文档内容
专题01 一元二次方程的解法重难点题型专训
【题型目录】
题型一 用直接开方法解一元二次方程
题型二 用配方法解一元二次方程
题型三 用公式法解一元二次方程
题型四 用因式分解法解一元二次方程
题型五 用换元法解一元二次方程
题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型七 根据一元二次方程根的情况求参数
题型八 配方法的应用
【经典例题一 用直接开方法解一元二次方程】
【解题技巧】
x2 =n (ax+b) 2 =n(a≠0)
开平方法：对于形如 或 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知
数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.
x2 =n
形如 的方程的解法：
n>0 x=±√n
当 时， ;
当
n=0
时，
x
1
=x
2
=0
;
当n<0时，方程无实数根。
【例1】（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）若一元二次方程 的两根分别是
和 ，则 的值为（ ）
A．16 B． C．25 D． 或25
【答案】B
【分析】直接开平方得到： ，得到方程的两个根互为相反数，所以 ，解得，则方程的两个根分别是 ， ，则有 ，然后两边平方即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个根分别是 与 ，
且 ，
∴ ，
解得： ，
即方程的根是： ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】题目主要考查了解一元二次方程及一元一次方程，灵活运用一元二次方程 的两根互
为相反数是解题关键．
【变式训练】
1．（2022春·八年级单元测试）下列哪个是一元二次方程 的解（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】两边同时除以2，再两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解： ，
，，
解得， ， ，
故选：C
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，类型有： ； （ 同号且
）； ； 同号且 ．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把
系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）在平面直角坐标系 中，直线 分别与 的正半轴、 的负半
轴相交于 两点，已知 的面积等于 ，则 的值为______．
【答案】
【分析】依据题目求出 ， ，再根据 的面积等于 ，即可得出答案．
【详解】当 时，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
∵直线 分别与 的正半轴、 的负半轴相交于 两点，
∴ ，
∵ 的面积等于16，
∴ ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
故答案为： ．【点睛】此题考查了一次函数与 轴、 轴的交点问题，以及三角形面积问题，一元二次方程的解，掌握
一次函数与 轴、 轴的交点的求法是解题的关键．
3．（2023·上海·八年级假期作业）解关于 的方程： ．
【答案】 ， ．
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用直接开平方法解一元二次方程．
【经典例题二 用配方法解一元二次方程】
【解题技巧】
(x+m) 2 =n
配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为 的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；
(x+m) 2 =n
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为 的形式；
n≥0 x=−m±√n n<0
④求解：若 时，方程的解为 ，若 时，方程无实数解。
【例2】（2023春·八年级课时练习）用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A． 化为 B． 化为
C． 化为 D． 化为
【答案】D
【分析】根据配方法求解一元二次方程的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案.
【详解】∵∴
∴ ，故选项A错误，不符合题意；
∵
∴
∴ ，故选项B错误，不符合题意；
∵
∴
∴
∴ ，故选项C错误，不符合题意；
∵
∴
∴
∴ ，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的性质，从而
完成求解．
【变式训练】
3
t= √5
1．（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程 配方成 2 的形式，下列配方结果正
确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即
可求解．
【详解】解：
二次项化系数为1得：
移项得：
配方得：
整理得：
故选：D．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
2．（2022秋·河南驻马店·九年级校考阶段练习）若定义如果存在一个数i，使 ，那么当 时，
有 ，从而 是方程 的两个根．据此可知：方程 的两根为___________（根用i
表示）．
【答案】 ，
【分析】方程利用配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可．
【详解】解：方程整理，得 ，
配方得 ，即 ，
开方，得 ，
解得 ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，以及新定义的运算，读懂新定义并熟练掌握配方法解一元二
次方程是解本题的关键．3．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运
算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式： ，
解：原式
② ，利用配方法求 的最小值，
解：
∵ ，
∴当 时， 有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式： ______．
(2)用配方法因式分解： ．
(3)若 ，求 的最小值．
(4)已知 ，则 的值为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)4
【分析】（1）根据题意，由完全平方公式 ，可以知道横线上是 ，
（2）按照题干上的示例可以将 分为 ，再利用完全平方公式即可求解，
（3）根据题意的方法，先将 因式分解为完全平方的形式即 ，即可求出最小值，
（4）根据题意先将 因式分解，变成完全平方的形式即，然后得出 ， ， 的值，代入 即可求出结果．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ；
（4）解： ，
，
，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再
进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行
因式分解，也可以利用配方法求最小值，同时对于（4）中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时
为零，求出未知数的值，这一知识在数学中经常运用，要熟练掌握．
【经典例题三 用公式法解一元二次方程】
【解题技巧】
−b± √b2 −4ac
x=
公式法：一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根 2a
b2 −4ac>0
当 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；
b
x =x =−
当b2 −4ac=0时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为 1 2 2a；
b2 −4ac<0
当 时，方程无实数根.
