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专题 21.5 实际问题与一元二次方程【十大题型】
【人教版】
【题型1 传播问题】..................................................................................................................................................1
【题型2 增长率问题】..............................................................................................................................................4
【题型3 营销问题】..................................................................................................................................................7
【题型4 工程问题】................................................................................................................................................11
【题型5 行程问题】................................................................................................................................................14
【题型6 图表信息题】............................................................................................................................................19
【题型7 数字问题】................................................................................................................................................22
【题型8 与图形有关的问题】................................................................................................................................24
【题型9 动态几何问题】........................................................................................................................................28
【题型10 其他问题】................................................................................................................................................36
【题型1 传播问题】
【例1】（2023春·福建泉州·九年级校联考期中）2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒
引起的急性呼吸道传染疾病。
(1)在新冠初期，人们因为不了解这种病毒所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染将会
有144人感染了“新冠”，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人?
(2)后来，大家众志成城，全都隔离在家，但玲玲爷爷种的糖心苹果遇到了滞销，于是玲玲在朋友圈帮爷爷
销售，糖心苹果的成本为8元/千克，她发现当售价为12元/千克时，每天可卖出40千克，而每涨1元时，
每天就少卖出10千克.如果每天要达到150元的利润而且又最大限度地帮爷爷增加销量，请你帮玲玲确定
销售单价．
【答案】(1)11人
(2)11元
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144人感
染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．（2）设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出[40-10(y-12)]千克，根据总利润=每斤的利润销售×
数量，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
依题意，得：1+x+x(1+x)=144，
即(1+x) 2=144
解得：x =11，x =-13（不合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染了11人．
（2）解：设玲玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出[40-10(y-12)]千克，
依题意得：
(y-8)[40-10(y-12)]=150，
整理，得：y2-24 y+143=0，
解得：y =11，y =13
1 2
∵最大限度的帮爷爷增加销量，
∴小玲应该将售价定位11元，
答：小玲应该将售价定为11元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，
经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ）
A．11 B．12 C．22 D．33
【答案】B
1
【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他(x-1)人握手，共握手次数为 x(x-1)，根据一共握了66
2
次手列出方程求解．
【详解】解：设参加会议有x人，依题意得，
1
x(x-1)=66，
2
整理，得x2-x-132=0，
解得x =12，x =-11，(舍去)
1 2
则参加这次会议的有12人．故选：B．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数
1
为 x(x-1)．
2
【变式1-2】（2023春·黑龙江七台河·九年级统考期末）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干
又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出 个小分支．
【答案】10
【分析】设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是111，列出一元一次方程，解方程
即可求解．
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得，
1+x+x×x=111
即x2+x-110=0，
(x-10)(x+11)=0
解得：x =10,x =-11（舍去）
1 2
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形
式，即每两个队都要打一场比赛．
(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？
(2)写出比赛的总场数y与参赛队伍数量x之间的函数关系式；
(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？
【答案】(1)6；
1
(2)y= x(x-1)
2
(3)8
1
【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打： ×4×(4-1)场；
2
（2）直接根据题意列出函数关系式即可；
（3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打：1
×4×(4-1)=6场；
2
1
（2）总场数y与参赛队伍数量x之间的函数关系式：y= x(x-1)；
2
（3）设比赛组织者应邀请x个队参赛，
1
根据题意得： x(x-1)=28，
2
解得：x =8，x =-7（舍去），
1 2
这次比赛共有8个队参加．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的
关键．
【题型2 增长率问题】
【例2】（2023春·重庆九龙坡·九年级统考期末）某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅
读书进货价为每本8元，标价为每本15元.
(1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售
出，求图书店每次降价的百分率；
(2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老
板去进货发现进货价上涨了a%，进货量比九月底增加3a%，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利
润多1200元，求a%的值.
【答案】(1)20%
1
(2)
6
【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价×(1-每次降价的百分率) 2，
即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）分别求出国庆节的总利润和国庆节后的总利润，根据国庆节后的总利润比国庆节的总利润多1200元
列出方程，求出a%的值即可
【详解】（1）设图书店每次降价的百分率为x，
依题意得：15(1-x) 2=9.6，
解得：x =0.2=20%，x =1.8（不合题意，舍去）．
1 2
答：商城每次降价的百分率为20%．（2）根据题意得，500×(1+3a%)×[15×80%-8(1+a%)]-500×(9.6-8)=1200
整理得，2000a%-12000(a%) 2=0
1
解得，a%= ，或a%=0（舍去）
6
1
故a%的值为
6
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，
数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为400万元，
2022年数字阅读市场规模为576万元.
(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；
(2)若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元?
