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专题04 一元二次方程压轴题型专训
【一元二次方程30道压轴题型专训】
1．（2023·浙江温州·校考一模）关于x的一元二次方程 （ab≠0）有两个相等的实数根 ，
则下列选项成立的是（ ）
A．若﹣1＜a＜0，则 B．若 ，则0＜a＜1
C．若0＜a＜1，则 D．若 ，则-1＜a＜0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结
合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 （ab≠0）有两个相等的实数根k，
∴ ，
，
又∵ ，
∴a-b-1=0，即a=b+1，
∴ax2-2ax+a=0，
解得：x=x=1，
1 2
∴k=1，
当 时，即 ，
即 ，
∴a（a-1）<0，
即 或
解得0<a<1当 时，即 ，
即 ，
∴a（a-1）>0，
即 或
解得：a>1或a<0．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是
解题关键．
2．（2023春·八年级课时练习）方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（ ）
A． ＜x＜0 B．0＜x＜ C． ＜x＜1 D．1＜x＜
【答案】C
【分析】当 时，方程无解，可知 ，方程两边都除以x，得 ，根据 可得 的范围，
从而得到缩小的x的范围，进一步根据 ，再得到缩小的 的范围，进而可确定x的更小范围．
【详解】解：将 代入方程得 ，
∴x≠0，
∴原方程可化为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选C．
【点睛】本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键．
3．（2023春·八年级课时练习）已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用
降次的方法即可求得结果的值．
【详解】∵a与b是方程 的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵ ，同理：
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行
整式的运算是解题的关键．
4．（2022秋·全国·九年级专题练习）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足
， ，则 的值为（ ）
A． B． C．2012 D．2011
【答案】A
【分析】根据题意可将a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，把所求的式子被减数利
用积的乘方逆运算变形后换为xx，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出xx，代入整理后的式子
1 2 1 2
中，即可求出所求式子的值．【详解】解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，
方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0，
则（ab）2012-（cd）2012=xx−(cd)2012，
1 2
又xx=（cd）2012-2012，
1 2
则（ab）2012-（cd）2012=xx−(cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．
1 2
故选：A．
【点睛】此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）有解，即b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x，x，则有x+x= ，xx= ．
1 2 1 2 1 2
5．（2023春·福建南平·九年级专题练习）两个关于 的一元二次方程 和 ，其
中 ， ， 是常数，且 ，如果 是方程 的一个根，那么下列各数中，一定是
方程 的根的是（ ）
A． 2020 B． C．-2020 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】∵ ， ，a+c=0
∴ ，
∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 是方程 的一个根，
∴ 是方程 的一个根，
∴ 是方程 的一个根，
即 是方程 的一个根
故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．
6．（2022秋·九年级课时练习）要使关于x的一元二次方程 有两个实数根，且使关于x的分
式方程 的解为非负数的所有整数 的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的情况得到 且 解得： 且 ，再把分式方程
化简求值得： ，因为解为非负数， 且 即 且 ，所以 且
，即可得出满足题意的整数解．
【详解】解：关于x的一元二次方程 有两个实数根
则
且
关于x的分式方程
去分母得：
解得：
分式方程的解为非负数
且 即 且
且
满足题意的整数 的值为
故答案为：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、分式方程的解，注意二次项系数不为0及分式方程的解要有意
义，这是此题的易错点．
7．（2022秋·全国·九年级专题练习）对于一元二次方程 ，有下列说法：
①若 ，则方程 必有一个根为1；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 ．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求
根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【详解】解：①若x=1时，方程ax2+bx+c=0，则a+b+c=0，
∵无法确定a-b+c=0．故①错误；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴△=0-4ac＞0
∴-4ac＞0
则方程ax2+bx+c=0的判别式，
=b2-4ac＞0
△∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0
∴c（ac+b+1）=0
若c=0，等式仍然成立，
但ac+b+1=0不一定成立，故③错误；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
0
则由求根公式可得：
或 ，
∴ 或
∴b2−4ac＝(2ax +b)2，故④错误．
0
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解
题的关键．8．（2023春·浙江·八年级期末）若方程 的两个不相等的实数根 满足
，则实数p的所有值之和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到 ， ，进而
推出 ，则 ， ，即可
推出 ，然后代入 ， 得到
，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．
【详解】解：∵ 是方程 的两个相等的实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 不符合题意，
∴
