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微考点 6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）
直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：
1
S= |AB|d
|AB|
①一般方法： 2 （其中 为弦长，d为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式
y=kx+m
.
S= 1 |AB|d 1 √1+k2√(x +x ) 2 −4x x |kx 0 −y 0 +m|
进一步， 2 =2 1 2 1 1 √1+k2
②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x轴或者y轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一
般在x轴或者y轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.
1
S = |x y −x y |
③坐标法：设 A(x ,y ),B(x ,y )，则 ΔAOB 2 1 2 2 1
1 1 2 2
④面积比的转化：
三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之
比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：
1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比
2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）
3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化
⑤四边形的面积计算
在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公
式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，
借助三角形面积公式求解.
⑥注意某条边过定点的三角形和四边形
当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转
化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.
题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题
【精选例题】
【例1】已知椭圆 ， ， 分别为左右焦点，点 ， 在椭圆E
上.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)过左焦点 且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若 的中点为M，O为原点，直线
交直线 于点N，求 取最大值时直线l的方程.
【例2】已知圆 ： 和圆 ： ，以动点 为圆心的圆与其中一个圆外
切，与另一个圆内切，记动点 的轨迹为 ．
(1)求轨迹 的方程；
(2)若斜率为 的直线交轨迹 于 ， 两点，求 的长度的最大值．【跟踪训练】
1.已知椭圆C： ，圆O： ，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 作两条相互垂直的直线 ， ，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求 的取值范围．
2．已知椭圆 ： 的两焦点 ， ，且椭圆 过 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作不与坐标轴垂直的直线 交椭圆 于 ， 两点，线段 的垂直平分线与 轴负半轴交于点 ，
若点 的纵坐标的最大值为 ，求 的取值范围.
题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题
【精选例题】
【例1】已知椭圆 的方程为 ，称圆心在坐标原点 ，半径为 的圆为椭圆
的“蒙日圆”，椭圆 的焦距为 ，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 、 两点，与其“蒙日圆”交于 、 两点，当 时，求 面积的最
大值．
【例2】已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，上顶点为A，椭圆的焦距等于椭圆的
长半轴长，且 的面积为 ．
(1)求椭圆的标准方程；(2)若B，C是椭圆上不同的两点，且直线AB和直线AC的斜率之积为 ，求 面积的最大值．
【例3】动点 满足方程 ．
(1)求动点P的轨迹 的方程；
(2)设过原点的直线l与轨迹 相交于 两点，设 ，连接 并分别延长交轨迹 于点
，记 的面积分别是 ，求 的取值范围．
【例4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为 ，且长轴长是短轴长的 倍．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点， 是椭圆的另一个焦点，若 内切圆的半径 ，
求直线l的方程．
【跟踪训练】
1．如图，已知椭圆 的焦点为 ， ，离心率为 ，椭圆 的上、下顶点分别为 ，右
顶点为 ，直线 过点 且垂直于 轴，点 在椭圆 上（且在第一象限），直线 与 交于点 ，直线
与 轴交于点 .(1)求椭圆 的标准方程；
(2)判定 （ 为坐标原点）与 的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说
明理由.
2．已知椭圆C的方程为 ，其离心率为 ， ， 为椭圆的左右焦点，过 作一条
不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点， 的周长为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点D．
①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
②求 面积的最大值．3．已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点为 ．椭圆 的中心为 ，左焦点为 ，上顶点为 ，
右顶点为 ，且 ．
(1)求抛物线 和椭圆 的标准方程．
(2)设直线 经过点 ，与抛物线 交于 ， 两点，与椭圆 交于 ， 两点．记 和 的面
积分别为 和 ，是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由．
题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题
【精选例题】
【例1】如图所示，椭圆 的上顶点和右顶点分别是 和 ，离心率 ， ，
是椭圆上的两个动点，且 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形 面积的最大值；
(3)试判断直线 与 的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【例2】已知 ， 分别为椭圆Γ： 的左、右焦点，过点 的直线 与椭圆Γ交于A，B两点，
且 的周长为 .