a,b,c b2 −4ac
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定 的值；③代入 中计算其值，判
b2 −4ac≥0
断方程是否有实数根；④若 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一
元二次方程。）
【例3】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）被称为“几何之父”的古希腊数学家欧几里得，在他的 几
何原本 中，记载了用图解法解方程 的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程
的一个正根 如图，一张边长为 的正方形的纸片 ，先折出 ， 的中点 ， ，再沿过点 的直
线折叠使 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，点 在边 上，连接 ， ，则
长度恰好是方程 的一个正根的线段为（ ）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】B
【分析】设 ，则 ，从而可以用 表示等式．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面
积和，列等量关系．根据方程 解出正根为 ，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．
【详解】解：设 ，则 ．
由题意可知： ， 是 的中点，
， ．
∴ ，
，
，
．
的解为： ，
取正值为 ．
这条线段是线段 ．
故选：B．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·浙江·九年级自主招生）已知正数x，y满足方程 ，求 （ ）A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】由 ， 得出x和 的值，再代入求解即可．
【详解】解：解方程 得： ， （舍），
解方程 得： ， （舍），
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是求出x和 的值．
2．（2022春·八年级单元测试）将方程 化成一般形式为 ，则
________，此方程的根是________．
【答案】 217 或
【分析】（1）直接将 化为一般形式即可得出a、b、c，代入即可求出 的值，再
利用公式法求解即可．
【详解】解：∵
∴ ；
∴次方程的根： ，
∴ 或 ；
【点睛】本题考查用公式法解一元二次方程，熟练运用公式是解题的关键．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】运用公式法求解即可．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
，
原方程的解为： ， ；
（2）解： ， ， ，
，
，
原方程的解为： ， ．
【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式 是解题的关键．
【经典例题四 用因式分解法解一元二次方程】
【解题技巧】
因式分解法：
①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若
ab=0 a=0或b=0
，则 ；
②因式分解法的一般步骤：
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得
到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。
（5）选用适当方法解一元二次方程
①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次
根式的化简问题。
②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。
（6）解含有字母系数的方程
（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；
（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定
不要忘记对字母的取值进行讨论。
【例4】（2023·贵州遵义·统考二模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号 表示a，b中的
较大值，如： ，因此， ；按照这个规定，若 ，则x的
值是（ ）
A．5 B．5或 C． 或 D．5或
【答案】B
【分析】根据题意进行分类讨论，当 时，可得 ，求出x的值即可；当 时，可得
求出x的值即可．
【详解】解：当 时，则 ，
∴ ，即 ，解得： （不符合题意，舍去），
当 时，则 ，
∴ ，即 ，
解得： （不符合题意，舍去）， ，
综上：x的值是5或 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运
算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
【变式训练】
1．（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）若x为实数，且满足 ，
则 （ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
【答案】B
【分析】设 ，方程变形后，求出 的值，即为 的值．
【详解】解：设 ，方程变形为 ，
即 ，
解得： 或 ，
当 时，化简得， ，方程无解，
则
故选：B
【点睛】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方2．（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形 的一边长 ，另外两边的长 程特点设出相应未
