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专题 01 一元二次方程重难点题型汇编
【题型01 ：一元二次方程的概念】
【题型02 ：一元二次方程的解】
【题型03：解一元二次方程】
【题型04：一元二次方程根的判别式】
【题型05：一元二次方程根与系数的关系】
【题型05：有关一元二次方程传播问题】
【题型06：有关一元二次方程面积问题】
【题型07：有关一元二次方程面积问题】
【题型08：有关一元二次方程增长率问题】
【题型09：有关一元二次方程利润问题】
【题型10：有关一元二次方程动点问题】
【题型01 ：一元二次方程的概念】
1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2=0 B．x2−2y+1=0
1
C．ax❑ 2+bx+c=0 D． −5x+6=0
x
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，
注意： 根据化简后只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，
叫一元二次方程，逐个判断即可．
【详解】A．x2=0，是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．x2−2y+1=0，是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C．ax❑ 2+bx+c=0，当a=0时，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；1
D． −5x+6=0，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，故本选项不符
x
合题意；
故选：A．
2．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若关于x的方程(m+1)xm2+1+4x−5=0是一元
二次方程，则m的值是（ ）
A．0 B．−1 C．1 D．±1
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一
元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；
结合一元二次方程的定义，可以得到关于m的方程和不等式，求解即可得到m的值．
【详解】解：∵关于x的方程(m+1)xm2+1+4x−5=0是一元二次方程，
{m+1≠0)
∴ ，
m2+1=2
解得m=1．
故选：C．
3．（2024八年级下·安徽·专题练习）关于x的方程(m−2)x|m|+mx+2=3是一元二次方程，
则m值为（ ）
A．2或−2 B．2 C．−2 D．m≥0且m≠2
【答案】C
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未
知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：∵关于x的方程(m−2)x|m|+mx+2=3是一元二次方程，
∴| m| =2且m−2≠0，
解得m=−2．
故选：C．
4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程3x2−4x−1=0的二次项系数、一次
项系数、常数项分别是（ ）A．3，−4，−1 B．3，4，1 C．3，4，−1 D．3，−1，−4
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0
），特别要注意a≠0的条件．在一般形式中， a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，
常数项，根据概念作答即可．
【详解】解：一元二次方程3x2−4x−1=0的二次项系数是3，一次项系数−4，常数项
−1．
故选A．
5．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）将一元二次方程2x−6=x2+x−1化成一般形式
为 ．
【答案】x2−x+5=0
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，首先移项，合并同类项，化为一般式
即可．
【详解】解：2x−6=x2+x−1，
移项，得2x−6−x2−x+1=0，
合并同类项，得−x2+x−5=0，即x2−x+5=0，
故答案为：x2−x+5=0．
【题型02 ：一元二次方程的解】
6．（23-24八年级下·北京昌平·期末）若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为
（ ）
A．2 B．−2 C．0 D．4
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解x=1代入方程中求解即可．理解方程的
解满足方程是解答的关键．
【详解】解：把x=1代入x2+mx+1=0
可得出：1+m+1=0，
解得：m=−2，
故选：B．
7．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若a是关于x的方程3x2−x+1=0的一个根，则
2024−6a2+2a的值是（ ）A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，由方程解的定义得到3a2−a=−1，
把代数式变形后整体代入即可．
【详解】解：∵a是关于x的方程3x2−x+1=0的一个根，
∴3a2−a=−1，
∴2024−6a2+2a
=2024−2(3a2−a)
=2024−2×(−1)
=2026，
故选：A．
8．（2024·广东东莞·二模）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1，则
代数式2024−a−b的值为（ ）
