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专题05 一元二次方程80道计算题专训（8大题型）
题型一 一元二次方程的解
题型二 直接开平方法解一元二次方程
题型三 配方法解一元二次方程
题型四 公式法解一元二次方程
题型五 因式分解法解一元二次方程
题型六 换元法解一元二次方程
题型七 一元二次方程根与系数关系计算
题型八 一元二次方程新定义计算
【经典例题一 一元二次方程的解】
1．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）先化简，后求值： ，其中m是方
程 的根．
【答案】 ，10
【分析】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握平方差公式，完全平方
公式；由平方差公式，完全平方公式进行化简，再把结果变形为 ，由一元二次方程的解的定
义可得 ，再整体代入求值即可；
【详解】解：
，
m是方程 的根，
，
原式 ；2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知 是方程 的一个根，求 的值．
【答案】
【分析】
由 是方程 的一个根，得到 ，将 化为 ，代
入后，即可求解，
本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化．
【详解】
解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，即： ，
∴
，
故答案为： ．
3．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程 的一个根，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到 ，进而得到 ，
，整体代入代数式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ， ，
∴ ．
4．（23-24九年级上·广东梅州·期中）若 是关于 的一元二次方程 的一个解．求 的
值．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将 代入原方程，找出关于 的方程是解题的关键．将 代
入原方程可得出关于 的一元一次方程，解之即可求出 的值．【详解】解：将 代入原方程得： ，
，
．
答： 的值为
5．（23-24九年级上·北京大兴·期末）已知 是方程 的一个根，求代数式 的
值．
【答案】
【分析】本题考查整式化简求值，由 是方程 的一个根，可得 ，把
化简变形再代入即可求得答案．
【详解】 是方程 的一个根，
，
，
，
．
6．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知 是一元二次方程 的一个根，求代数式
的值．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，先根据 是一元二次方程 的一个根
得出 ，再将式子化简为 ，整体代入进行计算即可得出答案．
【详解】解： 是一元二次方程 的一个根，
，，
．
7．（2023·北京石景山·一模）已知实数 是 的根，不解方程，求 的
值．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项，根据方程的
解的概念求得 ，根据多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项法则化简代数式，然后整
体代入即可，熟练掌握运算法则和正确理解整体代入思想是解题的关键．
【详解】解：∵实数 是 的根，
∴ ，即 ，
由
，
，
，
∵ ，
∴原式 ，
．
8．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知m是方程 的根，求代数式
的值．
【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值．由题意易得 ，然后把代
数式进行化简，最后整体代入求解即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴
．
9．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知 是方程 的一个根，求代数式
的值．
【答案】4
【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，根据 是方程 的一个根得出
，将 化简为 ，最后将 整体代入进行计算即可，根据
题意得出 是解此题的关键．
【详解】解： 是方程 的一个根，
，
，
．
10．（23-24九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）先化简，再求值：已知 是一元二次方程 的一个
根，求代数式 的值
【答案】化简结果： ，代数式的值为：5【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再把除法运算化为乘法运算，约分后可得化简结果，再利用一
元二次方程的根的含义可得 ，从而可得答案．
【详解】解：
；
∵ 是一元二次方程 的一个根，
∴ 即 ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，分式的化简求值，熟记分式的混合运算的运算顺序是解本题的
关键．
【经典例题二 直接开平方法解一元二次方程】
11．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）先把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解；
（2）先把常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解．
【详解】（1）解：两边都除以2得： ，
直接开平方得： ，
∴ ， ．（2）解：移项得： ，
两边都除以 得： ，
直接开平方得： ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
12．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【分析】（1）利用直接开方法即可求解．
（2）利用直接开方法即可求解．
（3）利用直接开方法即可求解．
【详解】（1）解：原方程变形为： ，
开方得： ，
解得： ， ．
（2）原方程变形为： ，
开方得： ，解得： ， ．
（3）原方程变形为： ，
开方得： ，
解得： ， ．
【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，熟练掌握其方法是解题的关键．
13．（2022九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【分析】（1）移项，直接开平方；
（2）移项，直接开平方；
（3）直接开平方．
【详解】（1）解：∵ ，
开方得 或 ，
解得 ， ；
（2）解：移项得 ，
开方得 或 ，
解得 ， ；（3）方程两边直接开方得
或 ，
∴ 或 ．
解得 ， ．
【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，熟记解一元二次方程的方法是解题的关键．
14．（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）用直接开平方法解答即可；
（2）用直接开平方法解答即可．
【详解】（1） ，
移项，得 ，
两边同时除以49，得 ，
开方，得 ，
则方程的两个根为 ， ．
（2）
两边同时除以9，得 ，
开方，得 ，
即 或 ，则方程的两个根为 ， ．
【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法.
