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第六节 函数的图象及其应用
核心素养立意下的命题导向
1.给出函数解析式作出或辨析函数图象，凸显直观想象、数据分析和数学建模的核心素养．
2．利用函数图象解决函数零点、不等式、求参数范围等问题，凸显直观想象、逻辑推理的核心
素养．
[理清主干知识]
利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
y＝f(x)――――――――→y＝ f ( x － a ) ；
y＝f(x)――――――――→y＝ f ( x ) ＋ b .
(2)伸缩变换
y＝f(x) ―――――――――――――――――――――→y＝ f ( ωx ) ；
y＝f(x)――――――――――――――――――――→y＝ Af ( x ) ．
(3)对称变换
y＝f(x)――――――→y＝ － f ( x )；
y＝f(x)――――――→y＝ f ( － x ) ；
y＝f(x)――――――→y＝ － f ( － x ) ．
(4)翻折变换
y＝f(x)――――――――――――――→y＝ f ( | x |) ；
y＝f(x)――――――――――――――→y＝ | f ( x ) |.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(由解析式确定图象)函数y＝21－x的大致图象为( )
答案：A
2．(图象变换)将函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到y＝log x的图
2
象，则f(x)＝________.
答案：log (x－1)－1
2
3．(由图象确定解析式)
若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝________.
答案：－14．(图象的应用)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
答案：(0，＋∞)
二、易错点练清
1．(图象的平移变换规则用错)将函数f(x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位后，得到的图
象的函数解析式为________．
答案：y＝(2x＋3)2
2．(图象的伸缩变换规则用错)把函数f(x)＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，
得到的图象的函数解析式是________．
解析：根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y＝ln.
答案：y＝ln
考点一 函数图象的画法
[典例] 分别作出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1.
[解] (1)y＝图象如图①所示．
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②所示．
(3)y＝图象如图③所示．
[方法技巧] 函数图象的画法
[针对训练]
作出下列函数的图象：
(1)y＝|x|；(2)y＝log |x＋1|；(3)y＝.
2
解：(1)作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中
x≥0的部分关于y轴的对称部分，
即得y＝|x|的图象，如图实线部分．
(2)将y＝log |x|的图象向左平移1个单位即可得到函数y＝log |x＋1|的图
2 2
象，而y＝log |x|＝
2
是一个偶函数，其图象关于y轴对称，则y＝log |x＋1|的图象关于直线x＝－1对称，如图所
2
示．
(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平
移2个单位而得，如图所示．
考点二 函数图象的识别
[典例] (1)(2020·浙江高考)函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]上的图
象可能是( )
(2)(2021·乐山模拟)如图，在△OAB中，A(4,0)，B(2,4)，过点P(a,0)且平行于OB的直线l与线
段AB交于点Q，记四边形OPQB的面积为y＝S(a)，则函数y＝S(a)的大致图象为( )
[解析] (1)令f(x)＝xcos x＋sin x，所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＋sin(－x)＝－xcos x－ sin x＝
－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C、D.又f(π)＝－π<0，排除B，故选A.
(2)由题意可知直线l的斜率为2，设其方程为y＝2(x－a)，0≤a≤4.由两点式可得AB：y＝－
2x＋8，联立方程得Q.结合四边形OPQB为梯形，因此其面积y＝S(a)＝×4×4－×(4－
a)×(4－a)＝－(4－a)2＋8.故选D.
[答案] (1)A (2)D
[方法技巧]
有关函数图象识别问题的解题思路
(1)由解析式确定函数图象
①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；
②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
[针对训练]
1．(2020·天津高考)函数y＝的图象大致为( )
解析：选A 法一：令f(x)＝，显然f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，排除C、D，由f(1)>0，排除
B，故选A.
法二：令f(x)＝，由f(1)>0，f(－1)<0，故选A.
2．函数f(x)＝的大致图象为( )
解析：选B 易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f(－x)＝＝－＝－f(x)，则f(x)
是奇函数，则图象关于原点对称，排除A；f(1)＝3－＝>0，排除D；当x→＋∞时，3x→＋∞，则
f(x)→＋∞，排除C，故选B.
考点三 函数图象的应用问题
考法(一) 利用函数图象研究函数的性质
[例1] 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
[解析] 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，
如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，
且在(－1,1)上单调递减．
[答案] C
[方法技巧]
对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
考法(二) 利用函数图象求解不等式
[例2] 函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所
示，那么不等式<0的解集为________．[解析] 当x∈时，y＝cos x>0.
当x∈时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，
当1f(－x)－2x的解
集是________．
解析：由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x，
在同一平面直角坐标系中分别作出 y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知
不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．
答案：(－1,0)∪(1，]创新思维角度——融会贯通学妙法
识图与辨图的常见方法
方法(一) 特殊点法
[例1] 函数f(x)＝x2－x的大致图象是( )
[解析] 令x＝0，得f(0)＝－1，排除D.f(－2)＝4－4＝0，f(－4)＝16－16＝0，可排除A、C，故
选B.
[答案] B
[名师微点]
使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性
和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案．
方法(二) 性质检验法
[例2] 函数f(x)＝的图象大致是( )
[解析] 因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除A；
易知函数f(x)的定义域为∪∪，f(x)＝＝，当x＝时，f(x)>0，可排除C；
当x→＋∞时，f(x)→－∞，可排除D.故选B.
