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专题08 二次函数与一元二次方程重难点题型专训【六大题型】
【题型目录】
【知识梳理】
知识点：二次函数与一元二次方程
1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根。
2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根。
3.当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根。
二次函数 的图象与 轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③
有两个公共点，这对应着一元二次方程 的根的三种情况:
①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0.
(2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母
的影响，据此可求图象经过的定点坐标.
(3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利
用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的
转换.
知识点：二次函数与不等式
判别式 抛物线 与 不等式 的解
不等式 的解集
x轴的交点 集
△＞0 或△＝0 （或 ） 无解
△＜0 全体实数 无解
【经典例题一 抛物线与x、y轴的交点坐标】
【例1】（2022秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线 （m是常数）与x轴仅有一
个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（ ）
A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1
【变式训练】
1．（2022·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）把二次函数 的图象作关于y
轴的对称变换，所得图象的解析式为 ，若 成立，则m的最小整数值为
（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．－3
2．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，抛物线 与 轴交于点 ，交 轴正半轴于 ，直
线 过 ， 是抛物线第一象限内一点，过点 作 轴交直线 于点 ，则 的最大值为______．3．（2023·新疆喀什·统考三模）如图，抛物线 交x轴于 、B两点，交y轴于 ，
点P在抛物线上，横坐标设为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；
(3)若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为 ，求m的值．
【经典例题二 由二次函数解一元二次方程】
【例2】（2021秋·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期末）根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
判断方程 ， ， ， 为常数）的一个解x的范围是（ ）
A． B．
C． D．【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，抛物线 与直线 交于A、B两点，下列是关于
x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A． 的解集是
B． 的解集是
C． 的解集是
D． 的解是 或
2．（2023·吉林长春·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．若关于 的一
元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有实数根，则 的取值范围为______.
3．（2023·湖北黄石·统考一模）阅读材料：
材料1．已知实数m、n满足 ， 且 ，求 的值．
解：由题意知m、n是方程 的两个不相等的实数根，得 ，
∴材料2．如图，函数 的图像，是一条连续不断的抛物线，因为当 时， ；当
时， ．可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间．
所以方程 的一个根 所在的范围是 ．
根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数m、n满足 ， ，且 ，求 的值．
(2)已知实数p、q满足， ， ，且 ，求 的值．
(3)若关于x的一元二次方程 的一个根大于2，另一个根小于2，求m的取值范围．
【经典例题三 由二次函数的图象求不等式的解集】
【例3】（2023·山东聊城·统考二模）已知二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为
直线 ，且经过点 ．下列结论：① ；②若点 ， 是抛物线上的两点，则；③ ；④若 ，则 ，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练】
1．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）二次函数 （ ， ， 为常数，且 ）中 与 的
部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ）
0 1 3
3 5 3
①
②当 时， 的值随 值的增大而减小；
③4是方程 的一个根；
④当 时，
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2023·上海普陀·统考二模）抛物线 开口向上，且过 ，下列结论中正确的是
_________（填序号即可）．
①若抛物线过 ，则 ；
②若 ，则不等式 的解为 ；
③若 ， 、 为抛物线上两点，则 时 ；④若抛物线过 ，且 ，则抛物线的顶点一定在 的下方．
3．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：
．
解：设 ，解得： ， ，
则抛物线 与 轴的交点坐标为 和 ．
画出二次函数 的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当 时函数图象位于 轴下方，
此时 ，即 ．
所以一元二次不等式 的解集为： ．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号）
①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．
(2)用类似的方法解一元二次不等式： ．
(3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如
下，请补充完整：
①自变量 的取值范围是___________； 与 的几组对应值如表，其中 ___________．
… 4 0 1 2 3 4 …
… 5 0 0 1 0 …
②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
③结合函数图象，解决下列问题：解不等式：
【经典例题四 抛物线交点问题的综合】
【例4】（2023·湖南岳阳·统考三模）如图，抛物线 与直线 交于点 和点B．点M
是直线 上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段 与抛物线只有一个公共点，
则点M的横坐标 的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【变式训练】
1．（2023·天津河东·一模）抛物线 (a，b，c为常数)开口向下且过点，以下结论：① ；② ；③若方程
有两个不相等的实数根，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知抛物线 （ ）．现给出以下结论：①该抛物线
与y轴的交点坐标是 ；②当 时，抛物线与直线 没有交点；③若该抛物线的顶点在直线
与坐标轴围成的三角形内（包括边界），则 ；④若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有
一个交点在点 与 之间．其中正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）
3．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）在平面直角坐标系 中，点 都在抛物线
上．
(1)当 时，求 的值；
(2)当 时，求 的取值范围；
(3)在（1）的条件下，设抛物线 与 轴正半轴交于点A，与 轴交于点B． 将抛物线 沿着 轴向上平
移 个单位长度得到抛物线 ，若抛物线 与 轴交于C，D两点，与 轴交于点E，且
， ． 求抛物线 在 的最高点的纵坐标．
【经典例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】【例5】（2023·山东聊城·统考中考真题）已知二次函数 的部分图象如图所示，图象
经过点 ，其对称轴为直线 ．下列结论：① ；②若点 ， 均在二次函数图象