【答案】(1)20%
(2)预计2023年该市数字阅读市场规模是691.2万元
【分析】（1）设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x，利用2022年该市数字阅读
市场规模=2020年该市数字阅读市场规模
×(1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率) 2，即可得出关于x的一元二次方程，
解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）利用2023年该市数字阅读市场规模=2022年该市数字阅读市场规模
×(1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率)，可预计出2023年该市数字阅读
市场规模．
【详解】（1）解：设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x
根据题意得：400(1+x) 2=576
解得：x =0.2=20%，x =-2.2（不符合题意，舍去）
1 2
答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为20%
（2）576×(1+20%)=691.2（万元）
∴预计2023年该市数字阅读市场规模是691.2万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；
（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
【变式2-2】（2023春·河北承德·九年级承德市第四中学校考期中）在国家的宏观调控下，某市的商品房成
交价由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m2
(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？
(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2？
请说明理由．
【答案】(1)10%
(2)不会，理由见解析
【分析】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为5000(1-x)，5月份的房价为
5000(1-x) 2，然后根据5月份的4050元/m2即可列出方程解决问题；
（2）根据（1）的结果可以计算出今年7月份商品房成交均价，然后和3000元/m2进行比较即可作出判断．
【详解】（1）解：设4、5两月平均每月降价的百分率是x，
5000(1-x) 2=4050
4050
(1-x) 2=
5000
9
1-x=±
10
1 19
x = =10%，x = （舍）
1 10 2 10
答：4、5两月平均每月降价的百分率是10%．
（2）否，理由如下：
( 1 ) 2
∵4050× 1- =3280.5（元）
10
3280.5>3000，
∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元/m2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关
系，然后列出方程是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·山西太原·九年级期末）某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台．
(1)求该商店11，12两个月的月均增长率；
(2)调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4
台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价．
【答案】(1)20%
(2)2750元
【分析】（1）设该商店11，12两个月的月均增长率为x，则该商店去年11月份售出50(1+x)台，12月份
售出50(1+x) 2台，根据该商店去年第四季度累计售出182台，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符
合题意的值即可得出结论；
2900- y
（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为(y-2500)元，平均每天可售出(8+4× )台，
50
利用总利润=每台的销售利润×平均每天的销售量，可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设该商店11，12两个月的月均增长率为x，则该商店去年11月份售出50(1+x)台，12
月份售出50(1+x) 2台，
根据题意得：50+50(1+x)+50(1+x) 2=182，
整理得：25x2+75x-16=0，
解得：x =0.2=20%，x =-3.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该商店11，12两个月的月均增长率为20%；
2900- y
（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为(y-2500)元，平均每天可售出(8+4× )台，
50
2900- y
根据题意得：(y-2500)(8+4× )=5000，
50
整理得：y2-5500 y+7562500=0，
解得：y = y =2750．
1 2
答：每台冰箱的售价为2750元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【题型3 营销问题】
【例3】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销
售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润=销售价-进货
价）
(1)水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；
(2)第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售
价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润
是多少？
(3)春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按
照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，
将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？
【答案】(1)A中苹果购进10件，B中苹果购进20件
(2)购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元
(3)将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元
【分析】（1）设A，B两种苹果分别购进x件和y件，列方程组求解即可．
（2）设购进A种苹果m件，利润为w元，列出w关于m的函数关系式讨论最值即可．
（3）设B种苹果降价a元销售，根据利润=90元，列出一元二次方程求出a，得到结果．
【详解】（1）解：设A，B两种苹果分别购进x件和y件，
由题意得：¿，
解得¿，
答：A中苹果购进10件，B中苹果购进20件．
（2）解：设购进A种苹果m件，则购进B种苹果(80-m)件，
由题意得：28m+22(80-m)≤2000，
∴m≤40，
设利润为w元，
则w=(42-28)m+(34-22)(80-m)=2m+960，
∵2>0，
∴w随m的增大额增大，
∴当m=40时，w =2×40+960=1040．
最大值
故购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元．
（3）解：设B种苹果降价a元销售，则每天多销售2a件，每天每件利润为(12-a)元，由题意得：(4+2a)(12-a)=90，
解得，a=3或a=7，
∵为了尽快减少库存，
∴a=7，
∴ 34-7=27，
答：将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式以及一元二次方程的应用，读懂题意找
出等量或不等关系是解题关键．
【变式3-1】（2023春·广东江门·九年级期末）汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为
10万元/辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低
0.5万元，平均每周多售出2辆．
(1)当售价为13.5万元/辆时，求平均每周的销售利润．
(2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为40万元，每辆汽车的售价定为多少合
适？
【答案】(1)平均每周的销售利润是49万元
(2)每辆汽车的售价定为12万元更合适
【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每
周多售出1辆，即可求出当售价为13.5万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润=一辆汽车的利润
×销售数量列式计算；
（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数=40万元，列方程求出x的值，进而得到每辆
汽车的售价．
15-13.5
【详解】（1）解：∵当售价为13.5万元/辆时，平均每周销量为：8+ ×2=14（辆)，
0.5
∴平均每周利润为：(13.5-10)×14=49（万元），
答：平均每周的销售利润是49万元；
（2）解：设每辆汽车的售价是x万元，
(
15-x
)
(x-10) 8+ ×2 =40．
0.5
化简，得(x-10)(17-x)=10，
x2-27x+180=0，
解得：x =12，x =15，
1 2由于希望增大销量，定价12万元售价更合适，
答：每辆汽车的售价定为12万元更合适．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意找准数量关系与等量关系是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售
价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五
月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，
该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【答案】(1)25%
(2)5元
【分析】（1）利用平均增长率的等量关系：a(1+x) 2=b，列式计算即可；
（2）利用总利润=单件利润×销售数量，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：
256×(1+x) 2=400，
解得：x=0.25或x=-2.25（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；
（2）解：设降价y元，由题意得：
(40- y-25)(400+5 y)=4250，
整理得：y2+65 y-350=0，
解得：y=5或y=-70（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考开学考试）正月十五是中华民族传统的节日
——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划
在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店
每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按
售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全
部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
【答案】(1)总共生产了9000袋手工汤圆
(2)促销时每袋应降价3元
【分析】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出
方程即可；
（2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．
【详解】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，
