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专题08 二次函数与一元二次方程重难点题型专训【六大题型】
【题型目录】
【知识梳理】
知识点：二次函数与一元二次方程
1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根。
2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根。
3.当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根。
二次函数 的图象与 轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③
有两个公共点，这对应着一元二次方程 的根的三种情况:
①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0.
(2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母
的影响，据此可求图象经过的定点坐标.
(3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利
用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的
转换.
知识点：二次函数与不等式
判别式 抛物线 与 不等式 的解
不等式 的解集
x轴的交点 集
△＞0 或△＝0 （或 ） 无解
△＜0 全体实数 无解
【经典例题一 抛物线与x、y轴的交点坐标】
【例1】（2022秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线 （m是常数）与x轴仅有一
个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（ ）
A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1
【答案】C
【分析】二次函数与x轴仅有一个交点，则 ，与y轴交于正半轴，则
，求解满足条件的m即可．
【详解】二次函数与x轴仅有一个交点，则 ，
即 ，解得 ，
又因为二次函数图象与y轴交于正半轴，则 ，
将1和-7代入 分别得到0和16，则应把m=1舍去，故m=-7，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴、y轴交点问题，解决题目应熟练掌握判定二次函数与x轴交点个
数的方法，以及判断二次函数图象与y轴交点位置的方法．
【变式训练】
1．（2022·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）把二次函数 的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为 ，若 成立，则m的最小整数值为
（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．－3
【答案】C
【分析】先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为 ，再根据对称轴、与y
轴的交点问题可求出 ， ，然后代入解一元一次不等式即可求出答案．
【详解】解：由二次函数图形的变换规律得：把二次函数 的图象作关于y轴的对称变
换，所得图象的解析式为 ，
则 与 相同，
由对称轴得： ，解得 ，
当 时，由函数 得 ；由函数 得
则 ，
将 ， 代入 得： ，
整理得： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴m的最小整数值为3，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与y轴的交点）、一元一次不等式等知识点，依据
二次函数的图象与性质求出b、c与a的关系等式是解题关键．
2．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，抛物线 与 轴交于点 ，交 轴正半轴于 ，直
线 过 ， 是抛物线第一象限内一点，过点 作 轴交直线 于点 ，则 的最大值为______．【答案】
【分析】先根据抛物线的解析式求出 、 坐标，再利用待定系数法求出 的解析式，再设
，则 ，得出 ，然
后利用函数的性质求出 的最大值即可．
【详解】解：令 ，则 ，
解得： ， ，
，
令 ，则 ，
，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
在线段 上方，
，
， ，当 时， 有最大值，最大值为 ．
故答案为：4.
【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点以及一次函数，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解答本
题的关键．
3．（2023·新疆喀什·统考三模）如图，抛物线 交x轴于 、B两点，交y轴于 ，
点P在抛物线上，横坐标设为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；
(3)若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为 ，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）求出点B的坐标，根据图象写出m的取值范围即可；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，得出二次函数 有最大值4，分
两种情况讨论，当点 在对称轴的左侧或对称轴上，即 时，当点 在对称轴的右侧，即 时，分
别求出m的值即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入抛物线 得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ．
（2）解：把 代入 得： ，
解得： ， ，
∴点B的坐标为 ，
∴当点P在x轴上方时，m的取值范围是 ．
（3）解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∵ ，
∴二次函数 有最大值4，
当点 在对称轴的左侧或对称轴上，即 时，抛物线在点P右侧部分图象的最高点为抛物线的顶点，
∴ ，
解得： ；
当点 在对称轴的右侧，即 时，抛物线在点P右侧部分图象的最高点就是点P，
∴ ，
解得： ， （舍去）；
综上分析可知， 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，求抛物线的最
值，解题的关键是理解题意，数形结合，注意分类讨论．
【经典例题二 由二次函数解一元二次方程】
【例2】（2021秋·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期末）根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
判断方程 ， ， ， 为常数）的一个解x的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据表中数据得到 时， ； 时， ，则 取2.24
到2.25之间的某一个数时，使 ，于是可判断关于 的方程 的一个解 的
范围是 ．
【详解】解： 时， ； 时， ，
关于 的方程 的一个解 的范围是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给
出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，抛物线 与直线 交于A、B两点，下列是关于
x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A． 的解集是B． 的解集是
C． 的解集是
D． 的解是 或
【答案】D
【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即 的解集为：x<2或>4；方程
ax2+bx+c=x+h，即 的解为 或 ．据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即 的解集为：x<2或>4；故
A、B、C不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即 的解为 或 ，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
2．（2023·吉林长春·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．若关于 的一
元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有实数根，则 的取值范围为______.
