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专题02 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训
【题型目录】
题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值
题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值
题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值
题型四 构造一元二次方程求代数式的值
题型五 由两根关系求方程字母系数
题型六 根与系数关系的新定义问题
题型七 一元二次方程根与系数的关系综合
【知识梳理】
如果一元二次方程 （ ）的两根为 那么，就有
比较等式两边对应项的系数，得
①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．
因此，给定一元二次方程 就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数 满足①与②，
那么这两数 必是一个一元二次方程 的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．
利用根与系数的关系，我们可以不求方程 的根，而知其根的正、负性．
在 的条件下，我们有如下结论：
当 时，方程的两根必一正一负．若 ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若 ，则此
方程的正根小于负根的绝对值．
当 时，方程的两根同正或同负．若 ，则此方程的两根均为正根；若 ，则此方程的两根
均为负根．
⑴ 韦达定理（根与系数的关系）：
如果 的两根是 ， ，则 ， ．(隐含的条件： )
⑵ 若 ， 是 的两根(其中 )，且 为实数，当 时，一般地：
① ，
② 且 ，
③ 且 ，
特殊地：当 时，上述就转化为 有两异根、两正根、两负根的条件．
⑶ 以两个数 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是： ．
⑷ 其他：
① 若有理系数一元二次方程有一根 ，则必有一根 ( ， 为有理数)．② 若 ，则方程 必有实数根．
③ 若 ，方程 不一定有实数根．
④ 若 ，则 必有一根 ．
⑤ 若 ，则 必有一根 ．
⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面：
① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；
② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；
③ 已知方程的两根，求作方程；
④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；
⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一
元二次方程的两根，以便利用韦达定理；
⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的 ．一些考试中，往往利用这一
点设置陷阱．
【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（2023·天津河北·统考二模）已知一元二次方程 有两个实数根 ，则
的值为（ ）
A．6 B．2 C．4 D．3
【答案】B
【分析】先根据根与系数的关系得 ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得 ，
所以 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根时，
．
【变式训练】1．（2023·湖北武汉·统考二模）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值是
（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】先将 化简，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到 的值，从而得到答
案．
【详解】解：根据题意可得：
，
， 是一元二次方程 的两根，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的
关系，是解题的关键．
2．（2023·江西景德镇·统考二模）已知 ， 是方程 的两个根，则 的值为______．
【答案】
【分析】先把方程转化为一般式，再根据根与系数的关系得到 ， ，再把 进行通
分得到 ，再利用整体代入进行计算即可．
【详解】解： 转化为一般式为： ，
根据题意可得： ， ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、整体代入求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的
关系得到 ， 是解题的关键．
3．（2022春·八年级单元测试）已知 ， 是方程 的两实数根，求：
(1) ，
(2) 的值．
【答案】(1)10
(2)30
【分析】（1）由 ， 是方程 的两实数根，得出 ， ，由
，代入相关数据即可得；
（2） 代入即可．
【详解】（1）解：∵ ， 是方程 的两实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， 是方程 的两实数根，∴ ， ，
∴ ；
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟记 ， 解题关键．
【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】
【例2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则
的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程根与系数关系得到 ， ，再化简分式代值求解即可．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴
，故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、分式的化简求值，解答的关键是正确化简分式，熟知一元
二次方程根与系数的关系：设一元二次方程 的两个根为 、 ，则 ， ．
【变式训练】
1．（2023·内蒙古包头·二模）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则代数式
的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得 ，根据一元二次方程根的定义得 ，由
，整体代入求解即可．
【详解】解： ， 是一元二次方程 的两个实数根，
， ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握
一元二次方程根与系数的关系．
2．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则
___________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，以及根与系数的关系，进行求值即可．
【详解】解：∵a，b是方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，∴
∴
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，利用整体思想求代数式的
值，是解题的关键．
3．（2023·湖北襄阳·统考一模）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为 ，且满足 ．求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程有实数根，得到 ，进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，利用整体思想代入求值即可.
