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专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）
题型一 直接开方法解一元二次方程
题型二 直接开方法解一元二次方程的应用
题型三 配方法解一元二次方程
题型四 配方法的应用
题型五 公式法解一元二次方程
题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型七 根据一元二次方程根的情况求参数
题型八 根的判别式综合应用
题型九 因式分解解一元二次方程
题型十 换元法解一元二次方程
题型十一 一元二次方程的新定义解法
知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法
直接开平方法解一元二次方程：将方程化成(x+a) 2=b(b≥0)的形式，则x＝−a±❑√b(b≥0).
知识点02 一元二次方程的解法：配方法
配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对 且 为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用
公式法来更加简单。
知识点04 公式法
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是: ( =b2－4ac≥0)
推导过程：一元二次方程 ，用配方法将其变形为：
2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的
值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x ,x．若b2－4ac＜0，则方程无解．
1 2
知识点04 一元二次方程根的判别式 ( =b2－4ac)
①当 时，方程有两个不相等的实根；
② 当 时，方程有两个相等的实根；
③ 当 时，方程没有实根。
判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明 恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。
知识点05 因式分解法
将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于 0的形式，再使这两个一次因式分别等
于0，实现降次的方法。
(x−x )(x−x )=0
即将一元二次方程化简为 1 2 ；从而得出： ，因式分解法的关键是分解成两
个一次因式相乘的形式。
因式分解的主要方法：
提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。
乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于 0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好
解决。①平方差公式：a2−b2=（a+b）（a−b）；②完全平方公式：a2±2ab+b2=（a+b）2
十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程：2x2−x−6=0
3
∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴x =− ,x =2
1 2 2
4）解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。
【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】
【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键；
（1）根据直接开平方法可进行求解方程；
（2）根据直接开平方法可进行求解方程
【详解】（1）解：移项，得 ，
根据平方根的意义，得 ，即 ．
（2）解：移项，得 ，
两边同除以3，得 ，
根据平方根的意义，得 ，
即 ．
1、（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）将方程变形为 ，开平方求解，转化为一元一次方程，求解；
（2）将方程变形为 ，开平方求解，转化为一元一次方程，求解；
【详解】（1）解： ，
，
，
， ．
（2）解： ，，
，
， ．
【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键．
2、（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若 ，则 ．
（1）移项，得 ．
两边同除以9，得 ．
两边同时开平方，得 或 ，
∴ ， ．
（2）直接开平方，得
或 ，
∴ ， ．
3、（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程：(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）用直接开平方法解答即可；
（2）用直接开平方法解答即可．
【详解】（1） ，
移项，得 ，
两边同时除以49，得 ，
开方，得 ，
则方程的两个根为 ， ．
（2）
两边同时除以9，得 ，
开方，得 ，
即 或 ，
则方程的两个根为 ， ．
【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法.