【答案】
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，再根据将一元二次方程 的实数根可以看作
与函数 的有交点，结合图象，在 的范围确定y的取值范围即可求解．
【详解】∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ．
一元二次方程 的实数根可以看作 与函数 的有交点，如图，当 时， ．
∵方程在 的范围内有实数根，即函数 的图象在 的范围内与 的图象有
交点，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，
从而借助数形结合解题是关键．
3．（2023·湖北黄石·统考一模）阅读材料：
材料1．已知实数m、n满足 ， 且 ，求 的值．
解：由题意知m、n是方程 的两个不相等的实数根，得 ，
∴
材料2．如图，函数 的图像，是一条连续不断的抛物线，因为当 时， ；当
时， ．可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间．所以方程 的一个根 所在的范围是 ．
根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数m、n满足 ， ，且 ，求 的值．
(2)已知实数p、q满足， ， ，且 ，求 的值．
(3)若关于x的一元二次方程 的一个根大于2，另一个根小于2，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）仿照材料1的方法，利用一元二次方程根与系数的关系进行即可；
（2）由 变形得 ，仿照材料1的方法，利用一元二次方程根与系数的关系进行即可；
（3）考虑二次函数 ，由题意知当 时， ，即可求得m的取值范围．
【详解】（1）解：由题意知m、n是方程 的两实数解，
∴ ， ，
∴ ；（2）解：由 ，得 ，
由 ，得 ，且
则 与 为方程 的两实数解，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵一元二次方程 的一个根大于2，另一个根小于2，
∴令 ，
∴当 时， ，
解得， ．
【点睛】本题是材料问题，考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解不
等式，求代数式的值等知识，理解题中材料解决问题的方法是问题的关键．
【经典例题三 由二次函数的图象求不等式的解集】
【例3】（2023·山东聊城·统考二模）已知二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为
直线 ，且经过点 ．下列结论：① ；②若点 ， 是抛物线上的两点，则
；③ ；④若 ，则 ，其中正确的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据对称轴可判断①不正确；根据二次函数的增减性可判断②正确；由抛物线经过点 和对
称轴可得 ，结合 可判断③正确；求出点 的对称点为 ，结合图象可判断④正确．
【详解】解：∵对称轴 ，
∴ ，
∴ ，故①不正确；
∵抛物线开口向上，点 到对称轴的距离小于点 的距离，
∴ ，故②正确；
∵抛物线经过点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵抛物线开口向上，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵对称轴为直线 ，
∴点 的对称点为 ，
∵开口向上，
∴ ， ，故④正确．故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）二次函数 （ ， ， 为常数，且 ）中 与 的
部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ）
0 1 3
3 5 3
①
②当 时， 的值随 值的增大而减小；
③4是方程 的一个根；
④当 时，
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】利用待定系数法先求解抛物线的解析式为： ；可得 ，可判①；根据函数的对
称轴为直线 ，函数图象开口向下，可得当 时， 的值随 值的增大而减小；可得②不符合题意；
由 可化为 ，可判断③符合题意；由 时，
可得 或 ，可得当 时， ；可得④符合题意；从而可得答案．
【详解】解：当 时， ，则 ；
当 时， ；当 时， ，
则有 ，，
；
① ，故①符合题意；
②函数的对称轴为直线 ，函数图象开口向下，
∴当 时， 的值随 值的增大而减小；故②不符合题意；
③ 可化为 ，
或 ；故③符合题意；
④ 时，
∴ 或 ，
当 时， ；故④符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练的掌握二次
函数的图象与性质进而作出准确的判断是解本题的关键．
2．（2023·上海普陀·统考二模）抛物线 开口向上，且过 ，下列结论中正确的是
_________（填序号即可）．
①若抛物线过 ，则 ；
②若 ，则不等式 的解为 ；
③若 ， 、 为抛物线上两点，则 时 ；
④若抛物线过 ，且 ，则抛物线的顶点一定在 的下方．
【答案】①③④
【分析】①由抛物线过 和 ，则对称轴为直线 ，故 ，①对；②由 得，抛物线对称轴为直线 ，抛物线过 和 ，由图象得不等式 的解为 ，②错；
③设抛物线与x轴的另一个交点为 ，由 得 ， ，得 ，则对称轴在直线
左边，由 ，可得 ，③对；④由 得顶点坐标为 ，
由 得， ，④对；
【详解】解：∵抛物线经过 和 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，即 ，故①正确；
∵ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴抛物线经过 和 ，
∵抛物线开口向上，
∴当 时，抛物线的函数图象在直线 的函数图象下方，即此时 ，故②错误；
设抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∵抛物线开口向上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴抛物线对称轴在直线 左边，
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵抛物线经过 ， ，
∴抛物线对称轴为直线 ，抛物线解析式为 ，
∴顶点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的顶点一定在 的下方，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与不等式，熟知二次函数的相关知识是解题的关
键．
3．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：
．
解：设 ，解得： ， ，
则抛物线 与 轴的交点坐标为 和 ．
画出二次函数 的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当 时函数图象位于 轴下方，
此时 ，即 ．
所以一元二次不等式 的解集为： ．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号）
①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．
(2)用类似的方法解一元二次不等式： ．
(3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如
下，请补充完整：
①自变量 的取值范围是___________； 与 的几组对应值如表，其中 ___________．
… 4 0 1 2 3 4 …
… 5 0 0 1 0 …
②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
③结合函数图象，解决下列问题：
解不等式：
【答案】(1)①，③
(2)
(3)①全体实数； ；②见解析；③ 或 或【分析】（1）根据转化思想和数形结合思想解答，即可；