0.3a 0.5a
依题意得， + =21
450 300
解得a=9000，
经检验a=9000是原方程的解，
答：总共生产了9000袋手工汤圆
（2）设促销时每袋应降价x元，
当刚好10天全部卖完时，
( 75 )
依题意得，225×2×(25-13)+8(25-13-x) 225+ x =40500
2
整理得：x2-6x+45=0
Δ=62-4×45<0，
∴方程无解
∴10天不能全部卖完
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为
[ ( 75 )]
(15-13) 9000-2×225-8 225+ x =12600-600x
2
( 75 )
∴依题意得，225×2×(25-13)+8(25-13-x) 225+ x +12600-600x=40500
2
解得x =1,x =3
1 2
∵要促销
∴x=3即促销时每袋应降价3元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，
正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论．
【题型4 工程问题】
【例4】（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为
4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好
完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率
不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m
米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米
(2)18
【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：32x+32(2x+30)=4800，解方程即可解得答
案；
（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．
【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，由题意得
32x+32(2x+30)=4800，
解得x=40，
2x+30=80+30=110米，
所以A型设备每小时铺设的路面110米；
（2）根据题意得：40(32+m+25)+(110-3m)(m+32)=4800+1000，
解得m=18，m=0（舍去），
答：m的值是18．
【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
【变式4-1】（2023春·宁夏中卫·九年级校考期中）随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，
为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需
时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时
间之和的6倍．
（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，
为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工
时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取
整数）
【答案】（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．
（2）甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．
【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，等量关系为：
“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”，据此列方程求解即可．
（2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1500万元，列不等式求解．
【详解】解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，
根据题意，得x(x+5)=6(x+x+5)，
即x2-7x-30=0，
解得x =10，x =-3（不合题意，舍去）．
1 2
∴x+5=15．
答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．
1
（2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为 m 个月，
2
1
由题意得，100m+（100+50） m≤1500，
2
4
解得：m≤8
7
∵施工时间为整数，
∴m≤8，
答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意
设出未知数列出方程及不等式求解．
【变式4-2】（2023春·重庆云阳·九年级校联考期中）2020年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，
并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼·罗兰说：
“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的
需求量大大增加，两江新区某护目镜生 产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返
岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线A,B．原计划A生产线每小时生产护目镜400个，B生产线每
小时生产护目镜500个．
（1）若生产线A,B一共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于5500个，则B生产线至少生产护目镜
多少小时？
（2）原计划A,B生产线每天均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比
原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，A生产线每增加1小时，该生产线每小
时的产量将减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量将减少15个．这样一天生产的护目
镜将比原计划多3300个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．
【答案】（1）B生产线至少生产口罩7小时；（2）该厂实际每天生产口罩的时间为14h．
【分析】（1）设B生产线至少生产口罩x小时，根据生产护目镜的总数量不少于5500个列出不等式求解即
可；
（2）设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为t，根据实际一天生产的护目镜将比原计划多3300个列
出方程求解即可．
【详解】（1）解：设B生产线至少生产口罩x小时
(12-x)400+500x≥5500
解得：x≥7
答：B生产线至少生产口罩7小时.
（2）解：设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为t
(400-10t)(8+t)+(500-15t)(8+t)=8×400+8×500+3300
解得：t =22,t =6
1 2
生产时间：6+8=14h
答：设该厂实际每天生产口罩的时间为14h.
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中
的不等关系和等量关系，列出不等式和方程．
【变式4-3】（2023春·重庆合川·九年级校考期中）甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长
2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完
成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道
施工成本为8万元．
4
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？
3
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成11
米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划
2
1
每天少挖 m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．
4
【答案】（1）1000米；（2）4
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲
4
总施工成本的 ，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
3
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，即可得出
关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，
4
依题意，得：8（2000-x）≥ ×6x，
3
解得：x≤1000．
答：甲最多施工1000米．
1 1
（2）依题意，得：（6+m）（6+ m）+8（6- m）=6×（6+8）+11m-8，
2 4
整理，得：m2-8m+16=0，
解得：m=m=4．
1 2
答：m的值为4．
【点睛】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间
的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【题型5 行程问题】
【例5】（2023春·重庆云阳·九年级校联考期中）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人
同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比
小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少
分钟．【答案】(1)480m/min；400m/min
(2)70min
【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系
式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．
（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最
后求解．
【详解】（1）解：设小红的速度为xm/min，则小明的速度为1.2xm/min，
12000 12000
依据题意列方程得， - =5，
x 1.2x
∴12000×1.2-12000=5×1.2x，
∴x=400，
经检验，x=400是原式方程的解．
∴1.2×400=480m/min．
∴小红的速度为400m/min，小明的速度为480m/min．
故答案为：480m/min；400m/min．
（2）解：∵小明的速度为480m/min，
∴小明从A地道B地需要的时间为：12000÷480=25min．
∵小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，
∴30-25=5min．
设B地到C地的距离为xm，依据题意列方程得，
(x-480×5)
(
x-480×5)
30×10+ × 10+ =2300
480 480
( x ) ( x )
∴300+ -5 × 10+ -5 =2300，
480 480
( x ) ( x )
∴ -5 × +5 =2000，
480 480
x2
∴ -25=2000，
4802
( x ) 2
∴ =2025，
480
∴x=21600或x=-21600（舍去）．21600+12000
∴A地到C地所需要时间为： =70min．
480
故答案为：70min．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关
系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．
【变式5-1】（2023春·重庆·九年级西南大学附中校考期中）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时
