的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式训练】
1．（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校校考阶段练习）若关于 的方程 有两
个实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
2．（2023·上海·八年级假期作业）在实数范围内，存在2个不同的 的值，使代数式 与代数式
值相等，则 的取值范围是___________．
3．（2023·上海·八年级假期作业）当 为何值时，方程 ，
(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)没有实数根．
【经典例题八 一元二次方程根的判别式】
【例7】（2023·河南周口·统考二模）定义运算：对任意实数 ， ，总有 ，例如：
，则方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【变式训练】
1．（2023·浙江杭州·校考二模）关于一元二次方程 ，有以下命题：①若 ，则 ；②若方程 两根为 和2，则 ；③若方程 有两个不相等的
实根，则方程 必有两个不相等的实根；④若 有两个相等的实数根，则
无实数根．其中真命题是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．（2023春·浙江·八年级期中）下列关于一元二次方程 的命题中，真命题有
_________（填序号）
①若 ，则 ；②若方程 两根为1和2，则 ；③若方程
有两个不相等的实根，则方程 必有实根．
3．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若 的两边 的长是这个方程的两个实数根，第三边 的长为5，
①若 时，请判断 的形状并说明理由；
②若 是等腰三角形，求k的值．
【经典例题九 一元二次方程根与系数的关系】
【例8】1（2023·四川泸州·统考二模）设 与 为一元二次方程 的两根，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．【变式训练】
1．（2023·湖北武汉·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考模拟预测）已知a，b是一元二次方程
的两根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的
实数根，且 ，则实数 _________．
3．（2023春·湖南怀化·八年级校考期中）已知关于x的方程 ．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)记该方程的两个实数根为 ，若 ，求k值；
(3)若 ，证明： ．
【经典例题十 一元二次方程的应用—传播问题】
【例9】（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经
统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ）
A．11 B．12 C．22 D．33
【变式训练】
1．（2023秋·四川自贡·九年级统考期末）某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
2．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送
该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向
_________人发送短信．
3．（2023·安徽合肥·统考三模）如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒 人感染后，经过两
轮传播，共有 人感染．
(1)平均每人每轮感染多少人？
(2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的 ，这样第三轮传播后感染的人数只
是第二轮传播后感染人数的 倍，求 的值．
【经典例题十一 一元二次方程的应用—图形几何问题】
【例10】（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在y轴上，边
在x轴上，点B的坐标是 ，D为 边上一个动点，把 沿 折叠，若点A的对应点 恰
好落在矩形的对角线 上，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考三模）如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为 ，原正方形铁皮的面积为 ，则无盖箱
子的外表面积为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．9
2．（2023·山东烟台·统考一模）如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为 的住房墙，另
外三边用 长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出 安装木门．若要使羊圈的
面积为 ，则所围矩形与墙垂直的一边长为______．
3．（2023春·浙江温州·八年级统考期中）有一块长为 米，宽为 米的长方形场地，计划在该场地上修建
宽均为x米的两条互相垂直的道路，余下的四块长方形场地建成草坪．
(1)已知 ， ，且四块草坪的面积和为 平方米，则每条道路的宽 为多少米？
(2)若 ， ，且四块草坪的面积和为 平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？
(3)已知 ， ，现要在场地上修建若干条宽均为 米的纵横小路，假设有 条水平方向的小路，
条竖直方向的小路(其中 n为常数)，使草坪地的总面积为 平方米，则 (直接写出答
案)．【经典例题十二 一元二次方程的应用—增长率问题】
【例11】（2023·安徽六安·统考二模）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．
去年上半年平均每周作业时长为 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时
长比去年上半年减少了 ，设每半年平均每周作业时长的下降率为 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·成都实外校考一模）随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好．某电影上
映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第
三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为 ，则根据题意，下列方程正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江苏盐城·统考三模）在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少．2022
年上学期每天作业平均时长为 ，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平
均每天作业时长为 ．设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为______．
3．（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6
万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月
1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【经典例题十三 一元二次方程的应用—利润问题】
【例8】（2023·全国·九年级专题练习）某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，
日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料
日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【变式训练】
1．（2021秋·九年级课时练习）超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，
若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价（ ）
A．15元或20元 B．10元或15元 C．10元 D．5元或10元
2．（2023·内蒙古·二模）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，
某超市以9元每袋的价格购进一批棕子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价
每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到
1360元？若设每袋棕子售价降低x元，则可列方程为____________．
3．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节
