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专题02 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训
【题型目录】
题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值
题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值
题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值
题型四 构造一元二次方程求代数式的值
题型五 由两根关系求方程字母系数
题型六 根与系数关系的新定义问题
题型七 一元二次方程根与系数的关系综合
【知识梳理】
如果一元二次方程 （ ）的两根为 那么，就有
比较等式两边对应项的系数，得
①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．
因此，给定一元二次方程 就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数 满足①与②，
那么这两数 必是一个一元二次方程 的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．
利用根与系数的关系，我们可以不求方程 的根，而知其根的正、负性．
在 的条件下，我们有如下结论：
当 时，方程的两根必一正一负．若 ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若 ，则此
方程的正根小于负根的绝对值．
当 时，方程的两根同正或同负．若 ，则此方程的两根均为正根；若 ，则此方程的两根
均为负根．
⑴ 韦达定理（根与系数的关系）：
如果 的两根是 ， ，则 ， ．(隐含的条件： )
⑵ 若 ， 是 的两根(其中 )，且 为实数，当 时，一般地：
① ，
② 且 ，
③ 且 ，
特殊地：当 时，上述就转化为 有两异根、两正根、两负根的条件．
⑶ 以两个数 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是： ．
⑷ 其他：
① 若有理系数一元二次方程有一根 ，则必有一根 ( ， 为有理数)．② 若 ，则方程 必有实数根．
③ 若 ，方程 不一定有实数根．
④ 若 ，则 必有一根 ．
⑤ 若 ，则 必有一根 ．
⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面：
① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；
② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；
③ 已知方程的两根，求作方程；
④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；
⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一
元二次方程的两根，以便利用韦达定理；
⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的 ．一些考试中，往往利用这一
点设置陷阱．
【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（2023·天津河北·统考二模）已知一元二次方程 有两个实数根 ，则
的值为（ ）
A．6 B．2 C．4 D．3
【变式训练】
1．（2023·湖北武汉·统考二模）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值是
（ ）
A．3 B． C．2 D．
2．（2023·江西景德镇·统考二模）已知 ， 是方程 的两个根，则 的值为______．
3．（2022春·八年级单元测试）已知 ， 是方程 的两实数根，求：(1) ，
(2) 的值．
【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】
【例2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则
的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【变式训练】
1．（2023·内蒙古包头·二模）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则代数式
的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则
___________．
3．（2023·湖北襄阳·统考一模）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为 ，且满足 ．求 的值．
【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】
【例3】（2022秋·浙江温州·八年级校考阶段练习）已知 是方程 的两根，则
的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式训练】
1．（2022秋·四川达州·九年级校联考期末）设 ， 是一元二次方程 的两根，则
等于（ ）
A．1 B．5 C．11 D．13
2．（2023·江苏苏州·校考二模）如果一元二次方程 的两个根为 ， ，则
_____．
3．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校考期中）已知a，b是方程 的两个不相等的
实根，求下列各式的值：
(1) ；(2) ；
(3)
【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】
【例4】（2022秋·四川眉山·九年级校考期中）已知实数a、b满足 ，且 ，则
的值（ ）
A．0 B． C．4 D．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·八年级期中）若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程
的两根分别是（ ）．
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．（2023春·山东枣庄·九年级校联考阶段练习）已知实数 、 满足 ， ，则
_______．
3．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题：
已知实数 ， 满足 ， ，且 ，则 ， 是方程 的两个不相等的
实数根，由韦达定理可知 ， ．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：已知实数 ， 满足： ， ，且 ，则 _____，______；
(2)间接应用：在（1）条件下，求 的值；
(3)拓展应用：已知实数 ， 满足： ， 且 ，则 ______．
【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】
【例5】（2022秋·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中）等腰三角形的三边长分别为 ， ，
1，且关于 的一元二次方程 的两个根是 和 ，则 的值为（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．1且2
【变式训练】
1．（2023·山东日照·统考二模）关于 的方程 有实数根，方程的两根分别是 、 ，且
，则 值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）已知关于 的方程 的两
实数根为 、 ，若 ，则 _____．
3．（2023·北京石景山·统考二模）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若 ，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求 的值．
【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】
【例6】（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有
，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如： ．
若关于x的方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【变式训练】
1．（2023·河北·模拟预测）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”： ，例如：
．若m，n是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A． B．-3 C． D．
2．（2022秋·湖南衡阳·九年级校联考期末）已知对于两个不相等的实数 、 ，定义一种新的运算：
，如 ，已知 ， 是一元二次程 的两个不相等的
实数根，则 _______．
3．（2023春·福建南平·九年级专题练习）阅读材料：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造闭法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数 、 满足 、 ，且 ，则可将
、 看作是方程 的两个不相等的实数根．