A．−2023 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的解，把x=1代入方程求出a+b=−1，即可求解，解题
的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
【详解】解：将x=1代入原方程得：a+b+1=0，
∴a+b=−1，
∴2024−a−b=2024−(a+b)=2024−(−1)=2025，
故选：D．
9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若a+b+c=0，则一元二次方程
ax2−bx+c=0(a≠0)必有一个根是（ ）
A．0 B．1 C．−1 D．a
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关
键．
由a+b+c=0可知令x=−1即成立，则可求出答案．
【详解】∵a+b+c=0∴a×(−1) 2−b×(−1)+c=0
∴方程ax2−bx+c=0(a≠0)必有一根为x=−1．
故选：C．
10．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知m是方程x2−x−2=0的一个根，则
2024−m2+m的值为 ．
【答案】2022
【分析】本题考查一元二次方程的解．根据题意，得到m2−m=2，整体代入代数式进行求
值即可．
【详解】解：∵m是方程x2−x−2=0的一个根，
∴m2−m=2，
∴2024−m2+m=2024−(m2−m)=2024−2=2022；
故答案为：2022．
【题型03：解一元二次方程】
11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程：
(1)x2+4=4x；
(2)x(x+1)=x+1．
【答案】(1)x =x =2；
1 2
(2)x =−1，x =1．
1 2
【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握四种解方程的方法，根据方程
特点正确选准方法即可．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：x2+4=4x，
移项得：x2−4x+4=0，
分解因式得：(x−2) 2 =0，
解得：x =x =2；
1 2（2）解：x(x+1)=x+1，
移项得：x(x+1)−(x+1)=0，
分解因式得：(x+1)(x−1)=0，
解得：x =−1，x =1．
1 2
12．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）用指定的方法解一元二次方程：
(1)x2−4x−12=0；（配方法）
(2)2x2+2x=3．（公式法）
【答案】(1)x =6，x =−2
1 2
❑√7−1 ❑√7+1
(2)x = ,x =−
1 2 2 2
【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程
两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式．
（1）首先移项，然后方程两边同时加上16即可完成配方，然后解方程即可求解；
（2）利用求根公式即可求解．
【详解】（1）解：x2−4x−12=0（配方法），
∴x2−4x=12，
∴x2−4x+4=12+4，
∴(x−2) 2=16，
∴x−2=±4，
x =6，x =−2；
1 2
（2）解：2x2+2x=3
∴2x2+2x−3=0
∵a=2，b=2，c=−3，
∴Δ=4+24=28，
−2±2❑√7
∴x= ，
4
❑√7−1 ❑√7+1
∴x = ,x =− ．
1 2 2 2
13．（23-24八年级下·福建福州·期末）解下列方程：
(1)x2+4x−2=0；
(2)3x(x−1)=x−1．【答案】(1)x =−2+❑√6，x =−2−❑√6
1 2
1
(2)x =1，x =
1 2 3
【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次
方程，熟练掌握一元二次方程的相应解法是解决问题的关键．
（1）根据解一元二次方程的方法步骤，选择配方法求解即可得到答案；
（2）根据解一元二次方程的方法步骤，选择因式分解法求解即可得到答案
【详解】（1）x2+4x−2=0
移项得：x2+4x=2
配方得：x2+4x+
(4) 2
=2+
(4) 2
2 2
可得：(x+2) 2 =6
直接开平方得：x+2=±❑√6
解得：x =−2+❑√6，x =−2−❑√6
1 2
（2）3x(x−1)=x−1
移项得：3x(x−1)−(x−1)=0
提公因式得：(x−1)(3x−1)=0
∴x−1=0，3x−1=0
1
∴x =1，x =
1 2 3
14．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）解方程：2x2−7x−4=0（配方法解）．
1
【答案】x =4，x =−
1 2 2
【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7
先变形为x2− x=2，然后利用配方法解方程．
2
【详解】解：2x2−7x−4=0
7
x2− x=2 ，
27 49 49
x2− x+ =2+ ，
2 16 16
( 7) 2 81
x− = ，
4 16
7 9
x− =± ，
4 4
1
解得x =4，x =− ．
1 2 2
15．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程：
(1)2x2−4x+1=0；
(2)3x(x+4)=2(x+4)．
❑√2 ❑√2
【答案】(1)x =1+ ，x =1−
1 2 2 2
2
(2)x =−4，x =
1 2 3
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用配方法或公式法解一元二次方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：2x2−4x+1=0，
1