（2）依照例题，先求得 的解，再画出 的草图，观察图象即可求解；
（3）①当 时，代入数据求解即可；②描点，连线，即可画出函数图象；③观察图象即可求解．
【详解】（1）解：上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合思想；
故答案为：①，③
（2）解： ，
设 ，解得： ， ，
则抛物线 与 轴的交点坐标为 和 ．
画出二次函数 的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当 时函数图象位于 轴上方，
此时 ，即 ．
所以一元二次不等式 的解集为： ；
（3）解：①自变量 的取值范围是全体实数；
当 时， ，即
列表；
… 0 1 2 3 4 …
… 5 0 0 1 0 …
故答案为：全体实数； ；
②描点，连线，函数 图象如图：③由图象可知；由图象可知：当 或 或 时函数 的图象位于
与0之间，此时 ，即 ．
一元二次不等式 的解集为： 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅
读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．
【经典例题四 抛物线交点问题的综合】
【例4】（2023·湖南岳阳·统考三模）如图，抛物线 与直线 交于点 和点B．点M
是直线 上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段 与抛物线只有一个公共点，
则点M的横坐标 的取值范围是（ ）A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【分析】先根据抛物线 与直线 交于点 求出函数解析式，进而得出点B 坐标，
分类求解确定 的位置，进而求解．
【详解】解：∵抛物线 与直线 交于点
∴ ，
解得： ，
即：抛物线为 与直线
联立解析式得：
解得 或 ，
∴点B的坐标为（﹣1，3），
当点 在线段 上时，线段 与抛物线只有一个公共点，
∵ ， 的距离为3，而 、 的水平距离是 ，若线段 与抛物线只有一个公共点，故此时只有一个
交点，即 ；
当点M在点 的左侧时，即 时，线段 与抛物线没有公共点；
当点M在点 的右侧时，当 时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即 时，线段
MN与抛物线只有一个公共点，
综上，当线段 与抛物线只有一个公共点时， 或 ．故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和
性质、坐标与图形变化﹣平移，分类求解确定 的位置是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·天津河东·一模）抛物线 (a，b，c为常数)开口向下且过点
，以下结论：① ；② ；③若方程
有两个不相等的实数根，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】根据已知条件可判断 ， ，据此逐项分析解题即可．
【详解】解： 抛物线开口向下,
把 ， 代入 得① ，故①正确；
② ，故②正确；；
③若方程 有两个不相等的实数根，
即
，故③正确，即正确结论的个数是3，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a、b、c关系，涉及一元二次方程根的判别式，
是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知抛物线 （ ）．现给出以下结论：①该抛物线
与y轴的交点坐标是 ；②当 时，抛物线与直线 没有交点；③若该抛物线的顶点在直线
与坐标轴围成的三角形内（包括边界），则 ；④若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有
一个交点在点 与 之间．其中正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）【答案】③④
【分析】根据二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】令 则 ，即该抛物线与y轴的交点坐标是 ；
①错误；
联立 得：
∴当 时， ，抛物线与直线 有交点；
②错误；
抛物线 顶点坐标为
直线 与坐标轴交点为
∵该抛物线的顶点在直线 与坐标轴围成的三角形内（包括边界）
∴
解得
∴
③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线经过 ，且 时， ，
∴抛物线与x轴一定有一个交点在点 与 之间．
故④正确；
综上所述，正确的有③④．
故答案为：③④．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建不等式或不等式组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
3．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）在平面直角坐标系 中，点 都在抛物线
上．
(1)当 时，求 的值；
(2)当 时，求 的取值范围；
(3)在（1）的条件下，设抛物线 与 轴正半轴交于点A，与 轴交于点B． 将抛物线 沿着 轴向上平
移 个单位长度得到抛物线 ，若抛物线 与 轴交于C，D两点，与 轴交于点E，且
， ． 求抛物线 在 的最高点的纵坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可知点 关于抛物线对称轴对称，由此利用抛物线对称轴公式进行求
解即可；
（2）分当 ，即 时，当 ，即 时，两种情况根据抛物线开口向上，离
对称轴越远函数值越大进行求解即可；
（3）先求出点 的坐标为 ，在求出抛物线H的解析式为 ，得到点E的坐标为
，则 ；设 ，得到 ， ，根据 ，推出 ，
得到 ，求出点A的坐标为 ，得到 ，根据
，求出 或 （舍去），得到 ，则抛物线H的解析式为 ，再根据二
次函数的性质求出 ，即 时，抛物线H的最高点的横坐标即可 ．【详解】（1）解：∵点 在抛物线 上，且 ，
∴点 关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
当 ，即 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 ，即 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， ；
（3）解：由（1）得，抛物线G的解析式为 ，
∴点 的坐标为 ，
∵将抛物线 沿着 轴向上平移 个单位长度得到抛物线 ，∴抛物线H的解析式为 ，
∴点E的坐标为 ，
∴ ，
设 ，
∵抛物线 与 轴交于C，D两点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
令 ，解得 或 ，
∴点A的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴抛物线H的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∵抛物线H的对称轴为直线 ，且其开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵当 时， ，
∴抛物线 在 的最高点的纵坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，二次函数图象的平移，二次函数与x轴的交点问题，熟知
二次函数的相关知识是解题的关键．
【经典例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】
【例5】（2023·山东聊城·统考中考真题）已知二次函数 的部分图象如图所示，图象经过点 ，其对称轴为直线 ．下列结论：① ；②若点 ， 均在二次函数图象
上，则 ；③关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根；④满足 的x