【经典例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】
【例2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程 有一个根是1，则m的值是（ ）
A． B．2 C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义及其解法，熟练掌握定义，根据定义要
求得出方程及不等式求解是解决问题的关键．根据方程解的定义，将 代入求解，再结合一元二次方程
定义确定 即可得出结论．
【详解】解： 是关于x的一元二次方程，
，解得 ，
关于x的一元二次方程 有一个根是1，
，
化简得 ，解得 ，
综上所述： ，
故选：A．
1、（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程 的两根分别是 与 ，则这两
根分别是（ ）
A．1，4 B．1， C．2， D．3，0
【答案】C
【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程 的两根互为相反
数，然后列式求解即可．
【详解】解：由题意知，方程 的两根互为相反数，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选：C．2、（2023·吉林长春·模拟预测）方程 有实数根，则 的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即
可解答，熟练掌握解一元二次方程−直接开平方法是解题的关键．
【详解】 方程 有实数根，
，
，
则 的值可以是 ．
故答案为： （答案不唯一）．
3、（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程 的两根分别为 与 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)1
(2)4
【分析】本题考查了解一元二次方程
（1）求出方程 的根，得出方程 ，求出即可；
（2）根据（1）中求出的 得出 ，求出即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即方程的两根互为相反数，
一元二次方程 的两根分别为 与 ．，
解得： ；
（2）当 时， ， ，
，一元二次方程 的两根分别为 与 ，
．
【经典例题三 配方法解一元二次方程】
【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)原方程无实数根
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键；
（1）由题意易得 ，然后进行配方即可求解；
（2）由题意易得 ，则有 ，然后进行配方即可求解
【详解】（1）解：移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
．
（2）解：移项，得 ．
二次项系数化为1，得 ．配方，得 ，
即 ．
因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根．
1、（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：
两边同除以 ，得 ，
移项，得 ，
配方，得 ，即 ，
开平方，得 ，
∴ ，或 ，
∴ ， ．
2、（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）用配方法解方程：
【答案】 ， ．
【分析】移常数项，加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再开方求解．
【详解】解： ，移项得 ，
配方得 ，即 ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的解法是解题的关键．
3、（23-24八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若该方程的一个根是1，求a的值；
(2)在（1）的条件下，用配方法解该方程．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题考查一元二次方程的解和配方法解一元二次方程；
（1）把 代入方程得出关于 的方程，再求解即可；
（2）把（1）问中求的 值代入方程，再求解即可．
【详解】（1）解：将 代入原方程得 ．
整理得 ．
解得 ．
∵ ，
∴ ．
所以 的值为 ．
（2）将 代入方程得 ．
即 ．
配方得 ．开方得 ．
所以方程的解为 ， ．
【经典例题四 配方法的应用】
【例4】（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）一元二次方程 经过配方后，可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了配方法解方程，正确运用配方的基本要领解答即可．
【详解】 ，
，
，
，
故选C．
1．（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点 和点 在 轴上，
点 在 轴负半轴上， ，当线段 最长时，点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据A、B点的坐标，表示出 的长，再根据配方法确定出 的最小值；然后再根据三角形的
面积可得 的最大值，再根据点M在x轴负半轴解答．
【详解】解：∵点 和点 ，
∴ ，
∴ 的最小值为1，此时 最长，
∴ ，
解得 ．
又∵点M在x轴负半轴，
∴点M的坐标为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是根据三角形的面积判断出 最小时， 最长．
2．（2024·四川巴中·一模）若x、y均为实数，则代数式 的最小值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了配方法，将 转化为 ，即可得到原式的最小值，
熟练掌握配方法是解本题的关键．
【详解】解： 可转换为 ，
当 时，原式取到最小值，为1，
故答案为：1．
3．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）解答：
例：
，
请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题；探究：
（1）无论x取何值，试说明代数式 的值一定是负数；
应用：
（2）记某个正方形的面积为 ，边长为 ，某个矩形的面积为 ，若该矩形的一边长比正方形的边
长少3，另一边长为6，请比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） ，理由见解析．
【分析】本题考查了配方法，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．
（1）利用配方法，将原式变形为 ，即可解答；
（2）利用作差法，再将计算的结果变形，即可解答．
【详解】解：（1）
，
， ，
∴无论x取何值，代数式 的值一定是负数；
（2）
理由：由题意，得 ， ，
，
，即 ，
.【经典例题五 公式法解一元二次方程】
【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：
∴ ，
∴
解得： ，
1、（2024·广东深圳·模拟预测）解方程： ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：
∴ ，
∴
解得：
2、（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：