25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时
少用2.5分钟．
（1）求返回时A、B两地间的路程；
（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他
整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热
量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡
路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．
【答案】（1）1800米；（2）52分钟．
【分析】（1）可设AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；
（2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗900卡路里热量，列
出方程即可求解．
【详解】解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：
x+200 x
= ，
25 25-2.5
解得x=1800．
答：A、B两地间的路程为1800米；
（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：
25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，
整理得y2﹣50y﹣104=0，
解得y=52，y=﹣2（舍去）．
1 2
答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程．
【变式5-2】（2023·九年级单元测试）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．
甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行
走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
【答案】(1)7分钟
(2)15分钟
【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得
甲、乙开始运动后几分钟相遇；
（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多
少分钟．
n(n+3)
【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有 +5n＝70，
2
整理得n2+13n﹣140＝0，
解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）
第1次相遇是在开始后7分钟．
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；
n(n+3)
（2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 +5n＝3×70，
2
整理得n2+13n﹣420＝0，
解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）
故第2次相遇是在开始后15分钟．
答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关
键．
【变式5-3】（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走
到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，
不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同
时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小
齐早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分
钟．
【答案】(1)480米
(2)70分钟
【分析】（1）设小齐每分钟跑x米，则小明每分钟跑1.2x米，根据题意建立分式方程，解方程即可得；
（2）设小明从A地到C地锻炼共用y分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设小齐每分钟跑x米，则小明每分钟跑1.2x米，
12000 12000
由题意得： -5= ，
x 1.2x
解得：x=400，
经检验，x=400既是所列分式方程的解也符合题意，
则1.2x=1.2×400=480，
答：小明每分钟跑480米．
（2）解：设小明从A地到C地锻炼共用y分钟，
由题意得：10×30+(y-30)(10+ y-30)=2300，
解得：y =70，y =-20（不符合题意，舍去），
1 2
答：小明从A地到C地锻炼共用70分钟．
【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
【题型6 图表信息题】
【例6】（2023春·河北衡水·九年级校考期末）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为
城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量
每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收
取水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月
用水量（吨） 交水费总金额（元）
份
4 7 70
5 5 40根据上表数据，求规定用水量a的值．
（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？
【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析;
【分析】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a
（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可；
【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元；
（2）由题意得：5a（7-a）+10=70，
解得：a=3或a=4
5a（5-a）+10=40
解得：a=3或a=2，
综上，规定用水量为3吨；
（3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准．
【变式6-1】（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该
风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？
【答案】参加旅游的人数40人.
【分析】首先设有x人参加这次旅游，判定x>30，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即可.
【详解】设有x人参加这次旅游
∵30×800=24000<28000
∴参加人数x>30
(
x-30
)
依题意得：x 800- ×10 =28000
1
解得：x =40，x =70
1 2
x-30
当x =40时，800- ×10=700>500，符合题意.
1 1
x-30
当x =70时，800= ×10=400<500，不符合题意
2 1答：参加旅游的人数40人.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出方程.
【变式6-2】（2023春·江苏苏州·九年级统考期中）某旅行社一则旅游消息如下：
旅游人数 收费标准
不超过10
人均收费2400元
人
每增加一人，人均收费减少60元，但人均收费不低于1500
超过10人
元
(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社12000元和24000元，甲公司员工有__________人．
(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社36000元，乙公司员工多少人？
【答案】(1)15；
(2)乙公司20人．
【分析】（1）设甲公司员工有x人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准，判断出两次都不超
过10人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案；
（2）设乙公司员工x人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了10人，再根据每增加一人，人均
收费减少60元，列出方程，求出x的值，再根据人均收费不低于1500元，即可得出乙公司去的人数．
【详解】（1）解：设甲公司有x人，
12000÷2400+24000÷2400，
=10+5，
=15（人）．
故答案为：15
（2）设乙公司x人，
[2400-60(x-10)]x=36000，
x =20，x =30，
1 2
若x=30，每人费用：2400-60×20=1200<1500，不符舍去，
若x=20，每人费用：2400-60×10=1800>1500，符合，
答：乙公司20人．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·九年级课时练习）海洲市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，
N≤15）N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?
里程x（km） 0＜x≤3 3＜x≤6 x＞6
22 25
单价y（元） N
N N
【答案】见解析
【分析】里程11公里，应收29.1元，即：起步价+3公里到6公里这段的收费+大于6公里部分的价格
=29.1元，据此相等关系即可列方程求解．
22 25
【详解】由题意，可列出方程N+(6-3)· +(11-6) =29.1．
N N
解之，N2—29.1N+191=0．
∴N=10，N=19.1（不合题意舍去）
1 2
∴起步价是10元．
【点睛】本题主要考查了列方程解决实际问题，正确理解收费标准是解决本题的关键．
【题型7 数字问题】
【例7】（2023春·山西太原·九年级统考期中）直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称
为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足32+42=52，
即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和
等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由．
【答案】存在五个连续正整数，它们分别为：10、11、12、13、14
【分析】假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为a，则连续的其他四个数为：(a+1)、(a+2)、
(a+3)、(a+4)，再根据题意，得出a2+(a+1) 2+(a+2) 2=(a+3) 2+(a+4) 2，解出然后再根据题意，得出符
合题意的a的值，进而即可得出第一个正整数，再通过计算即可得出这五个正整数．
【详解】解：假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为a，则连续的其他四个数为：(a+1)、(a+2)、
(a+3)、(a+4)，
∴可得：a2+(a+1) 2+(a+2) 2=(a+3) 2+(a+4) 2，
解得：a=10或a=-2，
∵这五个数为正整数，
∴a=10，
∴a+1=11，a+2=12，a+3=13，a+4=14，∴这五个正整数为：10、11、12、13、14，
∴存在五个连续正整数，它们分别为：10、11、12、13、14．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在设出这五个正整数，再找到等量关系准确列出
方程．
【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于
6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，求这个两位数.