【详解】（1）由题意得， ．
解得： ；
（2）解：由一元二次方程根与系数关系可得 ．
∵ ，
∴ ．
解得： ．∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解决问题的关键是掌握一元二次方程判别式
与方程根的情况的对应以及一元二次方程根与系数关系．
【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】
【例3】（2022秋·浙江温州·八年级校考阶段练习）已知 是方程 的两根，则
的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出 ， ， ， ，
再对所求式子变形整理，求出答案即可．
【详解】解：∵ 是方程 的两根，
∴ ， ， ， ，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程 （a、b、c
为常数， ）的两根为 ， ，则 ， ．
【变式训练】
1．（2022秋·四川达州·九年级校联考期末）设 ， 是一元二次方程 的两根，则
等于（ ）
A．1 B．5 C．11 D．13
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系得到： ，以及方程的根的定义得到：
，将 进行转化计算即可．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系．熟练掌握方程的根是使方程成立的未知
数的值，利用整体思想进行化简，是解题的关键．
2．（2023·江苏苏州·校考二模）如果一元二次方程 的两个根为 ， ，则
_____．
【答案】
【分析】将 代入方程可得 ，利用一元二次方程根与系数的关系求得 和 的值；再
将所求代数式提取公因式后代入求值即可；
【详解】解：∵ 是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
由一元二次方程根与系数的关系可得：
， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了方程的根的意义，因式分解；掌握一元二次方程 的两根 ， 满足
， 是解题关键．3．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校考期中）已知a，b是方程 的两个不相等的
实根，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3)
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）由根与系数的关系得出 ，整体代入 计算可得；
（2）将原式展开整理成 ，再将 、 的值整体代入计算可得；
（3）由a是方程的一个根得到 ，将原式整理成 ，再将 、 的值
整体代入计算可得．
【详解】（1）解：∵a、b是方程 的两个不相等的实根，
∴ ，
则 ；
（2）解：由（1）得 ， ，
∴
；（3）解：由（1）得 ，
∵a是方程 的根，
∴ ，即 ，
∴
．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握 是一元二次方程 的
两根时， ， ．
【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】
【例4】（2022秋·四川眉山·九年级校考期中）已知实数a、b满足 ，且 ，则
的值（ ）
A．0 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据题意可知a、b是一元二次方程 的两个不相等实数根，再由根与系数的关系可得
，再将 进行变形，然后代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴a、b是一元二次方程 的两个不相等实数根，
∴ ，∴
故选：B
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的解、根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合
解题是一种经常使用的解题方法．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·八年级期中）若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程
的两根分别是（ ）．
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程 的另一个根，设 ，根据方
程 的根代入求值即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程 的一个根为m，设方程另一根为n，
∴ ，
解得： ，
设 ，方程 变形为 ，
由一元二次方程 的根可得，
， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形
方程代入求解．2．（2023春·山东枣庄·九年级校联考阶段练习）已知实数 、 满足 ， ，则
_______．
【答案】 或
【分析】实数 、 满足等式 ， ，①当 时， ， 可能是方程
的同一个根，两数相等；②当a≠b时，由根与系数的关系，得 ， ，把代数式变形成与两根
之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，即可求得代数式的值．
【详解】解：①当 时，原式 ．
②当 时，可以把 ， 看作是方程 的两个根．
由根与系数的关系，得 ， ．
∴ ．
故本题答案为： 或 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的应用以及分类讨论思想的运用．此题综合性较强，特别注意不
要漏掉“ ”的情况．
3．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题：
已知实数 ， 满足 ， ，且 ，则 ， 是方程 的两个不相等的
实数根，由韦达定理可知 ， ．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：已知实数 ， 满足： ， ，且 ，则 _____，
______；
(2)间接应用：在（1）条件下，求 的值；
(3)拓展应用：已知实数 ， 满足： ， 且 ，则 ______．
【答案】(1) ；
(2)
(3)【分析】（1）利用韦达定理直接求解；
（2）对 进行通分，然后利用韦达定理求解；
（3）令 ，则由题得 ， ，且 ，利用韦达定理可求 的值，进而求解
．
【详解】（1）解： ， ，且 ，
， 是方程 的两个不相等的实数根，
， ．
故答案为：7，1；
（2）解： ， ，
．
（3）解：由 ，得 ．
令 ，则由 ，得 ．
由 ，得 ，即 ．
， ，且 ，
， 是方程 的两个不相等的实数根，
，即 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，韦达定理的应用，熟练掌握韦达定理的原理是解题的关键．
【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】【例5】（2022秋·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中）等腰三角形的三边长分别为 ， ，
1，且关于 的一元二次方程 的两个根是 和 ，则 的值为（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．1且2
【答案】C
【分析】分1为底边长或腰长两种情况考虑：当1为底时，由 及 即可求出 、 的值，利用
三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系找出 即可；当1为腰时，则 、
中有一个为1，则另一个为3，由1、1、3不能围成三角形可排除此种情况．综上即可得出结论．
【详解】解：当1为底边长时，则 ， ，
．
，2，2能围成三角形，
，
解得： ；
当1为腰长时， 、 中有一个为1，则另一个为3，
，1，3不能围成三角形，