(1) ；(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2) ，
(3)方程无解
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键；
（1）由题意易得 ，然后根据公式法可进行求解；
（2）由题意易得 ，然后根据公式法可进行求解；
（3）由题意易得 ，然后根据公式法可进行求解．
【详解】（1）解：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（3）解：
∴ ，
∴ ，
∴原方程无解．
3、（2024·浙江金华·二模）设关于 的一元二次方程 ，已知① ， ；② ，
；③ ， ．请在上述三组条件中选择其中一组 ， 的值，使这个方程有两个实数根，并解
这个方程．
【答案】若选①，则方程的解为 ；若选②，则方程的解为
【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：①当 ， ，
∴ ，
∴
解得： ；
② ， ；
∴
∴
解得： ；
③ ， ．
，原方程无解．
【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】【例1】（2024·河南周口·模拟预测）一元二次方程 根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
【答案】A
【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根
的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程 根的判别式 ，当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根是
解题的关键．
【详解】解： ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选： ．
1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知不等式组 有且仅有4个整数解，则关于 的方程
的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
【答案】C
【分析】本题考查解含参数的一元一次不等式组、不等式的性质及利用判别式确定一元二次方程根的情况
等知识，先解一元一次不等式，再根据方程组解的情况得到 ，再结合一元二次方程的判别式，由
不等式的性质确定 即可得到答案，熟练掌握含参数的一元一次不等式组的解法及判别式与一元二次方
程根的情况是解决问题的关键．
【详解】解：由①得 ；
由②得 ；
不等式组 有且仅有4个整数解，
；
关于 的方程 中， ，
，即 ，
关于 的方程 无实数根，
故选：C．
2（2023·山东滨州·模拟预测）关于 的一元二次方程 的实数根情况为 ．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，算出一元二次方程根的判别式的值，即可求解，掌握一元
二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
3．（23-24八年级下·北京·期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为 ，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，学会运用非负数判断代数式的符号或
范围．
（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式 的值的符号就可以了；
△（2）把 代入已知方程，列出关于 的一元一次方程， ．通过解该方程求得 的值．
【详解】（1）解：
方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：若方程有一个根为 ，
则 ．
解得 ．
【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】
【例7】（2024·河南南阳·二模）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取
值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，由二次项系数非零以及根的判别式 ，即可
得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： 且 ．
故选：D．
1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）对于实数 定义新运算： ，若关于 的方程
有两个不相等的实数根，则 的取值范围（ ）A． B． C． 且 D． 且
【答案】A
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数范围，涉及新定义运算、解一元一次不等式等知识，
根据题中新定义运算得到 ，再由一元二次方程根的情况确定 ，解不等式即可得到答案，
掌握由一元二次方程根的情况求参数范围是解决问题的关键．
【详解】解： 实数 定义新运算： ，
由 可知， ，即 ，
关于 的方程 有两个不相等的实数根，
，即 ，
故选：A．
2．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）关于 的一元二次方程 有实数根，则 的
取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的
根的判别式与根的关系是解题关键．根据一元二次方程的定义可知 ，根据该方程有实数根，可得
，求解即可获得答案．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ 且 ，
解得 且 ．
故答案为： 且 ．
3．（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的两个一元二次方程：
方程①： ；方程②：
(1)证明方程①总有实数根，(2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值．
(3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)5
【分析】
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
（1）根据题意证明 即可；
（2）由方程②有两个相等的实数根，由二次项系数不为0及根的判别式等于0可得到关于 的方程则可求
得 的值；
（3）把 分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值．
【详解】（1）
∴无论k为何值时，方程总①有实数根
（2）∵方程②有两个相等的实数根，
且 ，
则 ，
则 ，
，
，
；
（3）根据a是方程①和②的公共根，
③， ④
得： ⑤，得： ，
代数式 ．
故代数式的值为5．
【经典例题八 根的判别式综合应用】
【例8】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知 和 均是以 为自变量的函数，当 时，函数值
分别为 和 ，若存在实数 ，使得 ，则称函数 和 具有性质 ．以下函数 和 具有
性质 的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，函数的性质，根据题中所给定义及一元二次方程根的判别
式即可逐一进行判断，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解： 、令 ，则 ，
∵ ，
∴该方程无解，故函数 和 不具有性质 ；