的取值范围为 ．其中正确结论的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据抛物线开口向下可得 ，根据抛物线的对称轴可推得 ，根据 时， ，即可得
到 ，推得 ，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点 到对称轴的距离小于点
到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得 ，故②正确；根据抛物线的图象可知二
次函数 与直线 有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程 有两个
不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点 ，即可得到
时， 的取值范围 ，故④正确．
【详解】①∵抛物线开口向下，
∴ ．
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
由图象可得 时， ，即 ，
而 ，
∴ ．故①错误；
②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线 ．
故当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
∵ ， ，
即点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离，
故 ，故②正确；
③由图象可知：二次函数 与直线 有两个不同的交点，
即关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，故③错误；
④∵函数图象经过 ，对称轴为直线 ，
∴二次函数必然经过点 ，
∴ 时， 的取值范围 ，故④正确；
综上，②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对
于二次函数 ，二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小，当 时，抛物线向上
开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位置；常数项 决定抛
物线与 轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·广东珠海·九年级校考期中）二次函数 的图像如图所示，有如下结论：①
；② ；③ ；④ ；⑤若方程 两根为 ， ，则．其中正确个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据图像与对称轴可判定结论①；根据抛物线与 轴有两个交点，可判定结论②；根据函数图像
当 时可判定结论③；根据抛物线的对称轴， 时可判定结论④；根据函数与 轴有两个交点，韦
达定理的知识可判定结论⑤；由此即可求解．
【详解】解：结论① ，
根据题意可得， ， ，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故结论①正确；
结论② ，
∵抛物线与 轴有两个交点，
∴ ，故结论②正确；
结论③ ，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴当 时，函数值随自变量的增大而增大，
∴当 是， ，故结论③正确；
结论④ ，
∵抛物线对称轴为 ，
∴ ，当 时， ，故结论④正确；
结论⑤若方程 两根为 ， ，则 ，
∵抛物线与 轴有两个交点， ， ，
∴ ， ，且 ，
∵ ，
∴ 错误，故结论⑤错误；
综上所述，正确的有①②③④， 个，
故选： ．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数图像与系数符号的关系，对称轴的计算方法，
图像与 轴交点的意义，根与系数的关系等知识的综合运用是解题的关键．
2．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数 的图象上有两点 和
，则 的值等于 _____．
【答案】
【分析】由题意可得 、 是方程 的两个根，则有 ，又由 ，将所
求式子变形为 ，然后再求值即可．
【详解】解： 点 和 在二次函数 的图象上，
、 是方程 的两个根，
，
将 代入 ，
，，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间
的关系是解题的关键．
3．（2022秋·浙江·九年级期中）宏志班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行了探究，探
究过程如下，请补充完整．
(1)自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值列表如下：
0 1 2 3
3 0 0 3
其中，
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象
的另一部分．
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质：① ；② ．
(4)关于 的方程 有4个实数根时， 的取值范围是 ．
【答案】(1)0
(2)见解析
(3)①函数 的图象关于 轴对称；②当 时， 随 的增大而增大
(4)【分析】（1）将 代入函数解析式求解．
（2）通过描点，连线作图．
（3）由函数图象，写出两条函数的性质即可．
（4）写出函数图象与直线 有4个交点时求 的取值范围即可．
【详解】（1）将 代入 得 ，
∴ ，
故答案为：0．
（2）如图所示：
（3）由函数图象知：①函数 的图象关于 轴对称；
②当 时， 随 的增大而增大，
（4）由图象可得当直线 与函数 的图象有4个交点时 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是画出函数图像，掌握函数与方程的关系．
【经典例题六 求x轴与抛物线的截线长】
【例6】（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ）
与 轴交于点 ， ．若线段 上有且只有7个点的横坐标为整数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，从而得 ，再根据线段 上有且只有7个点的横坐标为整数，可
得当 时， ，当 时， ，进而即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∴ ．
∵线段 上有且只有7个点的横坐标为整数，
∴这些整数为 ， ，0，1，2，3，4.
∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ 且 ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，根据函数图像点的坐标特征，列出关于m的不等式组，是
解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截
x轴所得的线段长为4，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，
本题得以解决．
【详解】解：二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y＝a
（x﹣3）2﹣2，
当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0，
设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x，x，
1 2
则x+x＝6，xx＝ ，
1 2 1 2∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4，
∴|x﹣x|＝4，
1 2
∴（x﹣x）2＝16，
1 2
∴（x+x）2﹣4xx＝16，
1 2 1 2
∴36﹣4× ＝16，
解得，a＝ ，
故选：D．
【点睛】本题考查解二次函数综合题，解题关键是根据题意可以写出平移后的函数解析式.
