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微考点 6-1 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题（三大题型）
在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似 为定值的情形，通过直线代换可得：
，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为
y −t
1
k x x y −tx kx x +(m−t)x
PA 1 2 1 2 1 2 2
= = =
“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：k y −t x y −tx kx x +(m−t)x
PB 2 1 2 1 1 2 1
x
2
我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到 和 之间的关
系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．
这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整
理成对称型.
具体办法：
{x + x =f (t ) ¿ ¿ ¿ ¿
①联立方程后得到韦达定理： 代入之后进行代换消元解题.
1 2
②利用点在椭圆方程上代换
题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题
【精选例题】
【例1】已知双曲线 的左顶点为A，右焦点为F，P是直线 上一点，且P不在x
轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．
(1)证明： ；
(2)取 ，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析
【分析】（1）过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则 ，结合圆的知识可得
， ，设点 ，则 ，由 ，可得 ，即得
（用双曲线的第二定义来说明，也可以），由相等弦长所对的圆心角相等，得
，进而求解；（2）设直线PF的方程为 ，由题意可得
，联立方程组，结合韦达定理可得 ， ，由题知，直线DR的方程为
，令 ，化简即可求解.
【详解】（1）证明：过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则 ，
连接AM，PM，NF．因为在圆P中， ，所以 ．
由题易知右焦点 ，设点 ，则 ，整理得 ．
因为 ，
所以 ，所以 ．【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以．见下：因为直线 为双曲线
的准线，根据双曲线的第二定义，可知 ，即 ，即得
．】
在圆P中，由相等弦长所对的圆心角相等，得 ，
所以 ．
（2）由题知双曲线 ，渐近线为： ，右焦点为 ，
直线PF的斜率不为0，设直线PF的方程为
因为直线PF与C的左，右两支分别交于E，D两点，则 ．
设 ，
联立方程组 ，得 ，
则 ．
由题知，直线 的方程为 ，令 ，得
，
所以直线DR过定点 .
【跟踪训练】
1.已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点 ， ， ， 为椭圆 上关于
轴对称的两点（不与点B重合）， ，直线 与椭圆 交于另一点 ，直线 垂直于直线 ，
为垂足．
(1)求 的方程；
(2)证明：（i）直线 过定点，（ii）存在定点 ，使 为定值．
【答案】(1) ；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）设方程为 ，代入 点的坐标，得出方程组，求解即得.
（2）（i）设 的方程为 ，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出 的
方程为 ，令 ，整理可得 ，即可得出定点；（ii）由已知可得 ，即
可得出 的轨迹，得出答案.
【详解】（1）设 的方程为 ，则 ，解得 ，
所以 的方程为 .（2）（i）依题意，直线 的斜率存在且不为0，设 的方程为 ，
设点 ， ，则 ，
由 消去 并整理得 ，则 ，
， ，显然 ，
直线 的斜率 ，直线 的方程为 ，
令 ，则 ，
所以直线 恒过定点 .
（ii）令直线 过的定点 为点 ，由 ， 在 上，得 ，
则点 在以 为直径的圆上，从而 的中点 为定点，使 为定值 .
【点睛】思路点睛：设 的方程为 ，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.
进而整理化简，即可得出定点坐标.
2.椭圆C: 的一个焦点为 ，且过点 ．
(1)求椭圆C的标准方程和离心率；
(2)若过点 且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线 上，且NP与x轴平行，
求直线MP恒过的定点．【答案】(1)标准方程为C： ，离心率为 ；(2)
【分析】（1）法一：由题意可得 ，解方程即可求出 ，可求出椭圆C的标准方程和离心
率；法二：由椭圆的定义求出 ，再结合 求出 ，可求出椭圆C的标准方程和离心率；
（2）设方程为 ， ， ，联立直线MN方程和椭圆的方程可得 ，
表示出直线MP方程，对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上，令 ，将 代入化简
即可得出答案.
【详解】（1）法一：由题意 ，可得 ，
则椭圆C的标准方程为C： ，离心率为 ；
法二：设椭圆的左焦点为 ，
则由椭圆的定义知 ，
所以 ，又 ，得 ，则椭圆C的标准方程为C： ，
离心率为 ；
（2）因为直线MN过点 且斜率不为0，
所以设直线MN方程为 ， ， ，则 ，联立 ，消去x得， ，
所以 ，所以 ，
直线MP方程为 ，由对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上，
所以令 ，得 ，且 ，
所以 ，
可得 ，直线MP恒过的定点 ．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程或截距式 来证明.