移项，得：x2−2x=−
，
2
1
配方，得：x2−2x+1=− +1，
2
1
即(x−1) 2 = ，
2
❑√2
开方，得x−1=± ，
2
❑√2 ❑√2
∴x =1+ ，x =1− ；
1 2 2 2
（2）3x(x+4)=2(x+4)，
移项，得：3x(x+4)−2(x+4)=0，
因式分解，得(x+4)(3x−2)=0，
∴x+4=0或3x−2=0，2
∴x =−4，x = ．
1 2 3
16．（23-24八年级下·山东烟台·期中）解方程
(1)x(x−4)=4x−16；
(2)2x2−8x+3=0
4+❑√10 4−❑√10
【答案】（1）x =x =4 （2）x = ，x =
1 2 1 2 2 2
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，
配方法，公式法，因式分解法，
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
【详解】解：（1）x(x−4)=4x−16
x(x−4)−4(x−4)=0
(x−4) 2 =0
解得：x =x =4；
1 2
（2）2x2−8x+3=0
a=2，b=−8，c=3，
b2−4ac=64−4×2×3=40>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
−(−8)±❑√40 8±2❑√10 4±❑√10
∴x= = = ，
4 4 2
4+❑√10 4−❑√10
x = ，x = ．
1 2 2 2
【题型04：一元二次方程根的判别式】
17．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）一元二次方程x2+4x−7=0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根
的情况．【详解】解：∵x2+4x−7=0，
∴a=1,b=4,c=−7，Δ=b2−4ac=16−4×1×(−7)=16+28=44>0，
故选：D．
18．（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于x的一元二次方程x2+mx−2(m+3)=0的根情
况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，熟记判别式并灵活应用是解题关
键．先确定a、b、c的值，计算Δ=b2−4ac的值进行判断即可求解．
【详解】由题意可知：a=1，b=m，c=−2(m+3)=−2m−6，
∴Δ=b2−4ac=m2−4×1×(−2m−6)=(m+4) 2+8≥8
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
19．（23-24八年级下·山东泰安·期中）关于x的一元二次方程x2−2ax+a2+1=0的根的情
况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．实数根的个数与实数a的取值有关
【答案】A
【分析】本题考查判别式与一元二次方程根的情况，求出Δ，判断符号即可得到答案，熟
记一元二次方程根的情况与判别式符号关系是解决问题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程为x2−2ax+a2+1=0，
∴Δ=(−2a) 2−4(a2+1)
=4a2−4a2−4
=−4<0，
∴于x的一元二次方程x2−2ax+a2+1=0的根的情况是没有实数根，
故选：A．
20．（23-24九年级下·山东淄博·期中）关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
9
【答案】m>−
4
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的
运用是解题的关键．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得Δ=b2−4ac>0，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，Δ=(2m+1) 2−4(m2−2)>0，
∴4m2+4m+1−4m2+8>0
9
解得，m>− ，
4
9
故答案为：m>− ．
4
21．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 x2+(n+2)x+2n=0．
(1)求证：该方程总有实数根；
(2)若 x=−3是该方程的一个解，求n的值．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系, 一元二次方程的根的定义以
及一元一次方程的解法．
（1）根据方程的系数结合根的判别式可得Δ=(n−2) 2≥0，由此可证明无论n取何值，该
方程总有实数根；
（2）把x=−3代入方程x²+(n+2)x+2n=0即可求出．
【详解】（1）证明：由题意得：
Δ =(n+2) 2−4×1×2n
=n2+4n+4−8n
=(n−2) 2≥0，
∴该方程总有实数根；（2）解：把x=−3代入方程x²+(n+2)x+2n=0，得：(−3) 2 +(n+2)×(−3)+2n=0，
解得：n=3，
∴n的值为3．
【题型05：一元二次方程根与系数的关系】
22．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若a，b是方程x2−8x+7=0的两个根，则
a2b+ab2=（ ）
A．−1 B．1 C．−56 D．56
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及已知式子的值，求代数式的
值，根据一元二次方程根与系数的关系得出a+b=8,ab=7，然后代入代数式即可得出答
案．
【详解】解：∵a，b是方程x2−8x+7=0的两个根，
∴a+b=8,ab=7，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=56，
故选：D．