此种情况不存在．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分1为底边长或腰长两
种情况考虑是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·山东日照·统考二模）关于 的方程 有实数根，方程的两根分别是 、 ，且
，则 值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据韦达定理可知 ， ，利用完全平方公式可得，整体代入解方程即可．
【详解】解： 关于 的方程 有实数根，方程的两根分别是 、 ，
， ，
，
，
，
，
整理得： ，
解得 ，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、解一元二次方程，掌握根与系数的关系并利用完全平方公式变形是
解题关键．
2．（2023春·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）已知关于 的方程 的两
实数根为 、 ，若 ，则 _____．
【答案】 /0.8
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，代入 得到，解这个一元一次方程即可得到答案．
【详解】解：∵关于 的方程 的两实数根为 、 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系
是解决问题的关键．
3．（2023·北京石景山·统考二模）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若 ，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）利用根的判别式进行证明即可；
（2）设方程的两个根分别为 ，利用根与系数的关系得到 ，由此建立关于m的方程求解
即可．
【详解】（1）证明：由题意得，
，
∴关于 的一元二次方程 总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两个根分别为 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键．
【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】
【例6】（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有
，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如： ．
若关于x的方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入
手，即可解决．
【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴ ．
整理得， ．
∵方程有两个实数根，
∴判别式 且 ．由 得， ，
解得， ．
∴k的取值范围是 且 ．
故选：C
【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题
的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目
容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
【变式训练】
1．（2023·河北·模拟预测）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”： ，例如：
．若m，n是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A． B．-3 C． D．
【答案】D
【分析】先根据新定义得到原方程即为 ，再根据根与系数的关系得到 ，
最后代值计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵m，n是方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，正确根据题意得到 是解题的关键．
2．（2022秋·湖南衡阳·九年级校联考期末）已知对于两个不相等的实数 、 ，定义一种新的运算：
，如 ，已知 ， 是一元二次程 的两个不相等的
实数根，则 _______．
【答案】
【分析】首先根据韦达定理求解两根之和与两根之积，然后代入原式根据定义进行求解．
【详解】由 ， 是 的两个不相等的实数根可得： ，
故
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（也叫韦达定理），实数的定义新运算，此类题型一定
要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．3．（2023春·福建南平·九年级专题练习）阅读材料：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我
们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造闭法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数 、 满足 、 ，且 ，则可将
、 看作是方程 的两个不相等的实数根．
方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数 、 满足 、 ，则可以将 、 看作是方
程 的两实数根．
根据上述材料解决下面问题：
(1)已知一元二次方程 的两根 ， ，则 ______， ______；
(2)已知实数 满足 ， ，求 的值．
(3)已知实数 满足 、 ，且 ，求c的最大值．
【答案】(1) ；
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据根与系数关系 、 ，结合一元二次方程 直接求解即可得
到答案；
（2）当 时， 、 是方程 的两根，利用根与系数的关系可求得 和 的值，然后
利用整体代入的方法计算原式的值；当 时，易得原式 ；
（3）将 、 看作是方程 的两实数根；利用判别式的意义得到△
，所以 ，解得 ，从而得到 的最大值．
【详解】（1）解： 一元二次方程 的两根 ， ，
， ；
（2）解：当 时，实数 、 满足 ， ，
、 可看作方程 的两根，
， ，
原式 ，
当 ，则原式 ；
综上所述，原式的值为 或2；
（3）解： ， ，
将 、 看作是方程 的两实数根，
△ ， ，即 ，
，
，即 ，
的最大值为1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根
时， ， ，也考查了一元二次方程根的判别式，灵活应用根与系数的关系是解决关键．
【经典例题七 一元二次方程根与系数关系的综合】
【例7】（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x，
1
x，且x＜1＜x，那么a的取值范围是（ ）
2 1 2
A．﹣ ＜a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．﹣ ＜a＜0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x＜1＜x，
1 2
即（x-1）（x-1）＜0，xx-（x+x）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．
1 2 1 2 1 2【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且△＞0，
由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，
解得 ，
又∵x＜1＜x，
1 2
∴x-1＜0，x-1＞0，
1 2
那么（x-1）（x-1）＜0，
1 2
∴xx-（x+x）+1＜0，
1 2 1 2
，xx=9，
1 2
即 ，
解得 ，
综上所述，a的取值范围为： .