上，则 ；③关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根；④满足 的x
的取值范围为 ．其中正确结论的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（2022秋·广东珠海·九年级校考期中）二次函数 的图像如图所示，有如下结论：①
；② ；③ ；④ ；⑤若方程 两根为 ， ，则
．其中正确个数是（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数 的图象上有两点 和
，则 的值等于 _____．
3．（2022秋·浙江·九年级期中）宏志班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行了探究，探
究过程如下，请补充完整．
(1)自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值列表如下：
0 1 2 3
3 0 0 3
其中，
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象
的另一部分．
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质：① ；② ．(4)关于 的方程 有4个实数根时， 的取值范围是 ．
【经典例题六 求x轴与抛物线的截线长】
【例6】（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ）
与 轴交于点 ， ．若线段 上有且只有7个点的横坐标为整数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截
x轴所得的线段长为4，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2022春·全国·九年级专题练习）已知抛物线 与x轴交于 A，B两点，则线段AB的
长的最小值为______．
3．（2023·河南洛阳·统考一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)抛物线的顶点坐标为______（用含m的式子表示）；
(2)已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
①若 ，求抛物线的解析式；
②若 ，请直接写出m的取值范围．【重难点训练】
1．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考二模）函数 的图象与x轴两个交
点的横坐标分别为 ， ，且 ， ，当 时，该函数的最小值m与b的关系式是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）抛物线 交x轴于 ，A两点，
将 绕点A旋转 得到抛物线 ，交x轴于另一点 ；将 绕点 旋转 得到抛物线 ，交x轴于
另一点 ；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·浙江杭州·九年级翠苑中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知函数 ，
，其中a，b是正实数，且 ，设 ， 的图象与x轴交点个数分别是M，N，则
（ ）
A． 或 或 B． 或
C． 或 D． 或 或
4．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知点 ， ， 都在抛物线 上， ，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
5．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）二次函数 的部分图象如图所示，其
对称轴为直线 ，且与x轴的一个交点坐标为 ，下列结论：① ；② ；③图象与x轴
的另一个交点坐标为 ；④关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根；⑤ ．
其中正确的结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2023春·浙江·九年级专题练习）抛物线 与 轴交于 ， 两点， 和
也是抛物线上的点，且 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数 在x轴上方
的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线
与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（ ）A． B． C． D．
8．（2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程 有一个根是1，
若 的顶点在第一象限，设 ，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·浙江丽水·九年级期末）二次函数 的部分对应值列表如下：
x … 0 1 3 5 …
y … 7 7 …
则一元二次方程 的解为____________．
10．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线 的图象与 轴交点的横坐标为 和1，则
不等式 的解集是__________．
11．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图， 抛物线 与 轴交于点 ， 顶点坐
标为 ， 与 轴的交点在 之间 （包含端点）， 则 的取值范围为___________．12．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将二次函数 在 轴下
方的图象沿 轴翻折到 轴上方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为 ．若直线 与
图象 恰好有3个交点，则 ___________．
13．（2021·浙江金华·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 ．
（1）若该抛物线过原点，则t的值为________．
（2）已知点 与点 ，若该抛物线与线段 只有一个交点，则t的范围是__．
14．（2022秋·浙江·九年级期中）对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于2﹣n，我们称n为这
个函数的“二合点”，如果二次函数y＝ax2+x﹣1有两个相异的二合点x，x，且x＜x＜1，则a的取值
1 2 1 2
范围是_____．
15．（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，抛物线 与y轴交于
点C，与直线 交于点 ，B，已知点B与点C关于抛物线的对称轴对称．
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出满足不等式(x－2)2＋m－kx－b>0的x的取值范围．16．（2022秋·广东韶关·九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，二次函数 的图像与
轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 、 是二次函数图像上一对对称点，一次函数
的图像过点 、 ．
(1)直接写出点 、 的坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)将二次函数 向左平移2个单位，并向下平移2个单位，写出得到的图像的解析式；
(4)根据图像求 的解集．
17．（2020秋·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有实数根，求实数 的取值范围．
(2)若方程两实数根为 ， ，且满足 ，求二次函数 的图象与 轴的两个交点间
的距离．18．（2023·河南鹤壁·统考一模）如图所示，已知抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点
C，其中点A的坐标为 ，对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当直线 经过点C时，结合图象直接写出不等式 的解集；
(3)已知点 ， ，连接 ，若抛物线 向下平移 个单位长度时，与线
段 只有一个公共点，请直接写出k的取值范围．
19．（2022·广东梅州·一模）已知抛物线 与 轴有两个不同的交点．
(1)试确定 的取值范围．(2)设该抛物线与 轴的交点为 ， ，其中 ；抛物线与y轴交于点 ，如图所示．
①求该抛物线的表达式并确定 点坐标和 点坐标；
②连接 ，动点 以每秒 个单位长度的速度由 向 运动，同时动点E以每秒 个单位长度的速度由
向 运动，连接 ，当点 到达点 的位置时， 、 同时停止运动，设运动时间为 秒．当 为
直角三角形时，求 的值．
20．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，抛物线 （ ）
与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B仍然在抛物线L上．
(1)求抛物线L的对称轴，并用含m的代数式表示n；
(2)当抛物线L的顶点在x轴上时，求该抛物线的解析式；
(3)若抛物线与x轴相交于P、Q两点，且 ，求m的取值范围．