知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
恰好是关于 的一元二次方程 的两个根，则 的周长为___________
【答案】15
【分析】分情况讨论：若a作为腰，则方程的一个根为6，将6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出
三角形的周长；将a作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据 求出k的值，然后将k的值代
入方程求出解，得出周长．
【详解】若 为腰，则 中还有一腰，即6是方程 的一个根．
∴
解得：
将 代入 得：
解得：． ，
此时能构成三角形， 的周长为：
若 为底，则 ，即方程 有两个相等的实根．
∴
解得：
将 代入 得：
解得：． ，
∵
∴此时不能构成三角形，不能计算周长
综上可得： 的周长为15．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按
若 是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键．特别注意验证是否能构成三角形．
3．（2022秋·八年级单元测试）对于m，n，定义：若 ，则称m与n是关于1的“对称数”．(1)填空：7与______是关于1的“对称数”； 与______是关于1的“对称数”；
(2)已知 ，其中a，b均为常数，且无论x取何值，A与B都是关于1的
“对称数”，求a，b的值；
(3)若 ，且C与D是关于1的“对称数”，求满足条件的x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)满足条件的x值为 或1
【分析】（1）根据定义计算即可；
（2）根据定义得到 ，整理得 ，再根据a，b均为常数，
且无论x取何值，A与B都是关于1的“对称数”，得到 即可；
（3）根据定义得到 ，解方程即可．
【详解】（1）解：根据关于1的“对称数”的定义，
得 ，
故答案为： ；
（2）根据题意，得 ，
即 ，
∴ ，
整理得 ，
∵a，b均为常数，且无论x取何值，A与B都是关于1的“对称数”，
∴ ，
解得 ；
（3）∵C与D是关于1的“对称数”，
∴ ，
整理，得 ，解得 或 ，
∴满足条件的x值为 或1．
【点睛】此题考查了新定义，解一元二次方程，因式分解的应用，正确理解新定义并灵活应用是解题的关
键．
【经典例题五 用换元法解一元二次方程】
【解题技巧】
把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法；换元的实质转化，
关键是构造圆和设元
【例5】（2021秋·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考阶段练习）若实数 满足方程
，那么 的值为（ ）
A． 或5 B．5 C． D．3或
【答案】B
【分析】设 ，然后将原方程变形，利用因式分解法解方程求出y的值，即可得到 的可能
取值，再分情况利用根的判别式判断是否符合题意即可．
【详解】解：设 ，
则原方程变为 ，
整理得： ，
因式分解得 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
当 时，即 ，
整理得 ，
∵ ，∴方程有实数根，符合题意，
当 时，即 ，
整理得 ，
∵ ，
∴方程没有实数根，不符合题意，
∴ 的值为5，
故选：B．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，根的判别式的意义，一元二次方程 的根
与 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数
根；当 时，方程无实数根．
【变式训练】
1．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级新疆师范大学附属中学校考阶段练习）已知x为实数，且
，则 的值为（ ）
A．4 B．4或 C． D． 或3
【答案】A
【分析】设 ，然后将原方程变形，利用因式分解法解方程求出y的值，即可得到 的可能取值，
再分情况利用根的判别式判断是否符合题意即可．
【详解】解：设 ，
则原方程变为 ，
整理得： ，
因式分解得 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
当 时，即 ，
整理得 ，∵ ，
∴方程有实数根，符合题意，
当 时，即 ，
整理得 ，
∵ ，
∴方程没有实数根，不符合题意，
∴ 的值为4，
故选：A．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，根的判别式的意义，一元二次方程 的根
与 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数
根；当 时，方程无实数根．
2．（2023春·浙江温州·八年级温州市第十二中学校考期中）已知方程 的根为 ， ，
则方程 的根是________．
【答案】 ，
【分析】设 ，可得 ，根据 的根为 ， ，可得 或
，即可得到答案；
【详解】解：设 ，可得 ，
∵ 的根为 ， ，
∴ 或 ，
解得： ， ，
故答案为 ， ；
【点睛】本题考查换元法求方程的解，解题的关键是设 ，得到 ，结合方程的根为 ， ．
3．（2023春·八年级单元测试）（换元法）解方程：
解：设 则原方程可化为
解得：
当 时， ，解得
当 时， ，解得
∴原方程的根是 ，
根据以上材料，请解方程：
(1) ．
(2)
【答案】(1)原方程的根是 ；
(2)原方程的根是 ．
【分析】(1)设 ，则原方程可化为 ，解得 的值，即可得到原方程的根；
(2)设 ，则原方程可化为 ，解得 的值，检验后即可得到原方程的根．
【详解】（1）设 ，则原方程可化为
解得∶
当 时， ，解得
当 时， ，方程无解
原方程的根是 ；（2）设 ，则原方程可化为
去分母，可得
解得
当 时， ，解得
当 时， ，方程无解
经检验∶ 都是原方程的解
原方程的根是 ．
【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整