、令 ，则 ，
∵ ，
∴该方程无解，故函数 和 不具有性质 ；
、令 ，则 ，方程整理得， ，
∵ ，∴该方程无解，故函数 和 不具有性质 ；
、令 ，则 ，方程整理得， ，
∵ ，
∴方程有解，故函数 和 具有性质 ；
故选： ．
1．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）对于一元二次方程 ，下列说法：①若
，则 ；②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不
相等的实根；③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；②若 是一元二次方程
的根，则 其中正确的（ ）
A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①②③
【答案】B
【分析】①由 ，可得出 是一元二次方程 的解，进而可得出 ；
②由方程 有两个不相等的实根，可得出 ，结合偶次方的非负性，可得出
，进而可得出方程 有两个不相等的实根；
③代入 ，可得出 ，当 时，无法得出 ；
④利用求根公式，可得出 ，变形后即可得出 ．
【详解】解：① ，
是一元二次方程 的解，
，结论①正确；
② 方程 有两个不相等的实根，
，
，
方程 有两个不相等的实根，结论②正确；③ 是方程 的一个根，
，
若 为0，则无法得出 ，结论③不正确；
④ 是一元二次方程 的根，
，
，
，结论④正确．
正确的结论有①②④．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的
关键．
2．（23-24九年级上·重庆巴南·阶段练习）若关于x的不等式组 有且仅有4个整数解，且
关于x的方程 有解，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，解不等式组得出每个不等式的解
集，根据不等式组整数解的个数得出 ，由方程有实数根分 和 两种情况讨论，然后
利用根的判别式求出 ，继而可得在 符合条件的整数和．
【详解】
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
∴不等式组的解为∵关于x的不等式组 有且仅有4个整数解，
∴
解得 ；
∵关于x的方程 有解，
∴当 时，即 ，
方程为 ，方程有解，符合题意；
当 时，即 ，方程为一元二次方程
∴
整理得
解得
综上所述，a的取值范围为
∴满足条件的所有整数a有2，3，4
∴ ．
∴满足条件的所有整数a的和为9．
故答案为：9．
3．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于 的一元二次方程 两个实数解分别为
和 ，且
(1)求 的最大值；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查了根的判别式：
（1）先利用根的判别式的意义得到 ，解得 ，再用m表示n得到
，即 ，解不等式得到n的范围，从而得到n的最大值；
（3）利用 得到 或 ，当 ，易得 ；当 ，则 ，解得
（舍去），再计算对应的n的值，然后计算 的值．
【详解】（1）根据题意得 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴n的最大值为 ；
（2）∵ ，
∴ 或
当 ，则 ，即 ；
当 ，则 ，
解得 ，
而 ，
∴ 舍去，∴m的值为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【经典例题九 因式分解解一元二次方程】
【例9】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程： （因式分解）．
【答案】 ，
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握利用因式分解的方法解方程是解题的关键．
1、（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于 的方程（因式分解方法）：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可；
（2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可．
【详解】（1）解：
① ②
∴ ．
（2）解：
① ②
∴ ．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键．
2、（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程 ，我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式
①竖分二次项与常数项： （2）根据乘法原理，若 ，则 或 ，则方程
可以这样求解：
，
②交叉相乘，验中项： 方程左边因式分解得
∴ 或
∴ ，
③横向写出两因式： ∴
试用上述这种十字相乘法解下列方程
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ， ；(2) ， ．
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．
【详解】（1）解：
或
∴ ， ；
（2）解：
或
∴ ， ．
3、（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：把代数式 因式分解，可以如下分解：
(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式 因式分解；
(2)拓展：
①把代数式 因式分解；②若代数式 为 时（其中 ， ），则 的值为______．
【答案】(1)
(2)① ；② 或
【分析】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式．
（1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；
（2）①仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；②将方程左边因式分解后求出 与 的
关系，求出结果即可．
【详解】（1）解：
（2）解：①
，
，
，
，
② 代数式 为 ，或 ，
所以 的值为 时， 或 ．
【经典例题十 换元法解一元二次方程】
【例10】（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）若 ，则 的值是（ ）
A． 或3 B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】设 ，根据题意可得 ，整理并求出 的值，结合 ，确定符合
题意的 的值，即可获得答案．
【详解】解：设 ，根据题意可得 ，
整理可得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程以及非负数的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
1．（23-24九年级上·河北沧州·期中）若关于x的方程 的解是 ， （a，m，b均
为常数， ），则方程 的解是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】可把方程 看作关于 的一元二次方程，从而得到 ， ，然后
解两个一次方程即可．
【详解】解：将 化为
把方程 看作关于 的一元二次方程，
而关于x的方程 的解是 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的解法，解题的关键是用好整体的思想方法.
