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专题 05 一元二次方程根与系数的关系（5 种题型
1 个易错点 4 种中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点：一元二次方程根与系数的关系
【方法二】 实例探索法
题型1：利用根与系数的关系式求代数式的值
题型2：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值
题型3：已知一元二次方程的两根关系求字母的取值（范围）
题型4：已知两数的和与积，构造一元二次方程求这个数
题型5：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题
【方法三】 差异对比法
易错点：没有判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系。
【方法四】 仿真实战法
考法1：由已知方程直接求出两根之和或之积
考法2：已知方程一根，求方程另一根
考法3：由已知方程求关于两根的对称式的值
考法4：由一元二次方程两根的关系求字母的取值（范围）
【方法五】 成果评定法
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点：一元二次方程根与系数的关系韦达定理：如果 是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得,
．
那么可推得 这是一元二次方程根与系数的关系．
例 1. 如 果 ， 是 方 程 的 两 个 根 ， 那 么 =_____________ ；
=_______________．
【答案】 ； ．
【解析】由韦达定理，可得： ， ．
【总结】本题考查韦达定理 ， 的应用．
【方法二】实例探索法
题型1：利用根与系数的关系式求代数式的值
例2.已知 是方程 的两根，求下列各式的值：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） ；（4） ．
【解析】解：由韦达定理，得： ， ．
（1）原式= ；
（2）原式
；
（3）原式= ；（4）原式 ．
【总结】本题考查韦达定理 ， 的灵活应用．
例3.已知 的值．
【答案】 ．
【解析】由 ，可得： ，整理得： ，
又由于 ，所以可知 、 是方程 的两根，
由韦达定理，可得： ．
【总结】本题考查韦达定理 ， 的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活
应用，要注意观察．
例4.已知 是方程： 的两根，求代数式 的值．
【答案】 ．
【解析】由题及韦达定理可得： ， ，得： ．
= = =
= = ．
【总结】本题考查韦达定理 ， 的灵活应用，运用了降次等的思想方法．
题型2：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值
例5.若方程： 的一个根为 ，则k=________；另一个根为________．
【答案】 ； ．
【解析】将 代入方程，可得： ，再由韦达定理可得： ，得另一根为 ．
【总结】本题考查韦达定理 ， 的应用．
题型3：已知一元二次方程的两根关系求字母的取值（范围）例6.已知 是关于x的方程 的两根，求b的值．
【答案】 ．
【解析】由韦达定理，得： ，
，而 ，所以得： ，代入可得： ．
【总结】本题考查韦达定理 ， 的应用．
题型4：已知两数的和与积，构造一元二次方程求这个数
例7.写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是 ， ．
【答案】 ．
【解析】由 ，
，可得方程为： ．
【总结】本题考查韦达定理 ， 的应用．
题型5：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题
例8.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程： 两个根，求这个直角三角形的
周长．
【答案】 ．
【解析】解：设直角三角形的三边长为 ， ， ，且 是斜边长，由题知， ， ，
由勾股定理，可得： ，所以 ，
所以直角三角形的周长 ．
【总结】本题考查韦达定理 ， 的灵活应用，并且考查了直角三角形的性质，即勾股
定理的应用．例 9.已知关于 x 的方程 有两根 ，其中 且
，求m的取值范围．
【答案】 ．
【解析】因为方程有两根，所以 ，即 ；由韦达定理，可得： ，
，因为 且 ，所以 ， ，
即 ，解得： ．
【总结】本题考查韦达定理的应用和一元二次方程的概念以及解不等式的应用．
例10.已知方程： 的一个根大于3，另一个根小于3，求a的取值范围．
【答案】 ．
【解析】解：设方程的两根为 ， ，由 ， ，可得： ，
即 ，而由韦达定理可得 ， ，
所以 ，即 ．
【总结】本题考查韦达定理 ， 的灵活应用．
【方法三】差异对比法
易错点：没有判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系。
例11.已知关于x的方程 有两个正整数根，求整数k和p的值．
【答案】 ．
【解析】设 是原方程的两根，因为 是正整数根，所以 且都
是正整数，由韦达定理，得： ，所以 是正整数，
所以 是正整数，即 是正整数，所以 ，代入原方程可得： ，方程的两根为 ，所以 ．
【总结】本题考查韦达定理的灵活应用，结合正整数根，题目较综合．
【方法四】 仿真实战法
考法1：由已知方程直接求出两根之和或之积
1．（2021·江苏徐州·统考中考真题）若 是方程 的两个根，则 _________．
【答案】-3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵ 是方程 的两个根，
∴ ，
故答案是：-3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握 是一元二次方程 的两个根，
则 ，是解题的关键．
考法2：已知方程一根，求方程另一根
2．（2019·山东济宁·统考中考真题）已知 是方程 的一个根，则方程的另一个根是
_____．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设另外一个根为x，
由根与系数的关系可知： ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．若
是一元二次方程 的两根时， ．
3．（2022·湖南娄底·统考中考真题）已知实数 是方程 的两根，则 ______．
【答案】
【分析】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．【详解】解： 实数 是方程 的两根，
