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第六节 概率与统计的综合问题
题型一 概率与频率分布直方图的交汇
[典例] (2021·西安一模)某超市每年10月份都销售某种桃子，在10月份的每天计划进货量
都相同，进货成本为每千克16元，销售价为每千克24元；当天超出需求量的部分，以每千克
10元全部卖出．根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温(单位：℃)有一定关系：最
高气温低于25 ℃，需求量为1 000千克；最高气温位于[25,30)内，需求量为2 000千克；最高
气温不低于30 ℃，需求量为3 000千克．为了制订2020年10月份的订购计划，超市工作人
员统计了近三年10月份的气温数据，得到如图所示的频率分布直方图．
以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．
(1)求2020年10月份桃子一天的需求量X的分布列；
(2)设2020年10月份桃子一天的销售利润为Y元，当一天的进货量为多少千克时，E(Y)取到
最大值？
[解] (1)由题意知X的可能取值为1 000,2 000,3 000，
P(X＝1 000)＝(0.008 9＋0.031 1)×5＝0.2，
P(X＝2 000)＝0.080 0×5＝0.4，
P(X＝3 000)＝(0.046 7＋0.033 3)×5＝0.4.
所以X的分布列为
X 1 000 2 000 3 000
P 0.2 0.4 0.4
(2)设一天的进货量为n千克，则1 000≤n≤3 000.
①当1 000≤n<2 000时，
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝8n；
若最高气温低于25 ℃，则Y＝1 000×8－(n－1 000)×6＝14 000－6n.
此时E(Y)＝0.8×8n＋0.2×(14 000－6n)＝5.2n＋2 800<13 200.
②当2 000≤n≤3 000时，
若最高气温不低于30 ℃，则Y＝8n；
若最高气温位于[25,30)内，则Y＝2 000×8－(n－2 000)×6＝28 000－6n；
若最高气温低于25 ℃，则Y＝1 000×8－(n－1 000)×6＝14 000－6n.
此时E(Y)＝0.4×8n＋0.4×(28 000－6n)＋0.2×(14 000－6n)＝14 000－0.4n≤13 200，当且
仅当n＝2 000时取等号．
综上，当一天的进货量为2 000千克时，E(Y)取到最大值．[方法技巧]
高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布等交汇在一
起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属
的事件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件．
[针对训练]
“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参
与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参加主题教育
活动时间(单位：时)的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12,16]内
的人数为92.
(1)求n的值；
(2)估计这些党员干部一周参与主题教育活动时间的平均值以及中位数(中位数的结果精确到
0.01)；
(3)用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16,24]内的党员干部
给予奖励，且参与时间在(16,20]，(20,24]内的分别得二等奖和一等奖，从这些获奖人中随机
抽取5人，求这5人中获得一等奖人数的分布列及期望．
解：(1)由已知可得，a＝1÷4－(0.025 0＋0.047 5＋0.050 0＋0.012 5)＝0.115 0，
0．115 0×4×n＝92，因而n＝＝200.
(2)这些党员干部一周参加主题教育活动时间的平均值约为
(6×0.025 0＋10×0.047 5＋14×0.115 0＋18×0.050 0＋22×0.012 5)×4＝13.64.
设中位数的估计值为x，则0.050 0×4＋0.012 5×4＋(16－x)×0.115 0＝0.5，得x≈13.83.
(3)由频率分布直方图知，这些获奖人中参与主题教育活动的时间在(16,20]的概率为＝，在
(20,24]的概率为＝，
设抽取的5人中获得一等奖的人数为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5.
P(ξ＝0)＝C×0×5＝，
P(ξ＝1)＝C×1×4＝，
P(ξ＝2)＝C×2×3＝，
P(ξ＝3)＝C×3×2＝，
P(ξ＝4)＝C×4×1＝，
P(ξ＝5)＝C×5×0＝，
则ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 5
P
法一：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝1.
法二：易知ξ服从二项分布，所以E(ξ)＝5×＝1.
题型二 概率与统计、统计案例的交汇
[典例] (2021·上饶一模)某晚会上，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零
下20 ℃的现场表演了精彩的节目．石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨
烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内．
(1)从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现
有A，B两种材料供选择，研究人员对附着在A材料上再结晶做了30次试验，成功28次；对
附着在B材料上再结晶做了30次试验，成功20次．补充下面的2×2列联表，并判断是否有
99.5%的把握认为试验是否成功与A材料和B材料的选择有关.
A材料 B材料 总计
成功
不成功
总计
(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节，其中前三个环节每个环节生产
合格的概率均为，每个环节不合格需要修复的费用均为200元；第四个环节生产合格的概率
为，此环节不合格需要修复的费用为100元．问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品
平均需要多少修复费用？
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
0
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
[解] (1)2×2列联表如下：
A材料 B材料 总计
成功 28 20 48
不成功 2 10 12
总计 30 30 60
K2＝≈6.667<7.879，
所以没有99.5%的把握认为实验是否成功与A材料和B材料的选择有关．
(2)设 X 为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则 X 的可能取值为
0,100,200,300,400,500,600,700，
P(X＝0)＝3×＝，
P(X＝100)＝3×＝，
P(X＝200)＝C×2×＝，P(X＝300)＝C×2×＝，
P(X＝400)＝C2××＝，
P(X＝500)＝C2××＝，
P(X＝600)＝3×＝，
P(X＝700)＝3×＝，
E(X)＝0×＋100×＋200×＋300×＋400×＋500×＋600×＋700×＝333.