题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题【精选例题】
【例1】椭圆 的长轴长为4，且椭圆C过点 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知A、B为椭圆C的左、右顶点，过右焦点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线 与
直线 交于点P，记 、 、 的斜率分别为 、 、 ，问 是否是定值，如果是，求出该
定值，如果不是，请说明理由.
【答案】(1) ；(2) 是定值2，理由见解析
【分析】（1）先求出 ，将 代入求出 ，得到椭圆方程；
（2）设直线 ： ，联立椭圆方程，设 ，得到两根之和，两根之积，表达出
， ， ，计算出 ，将两根之积代入，化简得到
，再代入两根之和，得到 是定值2.
【详解】（1）由题意得 ，解得 ，
将 代入椭圆方程 中得， ，解得 ，
故椭圆方程为
（2）因为 ， ，所以 ， ， ，
设直线 ： ，
联立 与 可得， ，
恒成立，设 ，则 ，
直线 ： ，令 得 ，故 ，
， ， ，
则
.
为定值2.
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
【例2】已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为 ，点P 为椭圆上一
点．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k，直线BN
1
的斜率为k，若k＝2k，求直线l斜率的值．
2 1 2
【答案】（1） ＋ ＝1；（2） .
【分析】(1)由椭圆的离心率,和点P 在椭圆上求出椭圆的标准方程;
(2) 由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1, 设M(x，y)，N(x，y), 联立方程
1 1 2 2
组消去y,再将k＝2k 用坐标表示,利用点在椭圆上和韦达定理求出直线l的斜率.
1 2
【详解】(1)因为椭圆的离心率为 ，所以a＝2c.
又因为a2＝b2＋c2，所以b＝ c.
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
又因为点P 为椭圆上一点，所以 ＋ ＝1，解得c＝1.
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
(2) 由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1.
设M(x，y)，N(x，y)．
1 1 2 2
联立方程组
消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.
所以由根与系数关系可知x＋x＝－ ，xx＝－ .
1 2 1 2因为k＝ ，k＝ ，且k＝2k，所以 ＝ .
1 2 1 2
即 ＝ . ①
又因为M(x，y)，N(x，y)在椭圆上，
1 1 2 2
所以 ＝ (4－ )， ＝ (4－ )． ②
将②代入①可得： ＝ ，即3xx＋10(x＋x)＋12＝0.
1 2 1 2
所以3 ＋10 ＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.
解得k＝ 或k＝ ，又因为k>1，所以k＝ .
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质,考查学生分析解决问题
的能力,属于中档题.
【跟踪训练】
1.已知点F为椭圆 的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N
两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为 证明 为定值．
解析：方法1.先联 ，消x得 ，易知△>0，则 ．
，代入目标信息得， 稍作整理，即可得，为定值，得证．
2．已知双曲线 ： 的离心率为 ，点 在双曲线 上.过 的左焦点F作直线
交 的左支于A、B两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 ，试问：是否存在直线 ，使得点M在以 为直径的圆上?请说明理由.
(3)点 ，直线 交直线 于点 .设直线 、 的斜率分别 、 ，求证： 为定值.
【答案】(1) ；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意列式求 ，进而可得双曲线方程；
（2）设 ， ， ，联立方程，利用韦达定理可得 ，结合圆的性质分
析判断；
（3）用 两点坐标表示出直线 ，得点 坐标，表示出 ，结合韦达定理，证明 为定值.
【详解】（1）由题意，双曲线 的离心率为 ，且 在双曲线 上，
可得 ，解得 ， ，所以双曲线的方程为 .
（2）双曲线 的左焦点为 ，
当直线 的斜率为0时，此时直线为 ，与双曲线 左支只有一个交点，舍去；
当直线 的斜率不为0时，设 ，
联立方程组 ，消 得 ，易得 ，由于过点 作直线 交 的左支于 两点，
设 ， ，则 ， ，
可得 ，
因为 ， ，
则
，
即 ，可得 与 不相互垂直，
所以不存在直线 ，使得点M在以 为直径的圆上.
（3）由直线 ，得 ，
所以 ，又 ，
所以
，
因为 ，所以 ，且 ，
所以 ，即 为定值.
【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，
务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方
程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
题型三：利用非对称韦达定理思想解决定直线问题
【精选例题】
【例1】已知 为 的两个顶点， 为 的重心，边 上的两条中线长度之和
为6.
(1)求点 的轨迹 的方程.
(2)已知点 ，直线 与曲线 的另一个公共点为 ，直线 与 交于点 ，
试问：当点 变化时，点 是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.