∴符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，熟知一元
二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
9．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）对于多项式 记为 ，即
；若令 ， ，即 ；下面几个结论正确的个数有
（ ）个．（1）存在实数x使 成立，则k的取值范围是 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 或 ；
（4）存在整数 ，使 成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由 ，得 ，根据 ，得 ，可判断①正确；由 ，得
同号，可判断②错误；由 ，则 可得 或 ，当
时， ，当 时， 3，可判断③错误；若 ，可得
，由y为整数，知x不是整数，可判断④错误．
【详解】解：若 ，则 ，即 ，
∵存在实数x使 成立，
∴ 有实数根，即 ，
∴ ，
解得 ，故①正确，符合题意；
若 ，
∴ ，
∴ 同号，∴ 或 ，故②错误，不符合题意；
若 ；
∴ ，
∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， 3，
∴③错误，不符合题意；
若 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
若y为整数，则x不是整数，
∴不存在整数x、y，使 成立，故④错误，不符合题意；
∴正确的有①，共1个；
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的解集，涉及一元二次方程根的判别式，不等式，代数式的值等知识，解题的关
键是掌握一元二次方程根的判别式及代数式的变形．
10．（2022春·湖南长沙·八年级校考期末）对于一元二次方程 ，有下列说法：①若
，则方程 必有一个根为1；②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；③若 是方程 的一个根，则一定有
成立．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、因式分解法解一元
二次方程等知识对各选项分别讨论，可得答案．
【详解】解：①当 时， ，所以方程 必有一个根为
，故①错误．
②方程 有两个不相等的实根，则 ，那么 ，故方程 必有
两个不相等的实根，故②正确．
③由 是方程 的一个根，得 ．当 ，则 ；当 ，则
不一定等于0，故③不一定正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、因式分解法解一元二次方程、等
式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
11．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知关于x的方程 的两根均大于1且小于2，则 的取
值范围是_____.
【答案】
【分析】先化简分式方程得一元二次方程，再根据根与系数的关系列出两个根与a，b，的关系式，最后根
据根的范围，求出 的取值范围.
【详解】解： ，
去分母得， ，
设 的两个根为 ， ，
由根与系数的关系可知，
，
，∴ ，
∵ ， ，均大于1且小于2，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查根与系数的关系和代数式取值范围问题，熟练进行解方程，解不等式，正确运算是解题
的关键.
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知 ， 为实数，且满足 ，记 的
最大值为 ，最小值为 ，则 ___________．
【答案】
【分析】根据题意得出 ，进而根据关于 的方程 有实数解，
得出 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵已知 ， 为实数，且满足 ，
∴关于 的方程 有实数解，
∴ ，∴ ，
的最大值为 ，
的最大值为： ，即 ，
当 时， 的最小值为： ，即 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
13．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知平行四边形 ， ， ，点 在边
上，将平行四边形沿 翻折，使点 落在边 的 处，且满足 ，则 ______．
【答案】 /
【分析】过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ，得出 是等腰直角三角形，设
，则 ，在 中， ，求得 ，在 中，
，得出 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ，
设 ，
则 ，
∵ ，四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
在 中， ，
即
解得： 或 （舍去）
在 中， ，
∴
解得：
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解一元二次方程，正确的作出图形是解
题的关键．
14．（2023春·八年级单元测试）对于实数a，b，定义运算“*”： ，例如：4*2，因
为 ，所以 ，若 、 是一元二次方程 的两个根，则 的值是
______．
【答案】 或【分析】求出一元二次方程 的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，或 ，
∴ ， ，或 ， ，
当 ， 时根据 ，
∴ ，
当 ， 时根据 ，
∴ ，
故答案为： 或
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键．
15．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）对于实数a、b，定义运算“*”； ，
关于 的方程 恰好有三个不相等的实数根，则 的取值范围是___________．
【答案】 /
【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于 的一元二次方程，再由关于 的方程
恰好有三个实数根，得到关于 的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确
定t的取值范围．
【详解】解：由新定义的运算可得关于 的方程为：
当 时，即 时，有 ，
即： ，其根为： 是负数，当 时，即 ，时，有 ，
即： ，
要使关于 的方程 恰好有三个不相等的实数根，则 和
都必须有解，
∴ ，
∴ ，
（1）当 时，即 时，方程 只有一个根 ，
∵当 时， ，
∴ ， ，
∴此时方程 只有一个根符合题意，
∴ 不符合题意；
（2）当 时，方程 的两个根 都符合题题意，
∵当 时， ，
∴ ， ，
∴方程 只有一个根符合题意，
∴当 时， 恰好有三个不相等的实数根；
（3）∵当 时，方程 的一个根 ，另外一个根 ，∴此时方程 只有一个根符合题意，
∵ ， ，
∴当 时，方程 最多有一个根符合题意，
∴当 时 不可能有三个不相等的实根；
综上分析可知， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新运算及利用一元二次方程根的情况求字母的取值范围，读懂题意，进行分类讨论，
是解题的关键．
16．（2022秋·北京西城·九年级北京四中校考阶段练习）已知双曲线 与直线 交于点
， .