体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】
【解题技巧】
了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意
的参数取值范围。
Δ b2 −4ac
（1） =
ax2 +bx+c=0 a≠0
（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程 （ ）
{a≠0¿¿¿¿
①当 方程有实数根；
⇔
{a≠0¿¿¿¿ {a≠0¿¿¿¿
（当 方程有两个不相等的实数根；当 方程有两个相等的实数根；）
⇔ ⇔
{a≠0¿¿¿¿
②当 方程无实数根；
⇔
从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。
【例6】（2023·山东日照·统考三模）对于函数 ，规定 ，例如若 则有 ，已知函数 ，则方程 的解的情况是
（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【分析】根据规定将方程 转化为一般式，再由根的判别式判断即可．
【详解】解：根据题意：
，
由： ，
故： ，
即： ，
，
没有实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用根的判别式来判断方程根的情况，解题的关键是：要理解规定的内容，将函数转
化为一般式后，方程就为一元二次方程再解即可．
【变式训练】
1．（2023·河北衡水·校联考二模）若 是一元二次方程 的一个根，那么方程
的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】B
【分析】先将 代入 中得到 ，再根据一元二次方程根的判别式进行求
解即可得出结论．【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个根，
∴ ，即 ，
对于方程 ，
∵ ，
∴方程 有两个实数根，故选项A、C、D错误，不符合题意；
当 时， ，即 是方程 的一个根，故选项B正确，符合题
意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握
一元二次方程 根的情况与根的判别式 的关系：当 时，方程有两个不相等的
实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
2．（2021秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）若（a2﹣2a）2﹣9＝0，则代数式a2﹣2a的值为_____．
【答案】3
【分析】设a2﹣2a＝x，可得x＝±3，然后分情况讨论，注意运用根的判别式进行验证．
【详解】解：（a2﹣2a）2﹣9＝0，
设a2﹣2a＝x，则原方程化为：x2﹣9＝0，
解得：x＝±3，
当x＝3时，a2﹣2a＝3，解得：a＝2或﹣1；
当x＝﹣3时，a2﹣2a＝﹣3，
a2﹣2a+3＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，此方程无解；
所以a2﹣2a的值是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法以及根的
判别式是解本题的关键．
3．（2023·广东广州·校考一模）已知关于x的一元二次方程 ，其中a、b、c分别
为 三边的长．(1)如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由．
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由．
(3)如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】(1)等腰三角形，见解析
(2)直角三角形，见解析
(3)x=0，x=-1
1 2
【分析】（1）将 代入方程中，然后化简得出 ，即可判断 的形状；
（2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，可用 建立方程，即可得出 ，即可判断
的形状；
（3）由等边三角形的性可得 ，再代入 化简可得 ，然后运用因
式分解法求解即可．
【详解】（1）解： 是等腰三角形，理由如下：
∵当 时，由方程的解得意义可得： ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
（3）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴原方程可化为： ，即： ，
∴ ，
∴ ，
∴这个一元二次方程的根为 ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式、勾股定理逆定理、等边三角形的性质等知识
点，根据已知条件确定适当的等量关系是解题关键．
【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】
【例7】1（2023·宁夏银川·校考一模）已知关于 的方程 有实数根，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】B
【分析】根据题设“关于 的方程”，得：二次项系数 可以等于0，所以要分“当 时”、“当
”时两种情况讨论即可．
【详解】解：当 时，原方程可整理得： ，符合题意；
当 时，∵关于 x 的方程kx2+4x-1=0有实数根，得：
，
解得： ．
综上所述： ．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，正确掌握根的判别式公式和一元二次方程的定义
是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】B
【分析】根据关于x的一元二次方程 有两个实数根知 ，
据此得出a的范围，再结合一元二次方程的定义可得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，解得， ，