23．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x 、x ，且
1 2
1 1
+ =3，则p的值为（ ）
x x
1 2
2 2
A．− B． C．−6 D．6
3 3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系：若方程的两实
b c
数根为x ,x ，则x +x =− ,x ⋅x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
2
根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系得到x +x =− =−2,x ⋅x =p，
1 2 1 1 21 1 x +x −2
然后通分， + = 1 2= ，从而得到关于p的方程，解方程即可．
x x x x p
1 2 1 2
2
【详解】解：∵x +x =− =−2,x ⋅x =p，
1 2 1 1 2
1 1 x +x −2
∴ + = 1 2= ，
x x x x p
1 2 1 2
1 1
而 + =3，
x x
1 2
−2
∴ =3，
p
2
∴p=− ，
3
故选：A．
24．（2024·湖南益阳·三模）已知方程x2−2x−3=0的两个实数根分别为x ，x ，则式子
1 2
(x +1)(x +1)的值等于（ ）
1 2
A．−4 B．0 C．2 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的
关系是解题的关键；由题意易得x +x =2,x x =−3，然后展开代入求解即可．
1 2 1 2
b c
【详解】解：由x2−2x−3=0可得：x +x =− =2,x x = =−3，
1 2 a 1 2 a
∴(x +1)(x +1)=x x +(x +x )+1=−3+2+1=0；
1 2 1 2 1 2
故选B．
25．（2024·天津和平·三模）若x ，x 是方程2x+4=x2的两个根，则(x +1)(x +1)的值是
1 2 1 2
（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
b c
【分析】题考查了一元二次方程根与系数的关系x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
由一元二次方程根与系数的关系直接求出x +x =2，x x =−4的值，再将问题中代数式
1 2 1 2展开代入即可．
【详解】解：∵2x+4=x2，
∴x2−2x−4=0，
∵x ，x 是方程的两根，
1 2
∴x +x =2，x x =−4，
1 2 1 2
∴(x +1)(x +1)=x x +(x +x )+1=−4+2+1=−1，
1 2 1 2 1 2
故选A．
【题型06：有关一元二次方程传播问题】
26．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，
感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲
流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人
感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ）
A．x+x(x+1)=256 B．x2+x=256
C．1+x+x(x+1)=256 D．(x+1)+(x+1) 2=256
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，第一轮传染了x人，第二轮传染了
x(x+1)人，根据“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人，
根据题意，得1+x+x(x+1)=256，
故选：C．
27．（23-24八年级下·福建福州·期末）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现
某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主
干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（ ）
A．x2=31 B．(1+x) 2 =31
C．1+x+x2=31 D．1+x+(1+x) 2 =31
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支，以及1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，列出一元二次
方程即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：1个主干上有x个支干，x个支干上共有x2个小分支，
∴可列方程为：1+x+x2=31，
故选C．
28．（2024·重庆·一模）某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传
染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ．
【答案】1+x+x(1+x)=49
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从
而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人
数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染
了x个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为49人，依此列出
一元二次方程即可.
【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得：
1+x+x(1+x)=49.
故答案为1+x+x(1+x)=49.
