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专题04 一元二次方程压轴题型专训
【一元二次方程30道压轴题型专训】
1．（2023·浙江温州·校考一模）关于x的一元二次方程 （ab≠0）有两个相等的实数根 ，
则下列选项成立的是（ ）
A．若﹣1＜a＜0，则 B．若 ，则0＜a＜1
C．若0＜a＜1，则 D．若 ，则-1＜a＜0
2．（2023春·八年级课时练习）方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（ ）
A． ＜x＜0 B．0＜x＜ C． ＜x＜1 D．1＜x＜
3．（2023春·八年级课时练习）已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值
是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·全国·九年级专题练习）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足
， ，则 的值为（ ）
A． B． C．2012 D．2011
5．（2023春·福建南平·九年级专题练习）两个关于 的一元二次方程 和 ，其
中 ， ， 是常数，且 ，如果 是方程 的一个根，那么下列各数中，一定是
方程 的根的是（ ）
A． 2020 B． C．-2020 D．
6．（2022秋·九年级课时练习）要使关于x的一元二次方程 有两个实数根，且使关于x的分
式方程 的解为非负数的所有整数 的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个7．（2022秋·全国·九年级专题练习）对于一元二次方程 ，有下列说法：
①若 ，则方程 必有一个根为1；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 ．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023春·浙江·八年级期末）若方程 的两个不相等的实数根 满足
，则实数p的所有值之和为（ ）
A．0 B． C． D．
9．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）对于多项式 记为 ，即
；若令 ， ，即 ；下面几个结论正确的个数有
（ ）个．
（1）存在实数x使 成立，则k的取值范围是 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 或 ；
（4）存在整数 ，使 成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022春·湖南长沙·八年级校考期末）对于一元二次方程 ，有下列说法：①若，则方程 必有一个根为1；②若方程 有两个不相等的实根，则方
程 必有两个不相等的实根；③若 是方程 的一个根，则一定有
成立．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知关于x的方程 的两根均大于1且小于2，则 的取
值范围是_____.
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知 ， 为实数，且满足 ，记 的
最大值为 ，最小值为 ，则 ___________．
13．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知平行四边形 ， ， ，点 在边
上，将平行四边形沿 翻折，使点 落在边 的 处，且满足 ，则 ______．
14．（2023春·八年级单元测试）对于实数a，b，定义运算“*”： ，例如：4*2，因
为 ，所以 ，若 、 是一元二次方程 的两个根，则 的值是
______．
15．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）对于实数a、b，定义运算“*”； ，
关于 的方程 恰好有三个不相等的实数根，则 的取值范围是___________．
16．（2022秋·北京西城·九年级北京四中校考阶段练习）已知双曲线 与直线 交于点
， .
（1）若 ，则 ______；
（2）若 时， ，则k______0，b______0（填“ ”、“ ”或“ ”）.17．（2023·山东枣庄·统考一模）将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将
表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法
称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且
．则 的值为_______．
18．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程
的两个根为 ，则
__________．
19．（2022春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）（1）若 ，且有
，则 的值是______．
（2）如果方程 的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是
______．
20．（2023春·江苏·八年级期末）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的
关系，如一元二次方程 的两实数根分别为 ，则方程可写成 ，
即 ，容易发现根与系数的关系： ．设一元三次方程
三个非零实数根分别 ，现给出以下结论：
① ，② ；③ ；④ ，其中正确的是__________
（写出所有正确结论的序号）．
21．（2022春·八年级单元测试）对于任意实数k，方程 总有一个根是1
(1)求实数a，b；
(2)求另一个根的范围．
22．（2023·四川南充·统考一模）关于 的一元二次方程 中， 、 、 是
的三条边，其中 ．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是 、 ，且 ，求 ．
23．（2023春·浙江·八年级期中）相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的图案，史称
“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个
数字组成的一个三行三列的矩阵其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个
数叫中心数．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为
5．(1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______．
(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，
可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新
三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为 的4倍，且 ，求 的值．
(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一
个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中 为9个数中
的最大数，且满足 求P及 的值．
24．（2023春·浙江·八年级期中）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆
已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工
汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工
汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按
售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全
部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
25．（2023春·福建南平·九年级专题练习）已知关于 的方程 有实数根．
(1)若方程的两根之和为整数，求 的值；
(2)若方程的根为有理根，求整数 的值．
26．（2023春·四川南充·九年级阆中中学校考阶段练习）已知方程 的两根是 、 ．
(1)求 的值；(2)求 的值；
(3)求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于 、 的倒数的立方．（参考公式：
．
27．（2023春·浙江·八年级期末）（1） 是关于 的一元二次方程 的两实根，
且 ，求 的值．
（2）已知： ， 是一元二次方程 的两个实数根，设 ， ，
…， ．根据根的定义，有 ， ，将两式相加，得
，于是，得 ．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出 ， 的值．
②经计算可得： ， ， ，当 时，请猜想 ， ， 之间满足的数量关系，并给出
证明．28．（2023秋·重庆北碚·九年级重庆市兼善中学校考期末）对任意一个三位数 ，如果满足各个数位上的
数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“快乐数”．
例如： ，因为 ，所以 是“快乐数”．
(1)请通过计算判断 是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”；
(2)已知一个“快乐数” （ 、 、 ， 、 、 为自然数），且使关于 的一元二
次方程 有两个相等的实数根，若 ，求满足条件的所有 的值．
29．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）定义：已知 是关于x的一元二次方程
的两个实数根，若 ，且 ，则称这个方程为“限根方程”．如：一
元二次方程 的两根为 ，因 ， ，所以一元二次方程
为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程 是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，且两根 满足 ，
求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，求m的取值范围．30．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程： ．
解： ，
方程即为： ，
设 ，原方程转化为：
解得， ， ，
当 时，即 ， ， ；
当 时，即 ，不成立．
综上所述，原方程的解是 ， ．
以上解方程的过程中，将其中 作为一个整体设成一个新未知数 ，从而将原方程化为关于 的一元二次方
程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程： ，若设 ，则利用“换元法”可将原方程化为关于 的方程是
______；
(2)仿照上述方法，解方程： ．