15．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）将原方程移项可得 ，然后利用直接开方法求解即可；
（2）将原方程移项可得 ，然后利用直接开方法求解即可．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开方法解一元二次方程是解题关键．
16．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知关于 的一元二次方程 ，请你选取一个适当
的 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．
(1)你选取的 的值是 ；
(2)解这个方程．【答案】(1)12（答案不唯一）
(2)
【分析】（1）由于方程左边可化为 ，能用直接开平方求解，只要给出 的值使 的值不大于16即
可，答案不唯一；
（2）将这个一元二次方程利用开方法进行解答即可得解．
【详解】（1）解： ，
，
若关于 的一元二次方程 能用直接开平方法求解，
，解得 ，
可令 ，答案不唯一，
故答案为：12（答案不唯一）；
（2）解：若 ，则 ，
，即 ，
直接开平方得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键掌握直接开平方法解方程．
17．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法求下列各方程的根：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．【答案】（1） 或 ；（2） 或 ；（3） 或 ；（4） 或
【分析】（1）直接开平方法即可；
（2）先移项再将二次项系数化为1，再直接开平方法；
（3）先移项再将二次项系数化为1，再直接开平方法；
（4）先移项再将二次项系数化为1，再直接开平方法．
【详解】（1）∵ x2=361，
∴x =19或x =-19．
（2）∵2y2-72=0，
2 y 2=72，
y 2=36，
∴y =6或y =-6．
（3）∵5a2-1=0，
5 a 2=1，
a 2= ，
∴a = 或a =- ．
（4）∵-8m2+36=0，
-8 m 2=-36，
m 2= ，
∴m = 或m =- ．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键．
18．（2022九年级上·全国·专题练习）解方程： （直接开平方法）
【答案】 ，
【分析】这个式子先移项，变成 ，从而把问题转化为求25的平方根．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴x+2=±5，
∴x+2=5或x+2=－5，
∴ ， ．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要把方程化成 （a≥0）的形式，
利用数的开方直接求解．
19．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）用直接开平方法解方程．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解；
（2）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
解得 ；
（2）解： ，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
20．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程．（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ， ；（2） ，
【分析】（1）方程两边直接开方，根据平方根的定义，得 ．即 ， ．
（2）方程两边直接开方，根据平方根的定义，得 ，即 ， ．
【详解】解：（1）
∴
解得 ，
（2）
∴
∴ ，
【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法.
【经典例题三 配方法解一元二次方程】
21．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）用配方法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程 配方法．熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
根据配方法解一元二次方程的步骤进行计算即可．
【详解】解：原方程变形为 ，
，
，解得： ， ．
22．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）用配方法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，两边都加
上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得解．
【详解】解： ，
原方程化为 ，
配方得 ，
即 ，
开方得 ，
，
∴ ， ．
23．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键．
先移项，然后再按照配方法即可解答．
【详解】解： ，
，，
，
，
，
，
∴ ．
24．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）解方程： （用配方法）
【答案】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接
着方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后解方程即可．
【详解】解：
，
，
，
，
，
解得 ．
25．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【详解】解：（1）移项，得 ．
配方，得 ，
即 ．
直接开平方，得 或 ，
解得 ， ．
（2）移项，得 ．
二次项系数化为1，得 ，即 ．
直接开平方，得 ，
解得 ．
26．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）用配方法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：移项得： ，
将二次项系数化为1得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ， ．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程：1、把原方程化为一般形式；2、方程两边同除以二次项系
数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；3、方程两边同时加上一次项系数一半的平方；4、把
左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；5、进一步通过直接开平方法求出方程的解．
27．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是亮亮用“配方法”解一元二次方程 的
过程：
解：
二次项系数化为1，得 第一步
移项，得 第二步
配方，得 ，即 第三步
由此可得 第四步
第五步
(1)“配方法”所依据的公式是___________；（填“完全平方式”或“平方差公式”）
(2)上面解答过程，从第________步开始出现错误；
(3)写出正确的解答过程；
(4)根据经验，请你就解方程过程中的注意事项给同学们提一条建议．
【答案】(1)完全平方式
(2)三
(3)过程见详解
(4)配方时应注意等式两边加上一次项系数一半的平方
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由题意可直接进行求解；
（3）根据配方法解方程即可；
（4）根据解方程的特点提出合理建议即可．
【详解】（1）“配方法”所依据的公式是完全平方式；
故答案为完全平方式；
（2）上面解答过程，从第三步开始出现错误；
故答案为三；
（3）解：
二次项系数化为1，得
移项，得
配方，得 ，即
由此可得
∴ ；
（4）建议为配方时应注意等式两边加上一次项系数一半的平方．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键．
28．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）有 n个方程： ； ； ；
．小静同学解第一个方程 的步骤为： ； ；
； ； ； ， ．
(1)小静的解法是从步骤____开始出现错误的；
(2)用配方法解第 个方程 ．（用含有 的式子表示方程的根）
【答案】(1) ；
(2) ， ．【分析】（ ）移项要变号即可；
（ ）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可；
此题考查了解一元二次方程的应用，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）方程 移项，得 ，故小静的解法是从步骤 开始出现错误的，
故答案为： ；
（2） ，
移项，得： ，
两边同时加上 ，得 ，
配方，得 ，
两边同时开平方，得 ，
移项，得 ，
∴ ， ．
29．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）用配方法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，掌握配方的步骤：“第一步∶ ，第二步：