【答案】24或15
【详解】试题分析：首先设个位数字为x，则十位数字为（6-x），由题意得等量关系：两个数字的积=这
1
个两位数的 ，根据等量关系列出方程，再解即可．
3
试题解析：设个位上的数为x，则十位数字为(6-x)，由题意得：
1
x(6-1)= [10(6-x)+x]，
3
解得：x=4，x=5，
1 2
十位数字为：6-4=2，或6-5=1
这个两位数是：15或24
【变式7-2】（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表
上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若
能求出最小数：若不能请说明理由．
【答案】最小的数是5，理由见解析
【分析】设这个最小数为x，则最大数为(x+8)，根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关于x的
一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设最小的数为x，则最大数为(x+8)，
由题意得x(x+8)=33，解得x=-11，x=3．由表格知不符合实际舍去；
1 2
由题意得x(x+8)=65，
解得x=-13（舍去），x=5，
1 2
所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·福建南平·九年级统考期中）解读诗词(通过列方程算出周瑜去世时的年龄)：大江东
去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪
位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字
比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．
【答案】周瑜去世时的年龄为36岁
【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3根据题意建立方程10(x-3)+x=x2求出
其值即可．
【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3，依题意得：
10(x-3)+x=x2，
解得x =5，x =6，
1 2
当x=5时，25<30，（不合题意，舍去），
当x=6时，36>30（符合题意），
答：周瑜去世时的年龄为36岁．
【点睛】本题是一道数字问题的应用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中根据题意设
未知数，列出正确的方程是解题的关键．
【题型8 与图形有关的问题】
【例8】（2023春·广东韶关·九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为
了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂
直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？
【答案】鸡舍的边长AB、BC分别是9米，10米．
【分析】设AB的长度为x米，则CD的长度为(x-1)米，BC的长度为(28-2x)米，根据矩形的面积公式列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：设AB的长度为x米，则CD的长度为(x-1)米，BC的长度为27-x-(x-1)=(28-2x)米，
根据题意得：x(28-2x)=90，
解得：x =5，x =9，
1 2
当x=5时，28-2x=18>12，不合题意，舍去；
当x=9时，28-2x=10，
即AB=9，BC=10，
答：鸡舍的边长AB、BC分别是9米，10米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积公式，一元二次方程的解法，根据题目的等量
关系正确列方程是解题关键．
【变式8-1】（2023春·重庆大渡口·九年级校考期末）（1）如图1，在一块长为40m，宽为30m的矩形地
面上，修建有道路，道路都是等宽的，剩余部分种上草坪，测得草坪的面积是1064m2，道路的宽度是多
少？
（2）后来要在这块长为40m，宽为30m的矩形地面上，进行重新规划，打算修建两横两竖的道路（横竖
道路各与矩形的一条边平行），如图2，横、竖道路的宽度相同，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面
积是地面面积的二分之一，应如何设计道路的宽度？
【答案】（1）2m（2）5m
【分析】（1）利用平移的性质得到等式(30-x)(40-x)=1064，求解即可；
（2）设道路的宽度为ym，根据草坪的面积是地面面积的二分之一列得方程解答．
【详解】解：（1）设道路的宽度是xm，则
(30-x)(40-x)=1064，
解得x =2,x =68（舍去），
1 2
答：道路的宽度为2m；
（2）设道路的宽度为ym，则
1
(40-2y)(30-2y)= ×40×30
2
解得y =5,y =30（不合题意，舍去），
1 2答：道路的宽度为5m．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边
靠长为am的墙，另三边用竹栅栏围成，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm．
(1)当a=41时，矩形菜园面积是320m2，求x；
(2)当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？
【答案】(1)x的值为8或20
(2)矩形菜园的面积不能达到400m2
【分析】（1）设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为(54-2x+2)m，可得：
x(54-2x+2)=320，再解方程并检验即可；
（2）先建立方程x(54-2x+2)=400，再计算△=(-28) 2-4×1×200=-16<0，从而可得答案．
【详解】（1）解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为(54-2x+2)m．
依题意得：x(54-2x+2)=320，
整理得：x2-28x+160=0，
解得：x =8，x =20．
1 2
当x=8时，56-2x=40<41；
当x=20时，56-2x=16<41．
答：x的值为8或20．
（2）令x(54-2x+2)=400①，
整理得：x2-28x+200=0．
∵△=(-28) 2-4×1×200=-16<0，
∴方程①无实数根，
∴矩形菜园的面积不能达到400m2．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意，建立方程是解
本题的关键．
【变式8-3】（2023·山西吕梁·九年级统考期中）图1所示是某广场地面示意图，该地面是由图2所示正方
形地砖铺砌而成，某综合实践小组的同学测量图2所示地砖，得到AB=100cm，AE=AH=CF=CG，
且AE<BE．于是他们抽象出如下两个数学问题：
问题（1）：若中间区域EFGH的边EF=2EH，求AE的长度；
问题（2）：若中间区域EFGH的面积为4800cm2，求AE的长度．
请你帮助他们解决上面的两个问题．
100
【答案】（1）AE的长度是 cm；（2）AE的长度为40cm．
3
【分析】（1）先根据边形EFGH是正方形，AE=AH=CF=CG，得到△AEH 、△HDG 、△EBF 、
△FCG 为等腰直角三角形，进而推出四边形EFGH是矩形，再通过设AE=xcm，由勾股定理得出EH、
EF得长度，最后以EF=2EH为等量关系列出一元一次方程，解出即可.