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“ ”是解本题的关键．
4．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x、x，则x•x＝_____．
1 2 1 2
【答案】3
【分析】直接根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x、x，
1 2
∴x•x＝ ＝3．
1 2
故答案为3．
【点睛】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，解题关键在于掌握若方程的两
根分别为x ，x ，则x +x =-
1 2 1 2
考法3：由已知方程求关于两根的对称式的值
5．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则
的值为 _____．
【答案】
【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程 的两个实数根，利用根与系数的关系
得到a+b=4，ab=3，再根据 进行求解即可．
【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程 的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关
系是解题的关键．
6．（2021·四川雅安·统考中考真题）已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的
值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵一元二次方程 的两根分别为m，n
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的性质，从而
完成求解．
考法4：由一元二次方程两根的关系求字母的取值（范围）
7．（2022·四川巴中·统考中考真题） 、 是关于 的方程 的两个实数根，且
，则 的值为________．
【答案】
【分析】 ，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，
得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
【详解】解：∵ 是方程 的根
∴ ，
∴
∴k=-4
故答案是-4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题
中需注意的问题是本题的解题关键．
8．（2022·山东日照·统考中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x，x，
1 2
且 ，则m=__________．
【答案】 /-0.125
【分析】根据根与系数的关系得到x+x=-2m，xx= ，再由x2+x2= 变形得到（x+x）2-2xx= ，即
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
可得到4m2-m= ，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得x+x=-2m，xx= ，
1 2 1 2
∵x2+x2= ，
1 2
∴（x+x）2-2xx= ，
1 2 1 2
∴4m2-m= ，
∴m=- ，m= ，
1 2
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞ 或m＜0时，
∴m= 不合题意，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
1 2
， ．
9．（2022·四川内江·统考中考真题）已知x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且
1 2＝x2+2x﹣1，则k的值为 _____．
1 2
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝
1 2 1 2 1 1
0，再根据 ＝x2+2x﹣1，推出 ＝4﹣k，据此求解即可．
1 2
【详解】解：∵x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
∴x2＝2x﹣k+1，
1 1
∵ ＝x2+2x﹣1，
1 2
∴ ＝2（x+x）﹣k，
1 2
∴ ＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根
与系数的关系是解题的关键．
10．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）已知关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是
______．
【答案】1
【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式 ，
∴ ，
解得： ．故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023春·广东揭阳·九年级校考阶段练习）设一元二次方程 的两个实根为 和 ，则
（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．
【详解】 ，
∴ ，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：
， 是解题的关键．
2．（2023·山东临沂·统考一模）已知 是方程 的两个实数根，则代数式
的值是（ ）
A．4047 B．4045 C．2023 D．1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵ 是方程 的两个实数根，
∴ ， ， ，
∴ ，
故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系
数的关系是解题的关键．
3．（2023·四川巴中·统考一模）如图，四边形 是边长为5的菱形，对角线 的长度分别是
一元二次方程 的两实数根， 是 边上的高，则 值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8
【答案】B
【分析】根据对角线 的长度分别是一二次方程 的两实数根，得到 ，
根据菱形的面积公式得到 ，再根据 得到 ．
【详解】解：∵对角线 的长度分别是一二次方程 的两实数根，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的面积和一元二次方程根与系数的关系的应用，掌握菱形面积的计算方法是解