，第三步： ， 第四步： ；”是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
，
解得 ， ．30．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）配方法解一元二次方程 ．
下面是某同学的解题过程，请认真阅读并完成任务
．
解： ． 第一步
． 第二部
． 第三步
第四步
第五步
， ． 第六步
任务一：该同学解答第________步出现了错，错误的原因是________________．做这一步的依据是
________________________
任务二：写出用配方法解方程 的正确过程．
【答案】任务一：三；配方错误；等式的基本性质1；任务二： ， ；过程见解析
【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为1，继而
边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．熟知配方法解一元二次方程的方法及
一般步骤是解题的关键．
【详解】解：任务一：第三步开始出现错误；错误的原因是配方错误；等式的基本性质1；
故答案为：三；配方错误；等式的基本性质1；
任务二：配方法解方程 的正确过程如下：
，
，
，，
，
，
解得： ， ．
【经典例题四 公式法解一元二次方程】
31．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）用公式法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，直接利用公式法进行计算即可求解，掌握公式法解一元
二次方程的步骤是解题的关键．
【详解】解： ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
32．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；(3) ， ；
(4) ， ；
【分析】（1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案；
（2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案；
（3）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案；
（4）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：原方程化简得，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（3）解：原方程化简得，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ；
（4）解：原方程化简得，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
， ；
【点睛】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握 ， ．
33．（2023九年级上·江苏·专题练习）用公式法解下列关于x的方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)当 时， ， ；当 时，原方程无实数根
(2) ，
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）∵ ，∴当 时， ， ；
当 时，原方程无实数根；（2）原方程可化为： ，
∵ ，
∴原方程的解为： ， ．
【点睛】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．
34．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）解方程： （用公式法）
【答案】 ，
【分析】按照公式法的求解步骤求解即可．
【详解】解：
， ，
， ．
【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．
35．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）解方程（用公式法）： ．
【答案】 ， ．
【分析】先求解 ，再直接利用公式法解方程即可．
【详解】解： ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握求根公式 是解本题的关
键．
36．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）用公式法解方程： ．
【答案】
【分析】利用公式法求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程求根公式是解题的关键．
37．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）用公式法解方程： ．
【答案】
【分析】先找出方程中 的值，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解： ．变形得： ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程，牢记公式是解题关键．
38．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程 ．
解：∵ ， ， ， ，∴ ，
∴ ， ．
【陷阱】__________________________________________________
【答案】见解析
【分析】先把方程化成一般式，后求解．
【详解】用公式法解方程时，没有先把方程化成一般形式，系数找错．
，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查了公式法解方程，把方程化成一般式是解题的关键．
39．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）用公式法解一元二次方程
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程 公式法，先计算根的判别式的值，然后利用求根公式写出方程的解．
熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
【详解】解： ，
， ， ，
，
，
， ．
40．（2023九年级上·江苏·专题练习）用公式法解下列方程：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)方程无实数解
(2)方程无实数解
【分析】（1）利用公式法即可求解；
（2）利用公式法即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
故方程无实数解；
（2）解：∵ ，
∴ ，
故方程无实数解．
【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程．掌握相关结论即可．
【经典例题五 因式分解法解一元二次方程】
41．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方程是解题关键．
（1）利用直接开方法求解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解方求一元二次方程．
【详解】（1）解： ，
，；
（2） ，
，
，
．
42．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法、公式法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ；
（2）解： ，
则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ．43．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，根据因式分解
法解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
化简得： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： ， ．
44．（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料：
(1)将 分解因式，我们可以按下面方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，验中项： ．
③横向写出两因式： ．
注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法．
(2)根据乘法原理：若 ，则 或 ．
① ；
② ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程 因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解．（1）利用十字相乘法因式分解求解；
（2）利用十字相乘法因式分解求解．
【详解】（1）解： ，
，
， ，
， ；
（2）解： ，
，
，
．
45．（23-24八年级下·浙江温州·期中）选择合适的方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
或 ，
∴ ， ；（2）解： ，
，
，
或 ，
∴ ， .