2．（2022春·全国·九年级专题练习）已知抛物线 与x轴交于 A，B两点，则线段AB的
长的最小值为______．
【答案】2
【分析】设A(x₁，0)，B(x₂，0)，则 ．由根与系数的关系把x₁+x₂，x x 用含
₁ ₂
m的代数式表示出来，再代入上式计算，再利用配方法求出AB的最小值即可．
【详解】设A(x₁，0)，B(x₂，0)，
由根与系数的关系得 x₁+x₂=-m，x x =m-2，
₁ ₂
则
=
=
=
当m=2时，(m-2) ²=0
此时 有最小值为 ，
∴AB的长的最小值为2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，以及用配方法求二次三项
式的最小值．综合运用以上知识是解题的关键．3．（2023·河南洛阳·统考一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)抛物线的顶点坐标为______（用含m的式子表示）；
(2)已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
①若 ，求抛物线的解析式；
②若 ，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可得；
（2）①先求出二次函数的对称轴和点 的坐标，从而可得点 的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
②设点 的坐标分别为 ，则 是关于 的一元二次方程 的
两个根，利用根与系数的关系可得 ， ，从而可求出 的值，再根据 建立不
等式，解不等式即可得．
【详解】（1）解： ，
则抛物线的顶点坐标为 ．
（2）解：①二次函数 的对称轴为直线 ，且开口向下，
当 时， ，
，
∵抛物线的开口向下，
点 一定都位于 轴的负半轴，
，
，
将点 代入 得： ，解得 ，
则抛物线的解析式为 ；
②设点 的坐标分别为 ，
由题意得： 是关于 的一元二次方程 的两个根，
， ，
，
，
，即 ，
又 ，
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函
数的图象与性质是解题关键．
【重难点训练】
1．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考二模）函数 的图象与x轴两个交
点的横坐标分别为 ， ，且 ， ，当 时，该函数的最小值m与b的关系式是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线与一元二次方程的关系求出抛物线与x轴两个交点，然后求出抛物线中参数b的值，
进而利用端点来求函数的最小值即可．
【详解】解：∵函数 的图象与x轴两个交点的横坐标分别为 ， ，∴ ，又 ，
∴ ，解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，则 ，
∴该函数的对称轴为直线 ，又该函数的图象开口向上， ，
∴当 时，该函数有最小值，最小值 ，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的综合题，主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的图象与性质，
利用韦达定理处理根和系数之间的关系，掌握抛物线的对称轴和增减性是解题的关键．
2．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）抛物线 交x轴于 ，A两点，
将 绕点A旋转 得到抛物线 ，交x轴于另一点 ；将 绕点 旋转 得到抛物线 ，交x轴于
另一点 ；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的旋转，找到图像的循环特征，由循环特性分别找到当 、 时，对应
的函数值，进行判定即可．
【详解】解：由已知 ，
则抛物线 的顶点为 ，由旋转可知，抛物线 的顶点为 ，
则抛物线 解析式为： ，
由题意可知，题干中的复合图像，每4个单位循环一次，
由 可知，
的函数值等于 时的函数值，
∴ 时， ，
由 可知，
的函数值等于 时的函数值，
∴ 时， ，
故可知，点 在图像上．
故选：C
【点睛】本题考查了与二次函数图像的旋转有关的规律探究问题，解答关键是通过图像的旋转要找到对应
的函数解析式以及图像的循环规律．
3．（2023春·浙江杭州·九年级翠苑中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知函数 ，
，其中a，b是正实数，且 ，设 ， 的图象与x轴交点个数分别是M，N，则
（ ）
A． 或 或 B． 或
C． 或 D． 或 或
【答案】D
【分析】先分别求出一元二次方程 和 的根的判别式，再根据 的取值范围分类
讨论即可得．
【详解】解：一元二次方程 根的判别式 ，
一元二次方程 根的判别式 ，
当 时，解得 或 （不符合题意，舍去），
当 时，解得 ，①当 时，则 ， ，
所以 ，
所以 ；
②当 时，则 ，
所以 ；
③当 时，则 ，
所以 ，
所以 ；
④当 时，则 ，
所以 ，
所以 ；
⑤当 时，则 ，
所以 ；
综上， 或 或 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系，正确分情况讨论是解题关键．
4．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知点 ， ， 都在抛物线 上， ，下列
选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】抛物线 的顶点坐标为 ，根据抛物线图像的性质，增减性，无理数比较大小的方
法即可求解．
【详解】解：∵抛物线 的顶点坐标为 ，且开口向上，∴当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；
抛物线 与 轴的交点坐标 ， ，与 轴的交点为 ，当 时，
， ，
点 ， ， 都在抛物线 上，
∴ ，则 或 ，
，则 或 ，
∵ ，
∴ ，
选项，若 时， ， ，则 ，故 选项错误，不符合题意；
选项，若 ， ， ，则 ，故 选项错误，不符合题意；
选项，若 时， ， ，则 ，故 选项正确，符合题意；
选项，若 时， ， ，则 ，故 选项错误，不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质，无理数比较大小是解题的关键．
5．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）二次函数 的部分图象如图所示，其
对称轴为直线 ，且与x轴的一个交点坐标为 ，下列结论：① ；② ；③图象与x轴的另一个交点坐标为 ；④关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根；⑤ ．
