文档内容
专题 05 一元二次方程根与系数的关系（5 种题型
1 个易错点 4 种中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点：一元二次方程根与系数的关系
【方法二】 实例探索法
题型1：利用根与系数的关系式求代数式的值
题型2：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值
题型3：已知一元二次方程的两根关系求字母的取值（范围）
题型4：已知两数的和与积，构造一元二次方程求这个数
题型5：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题
【方法三】 差异对比法
易错点：没有判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系。
【方法四】 仿真实战法
考法1：由已知方程直接求出两根之和或之积
考法2：已知方程一根，求方程另一根
考法3：由已知方程求关于两根的对称式的值
考法4：由一元二次方程两根的关系求字母的取值（范围）
【方法五】 成果评定法
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点：一元二次方程根与系数的关系韦达定理：如果 是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得,
．
那么可推得 这是一元二次方程根与系数的关系．
例 1. 如 果 ， 是 方 程 的 两 个 根 ， 那 么 =_____________ ；
=_______________．
【方法二】实例探索法
题型1：利用根与系数的关系式求代数式的值
例2.已知 是方程 的两根，求下列各式的值：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
例3.已知 的值．例4.已知 是方程： 的两根，求代数式 的值．
题型2：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值
例5.若方程： 的一个根为 ，则k=________；另一个根为________．
题型3：已知一元二次方程的两根关系求字母的取值（范围）
例6.已知 是关于x的方程 的两根，求b的值．
题型4：已知两数的和与积，构造一元二次方程求这个数
例7.写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是 ， ．
题型5：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题例8.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程： 两个根，求这个直角三角形的
周长．
例 9.已知关于 x 的方程 有两根 ，其中 且
，求m的取值范围．
例10.已知方程： 的一个根大于3，另一个根小于3，求a的取值范围．
【方法三】差异对比法
易错点：没有判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系。
例11.已知关于x的方程 有两个正整数根，求整数k和p的值．【方法四】 仿真实战法
考法1：由已知方程直接求出两根之和或之积
1．（2021·江苏徐州·统考中考真题）若 是方程 的两个根，则 _________．
考法2：已知方程一根，求方程另一根
2．（2019·山东济宁·统考中考真题）已知 是方程 的一个根，则方程的另一个根是
_____．
3．（2022·湖南娄底·统考中考真题）已知实数 是方程 的两根，则 ______．
4．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x、x，则x•x＝_____．
1 2 1 2
考法3：由已知方程求关于两根的对称式的值
5．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则
的值为 _____．
6．（2021·四川雅安·统考中考真题）已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的
值为______．
考法4：由一元二次方程两根的关系求字母的取值（范围）
7．（2022·四川巴中·统考中考真题） 、 是关于 的方程 的两个实数根，且
，则 的值为________．
8．（2022·山东日照·统考中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x，x，
1 2
且 ，则m=__________．
9．（2022·四川内江·统考中考真题）已知x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且
1 2
＝x2+2x﹣1，则k的值为 _____．
1 2
10．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）已知关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是______．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023春·广东揭阳·九年级校考阶段练习）设一元二次方程 的两个实根为 和 ，则
（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（2023·山东临沂·统考一模）已知 是方程 的两个实数根，则代数式
的值是（ ）
A．4047 B．4045 C．2023 D．1
3．（2023·四川巴中·统考一模）如图，四边形 是边长为5的菱形，对角线 的长度分别是
一元二次方程 的两实数根， 是 边上的高，则 值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8
二、填空题
4．（2023·浙江金华·统考一模）若一元二次方程 的两根分别为 ， ，则代数式
________．
5．（2023·新疆乌鲁木齐·新疆生产建设兵团第一中学校考一模）已知关于x的一元二次方程
的两根分别记为 ，若 ，则 ______．
6．（2023·四川成都·统考二模）已知a，b是一元二次方程 的两个根，则 的值
为_______．7．（2023·四川成都·统考二模）已知关于x的一元二次方程 的两个实数根分别
为 ， ，若 ，则m的值为______．
8．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则
_________．
9．（2023·江西上饶·统考模拟预测）已知 方程 的两根，那么 的值是______．
10．（2023·安徽宿州·统考二模）若m，n是一元二次方程 的两个解，则
_______________．
11．（2023·四川成都·统考二模）已知关于x的一元二次方程 的两实数根 ， 满足
，则 __________．
12．（2023·湖北荆州·统考模拟预测）若一元二次方程 满足 且有两个相
等实数根，则a与c的关系是______．
13．（2023·江苏淮安·统考一模）已知一元二次方程 的一个根为2，则它的另一个根为
________．
14．（2023·四川成都·统考二模）关于 的方程 的两实数根 ， 满足 ，
则 ______．
15．（2023·湖北鄂州·统考一模）若实数 、 分别满足 ， ，且 ，则
的值为__________．
16．（2023·广东东莞·校考三模）已知m、n是方程 的两个实数根，则代数式
_______．三、解答题
17．（2023·湖北荆门·统考一模）已知 是关于 的一元二次方程 的两个不相等
的实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值．
18．（2023·四川南充·统考二模）实数 使关于 的方程 有两个实数根 ， ．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值；
(3)给出 的两个值，使方程的根是整数．
19．（2023春·湖北黄石·九年级统考阶段练习）阅读材料：
材料1：若一元二次方程 的两个根为 ， 则 ， ．
材料2：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
解：由题知 ， 是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1得 ， ，所以根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ___________，
____________．
(2)类比探究：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数 、 分别满足 ， ，且 ．求 的值．
20．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）阅读材料：
材料1：若关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，
∴ ， ，则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ___________，
___________．
(2)类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足 ， ，且 ，求 的值．
21．（2023春·福建南平·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若 ，方程的两个实数根分别为 （其中 ），若y是m的函数，且 ，求这个函
数的解析式．
(3)若m为正整数，关于x的一元二次方程 的两个根都是整数，a与
分别是关于x的方程 的两个根．求代数式 的值．22．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且
其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：
设其中一根为t，则另一个根为2t，因此 ，所以有
；我们记“ ”即 时，方程 为倍根方程；下面我们根据此结
论来解决问题：
(1)若 是倍根方程，求 的值；
(2)关于x的一元二次方程 是倍根方程，且点 在一次函数 的图
像上，求此倍根方程的表达式．
23．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）定义：已知 是关于x的一元二次方程
的两个实数根，若 ，且 ，则称这个方程为“限根方程”．如：
一元二次方程 的两根为 ，因 ， ，所以一元二次方
程 为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程 是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，且两根 满足
，求k的值；(3)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，求m的取值范围．
24．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）（1） 是关于 的一元二次方程
的两实根，且 ，求 的值．
（2）已知： ， 是一元二次方程 的两个实数根，设 ， ，
…， ．根据根的定义，有 ， ，将两式相加，得
，于是，得 ．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出 ， 的值．
②经计算可得： ， ， ，当 时，请猜想 ， ， 之间满足的数量关系，并给
出证明．
25．（2023·四川南充·统考一模）关于 的一元二次方程 中， 、 、 是
的三条边，其中 ．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个根是 、 ，且 ，求 ．
