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期末重难点真题特训之易错必刷题型（上册））（78题26个考点）
【精选2023年最新考试题型专训】
易错必刷题一、一元二次方程
1．（2023上·广东惠州·九年级校考阶段练习）若a是关于一元二次方程 的一个实数根，
则 的值是（ ）．
A． B． C．0 D．
2．（2023上·上海徐汇·八年级校联考阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程 的一个根，
则 的值等于 ．
3．（2023上·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）请阅读下列材料：已知方程
，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为 ，则 ，所以 ．
把 代入已知方程，得 ．
化简，得 ，故所求方程为 ．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)己知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
(2)已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
(3)已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为3， ，求一元二次方程
的两根．易错必刷题二、配方法
1．（2023上·江苏南京·九年级校考阶段练习）用配方法解方程 时，原方程应变形为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）已知 ，
则点 关于 轴的对称点坐标是 ．
3．（2023上·山西大同·八年级校联考阶段练习）读下面的材料
并解答后面的问题：
小李：能求出 的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小华：能．求解过程如下：
因为
而 ，所以 的最小值是 ．
问题：
(1)你能否求出 的最小值？如果能，写出你的求解过程．
(2)你能否求出 的最大值？如果能，写出你的求解过程．
易错必刷题三、公式法
1．（2023上·湖南·九年级校联考阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等
的实数根，则 的取值范围是（ ）A． B． C． 且 D． 且
2．（2024下·全国·八年级假期作业）已知关于x的一元二次方程 有一个根为x＝
0，则m的值为 ．
3．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）已知关于 的方程 有两个实数根．
(1)求证：无论 取何值，方程总有两个实数根．
(2)若 的两边 的长是已知方程的两个实数根，当 为何值时， 是菱形？求此菱形
的边长．
易错必刷题四、因式分解法
1．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）关于 的方程 的两个根 满足
，且 ，则 的值为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
2．（2023下·上海·八年级专题练习）已知关于 的方程 ，那么 的值为
．
3．（2023上·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）提出问题：
为解方程 ，我们可以令 ，于是原方程可转化为 ，解此方程，得
（不符合要求，舍去）．
当 时， ．
原方程的解为 ．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：运用上述换元法解方程： ．易错必刷题五、一元二次方程的根与系数的关系
1．（2023上·湖北·九年级校考周测）已知 为关于 的方程 的
三个实数根，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023上·山东聊城·九年级校考阶段练习）若 ， 是方程 的两根，则
．
3．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级统考期中）已知：关于x的一元二次方程 （m为常数）．
(1)证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
易错必刷题六、实际问题与一元二次方程1
1．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）某品牌手机经过11，12月份连续两次降价，每部售价由5000元
降到3600元，且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023上·山东济宁·九年级校考期中）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食
安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积
不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加 ，因为优化了品种，预计每千克售价
将在去年的基础上上涨 ，全部售出后预计总收入将增加 ，则列式为 ．
3．（2023上·江苏泰州·九年级泰兴市洋思中学校考期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适
当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽
快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
易错必刷题七、实际问题与一元二次方程2
1．（2023上·广东深圳·九年级校联考期中）如图，一次函数 的图象交 轴于点 ，交 轴于点
，点 在线段 上 不与点 ， 重合 ，过点 分别作 和 的垂线，垂足为 ， ．当矩形
的面积为 时，点 的坐标为( )
A． B． C． 或 D． 或
2．（2022上·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，点 从 点
出发，沿射线 方向以 的速度移动，点 从 点出发，沿射线 方向以 的速度移动，如果
、 两点同时出发，问：经过 秒后 的面积等于 ．
3．（2023上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ，点 从点
出发沿 以 的速度向点 移动；同时，点 从点 出发沿 以 的速度向点 移动，当其中
一点到达终点运动即停止．设运动时间为 秒．(1)在运动过程中， 的长度能否为 ？若能，求出 的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中， 的面积能否为 ？若能，求出 的值，若不能，请说明理由；
(3)取 的中点 ，运动过程中，当 时，求 的值；
易错必刷题八、二次函数
1．（2023上·广东广州·七年级广州大学附属中学校考期中）已知 和 时，多项式