29．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，
有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
【答案】(1)7
(2)512
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是
解题关键．
（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出
x；
（2）用第二轮×(1+每轮传染中平均每人传染的人数)，可求出第三轮过后，患流感的人数．
【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x(x+1)=64
x=7或x=−9(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；
（2）64×(1+7)=512(人)．
答：第三轮感染后，患流感的共有512人．
【题型07：有关一元二次方程面积问题】
30．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图所示，某小区规划在一个长为40m、宽为26m
的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，
其余部分种草．若使所有草坪的面积和为864m2，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为xm，
则x满足的方程为 ．
【答案】(40−2x)(26−x)=864
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；把甬道移到小区的上边及左边，根据草坪的面
积得到相应的等量关系即可．
【详解】解：设甬路的宽度为xm，草坪可整理为一个矩形，长为40−2x，宽为26−x，
即列的方程为(40−2x)(26−x)=864，
故答案为(40−2x)(26−x)=864．
31．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连
在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为28m
），另外的边利用学校现有总长55m的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
(1)求线段AB的取值范围；
(2)若围成的面积为270m2，试求出自行车车棚的长和宽．
(3)能围成面积为300m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明
理由．29 57
【答案】(1) ≤x＜
3 3
(2)自行车车棚的长和宽分别为27m，10m
(3)不能围成面积为300m2的自行车车棚，见解析
【分析】（1）设线段AB的长为xm，则AD的长为(55−3x+2)m，根据可利用的增长为
28m，即可求解；
（2）表示出矩形面积，求出即可；
（3）由长方形的面积列出方程，解方程，即可解决问题．
此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
【详解】（1）解：设线段AB的长为xm，则AD的长为(55−3x+2)m，
29 57
根据题意得0<55−3x+2≤28，解得 ≤x< ，
3 3
29 57
∴线段AB的取值范围为 ≤x< ；
3 3
（2）解：根据题意列方程，得x(55−3x+2)=270，
解得x =10，x =9；
1 2
当x=10时，55−3x+2=27(m)，
当x=9时，55−3x+2=30(m)，而墙长28m，不合题意舍去，
答：若围成的面积为270m2，自行车车棚的长和宽分别为27m，10m；
（3）解：不能围成面积为300m2的自行车车棚．理由如下：
根据题意得x(55−3x+2)=300，
整理得：x2−19x+100=0，
∵ Δ=(−19) 2−4×100=−39<0，，
∴方程无实数根，
∴不能围成面积为300m2的自行车车棚．
32．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的
一面靠墙（墙长25米），另外三边用长40米的木栏围成．(1)设AB长为x米，则BC的长为______米；
(2)AB长为多少时，养猪场的面积为150平方米？
(3)养猪场的面积能否为240平方米？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由．
【答案】(1)(40−2x)
(2)AB长为15米时，养猪场的面积为150平方米；
(3)养猪场的面积不能为240平方米．理由见解析
【分析】此题考查了一元二次方程的应用和一元二次方程根据的判别式，理解题意，正确
列出方程是解题的关键．
（1）根据BC=木栏长−(AB+CD)求解即可；
（2）结合（1）可求出养猪场的面积为x(40−2x)，从而得出方程x(40−2x)=150，解之，
再求出x的取值范围，即可得出答案．
（3）按照（2）的方法列出方程，求出一元二次方程根的判别式，即可作出判断．
【详解】（1）解：设AB长为x米，即AB=CD=x米，
∴平行于墙的边BC长为(40−2x)米．
故答案为：(40−2x)；
（2）解：由（1）可得养猪场的面积为x(40−2x)，
又∵养猪场的面积为150平方米，
∴x(40−2x)=150，
解得：x =15，x =5．
1 2
∵0<BC=40−2x≤25，
15
∴ ≤x<20，
2
∴x=15．
∴垂直于墙的边长为15米，平行于墙的边长为10米．
即AB长为15米时，养猪场的面积为150平方米；
（3）养猪场的面积不能为240平方米．理由如下：
由（1）可得养猪场的面积为x(40−2x)，又∵养猪场的面积为240平方米，
∴x(40−2x)=240，
∴x2−20x+120=0，
∵Δ=(−20) 2−4×1×120=−80<0，
∴原方程没有实数根，
即养猪场的面积不能为240平方米．
【题型08：有关一元二次方程增长率问题】
33．（23-24八年级下·广东广州·期末）某地2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年
达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方
程正确的是（ ）
A．2.36(1+x) 2 =2.7 B．2.36(1+2x)=2.7
C．2.7(1−x) 2 =2.36 D．2.36(1+x2)=2.7
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设
2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，
根据题意得2.36(1+x) 2 =2.7，
故选：A．
34．（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现
了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．