（2）设AE的长为tcm，由勾股定理得出EH=√2tcm，EF=√2（100-t）cm，然后以中间区域EFGH的面积
为4800cm2为等量关系列一元二次方程解答即可.
【详解】（1）∵四边形EFGH是正方形，AE=AH=CF=CG，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，BE=BF=DG=DH.
∴∠AEH=∠AHE=∠BEF=∠BFE=45°，∴∠HEF=90°.
同理∠EFG=∠FGH=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
设AE=xcm，则BE=（100-x）cm.
根据勾股定理可得EH=√2xcm，EF=√2（100-x）cm.
∴√2（100-x）=2√2x.100
解得x= .
3
100
答:AE的长度是 cm.
3
（2）设AE的长为tcm，由（1）可知，EH=√2tcm，EF=√2（100-t）cm.
根据题意可得√2（100-t）·√2t=4800.
整理，得t²-100t+2400=0.
解得t=40，t=60.
1 2
当t=40时，100-t=60.
当t-60时，100-t=40（不会题意，舍去）.
∴t=40.
答：AE的长度为40cm.
【点睛】本题考查几何图形与方程的综合应用问题，通过几何证明与勾股定理寻找边之间的关系，再由等
量关系列出正确的方程是本题的关键.
【题型9 动态几何问题】
【例9】（2023春·辽宁朝阳·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，动点
P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离
是10cm？
(2)若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试
探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
8 24
【答案】(1) s或 s；
5 5
(2)4秒或6秒．【分析】（1）过点P作PE⊥CD于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得；
（2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出△PBQ的底和高，代入面积公式即可求得；
【详解】（1）解：过点P作PE⊥CD于E，
设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
(16-2x-3x) 2+62=102，
8 24
∴x = ， x = ；
1 5 2 5
8 24
∴经过 s或 s，P、Q两点之间的距离是10cm；
5 5
（2）解：连接BQ．设经过ys后 PBQ的面积为12cm2．
16 △
①当0≤ y≤ 时，PB=16-3 y，
3
1 1
∴ PB⋅BC=12，即 ×(16-3 y)×6=12，
2 2
解得y=4；
16 22
②当 ≤ y≤ 时，BP=3 y-16，QC=2y，
3 3
1 1
则 BP⋅CQ= (3 y-16)×2y=12，
2 2
2
解得y =6，y =- （舍去）；
1 2 3
22
③ <y≤8时，QP=CQ-PC=22- y，
3
1 1
则 QP⋅CB= (22- y)×6=12，
2 2
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒，△PBQ的面积为12cm2．
【点睛】本题考查了动点问题，相关知识点有：勾股定理求长度，解一元二次方程等知识点，分类讨论是
本题的解题关键．
【变式9-1】（2023春·广东清远·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，
BC=8cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm
的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动
时间为t秒．(1)当t=1时，直接写出P，Q两点间的距离．
(2)是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在t，使得△BPQ的面积等于10cm2，若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)PQ=2√26cm；
(2)t=5或t=9；
(3)t=1或t=6．
【分析】（1）求出PB=10cm，BQ=2cm，再利用勾股定理即可求出
PQ=√PB2+BQ2=√102+22=2√26cm；
（2）因为∠B=90°，所以当△BPQ是等腰三角形时，只有BP=BQ，表示出BP=(11-t)cm，当
0≤t≤4时，BQ=2tcm；当4＜t≤8时，BQ=(16-2t)cm；当8＜t≤11时，BQ=(2t-16)cm；利用
BP=BQ，即可求出t的值；
（3）由（2）可知：BP=(11-t)cm，当0≤t≤4时，BQ=2tcm；当4＜t≤8时，BQ=(16-2t)cm；当
1
8＜t≤11时，BQ=(2t-16)cm；利用S = ×BP×BQ=10，解关于t的方程即可．
△BPQ 2
【详解】（1）解：当t=1时，由题意可知：AP=1cm，BQ=2cm，
∵AB=11cm，
∴PB=10cm，
∵∠B=90°，
∴PQ=√PB2+BQ2=√102+22=2√26cm；
（2）解：∵∠B=90°，
∴△BPQ是等腰三角形时，只有BP=BQ，
由题意可知：BP=(11-t)cm，
∵Q从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴当0≤t≤4时，BQ=2tcm；当4＜t≤8时，BQ=(16-2t)cm；当8＜t≤11时，BQ=(2t-16)cm；
∵BP=BQ
11
∴11-t=2t，解得：t= ＞4，故不符合题意；
3
11-t=16-2t，解得：t=5，符合题意；
11-t=2t-16，解得：t=9，符合题意；
综上所述：t=5或t=9；
（3）解：假设存在t使得△BPQ的面积等于10cm2，
由（2）可知：BP=(11-t)cm，当0≤t≤4时，BQ=2tcm；当4＜t≤8时，BQ=(16-2t)cm；当
8＜t≤11时，BQ=(2t-16)cm；
1
∴当0≤t≤4时， ×(11-t)×2t=10；解得：t=1或t=10（舍去）
2
1
当4＜t≤8时， ×(11-t)×(16-2t)=10，解得：t=6或t=13（舍去）；
2
1
当8＜t≤11时， ×(11-t)×(2t-16)=10，因为Δ＜0，故无解，
2
综上所述，当t=1或t=6时△BPQ的面积等于10cm2．
【点睛】本题考查动点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的几何应用，解题的关键是理
解题意，结合图形表示出BQ的值．
【变式9-2】（2023春·广东惠州·九年级惠州一中校考开学考试）如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD
＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q
从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为
邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜8）
(1)当t＝1时，试求PE的长；
(2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长；(3)在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值．
【答案】(1)PE=5