题的关键．
二、填空题
4．（2023·浙江金华·统考一模）若一元二次方程 的两根分别为 ， ，则代数式
________．【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．若 ， 是关于x的一元二次方程
（ ，a，b，c为常数）的两个实数根，则 ．
【详解】∵ ，
这里 ， ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根的和等于一次项系数与
二次项系数比值的相反数，是解题的关键．
5．（2023·新疆乌鲁木齐·新疆生产建设兵团第一中学校考一模）已知关于x的一元二次方程
的两根分别记为 ，若 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系求出 ， 的值，代入代数式求值即可．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
， ，
，
， ，
，
原式
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握 ， 是解题的关键．6．（2023·四川成都·统考二模）已知a，b是一元二次方程 的两个根，则 的值
为_______．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系，可得出 和 的值，再代入即可．
【详解】解：由题意得 ， ，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种
经常使用的解题方法．
7．（2023·四川成都·统考二模）已知关于x的一元二次方程 的两个实数根分别
为 ， ，若 ，则m的值为______．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程根于系数的关系，求出 ， ，再根据
，列出方程求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程两根之和为
，两根之积为 ．
8．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则
_________．
【答案】
【分析】根据根与系数关系直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握 ， ．
9．（2023·江西上饶·统考模拟预测）已知 方程 的两根，那么 的值是______．
【答案】7
【分析】将代数式化简，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵ 是方程 的两个实数根，∴ ， ．
∴ ．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是
解题的关键．
10．（2023·安徽宿州·统考二模）若m，n是一元二次方程 的两个解，则
_______________．
【答案】2
【分析】根据根与系数的关系得到 ， ，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程 的两个解，
∴ ， ，
则 ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．
11．（2023·四川成都·统考二模）已知关于x的一元二次方程 的两实数根 ， 满足
，则 __________．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系得到 由 ，则可先求出 和 ，然后计算m的
值．
【详解】根据题意得
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根时，
．
12．（2023·湖北荆州·统考模拟预测）若一元二次方程 满足 且有两个相
等实数根，则a与c的关系是______．
【答案】
【分析】先求出一元二次方程两个相等实数根 ，然后根据两根之积求解．
【详解】解：∵一元二次方程 满足 且有两个相等实数根，
∴ 是方程的根，且 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记知识点是解题关键。．
13．（2023·江苏淮安·统考一模）已知一元二次方程 的一个根为2，则它的另一个根为
________．
【答案】
【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得 ，然后解一次方程即可．
【详解】解：设方程的另一个根为t，根据题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．【点睛】本题考查了一元二次方程 的根与系数的关系：若方程的两根为 ，则
．
14．（2023·四川成都·统考二模）关于 的方程 的两实数根 ， 满足 ，
则 ______．
【答案】2
【分析】根据方程有两个实数根可得 ，再根据一元二次方程根与系数的关系： 得到
，即可求解．
【详解】解： 关于 的方程 的两实数根，
，
，
，
，
或 （不合题意，舍去），
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点是解题
的关键．
15．（2023·湖北鄂州·统考一模）若实数 、 分别满足 ， ，且 ，则
的值为__________．
【答案】
【分析】先根据题意可以把 、 看作是一元二次方程 的两个实数根，利用根与系数的关
系得到 ，再根据 进行求解即可．
【详解】解：∵ 、 分别满足 ，
∴可以 、 看作是一元二次方程 的两个实数根，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关
系是解题的关键．
16．（2023·广东东莞·校考三模）已知m、n是方程 的两个实数根，则代数式
_______．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系得到 ，即可求解．
【详解】∵m、n是方程 的两个实数根，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根时，
， ．
三、解答题
17．（2023·湖北荆门·统考一模）已知 是关于 的一元二次方程 的两个不相等
的实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，解不等式即可求解；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后代入计算即可求出 的值．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 、 ，