据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累
计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（ ）
A．5+5x+52=20 B．5(1+x) 2 =20
C．5(1+x) 3 =20 D．5+5(1+x)+5(1+x) 2 =20
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约5(1+x)亿元、第
三天票房约5(1+x) 2亿元，根据三天后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二
次方程，此题得解．
【详解】解：∵第一天票房约5亿元，增长率为x，
∴第二天票房约5(1+x)亿元，第三天票房约5(1+x) 2亿元．
依题意得：5+5(1+x)+5(1+x) 2 =20．
故选：D．
35．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守
“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头
盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？
【答案】(1)20%
(2)2592
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：1500(x+1) 2 =2160，
解得：x =0.2=20%，x =−2.2（不合题意，舍去）．
1 2
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）2160×(1+20%)=2592（个）．
∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个．
36．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校
图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆
608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不
变的条件下，校图书馆能否接纳．
【答案】(1)月平均增长率为50%
(2)能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由等量关系列出方程是解题的关键；
（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据三个月进馆人次和等于608，列出一元二次方
程求解即可；
（2）根据（1）计算出的月平均增长率，可计算出第四个的进馆人次，再与500比较大小
即可．
【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x，
由题意得：128+128(1+x)+128(1+x) 2=608，
化简得：4x2+12x−7=0，
解得：x=0.5=50%，x=−3.5（舍去）；
答：进馆人次月平均增长率为50%；
（2）解：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次；
由于进馆人次的月平均增长率为50%，
则第四个月的进馆人次为：128×(1+50%) 3=432<500；
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【题型09：有关一元二次方程利润问题】
37．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为
180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，
宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．
(1)当定价为200元时，会空______间房，每天的利润是______元．
(2)如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加x元时，宾馆______间房有游客居住
（用含x的代数式表示）；
(3)若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？
【答案】(1)2;8640( x )
(2) 50−
10
(3)应该将每间房每天定价为350元
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关
系．
（1）根据“当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房”和“利润=(定价-每天支出20
元的费用）×房间数”．
（2）根据有游客居住的房间数=50−增加的价格÷10，即可求出结论；
（3）根据总利润=(每间房的定价−20 )×有游客居住的房间数，即可得出关于x的一元二
次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）解：当定价为200元时，(200−180)÷10=2(间)．
(50−2)×(200−20)=8640元，
故答案为：2;8640；
x
（2）解：当每间房当天的定价比房间住满时的房价增加x元时，宾馆会空闲 间房，
10
( x )
∴此时宾馆 50− 间房有游客居住．
10
( x )
故答案为： 50− ．
10
（3）设房价定为x元，
( x−180)
根据题意，得(x−20) 50− =10890．
10
整理，得x2−700x+122500=0，
解得x =x =350．
1 2
答：应该将每间房每天定价为350元．
38．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光
滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我团五大面食．
西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价
格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面新”餐馆能实现每天1080元的利润？
【答案】销售价格为16元或19元时，餐馆能实现每天1080元的利润
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目数量关系，正确列出一元二次方程
是解题的关键．
根据题意，设提高了x元，用含x的式子表示出销售价格，利润，销售份数，根据题目数量
关系列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设提高了x元，则销售价格为(12+x)元，利润为12+x−7=5+x（元），少
卖(160−10x)份，
∴(5+x)(160−10x)=1080，整理得，x2−11x+28=0，
∴(x−4)(x−7)=0，
解得，x =4，x =7，
1 2
∴销售价格为16元或19元时，餐馆能实现每天1080的利润．