的值相等，且 ，则当 时，多项式 的值等于( )
A．7 B．9 C．3 D．5
2．（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）若 是关于 的二次函数，则一次函数
的图象不经过第 象限．
3．（2023上·九年级课时练习）已知函数 ，
(1)当 为何值时，此函数是一次函数？
(2)当 为何值时，此函数是二次函数？
易错必刷题九、二次函数y=ax2的图象与性质
1．（2023上·北京西城·九年级北京师大附中校考期中）已知抛物线 ，直线 ，将抛物线在
直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数
m，使得点 在G上，则a的取值范围是（ ）A． B． 或 C． D．
2．（2023上·江苏南京·九年级南京外国语学校校考阶段练习）已知抛物线 具有如下性质：该抛
物线上任意一点到定点 的距离与它到 轴的距离始终相等．若点 的坐标为 是抛物线
上的一个动点，则 周长的最小值是 ．
3．（2023上·河南驻马店·九年级统考期中）已知函数 是关于 的二次函数．
(1)求满足条件的 的值；
(2)m为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标，这时，抛物线的增减性如何？
易错必刷题十、二次函数y=（x-h）2+k的图象与性质
1．（2023上·浙江杭州·九年级杭州市惠兴中学校考期中）关于 的图象，下列叙述正确的是
（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为直线
C．当 时， 随 增大而增大 D．函数的最大值为
2．（2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）已知二次函数 ，当 时， 随着 的增大
而增大．当 时， 随 的增大而减小，则 的值为 ．
3．（2023上·安徽宣城·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数
（ 是实数）．
(1)当 时，若点 在该函数图象上，求 的值．
(2)若二次函数图象的顶点在某条______（A．直线 B．抛物线）上，且表达式为______；
(3)已知点 ， 都在该二次函数图象上，求证： ．易错必刷题十一、二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1．（浙江省嘉兴经开实验教育集团2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题）已知二次函数
，自变量 与函数 的对应值如下表：
0
4 0 0 4
下列说法中，正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．当 时， 随 的增大而增大
C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是直线
2．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考期中）二次函数 （ 为常数）的开口
向下且过点 ， ．有以下结论：① ，② ，③
④若方程 有两个小相等的实数根，则 ．其中正确的结论是 （填入
序号）．
3．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考期中）已知二次函数 ( 为常数，
）．若二次函数的图象经过点 和 两点．
(1)求函数 的表达式，并写出函数图像的顶点C的坐标．
(2)试求出 的面积是多少？
易错必刷题十二、二次函数与一元二次方程
1．（2023上·广西玉林·九年级统考期中）已知二次函数 与一次函数 的图象相交
于点 （如图所示），则能使 成立的 的取值范围是（ ）A． B． 或
C． 或 D．
2．（2024上·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）若抛物线 的顶点在 轴
上，且关于 的不等式 的解集为 ，则 的值为 ．
3．（2023上·北京朝阳·九年级北京八十中校考阶段练习）已知抛物线 的对称轴为直线 ．
(1)若点 在抛物线上，求 的值
(2)若点 在抛物线上；
①当 时，求 的取值范围；
②若 ，且 ，求 的取值范围．
易错必刷题十三、实际问题与二次函数
1．（2023上·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗
产——京杭大运河受到人们的推崇．某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元，调查表明：在某
段时间内若以每件 元（ ，且 为整数）出售，可卖出 件，要使利润最大，每件的售价
应为（ ）
A．24元 B．25元 C．28元 D．30元
2．（2023上·河南濮阳·九年级统考期中）北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，
销售火爆．某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销售量y（个）与售价x（元/个） 满足一次函数关系：
售价x（元/个） … 80 90 100 …
30
销量y（个） … 400 200 …
0
线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．若该经销商共购进
“冰墩墩”1000个，一周内全部销售完．合理分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，
最大利润是 元（不计其它成本）．
3．（2023上·江苏盐城·九年级校考期中）如图，抛物线 上的点 ， 的坐标分别为 ，
，抛物线与 轴负半轴交于点 ，点 为 轴负半轴上一点，且 ，连接 、 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接 、 ，当 时，求点 的横坐标；
(3)将抛物线沿 轴的负方向平移 个单位长度，得到新抛物线，点 的对应点为点 ，点 的对应
点为点 ，在抛物线平移的过程中，
①当点 在线段 上时，求 的值；
②当 的值最小时，直接写出 的值．
易错必刷题十四、图形的旋转
1．（2021上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，将 绕顶点C逆时针旋转角度α得到 ，
且点B刚好落在 上．若 ， ，则α等于（ ）A． B． C． D．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，点 在 内部， 逆时针旋转得到 ，请添加一个条
件： ．使得 是等边三角形．
3．（2023上·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图，过等边 的顶点A作 的垂线l，点P为l上点
（不与点A重合），连接 ，将线段 绕点C逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 并延长交直线 于点D，若 ．判断 和 的数量关系，并证明.