∴ ，
解得： ，
（2）∵ ，
即：
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
解得： 或 （舍去）
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关
系是解本题的关键．
18．（2023·四川南充·统考二模）实数 使关于 的方程 有两个实数根 ， ．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值；
(3)给出 的两个值，使方程的根是整数．
【答案】(1) ，
(2) ，或
(3)见解析【分析】（1）先把方程化为一般式，再根据根的判别式得出 ，然后解不等式
即可；
（2）根据根与系数的关系得出 ， ，再把 变形为
，然后得出关于k的的方程，并解方程，最后结合（1）中所求k的范围确定k
即可；
（3）选取k的值，使 为完全平方数，写出对应的一元二次方程，然后解方程，并确定是否为整
数解即可．
【详解】（1）解：原方程整理为 ．
．
由 ，得 ．
（2）解：由根系关系，得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理，得 ，
解得 ，或 ．均符合．
（3）解：取 ，原方程为 ．解得 ， ，根为整数．
取 ，原方程为 ．解得 ， ，根为整数．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时， ， ．也考查了根的判别式．
19．（2023春·湖北黄石·九年级统考阶段练习）阅读材料：
材料1：若一元二次方程 的两个根为 ， 则 ， ．
材料2：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
解：由题知 ， 是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1得 ， ，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ___________，
____________．
(2)类比探究：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数 、 分别满足 ， ，且 ．求 的值．
【答案】(1) ； ；
(2) ；
(3)-1
【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出 、 可看作方程 ，据此知 ， ，将其代入计算可得；
（3）把 变形为 ，据此可得实数 和 可看作方程 的两根，
继而知 ， ，进一步代入计算可得．【详解】（1） ， ；
故答案为 ； ；
（2） ， ，且 ，
、 可看作方程 ，
， ，
；
（3）把 变形为 ，
实数 和 可看作方程 的两根，
， ，
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分
式的混合运算顺序和运算法则．
20．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）阅读材料：
材料1：若关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，∴ ， ，则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ___________，
___________．
(2)类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1)3，
(2)
(3) 或
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出 ， ，再根据
，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程 的两个根，即得出 ， ，从而可
求出 ，即 或 ，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ， ．
故答案为： ， ；
（2）∵一元二次方程 的两根分别为m、n，
∴ ， ，∴
；
（3）∵实数s、t满足 ， ，
∴s、t可以看作方程 的两个根，
∴ ， ，
∵
∴ 或 ，
当 时，
，
当 时，
，
综上分析可知， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题
意，掌握一元二次方程 根与系数的关系： 和 是解题关键．
21．（2023春·福建南平·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程有两个实数根；(2)若 ，方程的两个实数根分别为 （其中 ），若y是m的函数，且 ，求这个函
数的解析式．
(3)若m为正整数，关于x的一元二次方程 的两个根都是整数，a与
分别是关于x的方程 的两个根．求代数式 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)24
【分析】（1）利用 求出关于 的式子，然后证明关于 的式子大于或等于0即可；
（2）利用公式法确定两根，代入即可得出这个函数解析式；
（3）利用根与系数的关系求出 的值，即可得到 与 分别是关于 的方程 的
两个根，利用根与系数的关系得到 ，即 ，代入代数式化简即可求出答案．
【详解】（1）解： 由题意可知 ，
方程有两个实数根；
（2）
解：由（1）可知，方程有两个实数根，
，
，
，
， ，
．．
（3）解： a与 分别是关于x的方程 的两个根．
， ，
与 是整数，
与 同为整数，
是正整数，
，
方程为 ，
，
，
将 代入
原式
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当
时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系求出 ；（3）利用根与系数的关系求出
代入原式求解．
22．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且
其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：
设其中一根为t，则另一个根为2t，因此 ，所以有
；我们记“ ”即 时，方程 为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
(1)若 是倍根方程，求 的值；
(2)关于x的一元二次方程 是倍根方程，且点 在一次函数 的图像
上，求此倍根方程的表达式．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）根据 是倍根方程，且 ， 得到 或 ，从而得