【答案】(1) (2)是，证明见解析
【分析】（1）依题意 ，根据椭圆的定义可知 的轨迹 是以 、 为焦点的椭圆（不包括长
轴的端点），从而求出椭圆方程；
（2）设直线 的方程为： ， ， ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，
即可得到 ，再求出直线 、 的方程，联立求出交点的横坐标，整理可得求出定直
线方程.
（1）
解：因为 为 的重心，且边 上的两条中线长度之和为6，
所以 ，
故由椭圆的定义可知 的轨迹 是以 为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且 ，所以 ，
所以 的轨迹 的方程为 ；
（2）解：设直线 的方程为： ， ， ，
联立方程 得： ，
则 ， ，
所以 ，
又直线 的方程为： ，
又直线 的方程为： ，
联立方程 ，解得 ，
把 代入上式得： ，
所以当点 运动时，点 恒在定直线 上
【例2】已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得 的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线 与 的方程，联立直线方程，消去 ，结合韦达定理计算可得 ，即交点的横坐标为定值，据此可证得点 在定直线 上.
【详解】（1）设双曲线方程为 ，由焦点坐标可知 ，
则由 可得 ， ，
双曲线方程为 .
（2）由(1)可得 ，设 ，
显然直线的斜率不为0，所以设直线 的方程为 ，且 ，
与 联立可得 ，且 ，
则 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与直线 的方程可得：
，
由 可得 ，即 ，据此可得点 在定直线 上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，
其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
【跟踪训练】
1.已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 和圆 均相切，且一个内切、一
个外切．
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程．
(2)已知点 ，过点 的直线 与轨迹 交于 两点，记直线 与直线 的交点为 ．
试问：点 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)点 恒在定直线 上
【分析】（1）设动圆的圆心为 ，利用两圆外切和内切的关系得到 ，由椭圆
的定义即可得到动点的轨迹，利用待定系数法求出方程即可；
（2）设直线 的方程为 ，直曲联立，结合韦达定理得到 ，求出直线 与直线
的方程，进而得到点 满足的关系式，整理化简可得点 恒在定直线 上．
【详解】（1）设点 的坐标为 ，圆 的半径为 ．
由已知条件，得 ．
①当动圆 与圆 外切，与圆 内切时， ，
从而 ．
②当动圆 与圆 内切，与圆 外切时， ，
从而 ．
综上可知，圆心 的轨迹 是以 为焦点，6为长轴长的椭圆．易得圆 与圆 交于点 与 ，
所以动圆圆心 的轨迹 的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ， ．
联立直线 与轨迹 的方程，得
消去 并整理，得 ．
所以 ， ，
则有 ．
由已知条件，得直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
则点 的坐标 满足 ．
又 ，
所以 ．
把 代入上式，得 ．
故点 恒在定直线 上．
2.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ， 到直线 的距离为 ，
且 .
(1)求椭圆 的标准方程；(2)若过 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，证明：
直线 与 的交点在定直线上.
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）首先求出直线 的方程，利用点到直线的距离公式得到 ，再由 ，即
可求出 、 ，从而求出椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，设 ， ，消元，列出韦达定理，即可得到直线 、 的
方程，设直线 与 的交点坐标为 ，求出 ，即可得解.
【详解】（1）依题意可得直线 的方程为 ，即 ，
则 到直线 的距离为 .
又 ， ，故 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）由（1）得 ，所以直线 的方程为 ，
由 可得 ，
设 ， ，显然 ，
所以 ， ，故 .
由（1）可得 ， ，则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
设直线 与 的交点坐标为 ，则 ，
故
，
解得 ，故直线 与 的交点在直线 上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；（5）代入韦达定理求解.
3.已知椭圆 的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与椭
圆 相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不
是，说明理由．
【答案】(1)椭圆方程为 ，离心率为 ；(2) 点在定直线 上．
【分析】（1）由长轴长求得 得椭圆方程，然后由离心率公式离心率；
（2）设动直线方程为 ，设 ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得 ，
写出直线 方程，联立求得 点横坐标 ，利用直线方程，及韦达定理的结果代入后可得 ，即为
定直线方程．
【详解】（1）由题意 ， ，所以椭圆方程为 ，
， ，则 ，离心率为 ；
（2）由题意设动直线方程为 ，设 ， ，
由 得 ，
显然 ，
直线 方程为 ，直线 方程为 ，
联立方程组 ，得又 ，代入得 ，
由 ， 得 ，即 ，
所以 ，
所以 点在定直线 上．
【点睛】方法点睛：椭圆中的定直线问题，可设出交点坐标为 ，设出动直线方程代入椭圆方
程后应用韦达定理，然后由直线与椭圆的交点坐标求出相关的交点坐标，对这个坐标进行分析得出定直线
方程，本题中对横坐标进行分析，代入交点坐标的关系及韦达定理的结果即得出结论，实际上本题可从对
称性确定定直线与 轴垂直，再坐标特殊值（如动直线与 轴垂直）求得定直线方程，然后只要验证一般
情形即可（这个寻找过程在解题中还不必反映出来）．
1．已知椭圆E的左、右焦点分别为 ， ，点M在椭圆E上， ， 的
周长为 ，面积为 ．
(1)求椭圆E的方程．
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点 的直线l与椭圆E交于C，D两点（不同于左右顶点），
记直线AC的斜率为 ，直线BD的斜率为 ，问是否存在实常数 ，使得 ，恒成立？若成立，求
出 的值，若不成立，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在实数
【分析】（1）根据焦点三角形面积及周长列方程求出 ,即可写出椭圆方程；（2）先设直线，再和椭圆联立方程组,结合韦达定理及斜率公式计算 化简求解即可.