其中正确的结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据开口方向、与y轴的交点位置、对称轴即可判断①对错；根据对称轴即可判断②对错；根据
抛物线的对称性得即可判断③对错；根据图象与x轴的交点个数，即可判断④对错；将 代入函数解
析式即可判断⑤对错．
【详解】解： 图象开口向上，与 轴交点在负半轴，
， ，
图象对称轴在x轴负半轴，
、 同号，
，
，①错误；
对称轴为直线 ，
，
，②正确；
对称轴为直线 ，且与的一个交点坐标为 ，
图象与x轴的另一个交点坐标为 ，③正确；
图象与x轴有两个交点，关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，④错误；
图象与x轴的两个交点为 ，
，
，
，⑤正确，
正确的结论有②③⑤，共3个，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，函数与方程的关系，由图象得
出a、b、c的数量关系是解题关键，属于基础题型．
6．（2023春·浙江·九年级专题练习）抛物线 与 轴交于 ， 两点， 和
也是抛物线上的点，且 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线解析式 化为顶点式 ，得到抛物线的对称轴为直线
，顶点 ，由抛物线与 轴交于 ， 两点，得出抛物线开口向上， ，距离对称轴越远，函
数的值越大，根据 ， ，判断 ， 与对称轴之间的关系即可．
【详解】解： 抛物线 ，
对称轴为 ，顶点为 ，
抛物线与 轴交于 ， 两点，
抛物线图象开口向上， ，
， ，
，即点 距离对称轴更远，
，故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象以及性质，抛物线与 轴的交点，解题的关键是明确题意，利用二次函
数的额性质解答．
7．（2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数 在x轴上方
的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线
与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，解方程 得 ， ，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为
，即 ，然后求出直线 经过点 时 的值和当直线
与抛物线 有唯一公共点时 的值，从而得到当直线 与新图象
有4个交点时， 的取值范围．
【详解】解：如图，当 时， ，解得 ， ，则 ， ，
将该二次函数在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方的部分图象的解析式为 ，即 ，
当直线 经过点 时， ，解得 ；
当直线 与抛物线 有唯一公共点时，方程 有相等的实数
解，解得 ，
所以当直线 与新图象有4个交点时， 的取值范围为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 ， ， 是常数， 与 轴的
交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
8．（2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程 有一个根是1，
若 的顶点在第一象限，设 ，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 代入 可得 ，即 ；由 ，则 ；二次函数
的图像的顶点在第一象限，则 且 ，最后解不等式组即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有一个根是1，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵二次函数 的图像的顶点在第一象限，
∴顶点坐标为∴ 且 ，
将 ， 代入上式得：
，解得 ．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、解一元一次不等式等知识点，掌握二次
函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键．
9．（2022秋·浙江丽水·九年级期末）二次函数 的部分对应值列表如下：
x … 0 1 3 5 …
y … 7 7 …
则一元二次方程 的解为____________．
【答案】
【分析】利用 时， ； 时， 得到二方程一元二次方程 的两根为
，由于把一元二次方程 可看作关于 的一元二次方程，则
或 ，然后解一次方程即可．
【详解】解：对于二次函数 ，
∵ 时， ； 时， ，
即方程一元二次方程 的两根为 ，
把一元二次方程 看作关于 的一元二次方程，
∴ 或 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查通过表格确定二次函数图象与 的交点坐标解一元二次方程．熟练掌握二次函数的图
象和性质，利用数形结合和整体思想进行求解是解题的关键．
10．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线 的图象与 轴交点的横坐标为 和1，则
不等式 的解集是__________．
【答案】
【分析】根据抛物线与x轴交点的横坐标以及对应方程的实数根求得c、b，进而可求得方程
的实数根，利用抛物线 与x轴交点的横坐标，结合开口方向即可求解．
【详解】解：∵抛物线 的图象与 轴交点的横坐标为 和1，
∴方程 的两个实数根为 和1，
∴ ， ，即 ，
∴方程 的两个实数根为 和1，
∴抛物线 的开口向下，且与x轴交点的横坐标为 和1，
∴不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题、解一元二次方程、二次函数与不等式的关系，能根据
二次函数的图象与性质求解不等式的解集是解答的关键．
11．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图， 抛物线 与 轴交于点 ， 顶点坐
标为 ， 与 轴的交点在 之间 （包含端点）， 则 的取值范围为___________．【答案】 /
【分析】首先把顶点坐标代入函数解析式得到 ，利用c的取值范围可以求得a的取值范围．
【详解】∵抛物线 与 轴交于点 ，对称轴 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标分别是 ，
∴ ，
∴ ，则 ．
∵ 轴的交点在 之间 （包含端点），
∴ ，
∴ ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴交点坐标与系数的关系．二次函数 系数符号由抛物
线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是解
题的关键．