46．（2024八年级下·安徽·专题练习）解方程：
【答案】 ，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，
因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的因式分解法比较简单，先移项，再因式
分解，可得方程因式分解的形式，即可求解．
【详解】解： ，
移项得， ，
，
或 ，
解得 ， ．
47．（2024·广西桂林·二模）解一元二次方程： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键．直接运
用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
，
或 ，
所以 ．48．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用十字相乘法分解因式，据此解方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ．
49．（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方
程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解： ，
因式分解得 ，
即 或 ，
解得 ， ．
（2）解： ，
移项得 ，因式分解得 ，
即 或 ，
解得 ， ．
50．（23-24八年级下·山东济宁·期中）解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ， ．
【经典例题六 换元法解一元二次方程】51．（23-24九年级上·广东汕头·期中）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解
决问题的基本思维方式，例如：解方程 ，就可以利用该思维方式，设 ，将原方程转化为：
这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维
方式和换元法解决下面的问题：
(1)解方程： ；
(2)解方程： ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）设 ，则可把原方程转化为 ，再利用因式分解解方程，再把 的值
代入 ，再解方程并检验即可；
（2）设 ，原方程可变形为： ， 利用因式分解的方法求解 ，再代入 ，再
解方程即可．
【详解】（1）解：设 ，
则原方程转化为 ，
解得， ， ，
∵ ，
∴ 不合题意，舍去，
∴ ，即 ，解得， ， ．
（2）设 ，
原方程可变形为： ，
因式分解为： ．
∴ 或 ，
∴ 或 ，
对于方程 ，解得 ， ，
对于方程 ，∵ ，
∴此方程无解，
∴原方程的解为： ， ．
【点睛】本题考查的是利用换元法解方程，一元二次方程的解法，熟练的进行换元是解本题的关键．
52．（23-24九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）观察下面一列一元二次方程及其根：
① 的两个实数根是 ；
② 的两个实数根是 ；
③ 的两个数根是 ．
……
(1)按规律在下面的横线上写出第4个一元二次方程及它的两个实数根，
④
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1) 的两个数根是 ；
(2) ， ；
【分析】（1）由前几个方程得到一次项系数、常数项与方程的解的关系，再写出第④个方程即可；（2）把 看作整体未知数，再结合一次项系数与常数项的特点可得 或 ，从而可得答
案．
【详解】（1）解：① 的两个实数根是 ；
② 的两个实数根是 ；
③ 的两个数根是 ．
∴④ 即 的两个数根是 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ；
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，掌握特殊的一元二次方程的特殊解法是解本题的关键．
53．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）【阅读理解】为了解方程 ，我们可以
将 看作一个整体，设 那么原方程可化为 ①，解得 ， ．
当 时， ，∴ ，∴
当 时， ，∴ ，∴
综上，原方程的解为 ， ， ，
【方法分析】填空：上解结题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了换元法达到了______的目的，
体现数学的______思想．
【小试牛刀】请利用以上方法解方程：
【拓展应用】请你借鉴上述方法利用方程解决问题：已知四个连续的偶数的积是 ，求这四个偶数中最小的偶数．
【答案】方法分析：降次，整体与划归；小试牛刀： ， ， ；拓展应用：最小的偶
数为 或 ．
【分析】方法分析：题目中的方法用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想；
小试牛刀：令 ，得 ，用因式分解法解方程求出 的值，再求出 的值；
拓展应用：设最小的偶数为 ，则其他四个偶数一次为 ， ， ，列方程求解即可．
【详解】解：方法分析：将 设为 ，利用了换元法达到了降次的目的，体现了整体与划归的数学思想，
故答案是：降次，整体与划归；
小试牛刀：令 ，则 ，解得 ， ，
当 时， ，解得 ， ，
当 时， ， ，
综上：方程的解是 ， ， ；
拓展应用：设最小的偶数为 ，则其他四个偶数一次为 ， ， ，
，
设 ，则 ，
解得 或 ，
当 时， ，即 ，
∵ ，
∴ 无实数根，
当 时， ，即 ，
∴ ， ，
∴最小的偶数为 或 ．
【点睛】本题考查用换元法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法．
54．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”
简化运算．“缩根法”是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元
二次方程，并将新方程的两根同时缩小若干倍，从而得到原方程的两个根．
已知：关于 的一元二次方程 的两根为 ，求关于 的一元二次方程
的两根．
解： ，令 ，
得新方程 ，
新方程的解为 ，
原方程的两根为 ．
这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法”
举例：用缩根法解方程 ．
解： ，令 ，
得新方程 ．
解新方程得： ，
原方程的两根为 ．
请利用上面材料解决下列问题，并写出具体步骤：
(1)用缩根法解方程： ；
(2)用缩根法解方程： ．