故一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要333元修复费用．
(1)概率常与随机抽样、频率分布直方图、统计、独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学
期望等综合，注意频率分布直方图的纵轴不表示频率．
(2)当题目中出现“在……条件(前提)下”等字眼时，所求概率一般为条件概率；若无上述字
眼，但已发生的事件影响了所求事件的概率，也认为是条件概率．条件概率的公式需记牢，不
要混淆事件A，B.也有不用条件概率的公式，根据实际意义求概率的，如“甲、乙比赛时，甲
每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响，比赛采用五局三胜制．已知第一局乙获胜，
求甲获胜的概率．”易得甲获胜的概率P＝3＋×C2×＝.
[针对训练]
某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养
殖重量X(百斤)都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低
于40百斤且不超过60百斤的有24期，超过60百斤的有8期．根据
统计，该池塘的草鱼重量的增加量y(百斤)与使用某种饵料的质量
x(百斤)之间的关系如图所示．
(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程y＝bx＋a；如果此人
设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定
此方案是否可行？并说明理由．
(2)养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不
超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X有如下关系：
鱼的重量
2060
(单位：百斤)
冲水机只
1 2 3
需运行台数
若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2
千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？
附：对于一组数据(x，y)，(x，y)，…，(x ，y )，其回归方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘
1 1 2 2 n n
估计公式分别为b＝＝，a＝－b.
解：(1)依题意，＝5，＝4，(x－)(y－)＝6，
i i(x－)2＝26，
i
∴b＝＝，a＝－b＝4－×5＝，
∴y＝x＋.当x＝10时，y＝>5，故此方案可行．
(2)设盈利为Y，安装1台时，盈利Y＝5 000.
安装2台时，2060，Y＝ 15
000，P＝.
∴E(Y)＝1 000×＋8 000×＋15 000×＝8 000.
∵8 600>8 000，故应提供2台增氧冲水机．题型三 概率与函数、数列、不等式的交汇
[典例] 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为
单位(一套住宅为一户).
阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯
月用电范围/度 (0,210] (210,400] (400，＋∞)
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
用电量/度 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410
(1)若规定第一阶梯的电价为每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶
梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？
(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到用电量为第二阶梯的户数的分布列与数学期
望；
(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中抽取10户，若抽到k户的
用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．
[解] (1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．
(2)设抽到用电量为第二阶梯的户数为ξ.由题意知，用电量为第二阶梯的用户有3户，则ξ的
所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)由题意知，从全市中抽取10户，用电量为第一阶梯的户数X满足X～B，可知
P(X＝k)＝Ck10－k(k＝0,1,2,3，…，10)．
由
解得≤k≤，k∈N*.
所以当k＝6时，概率最大，即抽到6户的用电量为第一阶梯的可能性最大．
[方法技巧]
在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是
将概率最大(最小)或数学期望最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或
数列的有关性质去实现．[针对训练]
1．上面[典例]其他条件不变，求居民一个月应交电费关于用电量n(n∈N)的函数解析式f(n)．
解：因为当0＜n≤210时，f(n)＝0.5n；
当210＜n≤400时，f(n)＝210×0.5＋(n－210)×0.6＝0.6n－21；
当n＞400时，f(n)＝210×0.5＋(400－210)×0.6＋(n－400)×0.8＝0.8n－101，
所以f(n)＝
2．设甲投球命中的概率为p.
(1)[考查不等式]如果甲一共投球4次，甲恰好投中2次的概率不大于其恰好投中3次的概率，
试求p的取值范围．
(2)[考查基本不等式]如果甲一共投球6次，那么甲恰好命中3次的概率可能是吗？
(3)[与导数交汇]记甲3次投球中恰有2次投中的概率为q，则当p取何值时，q最大？
解：(1)由C·p2·(1－p)2≤C·p3·(1－p)，0＜p＜1，解得≤p＜1，故p的取值范围为.
(2)不可能．P(X＝3)＝C·p3·(1－p)3≤
203＝＜.
(3)由题意知q＝C·p2·(1－p)＝－3p3＋3p2，0＜p＜1，则q′＝－9p2＋6p＝－3p(3p－2)，易知
在上q＝－3p3＋3p2为增函数，在上q＝－3p3＋3p2为减函数，故当p＝时，q取得最大值．
3．武汉又称江城，是湖北省省会，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众
多名胜古迹与旅游景点，黄鹤楼与东湖便是其中的两个．为合理配置旅游资源，现对已参观
黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游
客选择是否参观东湖的概率均为，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机抽取3人，记这3人的总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
(2)①若从游客中随机抽取m(m∈N*)人，记这m人的总分恰为m分的概率为A ，求数列{A }
m m
的前10项和；
②在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为
B ，探讨B 与B (n≥2)之间的关系，并求数列{B }的通项公式．
n n n－1 n
解：(1)X的所有可能取值为3,4,5,6.