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.掌握相关知识是关键：（1）△＞0⇔方程
有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．根与系数
的关系为： .
【变式训练】
1．（2023春·浙江·八年级期末）若方程 的两个不相等的实数根 满足
，则实数p的所有值之和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到 ， ，进而
推出 ，则 ， ，即可
推出 ，然后代入 ， 得到
，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．
【详解】解：∵ 是方程 的两个相等的实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 不符合题意，
∴
∴符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，熟知一元
二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
2．14．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如果关于x的一元二次方程 有两个实数
根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，
正确的有_____（填序号）．
①方程 是“倍根方程”；
②若 是“倍根方程”，则 ；
③若 满足 ，则关于x的方程 是“倍根方程”；
④若方程 是“倍根方程”，则必有 ．
【答案】②③④
【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；
②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；③当 满足 时，有 ，求出两个根，再根据 代入可得两个根
之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当 或 时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【详解】①解方程 ，得 ，
，
方程 不是“倍根方程”．故①不正确；
② 是“倍根方程”，且 ，
因此 或 ．
当 时， ，
当 时， ，
，故②正确；
③ ，
，
，
，
因此 是“倍根方程”，故③正确；
④方程 的根为 ，
若 ，则 ，
即 ，，
，
，
，
，
若 ，则 ，
，
，
，
，
．故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根
方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
3．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）定义：已知 是关于x的一元二次方程
的两个实数根，若 ，且 ，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程
的两根为 ，因 ， ，所以一元二次方程
为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程 是否为“限根方程”，并说明理由；(2)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，且两根 满足 ，
求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，求m的取值范围．
【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析
(2)k的值为2
(3)m的取值范围为 或
【分析】（1）解该一元二次方程，得出 ，再根据“限根方程”的定义判断即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出 ， ，代入 ，即可求
出 ， ．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；
（3）解该一元二次方程，得出 或 ．再根据此方程为“限根方程”，即得出
此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出 ， 且 ，可求出m
的取值范围．最后分类讨论即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
∴ 或 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴此方程为“限根方程”；
（2）∵方程 的两个根分比为 ，
∴ ， ．∵ ，
∴ ，
解得： ， ．
分类讨论：①当 时，原方程为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴此时方程 是“限根方程”，
∴ 符合题意；
②当 时，原方程为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴此时方程 不是“限根方程”，
∴ 不符合题意．
综上可知k的值为2；
（3） ，
，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴ ， 且 ，
∴ ，即 ，∴ 且 ．
分类讨论：①当 时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
②当 时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
综上所述，m的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，
理解“限根方程”的定义是解题关键．
【重难点训练】
1．（2023春·八年级课时练习）已知 ， 为一元二次方程 的两个实数根，且 ，
则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，【答案】D
【分析】先利用一元二次方程根和系数的关系求得 ，将 代入方程得到 ，利用因式分解
法解方程即可得到答案．
【详解】解： ， 为一元二次方程 的两个实数根，
，
，
，
一元二次方程 ，
，
， ，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握一元二
次方程根和系数的关系： ， ．
2．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期中）已知a，b是方程 的两个实数根，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将实数根 代入方程得到 ，再利用根和系数关系得到 ，最后将代数式变形即可
计算答案．
【详解】解： a，b是方程 的两个实数根，
， ，
，
故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的含义、一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，熟练掌握相
关知识点是解题关键．
3．（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算： ．若a，b是方程