【答案】(1) ， ；
(2) ，【分析】（1）设 ，得到新方程 ，再求出新方程的解，即可得出原方程的解；
（2）将方程两边都乘以3，得 ，设 ，得到新方程 ，
再求出新方程的解，即可得出原方程的解．
【详解】（1）解：设 ，得到新方程 ，
解得 ， ，
即 或 ，
所以原方程的两个根是 ， ；
（2）解：原方程整理为 ，
设 ，得到新方程 ，
解得 ， ，
所以原方程的解是 ， ．
【点睛】本题主要考查了“缩根法”解一元二次方程即换元法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方
法是解题的关键．
55．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足 ，那么
的值为 ；
（2）如果实数x、y满足 ，那么代数式 的值为 ；
（3）如果实数x满足 ，求代数式 的值．
【答案】（1）9或 ；（2）9；（3）1
【分析】（1）设 ，将原方程转化为关于 的一元二次方程，通过解该方程求得 的值即可．
（2）设 ，将原方程转化为关于 的一元二次方程，通过解该方程求得 的值即可．（3）设 ，则由原方程得到关于 的一元二次方程，通过解该方程得到 的值；然后将其代
入所求的变形后的代数式进行求值．
【详解】解：（1）设 ，
于是原方程可变为 ．
整理，得 ．
所以 或 ．
即 值为9或 ．
故答案为：9或 ；
（2）设 ，
于是原方程可变为 ．
整理，得 ．
所以 或 （舍去）．
即代数式 的值为9；
（3）设 ，则 ，
整理，得 ，
解得 或 ，
当 时， 无解（舍去），
即 ，
所以
．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是
等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、
复杂问题简单化，变得容易处理．
56．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）阅读材料，解答问题．解方程： ，
解：把 视为一个整体，设 ，
则原方程可化为 ．
解得 ， ．
∴ 或 ．
∴ ， ．
以上方法叫做换元法，达到了简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）把 看做一个整体，设 ，则原方程可化为 ， ， ；
（2）把 看做整体，设 ，则原方程可化为 ，解得 ， ．
【详解】（1）解：
把 看作一个整体，设 ，
则原方程可化为 ，
解得 ， ，
∴ 或者 ，
∴ ， ．
（2）解： ，把 看作整体，设 ，
则原方程可化为 ．
解得 ， （舍去），
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握换元法，准确计算．
57．（23-24九年级上·吉林松原·期中）阅读材料：解方程 ，我们可以将 视
为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 ，解得 ， ．
当 时， ， ，
当 时， ， ，
原方程的解为 ， ， ，
根据上面的解答，解决下面的问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)解方程 ．
【答案】(1)换元；转化
(2)该方程的解为 ；
【分析】（1）由换元的方法可知解题的思想是将复杂问题转化为简单问题解决的思想．
（2）令 ，原方程化为 ，解得a得值，再分情况即可求解．
【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思
想，
故答案为：换元；转化．
（2）令 ，原方程化为 ，解得 ， ，
当 时， ，
∴该方程无解；
当 时， ，
，
综上，该方程的解为 ， ．
【点睛】本题主要考查换元法解方程的方法，我们常用的是整体换元法，把一些形式复杂的方程通过换元
的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
58．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ，解得 ， ．
当 时， ， ；
当 时， ， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程 的过程中，利用______法达到了解方程的目的，体现了转化的
数学思想；
(2)请利用以上知识解方程 ．
【答案】(1)换元
(2) ，
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再
解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把 当成一个整体 来计算，求出 的值，再解一元二次方程．
【详解】（1）解：上述解题过程，在由原方程得到方程 的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，故答案为：换元；
（2）解：设 ，原方程可变为 ，
则 ，
好 ，
， ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，无解；
原方程的解为 ， ．
【点睛】本题应用了换元法，把关于 的方程转化为关于 的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方
程化繁为简化难为易，解起来更方便．
59．（23-24九年级上·山西长治·阶段练习）阅读下面的材料：
解方程 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，则 ，
∴原方程可化为 ．
解得 ， ．
当 时， ， ；
当 时， ， ．
∴原方程有四个根是 ， ， ， ．
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)解方程： ，得该方程的解为______
(2)运用上述方法解方程： ．
【答案】(1) ， ， ，(2) ，
【分析】（1）原方程可化为 ，解一元二次方程即可求解．
（2）设 ，则 ，原方程可化为 ，解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：原方程可化为 ，
解得： ， ，
当 时， ， ；
当 时， ， ，
∴原方程有四个根是 ， ， ， ，
故答案为： ， ， ， ．
（2）设 ，则 ．
∴原方程可化为 ，
解得 ， ．
当 时， ，该方程无实数根，
当 时， ， ， ，
∴原方程有两个根 ， ．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