12．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将二次函数 在 轴下
方的图象沿 轴翻折到 轴上方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为 ．若直线 与
图象 恰好有3个交点，则 ___________．【答案】1或
【分析】将二次函数 在 轴下方的图象沿 轴翻折到 轴上方，即解析式为 ；直
线 ，看成直线 ，上下移动 个单位所得，当 经过 点或与二次函数 图
象相切时， 与图象 恰好有3个交点，进而可求出 的值．
【详解】解：当 时，解得： 或 ，
点的坐标为 ， 点的坐标为 ，
将二次函数 在 轴下方的图象沿 轴翻折到 轴上方，即解析式为 ；
①当 经过 点， 与图象 恰好有3个交点，
将 代入 ，可得 ；
②当直线 图象与二次函数 图象相切时， 与图象 恰好有3个交点，
联立方程： ，可得： ，整理得： ，
∴ ，即 ，解得： ，
；
综上所述，若直线 与图象 恰好有3个交点时， 或 ．
故答案为：1或 ．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题，熟练掌握函数图象特点，用数形结合方法分析问题是解本
题的关键，综合性较强，难度较大．
13．（2021·浙江金华·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 ．
（1）若该抛物线过原点，则t的值为________．
（2）已知点 与点 ，若该抛物线与线段 只有一个交点，则t的范围是__．
【答案】 或2
【分析】(1)把（0，0）代入抛物线解析式即可；
(2) 把点 与点 分别代入解析式，求出t的值,再根据抛物线开口确定t的范围．
【详解】解：(1) 把（0，0）代入抛物线 得，
，解得， ， ；
故答案为： 或2
(2) 由解析式可知抛物线的对称轴是直线 ；
把点 代入解析式得， ，解得， ， ；当 时，抛物线与线
段刚好有两个交点 和 ，当 时，抛物线与线段只有一个交点，故t的范围是 ；
把点 代入解析式得， ，解得， ， ；当 时，抛物线与线段刚好
有两个交点 和 ，当 时，抛物线与线段只有一个交点，故t的范围是 ；
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质和它与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数和一元二
次方程的知识，准确进行计算和正确进行推理．14．（2022秋·浙江·九年级期中）对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于2﹣n，我们称n为这
个函数的“二合点”，如果二次函数y＝ax2+x﹣1有两个相异的二合点x，x，且x＜x＜1，则a的取值
1 2 1 2
范围是_____．
【答案】﹣ ＜a＜0或a＞1．
【分析】首先根据已知条件得到符合题意的一个一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式得到a的大
致范围，最后结合二次图象及方程两根小于1得到a的精确范围．
【详解】解：根据题意，可得
两个相异的二合点x，x 是方程
1 2
an2+n﹣1＝2﹣n的两个根，
整理，得
an2+2n﹣3＝0，
△＞0，
即4+12a＞0，解得a＞﹣ ．
①当a＞0时，抛物线开口向上，
∵x＜x＜1，
1 2
当x＝1时，y＞0，
即a+2﹣3＞0，解得a＞1．
所以a＞1．
②当a＜0时，抛物线开口向下，
∵x＜x＜1，当x＝1时，y＜0，
1 2
即a+2﹣3＜0，解得a＜1，
所以﹣ ＜a＜0．
综上所述：﹣ ＜a＜0或a＞1．
故答案为﹣ ＜a＜0或a＞1．
【点睛】本题考查二次函数、一元二次方程与一元一次不等式的综合运用，熟练掌握二次函数的图象、一
元二次方程根的判别式及分类思想的运用是解题关键．
15．（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，抛物线 与y轴交于点C，与直线 交于点 ，B，已知点B与点C关于抛物线的对称轴对称．
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出满足不等式(x－2)2＋m－kx－b>0的x的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】（1）由点A坐标求出抛物线解析式，从而可得点C及点B坐标，再通过待定系数法求直线解析
式．
（2）由图象开口方向及点A，B横坐标，利用图象法求解．
【详解】（1）解：将 代入 得 ，
解得 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴点C坐标为 ，
∵抛物线 对称轴为直线 ，
又∵点B与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴点B坐标为 ，
将 ， 代入 得，
解得 ，
∴ ．
（2）解：由图象可得 的解集为 或 ，
∴满足不等式(x－2)2＋m－kx－b>0的x的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查求二次函数和一次函数解析式，根据二次函数与一次函数图象交点求不等式解集，解题
关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．（2022秋·广东韶关·九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，二次函数 的图像与
轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 、 是二次函数图像上一对对称点，一次函数
的图像过点 、 ．
(1)直接写出点 、 的坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)将二次函数 向左平移2个单位，并向下平移2个单位，写出得到的图像的解析式；
(4)根据图像求 的解集．
【答案】(1) ，
(2)二次函数解析式为
(3)(4) 或
【分析】（1）由图象可得点 坐标，根据抛物线的对称性可得点 坐标；
（2）根据待定系数法求抛物线解析式即可；
（3）根据抛物线平移规律求解即可；
（4）由抛物线在直线下方时 的取值范围求解即可．
【详解】（1）解：由图象可得点 坐标为 ，
∵抛物线经过 、 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴点 坐标为 ．
（2）解：将 、 代入 得，
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ．
（3）解：二次函数 的图象向左平移2个单位后解析式为
，
再将抛物线 向下移动2个单位后解析式为 ．
（4）解：∵点 坐标为 ，点 坐标为 ，
∴当 或 时，抛物线图象在直线 下方，