的两根，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【答案】A
【分析】由根与系数的关系可找出 ，根据新运算找出 ，将其中的1替
换成 ，即可得出结论．
【详解】解：∵a，b是方程 的两根，
∴ ，
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系．理解并掌握新运算的法则，掌握一元二次
方程根与系数的关系，是解题的关键．
4．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期中）直线 与抛物线 的两个公共点的横坐标分
别是 ， ，若 ，则 的值是（ ）
A． B．3或 C． D． 或2
【答案】A
【分析】令 ，根据根与系数的关系可知 ，由根的判别式可以得到 或
，把 代入整理得 ，解方程即可．
【详解】解：令 ，
整理得 ，
，抛物线与直线 有两个交点，
，
或 ，
是方程 的解，
，
，
，
即 ，
解得 （舍 或 ，
故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式，根与系数的关系，解答的关键是利用数形结合把交点坐标转化为方程的解．
5．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）设 ， 是方程 的两根，则
的值是（ ）
A． B．5 C．3 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，根据一元二次方程的解的定义得出
，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵ ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握以上知识是解题的关键．
一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
一元二次方程根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根， ，
．
6．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）关于 的一元二次方程 的两个实数根
分别是 ， ， ，则 的值是（ ）
A．-11 B．13或-11 C．25或13 D．13
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式可先得出关于m的不等式，然后再利用一元二次方程根与系数的关
系可进行求解．
【详解】解：由题意得： ，
∵关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
当m=-1时，则 ；
当m=5时，则 ；∵当m=5时，则 ，不符合题意；
∴ 的值为13；
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法及根与系数的关系，熟练掌握一元
二次方程根的判别式、一元二次方程的解法及根与系数的关系是解题的关键．
7．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级校考期中）对于实数a、b，如果定义新运算 ，
则下列结论正确的有（ ）
①5*3=1；②当x=-1时，[(-2)*x]*7=-21；③ ；
④若 、 是一元二次方程 的两个根，则 或-17；
⑤若 、 是一元二次方程 的两个根， ，则m的值为-3或-6．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据新定义进行运算，整式的混合运算及一元二次方程根与系数的关系，即可一一判定．
【详解】解：① ，故①正确；
②当x=-1时， ，
，故②正确；
③ ，
当 时， ， ；
当 时， ， ，
综上， ，故③正确；④ 、 是一元二次方程 的两个根，
， ，
当 时， ，
当 时， ，
故若 、 是一元二次方程 的两个根，则 或-17，
故④正确；
⑤ 、 是一元二次方程 的两个根，
， ，
当 时， ，
解得m=-3；
当 时， ，
解得m=-6；
综上，m的值为-3或-6，故⑤正确．
故正确的有5个，
故选：D．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数及整式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，
采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
8．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）有两个关于x的一元二次方程： ，
，其中a+c=0，以下列四个结论中，
①如果 ，那么方程M和方程N有一个公共根为1；
②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；
③如果2是方程M的一个根，那么 一定是方程N的一个根；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是 ．其中错误的结论的个数是（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】当 时， 得出 ， 得出 即可判断①；
根据根与系数的关系，由 即可判断②；将 代入方程 中可得出 ，方程两边同时
除以4可得出 ，由此可得出 是方程 的一个根，即可判断③；设相同的根为 ，将其代
入两方程中作差后可得出 ，解之可得出 ，进而可得出两方程有相同的根 ，即可判断④．
【详解】解： ，
方程 的一个根为1，方程 有一个根为1，
如果 ，那么方程 和方程 有一个公共根为1，结论①正确；
，
，
，
，
方程 和方程 的两根之积必相等，结论②正确；
是方程 的一个根，
，即 ，
是方程 的一个根，结论③正确；
设相同的根为 ，则 ，
① ②得： ，
．
， ， ，
，
，
．
即有相同的根 ，结论④错误．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，逐一分析四条选项的正误是解题的关键．
9．（2023·全国·九年级假期作业）若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于 的方程
的两个根，则n的值为______．
【答案】15或16/16或15
【分析】分3为等腰三角形的腰长和3为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、
根的判别式求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当3为等腰三角形的腰长时，则3是关于 的方程 的一个根，
因此有 ，
解得 ，
则方程为 ，
设另一个根为 ，
∴
∴另一个根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系；
（2）当3为等腰三角形的底边长时，则关于 的方程 有两个相等的实数根，
因此，根的判别式 ，
解得 ，
则方程为 ，解得方程的根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系；
综上， 的值为15或16，