又∵ ，
∴ 且 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，一元二次方程 的根与
有如下关系：①当 时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程有两个相等的实
数根；③当 时，方程无实数根．
2．（2023·山东济南·统考三模）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则a的最大
整数解是______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到 ，再解不等式，然后在a的
取值范围找出最大的整数即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ，
所以a的最大整数解为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
3．（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程 ．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．
【答案】(1)见解析
(2) 或3，当 时，方程的解为 ；当 时，方程的解为
；【分析】（1）先得出一元二次方程根的判别式，再证明判别式大于0即可解答；
（2）令判别式等于5求得 或3，然后分 和 两种情况，分别代入方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：令 ，则 ，解得： 或3
当 时，原方程可化为：
∴
∴ ；
当 时，原方程可化为：
∴
∴ ；
综上，当 时，方程的解为 ；当 时，方程的解为
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，由方程根的情况得到判别式
的符号是解题的关键．
【经典例题八 配方法的应用】
【例8】（2023春·山东威海·八年级统考期中）已知 ， ，下列结论正确的是
（ ）
A． 的最大值是0 B． 的最小值是C．当 时， 为正数 D．当 时， 为负数
【答案】B
【分析】利用配方法表示出 ，以及 时，用含 的式子表示出 ，确定 的符号，进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
；
∴当 时， 有最小值 ；
当 时，即： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 是非正数；
故选项 错误，选项 正确；
故选B．
【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考阶段练习）已知实数 ， ， 满足
， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 变形得 ，代入 中得到 ，再进
行配方，根据非负数的性质即可得到答案．
【详解】故选：A．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键．
2．（2023春·江苏南通·九年级校联考阶段练习）若实数x，y满足关系式 ，则 的最大
值为______．
【答案】4
【分析】将 适当变形得到用含有x的代数式表示 的形式，再利用配方法变形后，根据
x的取值范围即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∵∴
∴当 时 的最大值为 ．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了代数式的极值、配方法等知识点，利用配方法对式子灵活变形是解题的关键．
3．（2023·江苏扬州·统考二模）（1）数学活动小组在研究函数 的图像时提出了下列问题：
①函数 的自变量x的取值范围是 ；
②容易发现，当 时， ；当 时， ．由此可见，图像在第 象限；
③阅读材料：当 时， ．
当 时，即 时， 有最小值是2．
请仿照上述过程，求出当 时， 的最大值；
（2）当 时，求 的最小值；
（3）如图，四边形 的对角线 ， 相交于点 ， 、 的面积分别为4和9，求四边形
面积的最小值．
【答案】（1）① ；②一、三；③当 时， 的最大值为 ；（2）最小值为11；（3）25
【分析】（1）①根据分母不为0即可求解；②根据当 时， ；当 时， 即可判断；③模
仿求解过程，利用配方法即可求解；
（2）将 的分子分别除以分母，展开，将含 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数
即可；（3）设 ，已知 ， ，则由等高三角形可知： ，用含
的式子表示出 ，四边形 的面积用含 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，
加上常数即可．
【详解】解：（1）①函数 的自变量x的取值范围为： ；
②容易发现，当 时， ；当 时， ．
由此可见，图像在第一、三象限；
③当 时， ；
当 时，
当 时， 的最小值为2；当 时， 的最大值为 ．
故答案为：① ；②一、三；③当 时， 的最大值为 ；
（2）由 ，
，
，
当 时，最小值为11．
（3）设 ，已知 ，
则由等高三角形可知：四边形 面积
当且仅当 时取等号，即四边形 面积的最小值为25．
【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题
难度中等略大，属于中档题．
【重难点训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）解一元二次方程 时，配方后得到方程 ，则c
等于（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
【答案】C
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而求
得c.