[答案] B
[名师微点]
利用性质识别函数图象是辨图中的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域、函数的奇偶
性、函数局部的单调性等．当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结
合起来使用．
方法(三) 图象变换法
[例3] 已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是图中的( )
[解析] 作出函数f(x)的图象如图所示，则函数f(1－x)的图象可由f(x)的图象通过如下变换得到：首先作出函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，然后将函数图象
向右平移1个单位长度，只有D选项符合题意．
[答案] D
[名师微点]
通过图象变换识别函数图象要掌握两点，一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函
数等图象)，二是确定一些变形形式，如平移变换、翻折变换等．
一、综合练——练思维敏锐度
1．(2021·贵阳模拟)函数f(x)＝的图象大致为( )
解析：选C 因为y＝x2－1与y＝e|x|都是偶函数，所以f(x)＝为偶函数，排除A、B；又由x→＋
∞时，f(x)→0，x→－∞时，f(x)→0，排除D，故选C.
2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
解析：选C 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x
轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上
述步骤可知C正确．
3．(多选)函数f(x)＝的图象可能是( )
解析：选ABC 由题可知，函数f(x)＝，当a＝0时，f(x)＝＝，定义域为x≠0，选项C可能；
当a＞0时，取a＝1，f(x)＝，则函数的定义域为R，且是奇函数，x≠0时函数可化为f(x)＝，选
项B可能；
当a＜0时，取a＝－1，f(x)＝，定义域为x≠±1且是奇函数，选项A可能．故不可能是选项
D，故选A、B、C.
4.如图所示的函数图象对应的函数可能是( )
A．y＝2x－x2－1 B．y＝
C．y＝(x2－2x)ex D．y＝
解析：选C A选项中，当x＝－1时，y＝2x－x2－1＝－1－1＝－<0，不
符题意；B选项中，当x＝－时，y＝＝＝－<0，不符题意；D选项中，当x<0时，y＝无意义，不
符题意．故选C.
5．(2021·杭州高三月考)函数f(x)＝的图象是( )
解析：选A f(3)＝＝ln 2>0，故排除D；f(－1)＝－ln 2<0，故排除C；f＝ln<0，故排除B，选A.
6．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
解析：选B 法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的
坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．故选
B.
法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入
选项中的函数表达式逐一检验，排除A、C、D，故选B.
7．(2021·山西四校联考)已知函数f(x)＝|x2－1|，若0，故C错误；f(30)＝＋×30 >，故D正确．故选A、B、D.
2 2
9.如图所示，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线
的一部分组成，则f(x)的解析式为________________________．
解析：当－1≤x≤0时，设解析式为f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则得∴当－1≤x≤0时，f(x)＝x＋1.
当x＞0时，设解析式为f(x)＝a(x－2)2－1(a≠0)，
∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，∴a＝.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝
答案：f(x)＝
10．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取
值范围是________．
解析：先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx
与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故当
f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
答案：
11．作出下列函数的图象．
(1)y＝eln x；
(2)y＝|x－2|·(x＋1)．
解：(1)因为函数的定义域为{x|x>0}且y＝eln x＝x(x>0)，所以其图象如图所
示．
(2)当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)·(x＋1)＝x2－x－2＝2－；
当x<2，即x－2<0时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－2＋.
所以y＝
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．
12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？
(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．
解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，
原方程有一个解，故m的取值范围是{0}∪[2，＋∞)．
(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，因为H(t)＝2－在区间(0， ＋∞)上是增
函数，所以H(t)>H(0)＝0.因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m
的取值范围是(－∞，0]．
二、自选练——练高考区分度
1.函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
解析：选C 函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，
∴c<0.
令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)>0，∴b>0.
令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－>0，∴a<0.
故选C.
2.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P以1 cm/s
的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A的
路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的
面积关于移动时间t的函数为S＝f(t)，则f(t)的图象大致为( )
解析：选A 当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，此时PB＝6－t，QC＝8－2t，则S＝
f(t)＝QC·PB
＝(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；
当4－1时，函数f(x)＝－x2＋x＋在(－1,2)上单调递增，在[2，＋
2
∞)上单调递减，则最大值为f(2)＝2，又f(4)＝<2，f(－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为
[－8，－1]．
答案：[－8，－1]
4．设f(x)是定义在R上的偶函数，F(x)＝(x＋2)3f(x＋2)－17，G(x)＝－，若F(x)的图象与G(x)
的图象的交点分别为(x，y)，(x，y)，…，(x ，y )，则(x＋y)＝________.
1 1 2 2 m m i i
解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴g(x)＝x3f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于原点
中心对称，∴函数F(x)＝(x＋2)3f(x＋2)－17＝g(x＋2)－17的图象关于点(－2，－17)中心对
称．
又函数G(x)＝－＝－17的图象也关于点(－2，－17)中心对称，
∴F(x)和G(x)的图象的交点也关于点(－2，－17)中心对称，
∴x＋x＋…＋x ＝×(－2)×2＝－2m，
1 2 m
y＋y＋…＋y ＝×(－17)×2＝－17m，
1 2 m
∴(x＋y)＝(x＋x＋…＋x )＋(y＋y＋…＋y )＝－19m.
i i 1 2 m 1 2 m
答案：－19m