故答案为：15或16．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况
讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理．
10．（2023·全国·九年级假期作业）已知a、b为一元二次方程 的两个不等实数根，则的值是______．
【答案】1
【分析】先将分式化简，再根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，即可求解．
【详解】解： ，
∵a、b为一元二次方程 的两个不等实数根，
∴ ，
∴原式 ，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程
，两根之和为 ，两根之积为 ．
11．（2023·江苏泰州·统考二模）关于 的方程 的两个根为 ， ．若 ，则
______．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入式子中计算即可求出m值．
【详解】解：∵ ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
解得：
故答案为 ．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
12．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程
的两个根为 ，则________．
【答案】
【分析】由根与系数的关系得 ， ，所以
，则
，然后代入即可求解．
【详解】由根与系数的关系得 ， ，
∴ ，
则 ，
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较大，关键是根据一元二次方程根与系数的关系
求出一般形式再进行代入求值．
13．（2022春·四川内江·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成 （ ，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二
次方程”．已知关于x的一元二次方程 （ ）与方程 是“同源二次方程”，
且方程 （ ）有两个根为 、 ，则b－2c＝______， 的最大值是______．
【答案】 4； -3
【分析】利用 （ ）与方程 是“同源二次方程”得出 ， ，即
可求出 ；利用一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，进而得出
，设 （ ），得 ，根据方程 有正数解
可知 ，求出t的取值范围即可求出 的最大值．
【详解】解：根据新的定义可知，方程 （ ）可变形为 ，
∴ ，
展开， ，
可得 ， ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∵方程 （ ）有两个根为 、 ，
∴ ，且 ，
∴ ，
设 （ ），得 ，∵方程 有正数解，
∴ ，
解得 ，即 ，
∴ ．
故答案为：4，-3．
【点睛】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到
是解题的关键．
14．（2023春·浙江·八年级期末）已知两个关于 的一元二次方程 ， 有一个公
共解2，且 ， ， ， ．下列结论：① 有唯一对应的值 ；② ；③
是一元二次方程 的一个解．其中正确结论的序号是____．
【答案】①③
【分析】将x=2代入方程，然后两式相减进行计算，从而判断①；设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根
为m，x2+cx+d=0的另一个根为n，利用一元二次方程根与系数的关系求得m+2=-a，2m=b，n+2=-c，
2n=d，然后代入计算并利用完全平方式的非负性判断②；将方程变形为（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0，
然后x= 代入方程进行验证，从而判断③．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0，x2+cx+d=0有一个公共解2，
∴22+2a+b=0①，22+2c+d=0②，
②-①，得：2（c-a）+d-b=0，
2（c-a）=b-d，
∴ ，故①正确；
设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n，
∴m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，∴a2-4b=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0，
c2-4d=[-（n+2）]2-4×2n=（n-2）2≥0，
∴a2-4b+c2-4d≥0，
∴a2+c2≥4b+4d，
∴ ≥b+d，故②错误；
∵m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，
∴一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0可变形为：（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0，
当x= 时，左边=（2m+2n）×（ ）2+（-m-2-n-2）× +2=0=右边，
∴x= 是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0的一个解，故③正确，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二
次方程根与系数的关系是解题关键．
15．（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若已知此方程的一个根为 ，求m的值以及方程的另一根．
【答案】(1) 且
(2) ，方程的另一根为
【分析】（1）根据题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求解；
（2）根据题意先求出m的值，然后利用一元二次方程根与系数的关系求出另一个根即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
∴ 且
∴ 且（2）把方程一个根 代入方程 得： ，
解得：
∴方程为：
设另一个根为a，则
∴
∴方程的另一根为
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系是解题的关键．
16．（2023·广东珠海·校考三模）已知 ．
(1)化简 ；
(2)若 、 是关于 的方程 的两个实数根，求 的值．
【答案】(1)
(2)27
【分析】（1）根据
，进行化简即可；
（2）由题意知 ， ，根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：
∴ ；
（2）解：由题意知 ， ，∴ ，
∴ 的值为27．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系等知识．解题的关键在
于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17．（2023·河南南阳·统考二模）【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅
读并完成相应的任务．
一元二次方程根与系数的关系
通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与
系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．
从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程 的两个实数根分别记为 ，
，则有恒等式 ，即 ．比较两边系数可得：
______， ______．
任务：
(1)填空： ______， ______．
(2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．
下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．
解：对于一元二次方程 ，
当 时，有两个实数根 ______， ______．
……
(3)已知关于x的方程 的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出 的值．
【答案】(1) ，
(2) ， ，见解析
(3) 或4
【分析】（1）由 得 ，求解即可得到答案；（2）将方程两边同时除以 可得 ，再配方可得 ，由 ，直接开
平方法解方程即可得到答案；
（3）由（1）中的结论 ，可得 ，再由关于x的方
程 的两根之和与两根之积的和等于2，得到 ，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：由 可得：
，
，
故答案为： ， ；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
， ，故答案为： ， ；
（3）解： ，
，
，
关于x的方程 的两根之和与两根之积的和等于2，
，
解得： 或
的值为：－1或4．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系在整式求值中的应用，明确根与系数的关系并熟练
运用完全平方公式及配方法是解题的关键．
18．（2022春·八年级单元测试）已知关于 的一元二次方程 有两个实数根．
(1)试求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值；
(3)若此方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，试求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式 ，即可得出关于 的一元一次不等式，解之即可得出
的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得出 ， ，结合 可得出关于 的方程，解之
即可得出 的值；
（3）由（2）可知： ， ，根据 ，可得 ，即由，可得 ，进而可得 ，则有 ，即 ，问题
得解．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，
解得： ；
（2）∵方程 的两个实数根为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： 或者 ，
∵根据（1）有 ，
即 ；
（3）由（2）可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵根据（1）有 ，
即 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根
的判别式和根与系数的关系，灵活运用完全平方公式的变形是解题的关键．
19．（2023·山西运城·统考一模）阅读下列材料并完成相应任务：
对于一元二次方程 （ ），如果方程有两个实数根为 ， ，那么 ，
；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（ ）发现的，因此，
我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：已知一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，求 的值．
小明给出了一部分解题思路：
解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
∴ ______，∴ ______，
∴
请填空并将过程补充完整．
(2)类比应用
一元二次方程 的一个根为 ，则 ______，另一个根为 ______．
(3)思维拓展：
关于 的一元二次方程 有两个实数根，且这两个实数根的平方和是 ，则
______．【答案】(1) ； ；
(2) ；
(3)
【分析】（1）利用根与系数的关系可得 ， ，再把 分解因式，再代入求值即可；
（2）利用根与系数的关系可得 ， ，从而可得答案；
（3）利用根与系数的关系可得 ，结合 ，可得
，再解方程，结合 ，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
∴ ，∴ ，
∴
（2）∵一元二次方程 的一个根为 ，
∴ ， ，
解得： ， ；
（3）设关于 的一元二次方程 有两个实数根为 ， ，
∴ ，
∵这两个实数根的平方和是21，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，∵ ，
∴ ，
∴ 不符合题意，则 ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系的应用，利用因式分解的方法解
一元二次方程，熟记概念与方程的解法是解本题的关键．
20．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考期中）阅读材料，解答问题：
【材料1】
为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为
，经过运算，原方程的解为 ， ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换
元法．
【材料2】
已知实数 ， 满足 ， ，且 ，显然 ， 是方程 的两个不相等
的实数根，由韦达定理可知 ， ．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程 的解为 ；
(2)间接应用：
已知实数 ， 满足： ， 且 ，求 的值．
【答案】(1)x ，x ，x ，x ；
1 2 3 4
(2) ．
【分析】（1）利用换元法解方程，设y＝x2，则原方程可化为y2﹣5y+6＝0，解关于y的方程得到y＝2，y
1 2
＝3，则x2＝2或x2＝3，然后分别解两个元二次方程即可；
（2）根据已知条件，把a2、b2看作方程2x2﹣7x+1＝0的两不相等的实数根，然后根据根与系数的关系求
解．
【详解】（1）解： ，设 ，则原方程可化为 ，
解得 ， ，
当 时， ，解得 ， ，
当 时， ，解得 ， ，
所以原方程的解为 ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ；
（2）解： 实数 ， 满足： ， 且 ，
、 可看作方程 的两不相等的实数根，
， ；
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了用“换元法”把高次方程转化为一元二次方程，韦达定理，完全平方公式，其中
转化思想是解决问题的关键．