(2)BF=2
8 16
(3) 或
3 3
【分析】（1）作EM⊥AB于M，由正方形的性质和已知条件得出AB=BC=CD=AD=8，证出EM∥BC，得出
1
EM是 ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EM= BC=4，当t=1时，AP=1，求出PM=AM-AP=3，再
2
△
由勾股定理求出PE即可；
（2）由平行四边形的性质得出PF=EQ，PF∥EQ，当点F恰好落在线段AB上时，得出EQ⊥BC，Q为BC
1
的中点，得出EQ是 ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EQ= AB=4，求出PF=4，AP=2，即可求
2
△
出BF的长；
（3）由菱形的性质得出PE=PQ，分四种情况：①当0＜t≤2时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；②当2＜
t≤4时；③当4＜t≤6时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；④当6＜t≤8时；分别由勾股定理得出方程，解方
程即可．
【详解】（1）作EM⊥AB于交AB于点M，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，
∴AB=BC=CD=AD=8,AM=BM=AB=4，
∴EM是△ABC的中位线，
1
∴EM= BC=4，
2
当t=1时，AP=1，
∴PM=AM-AP=3，∴PE=√PM2+EM2=√32+42=5
（2）∵四边形PEQF是平行四边形，
∴PF=EQ,PF∥EQ，
当点F恰好落在线段AB上时，PF⊥BC，
∴EQ⊥BC，
∴Q为BC的中点，
1
∴EQ是△ABC的中位线，BQ= BC=4，
2
1
∴EQ= AB=4，
2
∴PF=4，
∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，
∴t=4÷2=2，
∴AP=2
∴BF=AB-AP=PF=2
（3）当▱PEQF为菱形时，PE=PQ，分四种情况：
①当0<t≤2时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，如图2所示：
∵PE2=PM2+EM2,EQ2=QN2+EN2，
∴(4-t) 2+42=(4-2t) 2+42，
8
解得：t=0（舍去），或t= （舍去）；
3
②当2<t≤4时，
同①得：(4-t) 2+42=(2t-4) 2+42，8
解得：t=0（舍去），或t=
3
8
∴t=
3
③当4<t≤6时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，如图3所示：
∵PE2=PM2+EM2,EQ2=QN2+EN2，
∴(t-4) 2+42=(12-2t) 2+42，
16
解得：t= 或t=8（舍去），
3
16
∴t=
3
④当6<t≤8时，
同③得：(t-4) 2+42=(2t-12) 2+42，
16
解得：t= （舍去）或t=8（舍去）；
3
8 16
综上所述：在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，t的值为 或 ．
3 3
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定
理、菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，
运用勾股定理得出方程才能得出结果．
【变式9-3】（2023春·江苏盐城·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C
（12，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒√2个单位长度的速度
沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间
为t秒．(1)当t=_____时，点P移动到点D；
(2)当 OPQ的面积为16时，求此时t的值；
(3)当△t为何值时， PQB为直角三角形．
【答案】(1)5 △
(2)4
7 41+√329 41-√329
(3) 或 或 ．
2 4 4
【分析】（1）由ΔAOD 是等腰直角三角形，可得OD=5√2，即可得出t的值；
1
（2）过点P作PH⊥OC于点H，则OP=√2t，OQ=2t，PH=t，代入面积公式即可得出 ×2t×t=16，
2
解方程即可；
（3）根据P(t,t)，Q(2t,0)，B(12,5)，表示出PQ，BQ，BP的长，再分∠PQB=90°或
∠PBQ=90°或∠QPB=90°，分别列出方程．
【详解】（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOC=45°，
∵A(0,5)，
∴OA=5，
∴AD=OA=5，
∴OD=√52+52=5√2，
∴t=5√2÷√2=5，
故答案为：5；
（2）过点P作PH⊥OC于点H，∵OD平分∠AOB，
∠DOC=45°，
∴OH=PH，
又∵OP=√2t，OQ=2t，
∴PH=t，
1
∴S = OQ⋅PH，
ΔOPQ 2
1
∴ ×2t×t=16，
2
∴t=±4（负值舍去），
∴t=4；
（3）如图，连接PQ，BP，BQ，
由题意知，P(t,t)，Q(2t,0)，B(12,5)，
∴PQ2=(2t-t) 2+t2=2t2，
BQ2=(2t-12) 2+52=4t2-48t+169，
PB2=(t-12) 2+(t-5) 2=2t2-34t+169，
①若∠PQB=90°，
则2t2+4t2-48t+169=2t2-34t+169，
7
∴t = ，t =0（舍去），
1 2 2
②若∠PBQ=90°，
则4t2-48t+169+2t2-34t+169=2t2，41±√329
∴t= ，
4
③若∠QPB=90°，
则2t2+2t2-34t+169=4t2-48t+169，
∴t=0（舍)，
7 41+√329 41-√329
综上所述，t的值为： 或 或 ．
2 4 4
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，直
角三角形的性质等知识，将动点问题转化为线段的长是解题的关键．
【题型10 其他问题】
【例10】（2023春·山东青岛·九年级统考期中）机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台
大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际
耗油量为36千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗
油量进行攻关.（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油量的
重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技
术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型
机械设备的实际耗油量下降到12千克，问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少
千克？用油的重复利用率是多少？
【答案】（1）28千克；（2）75千克，84%
【详解】试题分析：（1）根据题意，实际耗油量﹦用油量×（1－重复利用率），代入数据计算即可；
（2）本小题关键信息为“在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加
1.6%”，故若用油量设为x千克，则耗油率为1-(90-x)⋅1.6%-60%，相乘即得实际耗油量，解出x后即
可求得重复利用率.