2．（22-23九年级上·山西运城·期中）已知实数a，b满足 ，则
．
【答案】8
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，设 ，则原方程转化为 ，然
后利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：设 ，则原方程转化为 ，
所以 ．
所以 或 ．
所以 或 （舍去）．
所以 ．
故答案为：8．
3．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）为了解方程 ，我们可以将 看作一个整体，然后设 ，则 ，那么原方程可化为 ，解
得
当 时， ．
当 时， ．
故原方程的解为 ．
请借鉴上面的方法解方程 ．
【答案】
【分析】解方程 ，应将 看作一个整体，利用换元法解；
【详解】解：设 ，则 ，
原方程可变为 ，
，
；
当 时， ，
即 ，
；
当 时， ，
即
此方程无解；故原方程的解为 ．
【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，属于中考常考题型．
【经典例题十一 一元二次方程的新定义解法】
【例11】（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，
我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程 与 为“友好方
程”，则m的值为（ ）
A． B． C．1或 D． 或
【答案】D
【分析】先利用因式分解法解方程 ，得到 ， ．再分别将x=0，x=-3代入
，求出m的值即可．
【详解】 ，
分解因式，得 ，
解得 ， ．
当 时， ，
解得 ；
当 时， ，
解得 ．
所以m的值为﹣1或﹣4．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，求出方程 的两个解是解题的关键．1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）定义符号 的含义为∶ 当 时， ；当
时， ，如： ， ，则方程 的解是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】根据定义新运算的方法，分类讨论，再根据解方程的方法即可求解．
【详解】解：当 是， ，
∴ ，整理得， ，
∴ ， ，
∴当 时， ，不符合题意，
∴ ；
当 时， ，
∴ ，整理得， ，
∴ ， ，
∴当 时， ，不符合题意，
∴ ；
综上所述， 的值为 或 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查定义新运算，因式分解解一元二次方程的运用，理解定义新运算的法则，掌握因式
分解解一元二次方程的方法是解题的关键．
2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若 、 是方程 的两个整数根，且满足
，则称此类方程为“自然方程”，例如： 是“自然方程”．
（1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号）① ；② ；③ ．
（2）若方程 是“自然方程”，m的值为 ．
【答案】 ② 2或0/0或2
【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算：
（1）利用“自然方程”定义判断即可；
（2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可．
【详解】解：①
，
∴ ，
∴ ，
则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；
②
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴该方程是“自然方程”；
③
∴ ，
∴ ，
则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；
故答案为：②
（2） ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵方程 是“自然方程”，
∴ ，
∴ 或0．
故答案为：2或0
3．（23-24九年级上·河南安阳·期中）定义：如果关于 的一元二次方程 满足
，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
(1)写出一个“凤凰”方程是______；
(2)“凤凰”方程必定有一个根是______；
(3)已知方程 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）本题主要考查一元二次方程根的情况，通过观察可以发现 是方程的根，直接写出一个
根为 一元二次方程即可．
（2）本题主要考查通过代数式观察，可以发现 是一元二次方程的一个根，直接求解即可．
（3）本题主要考查由一元二次方程根的情况，推导出 ，可以得到一个方程，再由凤凰方程，
又可以得到一个 的方程，然后去求， 和 即可，最后求出 的值．
【详解】（1）由题可知，要写出一个一元二次方程，并且满足一个根是 ；
即为： ．
（2）关于 的一元二次方程 ，且满足 ；
∴ 时， ；
故凤凰”方程必定有一个根是 ．（3） 是“凤凰”方程；
，即 ；
方程 有两个相等的实数根；