前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
(1)求豆沙粽和肉粽的单价；
(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单
位：个）和付款金额（单位：元）；
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈
20 30 270
妈
小乐妈
30 20 230
妈
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本
忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为
包， 包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
【经典例题十四 一元二次方程的应用—动点问题】
【例13】（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）如图，矩形 中， ， ，动点E
从A出发，以 的速度沿 向B运动，动点F从C出发，以 的速度沿着CD向D运动，当点E
到达点B时，两个点同时停止．则 的长为 时点E的运动时间是（ ）
A． B． C． 或 D．
【变式训练】
1．（2022秋·山东德州·九年级统考阶段练习）如图，在 中， ， cm，
cm．现有动点 从点 出发，沿 向点 方向运动，动点 从顶点 出发，沿线段 向点 方向运动，
如果点 的速度是2cm/s，点 的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止
运动，当 ， 两点运动 秒时， 的面积等于5cm2．A．1 B．3 C．3或5 D．1或5
2．（2023春·安徽·八年级期中）如图，在 中， ， ， ，点P从
A点出发，沿射线 方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线 方向以4cm/s的速度移动．
（1） ______________；
（2）如果P、Q两点同时出发，问：经过____________秒后 的面积等于 ．
3．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点 从 点
出发沿 边向 以 的速度移动，点 从 点出发沿 向 点以 的速度移动，当其中一个点
到达终点时两个点同时停止运动，请回答：
(1)经过多少时间， 的面积是 ，此时， 长为多少 ．
(2)探究：是否存在某一时刻 ，使 ，如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由．【经典例题十五 一元二次方程的综合运用】
【例14】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知 为正整数，且满足 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）根据绝对值的定义可知 ，下列结论正确的个数有（ ）
①化简 一共有8种不同的结果；
② 的最大值是5；
③若 ， （ 为正整数），则当 时， ；
④若关于 的方程 有2个不同的解，其中 为常数，则 或
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2023·江苏无锡·校考二模）直线 ： 、 为常数 分别与 轴、 轴交于点 、
，动点 的坐标为 （ 为常数）．
（1）当 ______ 时，有且仅有一个满足条件的 的值，使得点 在直线 上；
（2）若有且仅有两个符合条件的 的值，使得点 到直线 的距离为1，则 的取值范围是______ ．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）如果方程 有两个实数根 ， ，那么 ，
，请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知 ， 是方程 的二根，则
(2)已知 、 、 满足 ， ，求正数 的最小值．
(3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知 和 是关于 ， 的方程组
的两个不相等的实数解．问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出的 值，
若不存在，请说明理由．
【重难点训练】
1．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如果x、y是两个实数（ ）且
， ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．2023
2．（2023·湖北武汉·统考三模）已知方程 的两根分别为 ， ，则
的值是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中
记载的图表给出了 展开式的系数规律．
11 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式 的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
4．（2023·四川绵阳·统考三模）若关于 的方程 的两个实数根满足关系式 ，
则 的值为( )
A．11 B． C．11或 D．11或 或1
5．（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和
4块长为a，宽为b的长方形 ，密铺成正方形 ，已知 ，正方形 的面积为S（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．（2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，
其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了 的展开式的系数规律（其
中，字母按 的降幂排列，b的升幂排列）．例如，在三角形中第2行的三个数1，2，1，恰好对应
展开式中各项的系数；第三行的的4个数1，3，3，1，恰好对应
展开式中各项的系数；第4行的五个数1，4，6，4，1；恰好对应着展开式中各项的系数，有如下结论：
① ；
②“杨辉三角”中第9行所有数之和1024；
③“杨辉三角”中第20行第3个数为190；
④ 的结果是 ；
⑤当代数式 的值是1时，实数a的值是 或 ，上述结论中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人
患了流感，每轮传染中平均一个人传染了__人．
8．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）设 为整数，且 ，方程
有两个不相等的整数根，则 的值是______．
9．（2023·安徽六安·统考二模）如图，沿 折叠菱形纸片 ，使得 的对应边 恰好经过点 ，
若 ，则
（1） __________．
（2）线段 的长是__________．
10．（2023·黑龙江绥化·统考二模）若 是方程 的两个实数根，且 ，
则m的值为___________．11．（2023春·上海浦东新·八年级上海市进才中学校考阶段练习）在直角梯形 中， （
）， ， ， 是 上一点，且 ， ， ，那么直角梯形
的面积是______．
12．（2023春·上海徐汇·八年级上海市园南中学校考阶段练习）已知：正方形 的边长为 厘米，
对角线 上的两个动点 ， ，点 从点 、点 从点 同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运
动，过 作 交 的直角边于 ；过 作 交 的直角边于 ，连接 ，
．设 ， ， ， 围成的图形面积为 ， ， ， 围成的图形面积为 （这里规定：
线段的面积为0）． 到达 ， 到达 停止．若 的运动时间为 秒，在 范围内， ______时，
．
13．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）若 ， 是方程 的两实数
根，求下列各式的值．
(1) ；
(2) ；
(3) ．14．（2023·四川遂宁·统考中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有 ，其中
等式右边是通常的乘法和减法运算，如： ．
(1)求 的值；
(2)已知关于x的方程 有两个实数根，求m的取值范围．
15．（2023·全国·九年级专题练习）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京胜利召开，在冬
奥会期间，北京某校打算组织部分师生利用周日时间到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当
日共有A、B两场比赛，两场比赛的票价如下图所示，其中x轴表示一次性购票人数，y轴表示每张票的价
格，如：一次性购买A场比赛门票10张，票价为400元/张，若一次性购买A场比赛门票80张，则每张票
价为200元．
(1)若一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为___________元（直接写出结果）．
(2)若一次性购买A场比赛门票 张，需支付门票费用多少元？（用a的代数式表示）
(3)该校共组织120人（每人购买一张门票）分两组分别观看A、B两场比赛，共花费32160元，若观看A
场比赛的人数不足50人，则有多少人观看了B场比赛？