60．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）阅读材料，并解答问题：
数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用
一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程 ，我们将 看
成一个整体，然后设 ，则原方程化为 ，∴ ，解得 ， ．当 时， ，∴ ；当 时， ，∴ ．综上所述： ， ，
， ．
请利用以上方法解下面方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设 ，则 ，解得 ，根据 ，得出 ，求解即可；
（2）设 ，则 ，解得： ，分别求解当 时，和当 时，方程
的解即可；
（3）设 ，则 ，求解 ，分别求解当 时和当 时方程 的解
即可．
【详解】（1）解： ，
设 ，
，
，或 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
（2）解： ，
设 ，
，
，
或 ，
解得： ，
当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，
综上： ．
（3）解： ，
设 ，
，
，
，
或 ，，
经检验， ，是方程 的解，
当 时， ，
解得： ，
经检验， 是方程 的解；
当 时， ，
解得： ，
经检验， 是方程 的解；
综上： ．
【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是正确理解题目所给换元法
解方程的方法和步骤，以及解分式方程的方法和步骤．
【经典例题七 一元二次方程根与系数关系计算】
61．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若方程有两个不相等的实数根 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
【分析】本题考查了一元二次方程 （ 为常数）根的判别式与根的个数，以及根与
系数的关系．当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程
没有实数根．熟练掌握相关知识点是解题的关键．注意在利用根与系数的关系时，不要忽略判别式 的取
值范围．
（1）根据方程有实数根： ，进行计算即可；（2）根据方程两个不相等的实数根： ，再利用根与系数的关系得出 ，进行计算即
可；
【详解】（1）解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
，
解得： ．
的取值范围为： ．
（2）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ，
，
解得： ．
，即 ，
，
或 ，又 ，
．
62．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若 是关于 的一元二次方程 的两个实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1) 且
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的定义，一元二次方
程解的定义：
（1）根据判别式和一元二次的定义进行求解即可；
（2）把 代入原方程求出k的值，进而由根与系数的关系得到 ，再求出，最后利用整体代入法求解即可．
【详解】（1）解：∵ 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ 且 ；
（2）解：把 代入 中得： ，
∴ ，
∴原方程为 ，即 ，
∴ ，
∴
．
63．（23-24八年级下·山东济南·期中）关于x的一元二次方程 有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当 时，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．
（1）根据判别式的意义得到 ，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ， ，代入 ，然后解关于m的方程即可．
【详解】（1）由题意得： ， ， ，
原方程有实数根，
，
解得： ；
（2） ，
由根与系数的关系得： ， ，
，
或 ，
，
．
64．（23-24九年级下·四川乐山·期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 为何实数，方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根为 和 ，且满足 ，求此时实数 的取值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法，掌
握根的判别式的含义是解本题的关键．
（1）先计算 ，从而可得结论；
（2）由根与系数的关系可得 ， ，再代入 ，建立方程求解即可．【详解】（1）证明：由题可知： ，
所以无论 为何实数，方程总有两个实数根．
（2）解：由根与系数的关系得： ， ，
故
∴
解得 ．
65．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于 的一元二次方程 ．
(1)如果方程有实数根，求 的取值范围；
(2)如果 是这个方程的两个根，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式等知识．
熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式是解题的关键．
（1）由题意知 ，计算求解即可；
（2）由题意知， ， ，由 ，可得 ，即
，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得， ；
（2）解：由题意知， ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
解得， ，
∴ 的值为 ．
66．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果方程有一个根为2，求方程两根的乘积．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根和系数的关系，根的判别式： 方程有两个不相
等是实数根； 方程有两个相等的实数根； ，方程没有实数根；根和系数的关系： ，
．
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）设方程的另一个根为 ，将 代入方程，求出 ，再由根和系数的关系求解即可．