【详解】解： ，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解答
关键.
2．（2023·吉林长春·统考二模）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值
是（ ）
A． B．0 C．4 D．8
【答案】C【分析】根据一元二次方程 有两个相等的实数根得出 ，求解即可得到答
案．
【详解】解： 一元二次方程 有两个相等的实数根，
，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程 （ 为常数， ），
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程无实数根．
3．（2023·浙江金华·校联考二模）若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围
是 （ ）．
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】关于x的一元二次方程 有实数根，则 ，且 ，求出k的取值范围
即可．
【详解】关于x的一元二次方程 有实数根，
则 ，且 ，
∴ ，
解得： 且 ，
故选：C．
【点睛】本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）代数式 的最小值为（ ）．
A． B．0 C．3 D．5
【答案】A
【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．
【详解】代数式∵ ，
∴ 即代数式 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，
从而完成求解．
5．（2023·河北沧州·模拟预测）已知直线 与双曲线 只有一个交点，将直线向上平移1
个单位长度后与双曲线相交于 ， 两点， ，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可列方程 ，化为整式方程为 ，再根据题意可知 ，即
，可得双曲线 ；然后再求得平移后直线解析式为 ；然后再列方程组
求得 、 ，最后根据 即可确定点A的坐标．
【详解】解：∵ ，
∴ ,
∵直线 与双曲线 只有一个交点，
∴ ，解得: ，
∴双曲线 ，
将直线 向上平移1个单位长度后得 ，解方程组： ，解得： ， ，
∵ ，
∴ , ．
故选A．
【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的交点问题、直线的平移、一元二次方程根的判别式等知识点，根
据直线 与双曲线 只有一个交点确定k的值是解答本题的关键．
6．（2023·河北邯郸·统考一模）在讲解一元二次方程 时，老师故意把常数项“□”空下了，
让同学们填一个正整数，使这个一元二次方程有两不等实根，问大家其中所填的值可能有（ ）
A．6个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】B
【分析】设常数项为a，根据一元二次方程有两不等实根，可得判别式 ，求出a的取值范围即可得出
结果．
【详解】解：设常数项为a，
∵一元二次方程 有两不等实根，
∴ ，
∴ ，
∵a为正整数，
∴常数项有8种可能的值，
故选：B．
【点睛】本题考查根的判别式与一元二次方程的系数的关系，熟练掌握一元二次方程有两不等实根，
是解题的关键．
7．（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）若关于 的方程 有四个不相等的
实数根，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】原方程整理得 ，得到 或 ，根据题意得 ，解不
等式组即可求解．
【详解】解：原方程整理得 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∵关于 的方程 有四个不相等的实数根，
∴ ，
解得， ，
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解法解方程，解不等式组，把 当作整体进行因式分解是解题的关键．
8．（2023春·浙江舟山·八年级校联考期中）对于一元二次方程 ，有下列说法：
①若方程 有两个不相等的实数根，则方程 必有两个不相等的实数根；
②若方程 有两个实数根，则方程 一定有两个实数根；
③若c是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】①根据根的判别式直接求解即可；
②根据一元二次方程的定义直接判断即可，需使二次项系数不为零才有两个实根；
③将根代入方程中，直接解方程即可；
④根据一元二次方程根的定义，将根直接代入方程求解即可．
【详解】①若方程 有两个不相等的实数根，则 ，则方程 中， ，因此必有两个不相等的实数根；故正确；
②若方程 有两个实数根，则 ，
则方程 中，若 ，则不是一元二次方程；故错误；
③若c是方程 的一个根，则 ，
，则 或 ；故错误；
④若 是一元二次方程 的根，则 ，
将 化简为： ；故错误；
故选：A
【点睛】此题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式，解题关键是出现方程的根时，直接代入方程即
可．
9．（2023春·北京房山·八年级统考期末）关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取
值范围是_________．
【答案】 /
【分析】一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，方程有两个不相
等的两个实数根；当 时，方程有两个相等的两个实数根；当 时，方程无实数根．利用判别式的
意义得到 ，然后解 的不等式即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次不等式，理解并掌握一元二次方程的根的
判别式的意义是解题关键．
10．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则 的值为______．
【答案】 或