39．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每
件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范
围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商店通过销售这
种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？
【答案】每件工艺品单价应降25元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件工艺品单价应降x元(x<40)，则当天销
售量为(20+2x)件，根据总利润等于每件的销售利润乘以销售数量列出方程求解即可．
【详解】解：设每件工艺品单价应降x元(x<40)，则当天销售量为(20+2x)件，
依题意，得：(40−x)(20+2x)=1050，
整理，得x2−30x+125=0，
解得：x =25，x =5，
1 2
∵尽快减少库存，∴x=5（舍去），
答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，每件工艺品单价应降25元．
40．（2024八年级下·浙江·专题练习）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，
3月份的销售额是2250万元．(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少；
(2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价
每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少
库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降
低多少元？
【答案】(1)25%
(2)3元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
（1）设月平均增长率为x，根据题意列方程，解出x值，结合问题的实际意义作出取舍即
可；
（2）设售价降低y元，则每天可售出(200+50 y)千克，根据题意列方程，解出y值，结合
问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】（1）解：设月平均增长率为x，依题意，
得1440(1+x) 2=2250，
解得x =0.25=25%，x =−2.25（不合题意，舍去）．
1 2
∴月平均增长率是25%；
（2）解：设售价降低y元，则每天可售出(200+50 y)千克，依题意，
得(20−12−y)(200+50 y)=1750，
整理得y2−4 y+3=0，
解得y =1，y =3．
1 2
∵要尽量减少库存，
∴y=3．
答：售价应降低3元．
41．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为
36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，
位列江南六大古镇之首．
(1)求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率；
(2)某商店购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减
少2件．
①若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；
②要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价
应定为每件多少元？
【答案】(1)假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为50%；
(2)①1350元，②每件50元
【分析】（1）设假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为x，根据2023年“五一”
假期，假期接待游客突破81万人次，再建立方程求解即可；
（2）①由每件利润乘以销售量可得利润；②设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则销
售量为[100−2(x−40))件，由题意得，(x−30)×[100−2×(x−40))=1600，计算求解，
然后判断即可．
【详解】（1）解：设假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为x，则
36(1+x) 2 =81，
∴(1+x) 2 =2.25，
解得：x =50%，x =−2.5（舍去），
1 2
∴假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为50%；
（2）①当销售单价定为每件45元，每天的销售利润为；
(45−30)×(100−5×2)=15×90=1350（元），
②设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则销售量为[100−2(x−40))件，
由题意得，(x−30)×[100−2×(x−40))=1600，
整理得：x2−120x+3500=0，
解得x =50，x =70，
1 2
∵50<70，要让利给顾客，
∴该纪念品的售价单价应定为每件50元．
42．（23-24九年级下·黑龙江大庆·期中）商场销售某商品，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同．
(1)求该商品销售量的月增长率；
(2)该商品的进价为48元/台，售价为58元/台，5月份可卖400台，已知该商品每涨5元，
销售量就减少40件，若要每月获得6048元利润且让利顾客，则售价应定为多少元？
【答案】(1)该该商品销售量的月增长率为20%；
(2)该商品的实际售价应定为66元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练求得等量关系是解题的关键．
（1）设该商品销售量的月增长率为x，可根据2月份到4月份销售量的月增长率相同，列
方程，即可解答；
( y−58 )
（2）设该商品的实际售价为y元，可得销售数量为 400− ×40 件，即可解答．
5
【详解】（1）解：设该商品销售量的月增长率为x，
依题意，得：150(1+x) 2 =216，
解得：x =0.2=20%，x =−2.2（不合题意，舍去）.
1 2
答：该该商品销售量的月增长率为20%；
（2）解：设该商品的实际售价为y元，
( y−58 )
依题意，得：(y−48) 400− ×40 =6048，
5
整理得：y2−156 y+5940=0，
解得：y =90，y =66，
1 2
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴ y =90（不合题意，舍去），
1
答：该商品的实际售价应定为66元.