P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝C3＝，P(X＝5)＝C3＝，P(X＝6)＝3＝.
所以X的分布列为
X 3 4 5 6
P
所以E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝.
(2)①总分恰为m分的概率A ＝m，
m
所以数列{A }是首项为，公比为的等比数列．
m
其前10项和S ＝＝.
10②因为已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为B ，得不到n分的情况只有先得(n－1)分，
n
再得2分，概率为B (n≥2)，
n－1
所以1－B ＝B (n≥2)，
n n－1
即B ＝－B ＋1(n≥2)，
n n－1
所以B －＝－(n≥2)，
n
所以B －＝n－1.易知B ＝，
n 1
所以B ＝－n－1＝＋n＝＋.
n
1．调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度
有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不满
意，1表示基本满意，2表示满意．再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定居民对城市的居住满
意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住
满意度为三级．为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽
取10人进行调查，得到如下结果：
人员编号 1 2 3 4 5
(x，y，z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (0,1,1) (1,2,1)
人员编号 6 7 8 9 10
(x，y，z) (1,2,2) (1,1,1) (1,2,2) (1,0,0) (1,1,1)
(1)在这10名被调查者中任取2人，求这2人的居住满意度指标z相同的概率；
(2)从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的
被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求随机变量X的分布列及其
数学期望．
解：(1)记事件A为“从10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同”，则居住
满意度指标z为0的只有编号为9的1名；居住满意度指标z为1的编号有2,4,5,7,10共5名；
居住满意度指标z为2的编号有1,3,6,8共4名．
从10名被调查者中任取2人，所有可能的结果为C＝45(种)，这2人的居住满意度指标z相
同的结果为C＋C＝10＋6＝16(种)，所以在这10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意
度指标z相同的概率为P(A)＝.
(2)计算10名被调查者的综合指标，可列下表：
人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
综合指标 4 4 6 2 4 5 3 5 1 3
其中居住满意度为一级的编号有1,2,3,5,6,8共6名，则m的值可能为4,5,6；居住满意度不是
一级的编号有4,7,9,10共4名，则n的值可能为1,2,3，所以随机变量X所有可能的取值为
1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
2．已知具有相关关系的两个变量x，y之间的几组数据如下表所示：
x 2 4 6 8 10
y 3 6 7 10 12
(1)请根据上表数据在图中绘制散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并估计当x＝20时y的值；
(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x－y
－4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
参考公式：b＝，a＝－b.
解：(1)散点图如图所示．
(2)依题意得，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，
＝4＋16＋36＋64＋100＝220，
y＝6＋24＋42＋80＋120＝272，
i i
b＝＝＝1.1，
所以a＝7.6－1.1×6＝1，所以线性回归方程为 y＝1.1x＋1，
故当x＝20时，y＝23.
(3)可以判断，落在直线2x－y－4＝0右下方的点的坐标满足2x－y－4>0，
所以符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，
故ξ的所有可能取值为1,2,3.
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
3．2020年10月16日，是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海
水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5千克，
通过推广种植海水稻，实现了荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进
食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为
m(m∈[70,100])，其质量指标等级划分如下表：
质量指标值m [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,100]
质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随
机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制频率分布直方图如图：
(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废
品”为事件A，求事件A发生的概率．
(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品
中任取3件产品，求质量指标值m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望．
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如下表(10，函数y＝2.5t－0.5et单调递增；
当t∈(ln 5,4)时，y′<0，函数y＝2.5t－0.5et单调递减．
所以当t＝ln 5时，y取得最大值，最大值为2.5×ln 5－0.5eln 5≈1.5.
所以生产该产品能够盈利，当t＝ln 5≈1.6时，每件产品的平均利润取得最大值，约为1.5元．
4．某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一
步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为.为了简便描述问题，
我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲
登上第n个台阶的概率为P ，其中n∈N*，且n≤998.
n
(1)若甲走3步时所得分数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)证明：数列{P －P }是等比数列；
n＋1 n
(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率．
解：(1)由题意可得X的所有可能取值为3,4,5,6，
则P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝C××2＝，
P(X＝5)＝C×2×＝，
P(X＝6)＝3＝，
所以X的分布列为
X 3 4 5 6
P
所以X的数学期望
E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.
(2)证明：由题意可得P ＝P ＋P ，
n＋2 n＋1 n
所以P －P ＝－(P －P )．
n＋2 n＋1 n＋1 n
又P＝，P＝＋2＝，所以P－P＝≠0，
1 2 2 1
所以{P －P }是以为首项，－为公比的等比数列．
n＋1 n
(3)由(2)可得，
P ＝(P －P )＋(P －P )＋…＋(P－P)＋P
99 99 98 98 97 2 1 1
＝＋＝－×98.