【详解】（1）依题意，得 ，即 ，
解得 ，所以椭圆E的方程为 ．
（2）
依题意，可设直线l的方程为 ，
联立方程 ，化简整理，得 ，
易得 恒成立，
设 ， ，由韦达定理，
得 ，可得 ，
于是，
故存在实数 ，使得 恒成立．
2．椭圆 的左、右顶点分别为A，B，过左焦点 的直线与椭圆交于C，D两点
（其中C点位于x轴上方），当CD垂直于x轴时，
(1)求椭圆的方程；
(2)记直线AC，BD的斜率分别为 ，问； 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，定值为3．
【分析】（1）根据题意结合通径长即可求出椭圆的标准方程.
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，将 表示出化简即可.
【详解】（1）因为椭圆 的左焦点为 ，
所以 ，将 代入 ，得 ，
故 ，所以
解得 ，所以 ，
所以椭圆方程为 .（2）
因为直线CD过点 ， 且点C位于x轴上方，
所以直线CD斜率不为0，设直线CD的方程为 ，
联立 消去x得，
方程 的判别式 ，
设 ，由已知 ，
于是 ，
所以 ，
又椭圆 的左顶点A的坐标为 ，右顶点B的坐标为（2，0），
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以所以 定值，定值为3．
3．已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 和圆 均相切，且一个内切、一
个外切．
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程．
(2)已知点 ，过点 的直线 与轨迹 交于 两点，记直线 与直线 的交点为 ．
试问：点 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点 恒在定直线 上
【分析】（1）设动圆的圆心为 ，利用两圆外切和内切的关系得到 ，由椭圆
的定义即可得到动点的轨迹，利用待定系数法求出方程即可；
（2）设直线 的方程为 ，直曲联立，结合韦达定理得到 ，求出直线 与直线
的方程，进而得到点 满足的关系式，整理化简可得点 恒在定直线 上．
【详解】（1）设点 的坐标为 ，圆 的半径为 ．
由已知条件，得 ．
①当动圆 与圆 外切，与圆 内切时， ，
从而 ．
②当动圆 与圆 内切，与圆 外切时， ，
从而 ．综上可知，圆心 的轨迹 是以 为焦点，6为长轴长的椭圆．
易得圆 与圆 交于点 与 ，
所以动圆圆心 的轨迹 的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ， ．
联立直线 与轨迹 的方程，得
消去 并整理，得 ．
所以 ， ，
则有 ．
由已知条件，得直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
则点 的坐标 满足 ．
又 ，
所以 ．
把 代入上式，得 ．
故点 恒在定直线 上．
4．已知椭圆 的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与
椭圆 相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不
是，说明理由．
【答案】(1)椭圆方程为 ，离心率为 ；
(2) 点在定直线 上．
【分析】（1）由长轴长求得 得椭圆方程，然后由离心率公式离心率；
（2）设动直线方程为 ，设 ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得 ，
写出直线 方程，联立求得 点横坐标 ，利用直线方程，及韦达定理的结果代入后可得 ，即为
定直线方程．
【详解】（1）由题意 ， ，所以椭圆方程为 ，
， ，则 ，离心率为 ；
（2）由题意设动直线方程为 ，设 ， ，
由 得 ，
显然 ，
直线 方程为 ，直线 方程为 ，
联立方程组 ，得
又 ，代入得 ，由 ， 得 ，即 ，
所以 ，
所以 点在定直线 上．
【点睛】方法点睛：椭圆中的定直线问题，可设出交点坐标为 ，设出动直线方程代入椭圆方
程后应用韦达定理，然后由直线与椭圆的交点坐标求出相关的交点坐标，对这个坐标进行分析得出定直线
方程，本题中对横坐标进行分析，代入交点坐标的关系及韦达定理的结果即得出结论，实际上本题可从对
称性确定定直线与 轴垂直，再坐标特殊值（如动直线与 轴垂直）求得定直线方程，然后只要验证一般
情形即可（这个寻找过程在解题中还不必反映出来）．
5．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，O为坐标原点，点 在椭圆C上，
且 ，直线 过点 且与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知 ， ，若直线 ， 交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出
该直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点D在直线 上．
【分析】（1）利用两点距离公式可计算焦点坐标，待定系数法计算椭圆方程即可；
（2）由题意先确定M、N位置，设直线 与 、 坐标，联立直线与椭圆方程利用韦达定理得出 、 纵
坐标关系式，再利用点 、 坐标表示直线 、 ，法一、求出D点横坐标化简计算即可；法二、直
接利用直线 、 方程作比计算 为定值，计算即可.