（1）若 ，则 ______；
（2）若 时， ，则k______0，b______0（填“ ”、“ ”或“ ”）.
【答案】 0
【分析】（1）联立两个函数解析式，整理为： 再由根与系数的关系求解 从而
得到： ， 关于原点对称，从而可得答案；
（2）由（1）的结论，结合 ，可得： ＞ ，由 可得
结合： ，可得 ＞ ，从而可得答案．
【详解】解：（1）由题意得： ，且两函数的交点为： ， ．
，
， 为 与 的交点，
由两函数的交点的性质可得： ， 关于原点对称，
， 互为相反数，
故答案为：
（2）由（1）得：
同理可得： ，
当 时， ，
且 ＞ ，
，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与反比例函数的图像与性质，同时考查了一元二次方程的根与系数的关系，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键．
17．（2023·山东枣庄·统考一模）将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将
表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法
称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且
．则 的值为_______．
【答案】
【分析】先将 变形为 ，再利用“降次法”将 转化为 ，然
后解一元二次方程，求出 ，再代入求值即可．
【详解】解： ，
∴ ．
∴
，
，
，
，
，
，
．
∵ ， ，
∴
∴ ，∵ ，
；
∴原式
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查代数式求值和解一元二次方程．理解并掌握“降次法”，是解题的关键．
18．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程
的两个根为 ，则
__________．
【答案】
【分析】由根与系数的关系得 ， ，所以
，则
，然后代入即可求解．
【详解】由根与系数的关系得 ， ，
所以 ，
则 ，
则．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求
值．
19．（2022春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）（1）若 ，且有
，则 的值是______．
（2）如果方程 的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是
______．
【答案】
【分析】（1）根据非负数的性质可得 再变形可得
可得 是方程 的两个根，再根据根与系数的关系可得答案；
（2）先解方程可得 或 设 的两根分别为 可得
再利用 列不等式，再解不等式即可得到答案．
【详解】解：（1）∵ ，
∴则
则
是方程 的两个根，
（2） ，
∴ 或
设 的两根分别为
解得：
由三角形的三边关系可得：
而
所以
解得：
综上：k的取值范围是
故答案为：（1） ；（2）
【点睛】本题考查的是非负数的性质，高次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系，一元一次不等式
组的解法，三角形三边关系的应用，构建新的一元二次方程，再利用根的判别式与根与系数的关系解题是
关键．20．（2023春·江苏·八年级期末）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的
关系，如一元二次方程 的两实数根分别为 ，则方程可写成 ，
即 ，容易发现根与系数的关系： ．设一元三次方程
三个非零实数根分别 ，现给出以下结论：
① ，② ；③ ；④ ，其中正确的是__________
（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①③
【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为 ，
由此求解即可．
【详解】解；∵一元三次方程 三个非零实数根分别 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴①③正确，②不正确；
∵，
∴④不正确，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意
是解题的关键．
21．（2022春·八年级单元测试）对于任意实数k，方程 总有一个根
是1
(1)求实数a，b；
(2)求另一个根的范围．
【答案】(1) ， ；
(2)方程的另一个根 的范围是 ．
【分析】（1）将 代入方程有 ，根据题意知
对于任意实数k恒成立，据此可得 ；
（2）将a、b的值代入方程，并将方程变形为 ，据此可得方程的另一
个根为 ，再结合 的取值范围可得答案．
【详解】（1）解：将 代入方程有 ，
根据题意知 对于任意实数k恒成立，
∴ ，即 ，
则 ；
（2）解：由（1）知方程为 ，即 ，
所以方程的另一个实数根为 ，
当 时，∵ ，
∴ ， ；
当 时，∵ ， ，
∴ ， ；
∴方程的另一个根 的范围是 ．
【点睛】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义和解一元
二次方程的能力．
22．（2023·四川南充·统考一模）关于 的一元二次方程 中， 、 、 是
的三条边，其中 ．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是 、 ，且 ，求 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据求根公式，写出一元二次方程的 ，再根据 、 、 是 的三条边，结合
，即可解答。
（2）根据韦达定理得 ， ，再用完全平方公式化简得 ，代入
即可解答。【详解】（1）解：关于 的一元二次方程 去括号，整理为一般形式为：
，
，
、 、 是 的三条边，其中 ，
，
，
，
此方程有两个不相等的实数根；
（2） 方程的两个根是 、 ，
， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当 ，方
程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根是解题的关键．
23．（2023春·浙江·八年级期中）相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的图案，史称
“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个
数字组成的一个三行三列的矩阵其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个
数叫中心数．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为
5．
(1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______．
(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，
可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新
三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为 的4倍，且 ，求 的值．