试题解析：（1）70⋅(1-60%)=28（千克）
答：加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克.
（2）设乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是x千克，由题意得
x[1-(90-x)⋅1.6%-60%]=12 化为x2-65x-750=0 解得x =75，x =-10（舍）
1 2
（90-75)⋅1.6%+60%=84%
答:乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%.
考点：1.应用题的读题能力；2.一元二次方程的应用.【变式10-1】（2023春·江苏镇江·九年级统考期末）如图所示，某会堂的座位分为前、后两区，前区第 1
排共有20个座位，往后每排共增加2个座位，前区最后1排与后区各排的座位数相同，后区比前区多8排
(1)假设前区有x排，则后区每排的座位数可表示为 个；
(2)若后排的座位数和为684个，问此会堂前后区共有多少排座位？
【答案】(1)(2x+18)
(2)28排
【分析】根据“往后每排共增加2个座位”列出代数式，即可求解；
（2）根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：后区每排的座位数为
20+2(x-1)=2x+18；
故答案为：(2x+18)
（2）解：根据题意得(2x+18)(x+8)=684，
解得x=10,x=-27(舍去）
共有座位的排数为10+18=28，
答：此会堂前后区共有28排座位．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键．
【变式10-2】（2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中）万州二中为了全面实施素质
教育，切实提高人才培养水平，促进义务教育均衡发展，大力开展“初中综合社会实践活动”.今年上半年，
初2020级的学生们都到“小周社会实践基地”参加了为期一周的综合社会实践活动，其中最让学生们感到
刺激的活动就是“水上鹊桥”与“室内攀岩”.为了让学生们玩得尽兴，教官们准备组织这两项活动的比赛，
已知报名参加“水上鹊桥”与“室内攀岩”的人数共80人，其中报名参加“室内攀岩”的人数比报名参加
“水上鹊桥”人数的一半还少10人.
(1)报名参加“水上鹊桥”与“室内攀岩”的学生各多少人？
(2)比赛开始前，参加“水上鹊桥”的人数在报名人数基础上增加了10m人，人均过桥时间比原计划的每人m
2分钟少 分钟；参加“室内攀岩”的人数在报名人数基础上减少了m人，人均攀岩时间比原计划的每人3
5
分钟多1分钟.则两项活动完成的总时间比原计划增加20分钟，求m的值.
【答案】(1)“水上鹊桥”与“室内攀岩”的学生分别为60人、20人
(2)2
【分析】（1）设报名参加“水上鹊桥”与“室内攀岩”的学生各是x、y人，根据等量关系式：“水上鹊
桥”+“室内攀岩”的人数=80人，其中报名参加“室内攀岩”的人数比报名参加“水上鹊桥”人数的一半
还少10人，列出方程组，解方程组即可；
（2）根据题意列出关于m的一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：设报名参加“水上鹊桥”与“室内攀岩”的学生各是x、y人，
由已知得：¿，
解得：¿
答：报名参加“水上鹊桥”与“室内攀岩”的学生各是60人、20人．
( m)
（2）解：由已知得：(60+10m) 2- +4(20-m)=60×2+20×3+20，
5
化简得：m2-2m=0，
解得m=2或m=0（舍），
答：m的值为2．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程，解方
程即可．
【变式10-3】（2023春·福建三明·九年级统考期末）某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡全体
贫困中学生进行资助，每学期资助初中生1200元/人，高中生1800元/人．已知该乡受资助的初中生人数是
受资助的高中生人数的2倍，且该企业在2019-2020学年上学期共资助这些学生105000元．
（1）该乡分别有多少名初中生和高中生获得了资助？
（2）2019-2020学年上学期结束时，受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生．
为了激励学生，该企业宣布将给下学期被评为优秀学生的贫困初、高中学生每人分别增加a%，2a%的资
助．在该措施的激励下，下学期被评为优秀学生的贫困初、高中学生人数分别比上学期增加了3a%，a%．
这样，下学期被评为优秀学生的贫困初、高中学生所获得资助的总金额达64800元，求a的值．
【答案】（1）分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助；（2）20
【分析】（1）设该乡有x名高中生获得了资助，有2x名初中生获得了资助，由题意列方程1200×2x+1800x=105000求解即可；
（2）根据题意列得50×30%×(1+3a%)×1200(1+a%)+25×40%
×(1+a%)×1800(1+2a%)=64800解方程即可．
【详解】解：（1）设该乡有x名高中生获得了资助，有2x名初中生获得了资助，由题意得
1200×2x+1800x=105000
解得：x=25．
∴2x=50．
∴该乡分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助．
（2）由题意，得
50×30%×(1+3a%)×1200(1+a%)+25×40% ×(1+a%)×1800(1+2a%)=64800，
18000×(1+3a%)×(1+a%)+18000 ×(1+a%)×(1+2a%)=64800，
(1+a%)[(1+3a%)+(1+2a%)]=3.6，
(1+a%)(2+5a%)=3.6，
(100+a)(200+5a)=36000，
a2+140a-3200=0，
解得a =20，或a =-160（舍去）．
1 2
∴a=20．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