∴当 或 时， ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
17．（2020秋·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有实数根，求实数 的取值范围．
(2)若方程两实数根为 ， ，且满足 ，求二次函数 的图象与 轴的两个交点间
的距离．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）根据一元二次方程有实数根知 ，解答即可；
（2）先求出一元二次方程的两根．再根据二次函数 的图象与x轴的两个交点的横坐标就是
方程 的两个根，求差的绝对值即可．
【详解】（1）∵方程 有实数根，
∴ ，
∴ ．
（2）∵方程 有两个实数根 ，
∴ ．
∵
∴ ，
∴二次函数 的图象与x轴的两个交点间的距离为 ．
【点睛】本题侧重考查二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与系数的关系，掌握其关系是
解决此题的关键．18．（2023·河南鹤壁·统考一模）如图所示，已知抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点
C，其中点A的坐标为 ，对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当直线 经过点C时，结合图象直接写出不等式 的解集；
(3)已知点 ， ，连接 ，若抛物线 向下平移 个单位长度时，与线
段 只有一个公共点，请直接写出k的取值范围．
【答案】(1) ，顶点坐标 ；
(2) 或 ；
(3) 或 ．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）①抛物线向下平移1个单位时，抛物线和 有一个交点，即 ；②当 时， ，当
时， ，当抛物线向下平移 个单位时，抛物线和 恰好有2个交点，当抛物线向下平移10个单
位时，抛物线和 恰好有1个交点，之后再没有交点，即可得解．
【详解】（1）∵抛物线过点 ,且对称轴为直线 ，
∴∴
∴ ；
（2）由（1）知 ，令 得，
∴
∴
令 得
∴
∴
∴
∴当直线过点C时，直线的表达式为： ，该直线恰好过点B，
观察函数图象知，不等式 的解集为： 或 ；
（3）①由抛物线的表达式知，其顶点坐标为： ，
则抛物线向下平移1个单位时，抛物线和 有一个交点，即 ；
②当 时， ，当 时， ，
当抛物线向下平移 个单位时，抛物线和 恰好有2个交点，当抛物线向下平移 个单位时，抛物线和 恰好有1个交点，之后再没有交点，
故 ，
综上， 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、图形的平移等，其中（3），要注意分类
求解，避免遗漏．
19．（2022·广东梅州·一模）已知抛物线 与 轴有两个不同的交点．
(1)试确定 的取值范围．
(2)设该抛物线与 轴的交点为 ， ，其中 ；抛物线与y轴交于点 ，如图所示．
①求该抛物线的表达式并确定 点坐标和 点坐标；
②连接 ，动点 以每秒 个单位长度的速度由 向 运动，同时动点E以每秒 个单位长度的速度由
向 运动，连接 ，当点 到达点 的位置时， 、 同时停止运动，设运动时间为 秒．当 为
直角三角形时，求 的值．
【答案】(1)(2) ， ， ； 或
【分析】（1）根据抛物线 与 轴有两个不同的交点，得方程 有两个不同
的实数根，根据根的判别式，即可；
（2） 把点 代入抛物线中，求出抛物线的解析式，再根据 ，求出点 的坐标， ，求出点
的坐标，即可； 根据点 ，点 的坐标，得 是等腰直角三角形，得 ，根据
为直角三角形，分类讨论： 当 时，根据勾股定理求出 ； 当 时，根据勾股定理
求出 ，即可．
【详解】（1）∵抛物线 与 轴有两个不同的交点，
∴方程 有两个不同的实数根，
∴ ，
∴ ．
（2） 点 代入抛物线 中，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ，
当 时， ，
∴点 ，
当 时， ， ，
∴点 ；
∵点 ，点 ，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
：当 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵动点 以每秒 个单位长度的速度由 向 运动，同时动点E以每秒 个单位长度的速度由 向 运动，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
当 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，当 为直角三角形时， 或 ．
【点睛】本题考查二次函数和几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数
解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用．
20．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，抛物线 （ ）
与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B仍然在抛物线L上．(1)求抛物线L的对称轴，并用含m的代数式表示n；
(2)当抛物线L的顶点在x轴上时，求该抛物线的解析式；
(3)若抛物线与x轴相交于P、Q两点，且 ，求m的取值范围．
【答案】(1)抛物线L的对称轴为直线 ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据 的坐标可得抛物线对称轴，由对称轴 即可得出含m的代数式表示n；
（2）根据抛物线L的顶点在x轴上即抛物线与 轴只有一个交点，进而得出 ，即可得出答
案；
（3）当 时，抛物线开口向下，不妨设点P在点Q的左侧，结合抛物线与 轴的交点可得此种情况不
符合题意；当 时，抛物线开口向上，由（2）知，抛物线 ．在x轴上关于抛物线
的对称轴 对称且距离为3的两点的坐标为 、 ，然后根据 ，进而得出答案．
【详解】（1）解：由抛物线解析式可得L与y轴交于点 ，将点A向右平移4个单位长度，得到点
，∴抛物线L的对称轴为直线 ，
即： ，
∴ ；
（2）由（1）可得抛物线 ，当抛物线L的顶点在x轴上时，抛物线L与x轴只有一个交
点，
∴ ，解得 （舍去）， ，
∴当抛物线L的顶点在x轴上时，该抛物线的解析式为 ；
（3）①当 时，抛物线开口向下，不妨设点P在点Q的左侧，由（1）知，抛物线L与y轴的交点为
．
∵抛物线L的对称轴为直线 ，
∴ ， ．
∴ ，
∵ ，
∴此种情况不符合题意；
②当 时，抛物线开口向上，由（2）知，抛物线 ．在x轴上关于抛物线的对称轴
对称且距离为3的两点的坐标为 、 ，
∵ ．
∴当 时， ，
∴ ，
∵抛物线与x轴有两个交点，，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题
的关键．