易错必刷题十五、中心对称1．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）如图，在平行四边形 中， 与 交于点 ，下列说法
不一定正确的是（ ）
A．平行四边形 是中心对称图形
B．将 绕点 旋转 后可与 重合
C． 与 关于点 对称
D． 绕点 旋转一定角度后可与 重合
2．（2023上·河南漯河·九年级统考期中）将抛物线 绕坐标原点旋转 后，得到的抛物线
的解析式为 ．
3．（2022上·广东东莞·九年级校考期中）如图， 三个顶点的坐标分别为 ．
(1)画出将 绕原点O按逆时针方向旋转 ，所得的 ；
(2)请画出 关于原点O成中心对称的图形 ；
(3)在x轴上找一点P，使 的周长最小，请求出点P的坐标．易错必刷题十六、圆
1．（2023上·河北石家庄·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ，点
D是半径为4的 上一动点，点M是 的中点，则 的最大值是（ ）
A．7 B．6 C． D．
2．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
的半径为2，点C为 上一动点，D为 的中点，连接 ，则 的最大值为 ．
3．（2023上·全国·七年级专题练习）如图，在 中， 是直径， 是弦，延长 ， 相交于点 ，
且 ， ，求 的度数．易错必刷题十七、垂直于弦的直径
1．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，点 在 上， 平分弦 ，连接 ， ，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，在 中，半径为5， 是两条弦， ，
， 于点 ， 于点 ．点 在 上运动，则 的最小值为 ．
3．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，点P是 内一定点．
(1)过点P作弦 ，使点P是 的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 的半径为10， ，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条．
易错必刷题十八、弧、弦、圆心角1．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图， 是 的直径，点D是弧 的中点，过点D作
于点E，延长 交 于点F，若 ， 的直径为10，则 长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2023上·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点 是 的中点，
是直径 上一动点， 的半径是2，则 的最小值为 ．
3．（2023上·浙江嘉兴·九年级校考期中）如图，A，B，C是 上三点，且 ，过点B作
于点D．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的半径．
易错必刷题十九、圆周角1．（2023上·山东滨州·九年级统考期中）如图， 过原点 ，且与两坐标轴分别交于点 ，点 的坐
标为 ，点 是第三象限内 上一点， ，则 的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
2．（2022上·广东东莞·九年级校考期中）如图， 是圆O的直径， ， 所对的圆心角为 ，
点D是弦 上的一个动点，那么 的最小值为 ．
3．（浙江省嘉兴经开实验教育集团2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，在 中，
，以 为直径的 交 于点 ，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
易错必刷题二十、点和圆的位置关系
1．（2023上·广东广州·九年级广州市育才中学校考阶段练习）如图， 的半径为 ，圆心 的坐标为
，点 是 上的任意一点， ，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则 的最小值（ ）
A． B． C． D．
2、（2023上·福建福州·九年级校联考阶段练习）如图，在 中，直径 ，延长 至 ，使
，点 在 上运动，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，则线段 的
最大为 ．
3．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系 中， 、 、
(1)在图中画出经过 、 、 三点的圆弧所在圆的圆心 的位置，并写出圆心 的坐标__；
(2) 的半径为__；
(3)点 到 上最近的点的距离为__．易错必刷题二十一、直线和圆的位置关系
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图， 的半径为2，圆心M的坐标为 ，点P是 上的任意
一点， ，且 、 与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则 的最小
值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022上·云南昆明·九年级昆明市第三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与
轴、 轴分别交于点 、点 ，半径为2的 的圆心 从点 （点 在直线 上）出发以每
秒 个单位长度的速度沿射线 运动，设点 运动的时间为 秒，则当 时， 与 轴相切．
3．（2022上·重庆武隆·九年级校考期末）如图，已知 内接于 ， 是 的直径， 的平
分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，作 ，交 的延长线于点 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
易错必刷题二十二、正多边形和圆
1．（2023上·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形
的中心与原点 重合， 轴，将六边形绕点 逆时针旋转，每次旋转 ，则第2024次旋
转结束时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·湖南湘西·九年级校考期中）如图1，图2，图3⋯，M、N分别是 的内接正三角形 ，
正方形 ，正五边形 ，…的边 上的点，且 ，连接 ，图1中
，图2中 ，图3中 …，根据这样的规律，图n中 的度数是
．