【详解】（1）证明： ，
，
方程总有两个实数根
（2）解：设方程的另一个根为 ，
方程有一个根为2，
∴将 代入原方程得： ，
解得： ，
．
67．（2024·广东东莞·一模）已知一元二次方程
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为 ， 且 求m的值．【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握
相关知识是解题关键．
（1）结合该一元二次方程有两个实数根，由一元二次方程的根的判别式 列出不等式并求解
即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可知， ，结合 ，求
出m的值即可获得答案．
【详解】（1）解：在方程 中， ，
当方程有两个实数根时， ，
∴
解得： ；
（2）解：由根与系数的关系得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
由（1）可知 ，
∴ ．
68．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若该方程有实数根，求m的取值范围．
(2)若 时，求 的值．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了根的判别式：
（1）先用 的式子表示根的判别式，再根据方程有实数根知 ，列出不等式求解即可得 的取值范围；
（2）把 代入方程，再根据根与系数的关系求得两根的和与积，再把 变形，代入求解即可．
熟知一元二次方程根与系数的关系是关键．
【详解】（1）解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
则 ，
即 ，
，
的取值范围 ；
（2）当 时， ，
设 ， 是方程 的两根，
， ，
，
．
69．（23-24九年级下·北京顺义·阶段练习）已知关于x的方程 有两个不相等的实数
根．
(1)求n的取值范围；
(2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的两个根的乘积大于1，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程
根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键
（1）由题意知， ，计算求解，然后作答即可；
（2）由题意知， ，设方程的两根为 ，依题意得， ，即 ，计算求解，
然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，
解得， ，
∴n的取值范围为 ；
（2）解：由题意知， ，
设方程的两根为 ，
依题意得， ，即 ，
解得， 或 ，
∴m的取值范围为 或 ．
70．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个
不相等的实数根．
(1)若满足 ，求 的值；
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 （ ）的
两根时， ， ．也考查了一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式．熟练运用一元二次方程根与系数的关系、根的判别式是解题的关键．
（1）利用根的判别式的意义得到 的取值范围，然后根据根与系数的关系得出 ，
，由 得到 ，然后解方程，再利用 的范围确定满足条件的 的值即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，推出 ，根据 得出 ，
即可证明 ．
【详解】（1）解：∵ 、 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
根据一元二次方程根与系数的关系得： ， ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ 的值为3；
（2）证明：
，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【经典例题八 一元二次方程新定义计算】
71．（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“ ”为： ，
例如： ．
(1)化简： ；
(2)解关于x的方程： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程：
（1）根据新定义进行求解即可；
（2）根据新定义可得 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
72．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）定义： ，解关于x的方程：
；【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解定义的新运算，得出不等式是解题的关键，分
和 两种情况，分别根据定义的运算得出不等式，进而可得答案．
【详解】解：当 时，即 ，
，
解得： ，
，
舍去，
当 时，即 ，
，
解得： ，
，
舍去，
综上所述，方程的解为： ．
73．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于实数 ，先定义一种运算“ ”如下：
，若 ，求 的值．
【答案】
【分析】根据定义，分 和 两种情况进行解方程，得出x的值．
【详解】解：当 时， ，
解得： （舍）， ，
当 时， ，
解得： ，不符合题意，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分 和 两种情况进行解方
程是解题的关键．
74．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于 的一元二次方程 有两个实数
根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程 的
两个根是 ， 则方程： 是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程”
(2)已知关于 的一元二次方程 （ 是常数）是“邻根方程”，求 的值．
【答案】(1)不是，见解析
(2) 或 ．
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解．
（1）求解方程，即可进行判断．
（2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