【题型10：有关一元二次方程动点问题】
43．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，
点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边
BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C
时，两点停止运动．设运动时间为ts．(1)填空：BQ=_____cm，PB=_____cm；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
(3)是否存在t的值，使得四边形APQC的面积等于9cm2？若存在，请求出此时t的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)2t，(5−t)
(2)t =0，t =2；
1 2
(3)当t=2时，四边形APQC的面积等于9cm2．
【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面
积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
（1）根据路程=速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB−AP就可以求出PB的值；
（2）在Rt△PBQ中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值；
（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值．
【详解】（1）解：由题意，得BQ=2tcm，PB=(5−t)cm．
故答案为：2t，(5−t)；
（2）解：在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t2+(5−t) 2 =25，
解得：t =0，t =2；
1 2
2t(5−t)
（3）解：由题意，得 =6，
2
解得：t =2，t =3（不符合题意，舍去），
1 2
∴当t=2时，△PBQ的面积等于6cm2．
1
四边形APQC的面积=S −S = ×5×6−6=9(cm2)．
ΔABC ΔPBQ 2
答：当t=2时，四边形APQC的面积等于9cm2．
44．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=4
cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P
由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止．(1)求四边形PBCQ的面积；
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？
【答案】(1)4cm2
2 4 3
(2)t=2秒或 秒或 秒或 秒
3 3 2
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的定义和性质、一元二次方程的
应用、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）设运动时间为t，则AP=t，CQ=t，进而可得BP=4−t，然后根据梯形面积公式求
解即可；
（2）设P、Q两点从出发开始到t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形，根据题
意可得CQ=t，易得DQ=4−t，然后分PQ=DQ、PQ=PD、DQ=PD三种情况，分别
求解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为t，则AP=t，CQ=t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4 cm，BC=AD=2 cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴BP=4−t，
1 1
∴四边形PBCQ的面积= (PB+CQ)⋅BC= ×4×2=4 cm2；
2 2
（2）设P、Q两点从出发开始到t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形，
∵CQ=t，
∴DQ=4−t，
①当PQ=DQ=4−t时，
如图1，过P作PH⊥DQ于H，则∠PHD=∠A=∠D=90°，
∴四边形APHD为矩形，
∴PH=AD=2，DH=AP=t，
∵CQ=t，
∴HQ=4−2t，
在Rt△PQH中，可有PH2+HQ2=PQ2，
∴22+(4−2t) 2 =(4−t) 2，
2
解得t=2，t= ；
3
②当PQ=PD时，
如图2，过P作PH⊥DQ于H，
由①可知四边形APHD为矩形，
∴PH=AD=2，DH=AP=HQ=t，
∵CQ=t，
∴HQ=4−2t，
∴4−2t=t，
4
解得t= ；
3
③当DQ=PD时，
∴DQ=4−t，∴PD=DQ=4−t，
在Rt△ADP中，可有AP2+AD2=PD2，
∴t2+22=(4−t) 2，
3
∴t= ．
2
2 4 3
综上所述，当t=2秒或 秒或 秒或 秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形．
3 3 2
45．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形ABCD中，AB=16cm，
AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B运动，一直
到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D运动，设运动时间为ts．
(1)当t为何值时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
(2)当t为何值时，线段PQ的长为10cm？
【答案】(1)当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2
8 24
(2)当t为 或 时．线段PQ的长为10cm
5 5
【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关
线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键；
（1）先表示PB=(16−3t)cm，CQ=2tcm．再利用面积公式列方程解题即可；
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，则∠PMQ=90°，表示PM=|PB−CQ)=|16−5t)cm．
QM=BC=6cm．再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：当运动时间为ts时，PB=(16−3t)cm，CQ=2tcm．
1
由题意得S = (16−3t+2t)×6=33，
四边形PBCQ 2
解得t=5．
答；当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）如图，过点Q作QM⊥AB于点M，则∠PMQ=90°，由题意知PM=|PB−CQ)=|16−5t)cm．QM=BC=6cm．
在Rt△PMQ中．由勾股定理得PQ2=PM2+QM2，
即102=(16−5t) 2 +62，
8 24
解得t = ，t = ．经检验符合题意；
1 5 2 5
8 24
答：当t为 或 时．线段PQ的长为10cm．
5 5