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)若过点 的直线 与椭圆Γ交于C，D两点，且 ，求四边形ACBD面积的取值范围.
【跟踪训练】
1．已知椭圆 ： ，椭圆 ： ，动点 在 上运动，过 作 的两
条切线，切点分别为A，B.（提示：过椭圆C： 上一点 与C相切的直线方程
为 ）
(1)求直线AB的方程（用 ， 表示）；
(2)O为坐标原点，求四边形OAPB的面积.2．已知焦距为2的椭圆 ： ， ， 分别为其左右焦点，过点 的直线 与椭圆交
于 ， 两点， 的周长为8．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 的直线 与椭圆交于 ， 两点且满足 ，求四边形 面积的最小值．
1．设椭圆 的左右顶点分别为 ，左右焦点 ．已知 ， ．
(1)求椭圆方程．
(2)若斜率为1的直线 交椭圆于A，B两点，与以 为直径的圆交于C，D两点．若 ，
求直线 的方程．
2．已知圆O： ，点M是圆O上任意一点，M在x轴上的射影为N，点P满足 ，记
点P的轨迹为E.
(1)求曲线E的方程；
(2)已知 ，过F的直线m与曲线E交于A，B两点，过F且与m垂直的直线n与圆O交于C，D两点，
求 的取值范围.3．已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆 过
，斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若线段 的垂直平分线交 轴于点 ，记 的中点为 坐标为 且 ，求直线
的方程，并写出 的坐标.
4．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 ，点 在椭圆
上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，记 的面积为 ，求 的最大值.
5．已知椭圆C： 的离心率为 ，椭圆上一动点P与左、右焦点构成的三角形面积的
最大值为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线PQ交椭圆C于P，Q两点，记直线AP的斜率为 ，直线BQ的斜率为 ，已知 ，设 和 的面积分别为 ， ，求 的最大值．
6．已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，直线 与椭圆 交于
两点，且 的周长最大值为8．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 是椭圆 上一动点（不与端点重合）， 分别为椭圆 的左右顶点，直线 交 轴于点
，若 与 的面积相等，求直线 的方程．
7．在平面直角坐标系 中， 、 为圆 ： 与 轴的交点，点 为该平面内异于 、 两点
的动点，且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中作答.
条件①：直线 与直线 的斜率之积为 ；
条件②：设 为圆 上的动点， 为点 在 轴上的射影，且 为 的中点；
注：如果选择多个条件作答，按第一个计分.
(1)求动点 的轨迹方程 ；
(2)若直线 与（1）问中轨迹方程 交于 、 两点，与圆 相交于 、 两点，且 ，求
面积最大值.
8．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上、下顶点分别为 ， ，短轴长为，过 且垂直于长轴的直线与椭圆 相交所得的弦长为3．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，若 ，试求 内切圆的面积．
9．已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)是否存在实数 ，使椭圆 上存在不同两点 、 关于直线 对称？若存在，求 的取值范
围；若不存在，请说明理由；
(3)椭圆 的内接四边形 的对角线 与 垂直相交于椭圆的左焦点， 是四边形 的面积，求
的最小值.
10．已知点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是 ．
(1)求点 的轨迹 的标准方程；
(2)设点 ，若点 是曲线 上两点，且在 轴上方，满足 ，求四边形 面积的最大
值．11．已知椭圆 与椭圆 有相同的离心率，椭圆 焦点在y轴上且经过点 .
(1)求椭圆 的标准方程：
(2)设A为椭圆 的上顶点，经过原点的直线 交椭圆于 干P，Q，直线AP､AQ与椭圆 的另一个交点分
别为点M和N，若 与 的面积分别为 和 ，求 取值范围.
12．已知椭圆 的离心率为 ，焦距为2，过 的左焦点 的直线 与 相交于 ，
两点，与直线 相交于点 .
(1)求椭圆方程；
(2)若 ，求证： ；
(3)过点 作直线 的垂线 与 相交于 ， 两点，与直线 相交于点 .求
的最大值.