【详解】（1）设 ， ， ，
则 ，则 ，解得 （ 舍去），
则 ，①
代入点 得 ，②
联立①②，解得 ， ，
故椭圆C的标准方程为 ；
（2）
依题意， ， ，
设直线 ，联立 ，
整理得 ，
；
设 ， ，
则 ， ，
所以 .
可设直线 ，直线 ，法一：联立
得
，
故点D在直线 上．
法二：故 ，
解得 ，
故点D在直线 上．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
6．已知椭圆 ： ， 为椭圆 的右焦点，三点 ， ，
中恰有两点在椭圆 上.(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 为椭圆 的左右端点，过点 作直线交椭圆 于 ， 两点（不同于 ），求证：直
线 与直线 的交点 在定直线上运动，并求出该直线的方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）由对称性得到点 ， 在椭圆 上，结合焦点坐标，得到方程组，求出
， ，求出椭圆方程；
（2）设直线 的方程为 ，联立椭圆方程，设 ， ， ，得到两根之和，
两根之积，由 和 共线得到方程组，联立后得到 ，求出 ，得到交点 在定直
线上，并求出该直线的方程.
【详解】（1）因为 为椭圆 的右焦点，所以 ①,
由对称性得，点 ， 在椭圆 上，代入得 ②,
联立①②解得， ， ，
所以椭圆 的标准方程为： .
（2）由条件知直线 与直线 不重合，故直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
设 ， ， ，
则 ， ， ，
由（1）可得 ， ，
由 共线得： ③，
由 共线得： ④，
由③÷④消去 并整理得， ，
即 ，所以 ，
综上所述，直线 与直线 的交点 在定直线 上运动.
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
7．已知 是椭圆 的左焦点， 为坐标原点， 为椭圆上任意一点，椭圆的离心率
为 ， 的面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2) ， 为椭圆的左，右顶点，点 ，当 不与 ， 重合时，射线 交椭圆 于点 ，直线 ，
交于点 ，求 的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据条件，列出关于 的方程，即可求解；（2）首先设直线 的方程为 ，
与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并利用坐标表示直线 的方程，并且联立方程求点 的轨
迹方程，再利用两直线的倾斜角表示 ,利用斜率表示 ，再利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由 ，解得 ， ， 所以椭圆 的方程为 .
（2）由题知 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消 整理得 ， ，
设 、 ，则 ， .
因为 的方程为 ， 的方程为
两直线方程联立得：
因为 .所以 ，解得 .
所以动点 的轨迹方程为
由椭圆的对称性不妨设 ，直线 、 的倾斜角为 ， ，
由图可知 ，且 ，因为 ，则 ，因为 ， ，
所以
当且仅当 时等号成立，此时 ， ，所以 的最大值为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，动点轨迹，第二问的关键是根据韦达定理，联立
两直线方程可化简求得点 的轨迹，再利用倾斜角表示 .
8．已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为 ， ， 分别为椭圆 的左、右
顶点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的
斜率为 ，求证： 为定值；
(3)在（2）的条件下，直线 与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出 ，即可得出椭圆 的方程；（2）设 ， ，直线 的方程为 ，与椭圆方程联立得到 ，代入 的表达
式，即可得出 为定值；
（3）根据（1）中的结论，设 ，则 ，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，
从而可知其在定直线上．
【详解】（1）依题可得 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）设 ， ，因为直线 过点 且斜率不为 ，
所以可设 的方程为 ，代入椭圆方程 得 ，
其判别式 ，所以 ， .
两式相除得 ，即 ．
因为 分别为椭圆 的左、右顶点，所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
所以 ， ．
从而 ．
（3）由（1）知 ，设 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，所以直线 与直线 的交点 的坐标为 ，
所以点 在定直线 上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入韦达定理求解.