【分析】根据一元二次方程的定义求出 的值，根据两个相等的实数根（ ）求出 的值，然后相加即可；
【详解】解： 为一元二次方程，
， ，
解得： ，
方程为： ，
又 有两个相等的实数根，
，
即： ，
解得： ，
或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，熟练理解定义是解题关键．
11．（2023·山东青岛·统考二模）用配方法解一元二次方程 时，将它化为 的形式，
则 的值为______．
【答案】
【分析】对 用配方法处理化为 的形式即可．
【详解】解： 进行移项得 ，
二次项系数化为1得 ，
配成完全平方式得 ，即 ，
因为用配方法解一元二次方程 时，将它化为 的形式，
所以 ， ，则 ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的配方法等知识，灵活掌握一元二次方程的配方法过程是解题的
关键．12．（2022春·八年级单元测试）已知 ，则 的值是_____．
【答案】
【分析】把已知条件式相加得到 ，利用非负数的性质求出a、b、c的值即可
得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确根据已知条件式推出 是解题的
关键．
13．（2023·江苏·九年级假期作业）用适当的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)(4)
【分析】使用直接开平方法、因式分解法求出方程的解．
【详解】（1）解：
① ，② ，
解得： ；
（2）解：
解得： ；
（3）解：整理得：
，
，
解得： ；
（4）∵
∴原方程是一元二次方程，
，
，
解得： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择是解题的关键．
14．（2023·北京大兴·统考二模）已知关于x的方程 ．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得 ，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出 ， ，根据方程有一根小于1，即可得出 的取
值范围．
【详解】（1）解∶ ∵
∴方程总有两个实数根．
（2）解：由求根公式，得
∴ ， ，
依题意可得 ．
【点睛】本题考查了根的判别式、公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程表示出方程的两个
根，熟练掌握当 时，方程有两个实数根是解题关键．
15．（2023·贵州贵阳·校考一模）（1）已知不等式 ，请你写出一个不等式______，使它与
已知不等式组成的不等式组的解集为 ．
（2）在数学活动课上，老师出了一道一元二次方程的试题：“ ”让同学们解答，甲、乙两
位同学的做法如下：
甲同学 乙同学
解：原方程可化为： ， 解：原方程可化为： ，
当 时，解得 ， ，
当 时，解得 ， ，
∴ ， ． ∴ ，∴ ， ．
小组在交流过程中发现甲、乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的做法有误______（填“甲”或
“乙”），并根据该同学使用的方法写出正确的解答过程．
【答案】（1） ；（2）乙，正确的解答过程见解析
【分析】（1）先求出不等式 的解集为 ，再根据不等式组的解集为 ，只需要
写出一个解集为 的不等式即可；
（2）乙同学在移项的时候3没有变号，导致后续计算结果错误；利用配方法进行求解即可．
【详解】解：（1）解不等式 ，得 ，
∵不等式组的解集为 ，
∴不等式可以是 ．
（2）乙，正确的解答过程如下：
原方程可化为： ，
，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根据不等式组的解集求不等式的解集等等，灵活运用所学知识
是解题的关键．
16．（2022春·八年级单元测试）已知关于 的方程 ．
(1)求证：无论 取什么数，方程总有两个实数根；
(2)若已知方程有一个实数根是 ，试求出另一个实数根．
【答案】(1)见解析
(2)方程的另一个实数根是
【分析】（1）根据根的判别式进行判断即可；
（2）把 代入方程，求出m的值，再把m的值代入原方程，解方程即可．【详解】（1）证明：关于 的方程 中， ， ， ，
则
，
∴无论 取什么数，方程总有两个实数根；
（2）解：把 代入方程得： ，
解得： ，
把 代入原方程得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
∴方程的另一个实数根是 ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
的根与 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，
方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
17．（2023春·浙江·七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算
和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： ，解：原式
② ，利用配方法求M的最小值：
解：因为 ，所以当 时，M有最小值5
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式 ；
(2)用配方法因式分解 ；
(3)若 ，求M的最小值．
【答案】(1)16
(2)
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次项系数一半的平方即可；
（2）利用配方法分解因式即可；
（3）利用配方法得到 ，然后根据非负数的性质确定M的最小值．
【详解】（1）解： ，
故答案为：16；
（2）解：
；
（3）解：∵ ，
∴当 时，M有最小值 ．
【点睛】本题考查了因式分解−配方法等，熟练掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解决问题的关
键．
18．（2023春·广东深圳·八年级深圳市南山外国语学校校联考期中）阅读材料：
①用配方法因式分解： ．
解：原式
．
②若 ，利用配方法求M的最小值．
解： ．
∵ ， ，