到 ， ，进而得到 ；
（2）设其中一根为t，则另一个根为2t，可以得出 ，从而得
倍根方程满足 ，据此求解即可．
【详解】（1）整理 得： ，
∵ 是倍根方程，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ 是倍根方程，
∴ ，
整理得： ．
∵ 在一次函数 的图像上，
∴ ，
∴ ， ，
∴此方程的表达式为
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
23．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）定义：已知 是关于x的一元二次方程
的两个实数根，若 ，且 ，则称这个方程为“限根方程”．如：
一元二次方程 的两根为 ，因 ， ，所以一元二次方
程 为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程 是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，且两根 满足
，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，求m的取值范围．
【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析
(2)k的值为2
(3)m的取值范围为 或
【分析】（1）解该一元二次方程，得出 ，再根据“限根方程”的定义判断即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出 ， ，代入 ，即
可求出 ， ．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；
（3）解该一元二次方程，得出 或 ．再根据此方程为“限根方程”，即得
出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出 ， 且 ，可求
出m的取值范围．最后分类讨论即可求解．【详解】（1）解： ，
，
∴ 或 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴此方程为“限根方程”；
（2）∵方程 的两个根分比为 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
解得： ， ．
分类讨论：①当 时，原方程为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴此时方程 是“限根方程”，
∴ 符合题意；
②当 时，原方程为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴此时方程 不是“限根方程”，∴ 不符合题意．
综上可知k的值为2；
（3） ，
，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴ ， 且 ，
∴ ，即 ，
∴ 且 ．
分类讨论：①当 时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
②当 时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
综上所述，m的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题
意，理解“限根方程”的定义是解题关键．24．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）（1） 是关于 的一元二次方程
的两实根，且 ，求 的值．
（2）已知： ， 是一元二次方程 的两个实数根，设 ， ，
…， ．根据根的定义，有 ， ，将两式相加，得
，于是，得 ．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出 ， 的值．
②经计算可得： ， ， ，当 时，请猜想 ， ， 之间满足的数量关系，并给
出证明．
【答案】（1）1；（2）① ， ；② ，证明见解析
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出 ， ．由
，可得 ，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元
二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；
（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出 ， ，进而可求出
， ；②由一元二次方程的解的定义可得出 ，两
边都乘以 ，得： ①，同理可得： ②，再由①+②，得：
．最后结合题意即可得出，即 ．
【详解】解：（1）∵ 是关于 的一元二次方程 的两实根，
∴ ， ，
∴ ，
整理，得： ，
解得： ， ．
当 时， ，
∴此时原方程没有实数根，
∴ 不符合题意；
当 时， ，
∴此时原方程有两个不相等的实数根，
∴ 符合题意，
∴ 的值为1；
（2）①∵ ，
∴ ．
∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ， ；
②猜想： ．
证明：根据一元二次方程根的定义可得出 ，两边都乘以 ，得： ①，
同理可得： ②，
由①+②，得： ，∵ ， ， ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义．
掌握一元二次方程 的根的判别式为 ，且当 时，该方程有两个不相
等的实数根；当 时，该方程有两个相等的实数根；当 时，该方程没有实数根．熟记一元二次
方程根与系数的关系： 和 是解题关键．
25．（2023·四川南充·统考一模）关于 的一元二次方程 中， 、 、 是
的三条边，其中 ．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是 、 ，且 ，求 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据求根公式，写出一元二次方程的 ，再根据 、 、 是 的三条边，结合
，即可解答。
（2）根据韦达定理得 ， ，再用完全平方公式化简得 ，代
入即可解答。
【详解】（1）解：关于 的一元二次方程 去括号，整理为一般形式为：
，
，
、 、 是 的三条边，其中 ，，
，
，
此方程有两个不相等的实数根；
（2） 方程的两个根是 、 ，
， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当 ，
方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根是解题的
关键．