∴
∵ ， ，
故该方程不是“邻根方程”．
（2）
∴ ．
∴ ．由题意得： 或 ，
解得： 或 ．
75．（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）对于实数 ，新定义一种运算“ ”，
．
例如： ．
(1)计算： ______；
(2)若 与 的值相等，求 的值．
【答案】(1)
(2) 的值为1或 或4
【分析】（1）利用新定义进行计算；
（2）讨论：当 时得到 ，当 时得到 ，当 时得到
，然后分别解方程确定满足条件 的值．
【详解】（1）解：2※ ；
故答案为 ；
（2）当 时， ，
整理得 ，解得 ， （舍去），
当 时， ，
整理得 ，解得 ， （舍去），
当 时，
整理得 ，解得 （舍去）， ，综上所述， 的值为1或 或4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程 公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了实
数的运算和因式分解法解方程．
76．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为 ，
根据这个规则，求
(1) 的值；
(2) 中x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ，用 的平方减去 的平方，求出 的值是多少即可；
（2）根据 ，可得 ，据此求出 的值是多少即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2） ，
，
，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，解一元二次方程，解题关键是要明确：在进行实
数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的
要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．77．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于x的一元二次方程 的两个实数根
为 ， （ ）．分别以 ， 为横纵坐标得到点 ，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为 ，写出该一元二次方程的衍生点M的坐标；
(2)关于x的一元二次方程 ，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解方程 的两根，即可得出结果；
（2）根据点M坐标特点，判断出点M在直线 上，然后当 于点M时， 取得最小值．
【详解】（1）解：
解得 ， ，
∴ ；
（2）解：
解得： ，
∵ ，
∴点M在直线l： 上，
∴当 于点M时， 取得最小值．
如图，设直线l： 分别交x轴、y轴于点A、B，作 于点M、 于点H，则
，∴ ，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ °，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一次函数的性质等知识点，见一元二次方程，利用因式分解法
求解，最短距离，垂线段距离最短，利用数形结合的思想求解是解题关键．
78．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程 有两个实
数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请说明方程 是“倍根方程”；
(2)若 是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】（1）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义进行判断即可；
（2）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义得其中一个根是另一个根的2倍，即可求解．
【详解】（1）解： ，解得： ， ，
2是1的2倍，
方程 是倍根方程；
（2）解：
解得： ， ，
当 时， ，
当 时， ．
【点睛】本题考查了倍根方程的定义，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
79．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于 的一元二次方程 满足
，那么我们称这个方程为“完美方程”．
(1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号）
① ② ③
(2)已知 是关于 的“完美方程”，若 是此“完美方程”的一个根，求 的值．
【答案】(1)③
(2) 或
【分析】（1）根据“完美方程”的定义进行求解即可；
（2）根据“完美方程”的定义得到 ，则原方程为 ，再由 是此“完美方程”
的一个根，得到 ，解方程即可．
【详解】（1）解：① ，
∵ ，
∴ ，则方程 不是“完美方程”；
② ，∵ ，
∴ ，则方程 不是“完美方程”；
③ ，
∵ ，
∴ ，则方程 是“完美方程”；
故答案为：③．
（2）解： 是关于 的“完美方程”，
，
原方程为 ．
是此“完美方程”的一个根，
，即 ，
解得： 或 ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．
80．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）定义：如果关于x的一元二次方程 有两个实数
根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程 的
两个根是 ，则方程： 是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①
② ．
(2)已知关于x的一元二次方程 （k是常数）是“邻根方程”，求k的值．
【答案】(1)①不是“邻根方程”； ②是“邻根方程”
(2) 或
【分析】（1）分别求解方程①②，即可进行判断；（2）利用因式分解即可求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解．
【详解】（1）解：①∵
∴
∴
∵ ， ，
故①不是“邻根方程”
②
∴
∵
∴②是“邻根方程”
（2）解：
∴
∴
由题意得： 或
解得： 或
【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解，熟练掌握各求解方法是解题关键．