∴当 时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式： _____=______．
(2)用配方法因式分解： ．
(3)若 ，求M的最大值．
【答案】(1)4；(2)
(3)M的最大值3
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半的平方进行配方即可求解；
（2）将143化成 ，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）先提取 ，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
故答案为：4；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵ ，
∴当 时，M有最大值，最大值为3．
【点睛】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键．
19．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c
是 和 边长，易知 ，这时我们把关于x的形如 的一元二次方
程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
(3)若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是 ，求
面积．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)证明见解析
(3)1
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式 的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得 的值，根据完全平方公式求得 的值，从而可求得
面积．
【详解】（1）解：当 ， ， 时勾系一元二次方程为 ；
（2）证明：根据题意，得 ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴勾系一元二次方程 必有实数根；
（3）解：当 时，有 ，即 ，
∵四边形 的周长是 ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判
别式，正确读懂题意是解题的关键．
20．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上
的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为
“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所
满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m
是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121
(2)mn＝1
(3)121，242，363，484
【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定
义即可得出答案．
【详解】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121．
故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（ ）2+b（ ）+c＝0，
∴将m、 看成是方程ax2+bx+c的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
∴m＝ ，即mn＝1；
故答案为：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．
21．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程
(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB0，AB=m+1>0．
∴m>-1．
∵BC= ，△ABC是直角三角形，
∴当BC为斜边时，有 ，
解这个方程，得 (不符合题意，舍去)， ；
当AC为斜边时，有 ，
解这个方程，得 ．
综上所述，当m=0或m=1时，△ABC是直角三角形．【点睛】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，熟
练运用勾股定理进行分类讨论．
22．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读：根据二次根式的性质，有： ．根据这一性质，
我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果．
如：在实数范围内化简 ．
解：设 （ ， 为非负有理数），则 ．
∴
由①得， ，代入②得： ，解得 ，
∴ ，
∴
请根据以上阅读理解，解决下列问题：
(1)请直接写出 的化简结果是__________；
(2)化简 ；
(3)判断 能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的解法进行求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的解法进行求解；
（3）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的根的判别式求解．【详解】（1）解：
＝
＝
＝
＝ ．
故答案为： ；
（2）设 （ ， 为非负有理数），则 ，
∴ ，
由①得， ，代入②得： ，
解得 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）不能，理由如下：
设 （ ， 为非负有理数），则 ，
∴ ，
由①得， ，代入②得： ，
即： ，，
∴关于 的一元二次方程 无解，
∴不能按照上面的方法化简．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，一元二次方程的解法和根的判别式，掌握
以上知识点是解题的关键．