方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数 、 满足 、 ，则可以将 、 看作是方
程 的两实数根．
根据上述材料解决下面问题：
(1)已知一元二次方程 的两根 ， ，则 ______， ______；
(2)已知实数 满足 ， ，求 的值．
(3)已知实数 满足 、 ，且 ，求c的最大值．
【经典例题七 一元二次方程根与系数关系的综合】
【例7】（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x，
1
x，且x＜1＜x，那么a的取值范围是（ ）
2 1 2
A．﹣ ＜a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．﹣ ＜a＜0
【变式训练】
1．（2023春·浙江·八年级期末）若方程 的两个不相等的实数根 满足
，则实数p的所有值之和为（ ）
A．0 B． C． D．2．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，
且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正
确的有_____（填序号）．
①方程 是“倍根方程”；
②若 是“倍根方程”，则 ；
③若 满足 ，则关于x的方程 是“倍根方程”；
④若方程 是“倍根方程”，则必有 ．
3．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）定义：已知 是关于x的一元二次方程
的两个实数根，若 ，且 ，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程
的两根为 ，因 ， ，所以一元二次方程
为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程 是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，且两根 满足 ，
求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，求m的取值范围．【重难点训练】
1．（2023春·八年级课时练习）已知 ， 为一元二次方程 的两个实数根，且 ，
则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期中）已知a，b是方程 的两个实数根，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算： ．若a，b是方程
的两根，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
4．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期中）直线 与抛物线 的两个公共点的横坐标分
别是 ， ，若 ，则 的值是（ ）
A． B．3或 C． D． 或2
5．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）设 ， 是方程 的两根，则的值是（ ）
A． B．5 C．3 D．
6．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）关于 的一元二次方程 的两个实数根
分别是 ， ， ，则 的值是（ ）
A．-11 B．13或-11 C．25或13 D．13
7．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级校考期中）对于实数a、b，如果定义新运算 ，
则下列结论正确的有（ ）
①5*3=1；②当x=-1时，[(-2)*x]*7=-21；③ ；
④若 、 是一元二次方程 的两个根，则 或-17；
⑤若 、 是一元二次方程 的两个根， ，则m的值为-3或-6．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）有两个关于x的一元二次方程： ，
，其中a+c=0，以下列四个结论中，
①如果 ，那么方程M和方程N有一个公共根为1；
②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；
③如果2是方程M的一个根，那么 一定是方程N的一个根；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是 ．其中错误的结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2023·全国·九年级假期作业）若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于 的方程
的两个根，则n的值为______．
10．（2023·全国·九年级假期作业）已知a、b为一元二次方程 的两个不等实数根，则的值是______．
11．（2023·江苏泰州·统考二模）关于 的方程 的两个根为 ， ．若 ，则
______．
12．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程
的两个根为 ，则
________．
13．（2022春·四川内江·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成 （ ，
a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二
次方程”．已知关于x的一元二次方程 （ ）与方程 是“同源二次方程”，
且方程 （ ）有两个根为 、 ，则b－2c＝______， 的最大值是______．
14．（2023春·浙江·八年级期末）已知两个关于 的一元二次方程 ， 有一个公
共解2，且 ， ， ， ．下列结论：① 有唯一对应的值 ；② ；③
是一元二次方程 的一个解．其中正确结论的序号是____．
15．（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若已知此方程的一个根为 ，求m的值以及方程的另一根．16．（2023·广东珠海·校考三模）已知 ．
(1)化简 ；
(2)若 、 是关于 的方程 的两个实数根，求 的值．
17．（2023·河南南阳·统考二模）【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅
读并完成相应的任务．
一元二次方程根与系数的关系
通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与
系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．
从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程 的两个实数根分别记为 ，
，则有恒等式 ，即 ．比较两边系数可得：
______， ______．
任务：(1)填空： ______， ______．
(2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．
下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．
解：对于一元二次方程 ，
当 时，有两个实数根 ______， ______．
……
(3)已知关于x的方程 的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出 的值．
18．（2022春·八年级单元测试）已知关于 的一元二次方程 有两个实数根．
(1)试求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值；
(3)若此方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，试求 的值．
19．（2023·山西运城·统考一模）阅读下列材料并完成相应任务：
对于一元二次方程 （ ），如果方程有两个实数根为 ， ，那么 ，
；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（ ）发现的，因此，
我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：已知一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，求 的值．
小明给出了一部分解题思路：解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
∴ ______，∴ ______，
∴
请填空并将过程补充完整．
(2)类比应用
一元二次方程 的一个根为 ，则 ______，另一个根为 ______．
(3)思维拓展：
关于 的一元二次方程 有两个实数根，且这两个实数根的平方和是 ，则
______．
20．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考期中）阅读材料，解答问题：
【材料1】
为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为
，经过运算，原方程的解为 ， ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换
元法．
【材料2】
已知实数 ， 满足 ， ，且 ，显然 ， 是方程 的两个不相等的实数根，由韦达定理可知 ， ．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程 的解为 ；
(2)间接应用：
已知实数 ， 满足： ， 且 ，求 的值．