(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一
个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中 为9个数中
的最大数，且满足 求P及 的值．
【答案】(1)
(2)15
(3) ，
【分析】（1）由题意可知， ，解方程即可．
（2）由题意新三阶幻方是由图1生成的，可得中心数 ，幻和为： ，进而可得，解方程即可．
（3）由 数中最大的数，可得 ， ， ， ，根据
， 可得 ，由 ， 得 ，可得
②由 ，得 ，进而得 ，则
带入②得 ，求得 ，进而可求得 ， ，
可得 ， ．
【详解】（1）由题意可知， ，解得 ，
故答案为：4；
（2）解：由题意得：中心数 ，幻和为： ，
又∵新三阶幻方的幻和为 的4倍，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴
（3）∵ 数中最大的数，∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即： ，
又∵ ，
∴
又∵ ①
∴ ②
又∵ ，
∴ 即
∴ ，
∴ 带入②得
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查规律型问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中
考常考题型．24．（2023春·浙江·八年级期中）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆
已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工
汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉
（每天只能生产其中一种）．
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工
汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按
售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全
部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
【答案】(1)总共生产了 袋手工汤圆
(2)促销时每袋应降价3元
【分析】（1）设总共生产了 袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出
方程即可；
（2）设促销时每袋应降价 元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．
【详解】（1）设总共生产了 袋手工汤圆，
依题意得，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
答：总共生产了 袋手工汤圆
（2）设促销时每袋应降价 元，
当刚好10天全部卖完时，
依题意得，
整理得：
，
∴方程无解
∴10天不能全部卖完
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为∴依题意得，
解得
∵要促销
∴
即促销时每袋应降价3元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，
正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论．
25．（2023春·福建南平·九年级专题练习）已知关于 的方程 有实数根．
(1)若方程的两根之和为整数，求 的值；
(2)若方程的根为有理根，求整数 的值．
【答案】(1)
(2)0或10或 或12
【分析】（1）根据关于 的方程 有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的
判别式确定 的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知 ，若方程的两根之
和为整数，即 为整数，即可确定 的值；
（2）分两种情况讨论：当 时，此时关于 的方程为 ，求解可得 ，符合题意；当
时，对于关于 的方程 可有 ，若方程的根为有理根，且 为
整数，则 为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．
【详解】（1）解：∵关于 的方程 有两个根，且为实数根，∴ ，且 ，
根据一元二次方程的根与系数的关系，可知 ，
若方程的两根之和为整数，即 为整数，
∵ ，
∴ 是整数，
∴ ，
当 时， ，不符合题意；
当 时， ， ，为整数，符合题意；
∴ 的值为 ；
（2）当 时，此时关于 的方程为 ，解得 ；
当 时，对于关于 的方程 的根为： ，
若方程的根为有理根，且 为整数，
则 为完全平方数，
设 （ 为正整数），
则： ，
∵ 为整数，
设 （ 为正整数），
∴ ，
∴ 或 或 或 ，
解得： 或 或 （不合题意，舍去）或 （不合题意，舍去）
∴ 或 ；当 时，解得 或 （舍去）；
当 时，解得 或 ，
综上所述，若方程的根为有理根，则整数 的值为0或10或 或12．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及公式法解一元二次方程等知识，
熟练掌握并灵活运用相关知识是解题关键．
26．（2023春·四川南充·九年级阆中中学校考阶段练习）已知方程 的两根是 、 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于 、 的倒数的立方．（参考公式：
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得 ，再求得 的值，进而求得
的值．
（2）先根据二次根式的性质将 化为 ，然后通分化简可得 ，最后将
代入计算即可；
（3）由题意可得新一元二次方程的两个根为 和 ，然后求得 和 的值，然
后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【详解】（1）解：∵方程 的两根是 、
∴
∴
∴ ；
（2）解：由（1）可知： ，
，
∴ （负值舍去）；
（3）解：由题意可得新一元二次方程的两个根为 和
则所以新的一元二次方程 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用、二次根式的混合运算等知
识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
27．（2023春·浙江·八年级期末）（1） 是关于 的一元二次方程 的两实根，
且 ，求 的值．
（2）已知： ， 是一元二次方程 的两个实数根，设 ， ，
…， ．根据根的定义，有 ， ，将两式相加，得
，于是，得 ．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出 ， 的值．
②经计算可得： ， ， ，当 时，请猜想 ， ， 之间满足的数量关系，并给出
证明．
【答案】（1）1；（2）① ， ；② ，证明见解析
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出 ， ．由