．将 代入，得 ；
解得： ；
．
1．（2024年河南省周口市郸城县押题模拟联考三模数学试题）已知实数m，现甲、乙、丙、丁四人对关
于x的方程( 讨论如下，则下列判断正确的是（ ）
甲：该方程一定是关于x 乙：该方程有可能是关于 丙：当 时，该方 丁：当 时，该方
的一元二次方程 x的一元二次方程 程没有实数根 程有两个实数根
A．甲和丙说得对 B．甲和丁说得对 C．乙和丙说得对 D．乙和丁说得对
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
根据一元二次方程的定义对甲和乙的说法进行判断；根据根的判别式的意义对丙和丁的说法进行判断．
【详解】解：当 时，方程( 变形为 ，此时方程为一元一次方程，所以甲
的判断错误；
当 时，方程 为一元二次方程，所以乙的判断正确；
∵ ，
若 ，则 ，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴丙的判定错误；∴ ，
则 ，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴丁的判定正确.
故选D
2．（2024年山东省济宁市邹城市第十中学中考数学模拟试题）若关于x的方程 有实数
根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的解的情况，分为 时，是一元一次方程有解， 时，方程
为一元二次方程，要求 ，根据两种情况解题即可．
【详解】解：当 时，即 ，这时方程为 ，解得 ；
当 时，方程为一元二次方程，则 ，
解得 且 ，
综上所述，m的取值范围是 ，
故选A．
3．（2024年山东省济宁市邹城市第十中学中考数学模拟试题）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方
程 的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．1 B．11和13 C．11或8 D．13
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，先解方程求出方程的解，然后利用三角形的
三边关系判断解得情况，并计算三角形的周长即可．
【详解】解方程 得 或 ，
当 时， ，不能构成三角形；
当 时，这个三角形的周长是 ，
故选D．4．（2024年四川省德阳市罗江区九年级中考二模数学试题）关于x的一元二次方程 有
两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，由题意得，
，且 ，即可求解．
【详解】解：由题意得， ，且 ，
解得， 且 ．
故选：D．
5．（2024年四川省德阳市中江县中考二模数学试题）若实数m、n满足， 则m的取值
范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得关于n的一元二次方程
有解，则 ，进而得到 ，再由乘法的运算法
则可得 或 ，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵关于n的一元二次方程 有解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 或
解得 或 ，
故选：D．
6．（2024年甘肃省定西市安定区城区学校联考九年级中考三模数学试题）若关于 的一元二次方程
有实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当 时，方程有两个
不相等的两个实数根；当 时，方程有两个相等的两个实数根；当 时，方程无实数根．根据一元
二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，且 ，
解得， 且 ，
故答案为： 且 ．
7．（2024年山东省聊城市运河教育联合体九年级中考数学模拟试题（二））对于实数 ， ，先定义一
种新运算“ ”如下： ，若 ，则实数 的值为 ．
【答案】3
【分析】根据新定义，分类计算即可．
本题考查了新定义运算，正确理解运算是解题的关键．
【详解】当 时，
变形得 ，
整理，得 ，
解得 （舍去）．
当 时，变形得 ，
解得 （舍去）．
故答案为：3．
8．（2024年山东省淄博市桓台县中考二模数学试题）已知点 是一次函数 的图象上位于第一
象限的点，其中实数 ， 满足 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元二次方程，根据题意已知等式可得 ，根据点
是一次函数 的图象上位于第一象限的点，得出 ，且 ， ，联立解方程，即
可求解．
【详解】 ，
化简，得 ，
点 是一次函数 的图象位于第一象限部分上的点，
，
，
解得， 或 ，
点 是一次函数 的图象位于第一象限部分上的点，
， ，
故点 的坐标为 ，
故答案为 ．9．（专题03特殊平行四边形（知识串讲 热考题型 真题训练）-2023-2024学年八年级数学下学期期中期
末考点归纳满分攻略讲练（人教版））如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O，过点O作
，交 于点E，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查勾股定理，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