3．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，等腰 内接于 ， ．(1)如图1，若 ，连接 并延长交 于点D，交 于点H．
①弧 的度数为：______； 与 的数量关系是：______．
②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果
用实线表示）；
(2)如图2，若 ，E是 的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个 的内接正五
边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．
易错必刷题二十三、弧长和扇形面积
1．（2023上·河北衡水·九年级校考期末）如图，在扇形 中， ，点 为弦 上
一动点（不与 两点重合），连接 并延长交 于点 ，当 为最大值时， 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·辽宁营口·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ．以点
C为圆心， 长为半径画弧，分别交 于点D，E，则图中阴影部分的面积为 （结果
保留π）．3．（2020·辽宁抚顺·统考一模）如图， 是 的直径，C为 上一点，连接 ，作 交
于点F，点E在 的延长线上， 经过点C，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， 的半径为1，求阴影部分的面积．
易错必刷题二十四、随机事件与概率
1．（2023上·浙江金华·九年级校考阶段练习）从下列4个命题中任取一个：①三点确定一个圆；②平分弦
的直径平分弦所对的弧；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④在半径为4的圆中， 的
圆心角所对的弧长为 ．是假命题的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023上·山东德州·九年级校考阶段练习）从 ， ， ， ， 这五个数中，任选一个数作为 的值，
则 的图象不经过第二象限的概率是 ．
3．（2023上·内蒙古乌海·九年级校考期中）乌海市第二中学为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”的
号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“防疫宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务
植树”、“社区服务”五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图不完整
的条形统计图和扇形统计图．
根据以上统计图，解答下列问题：
(1)本次随机抽取的学生共有______名；
(2)参与了5项活动的学生人所在区域的圆心角度数为______；
(3)若该校有3000名学生，请估计参与了4项活动的学生人数______；
(4)在所调查的学生中随机选取一人谈活动心得，求选中参与了5项活动的学生的概率．
易错必刷题二十五、用列举法求概率
1．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）把一元二次方程 和 的根写在四
张背面无差别的卡片上（一张卡片上写一个根），将这些卡片背面朝上放在桌面上，小李从中随机抽取一
张记下数字作为点 的横坐标 ，放回重新洗匀后再随机抽出一张记下数字作为点 的纵坐标 ，则点
在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·陕西宝鸡·九年级统考期中）现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“大”、
“美”、“扶”、“风”．小光从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“扶”和
“风”的概率是______．
3．（2023上·广东茂名·九年级校联考阶段练习）为了解考体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了
部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问
题：
(1)本次抽样测试的学生人数是_______；
(2)把图2条形统计图补充完整；若学校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请
估计不及格的人数为______；
(3)已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用
列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
易错必刷题二十六、用频率估计概率
1．（2023上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，
C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n， ，则估计图中a的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2023上·浙江杭州·九年级杭州市惠兴中学校考期中）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统
计发芽种子数，获得如下频数表：试验种子数
（粒）
发芽频数
发芽频率
估计该麦种的发芽概率是 ．
3．（2024上·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）在学习《用频率估计概率》时，小明
和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无
其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它
放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，如图显示的是这个试验中摸出一
个球是红球的结果．
(1)根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是
____________，其中红球的个数是____________；
(2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球
的概率；
(3)在袋中再放入 个白球，那么（2）中的概率将变为____________（用 表示）．