，可得 ，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二
次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出 ， ，进而可求出 ，
；②由一元二次方程的解的定义可得出 ，两边都乘以 ，
得： ①，同理可得： ②，再由①+②，得：
．最后结合题意即可得出
，即 ．
【详解】解：（1）∵ 是关于 的一元二次方程 的两实根，
∴ ， ，
∴ ，
整理，得： ，
解得： ， ．
当 时， ，
∴此时原方程没有实数根，
∴ 不符合题意；
当 时， ，
∴此时原方程有两个不相等的实数根，
∴ 符合题意，
∴ 的值为1；
（2）①∵ ，
∴ ．
∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，∴ ， ，
∴ ， ；
②猜想： ．
证明：根据一元二次方程根的定义可得出 ，两边都乘以 ，得： ①，
同理可得： ②，
由①+②，得： ，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义．
掌握一元二次方程 的根的判别式为 ，且当 时，该方程有两个不相等
的实数根；当 时，该方程有两个相等的实数根；当 时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程
根与系数的关系： 和 是解题关键．
28．（2023秋·重庆北碚·九年级重庆市兼善中学校考期末）对任意一个三位数 ，如果满足各个数位上的
数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“快乐数”．
例如： ，因为 ，所以 是“快乐数”．
(1)请通过计算判断 是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”；
(2)已知一个“快乐数” （ 、 、 ， 、 、 为自然数），且使关于 的一元二
次方程 有两个相等的实数根，若 ，求满足条件的所有 的值．
【答案】(1) 不是“快乐数”；最大的“快乐数”为
(2)
【分析】（1）根据“快乐数”的定义解答即可；
（2）根据“快乐数”可得出 ，根据一元二次方程根的情况可得 ，再结合及 、 、 ， 、 、 为自然数可得出 、 、 的值，最后结合“快乐数”的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 不是“快乐数”，
∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上
的数字最大为 ，
又∵ ，
∴最大的“快乐数”为 ．
（2）∵ 为“快乐数”，
∴ ，
∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： ， ， ，
∴ ，
综上所述，满足条件的所有 的值为 ．
∴满足条件的所有 的值为 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，不等式组应用．解题的关键是理解“快乐数”的定义．
29．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）定义：已知 是关于x的一元二次方程
的两个实数根，若 ，且 ，则称这个方程为“限根方程”．如：一
元二次方程 的两根为 ，因 ， ，所以一元二次方程
为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断一元二次方程 是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，且两根 满足 ，
求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，求m的取值范围．
【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析
(2)k的值为2
(3)m的取值范围为 或
【分析】（1）解该一元二次方程，得出 ，再根据“限根方程”的定义判断即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出 ， ，代入 ，即可求
出 ， ．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；
（3）解该一元二次方程，得出 或 ．再根据此方程为“限根方程”，即得出
此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出 ， 且 ，可求出m
的取值范围．最后分类讨论即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
∴ 或 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴此方程为“限根方程”；
（2）∵方程 的两个根分比为 ，∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
解得： ， ．
分类讨论：①当 时，原方程为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴此时方程 是“限根方程”，
∴ 符合题意；
②当 时，原方程为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴此时方程 不是“限根方程”，
∴ 不符合题意．
综上可知k的值为2；
（3） ，
，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴ ， 且 ，∴ ，即 ，
∴ 且 ．
分类讨论：①当 时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
②当 时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
综上所述，m的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，
理解“限根方程”的定义是解题关键．
30．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程： ．
解： ，
方程即为： ，
设 ，原方程转化为：
解得， ， ，当 时，即 ， ， ；
当 时，即 ，不成立．
综上所述，原方程的解是 ， ．
以上解方程的过程中，将其中 作为一个整体设成一个新未知数 ，从而将原方程化为关于 的一元二次方
程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程： ，若设 ，则利用“换元法”可将原方程化为关于 的方程是
______；
(2)仿照上述方法，解方程： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式由 ，得 ，再变形原方程便可；
（2）设 ，则 ，得 ，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
【详解】（1）设 ，
则 ，
可化为： ，
即 ，
故答案为： ；
（2）设 ，则 ，
原方程可化为： ，整理得 ，
，
或 ，
或 ，
当 时， ，
解得 ，
当 时， 无解 ，
检验，当 时，左边 右边，
是原方程的解，
故原方程的解为： ．
【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