利用矩形的性质先求得 ，再利用勾股定理得到 ，即可得解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，则 ，
设 ，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去），
故答案为：2．
10．（2024年山东省威海市环翠区中考一模数学试题）已知实数k满足以下条件：
①关于x的一元二次方程 有实数根；② 的解集为 ．
则满足以上所有条件的整数k的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，解一元一次不等式组；根据一元二次方程根的判
别式以及一元二次方程的定义可得 且 ，根据一元一次不等式组的解集得出 ，进而求得 的
范围，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根；
∴ ，且
解得： 且
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组的解集为：
∴
解得：
∴ 且
∴足以上所有条件的整数k的和为
故答案为： ．
11．（山东省烟台市烟台经济技术开发区实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）解方程
(1) ；
(2)
【答案】（1） （2） ，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
【详解】解：（1）
解得： ；
（2）
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
， ．
12．（2024年甘肃省金昌市永昌县第五中学联片教研中考三模数学试题）已知关于 的一元二次方程
．
(1)当 时，求方程的解；
(2)若该方程有实数根，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）根据一元二次方程跟的判别式 ，列出不等式求解即可．【详解】（1）解：当 时，原方程可化为 ，
配方，得 ，
解得 ；
（2）解：∵该方程有实数根，
∴ ，
解得 ，
即若该方程有实数根， 的取值范围是 ．
13．（衔接作业（3） 实际问题与一元二次方程-【金牌题库】2023八年级数学暑假作业（人教版））阅
读下列材料：
(1)将 分解因式，我们可以按下面方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，验中项： ．
③横向写出两因式： ．
注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法．
(2)根据乘法原理：若 ，则 或 ．
① ；
② ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程 因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解．
（1）利用十字相乘法因式分解求解；
（2）利用十字相乘法因式分解求解．【详解】（1）解： ，
，
， ，
， ；
（2）解： ，
，
，
．
14．（安徽省八年级下学期期中必刷压轴60题（23个考点专练）-2023-2024学年八年级数学下学期考试
满分全攻略高频考点 重难点讲练与测试（沪科版））观察下列方程及其解的特征：
(1)请猜想：方程 的解为 ；
(2)请猜想：关于 的方程 的解为 ， ；
(3)下面以解方程 为例，验证（1）中猜想结论的正确性．
解：原方程可化为 ．
（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
【答案】(1) ，
(2)
(3)见解析
【分析】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是认真审题，寻找规律．
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采
用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数．
【详解】（1）解：方程整理得： ，
其解为 ， ；
（2）解：猜想得： 其解为 ， ，
故答案为： （或 ；
（3）解：方程二次项系数化为1，
得 ．
配方得，
，即 ，
开方得，
，
解得 ， ．
经检验， ， 都是原方程的解．
15．（第17章一元二次方程常考易错（11个考点40专练）-2023-2024学年八年级数学下学期考试满分全
攻略高频考点 重难点讲练与测试（沪科版））已知关于 的一元二次方程 有两个实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)设 是方程的一个实数根，且满足 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式．
（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式 ，建立关于 的不等式，求出 的取值范围．
（2） 是方程的一个实数根，则 ，则 ，代入 ，
求得 的值．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵ 是方程的一个实数根，则 ，则 ，
则 ，即 ，
解得： （舍去）或 ．
故 的值为 ．
