文档内容
专题 22.7 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】............................................................................................1
【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】................................................................................7
【考点三 新定义型二次函数——衍生抛物线】..........................................................................................11
【考点四 新定义型二次函数——同轴对称抛物线】..................................................................................17
【考点五 新定义型二次函数——孔像抛物线】..........................................................................................20
【考点六 新定义型二次函数——伴随抛物线】..........................................................................................23
【考点七 新定义型二次函数——美丽抛物线】..........................................................................................27
【考点八 新定义型二次函数——系列平移抛物线】..................................................................................30
【典型例题】
【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】
例题：如果抛物线C 的顶点在抛物线C 上，抛物线C 的顶点也在抛物线C 上时，那么我们称抛物线C 与
1 2 2 1 1
C “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C ：y＝ x2+x与C ：y＝ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，
2 1 1 2 2
点A，B分别是抛物线C ，C 的顶点，抛物线C 经过点D（6，﹣1）．
1 2 2
(1)直接写出A，B的坐标和抛物线C 的解析式；
2
(2)抛物线C 上是否存在点E，使得 ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请
2
△说明理由；
(3)如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C 上，点M，N分别是抛物线C ，C 上的动点，且点M，N的横坐标
1 1 2
相同，记 AFM面积为S（当点M与点A，F重合时S＝0）， ABN的面积为S（当点N与点A，B重合
1 1 2
时，S＝0△），令S＝S+S，观察图象，当y≤y 时，写出x的取值△范围，并求出在此范围内S的最大值．
2 1 2 1 2
【答案】(1)A（﹣2，﹣1），B（2，3）；抛物线C 的解析式为y＝﹣ +x+2
2 2
(2)存在，点E的坐标E（6，﹣1）或E（10，﹣13）
(3)﹣2≤x≤2，当t＝2时，S的最大值为16
【分析】（1）将抛物线C 改为顶点式可得A(-2，-1)，将A(-2，-1)，D（6，-1）代入 ，求得
1
，即可求出B（2，3）；
（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，E（6，-1）；②若A为直角顶点，
AE⊥AB，E（10，-13）；③若E为直角顶点，设E（m， ），不符合题意；
（3）由y≤y，得-2≤x≤2，设 ，且 ，易求直线AF的解析式：y＝-
1 2
x-3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q， ，设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），
，所以 ，即当t＝2时，S的最大值为16．
【详解】（1）抛物线C ：
1
∴A(-2，-1)，
将A(-2，-1)，D(6，-1)代入抛物线 ： ，得： ，
解得： ，
∴ ，
∴B（2，3）；（2）设直线AB的解析式为： ，
则 ，
解得：
∴直线AB的解析式：y＝x+1，
①若B为直角顶点，BE⊥AB，k ·k =-1，
BE AB
∴k =-1，
BE
故可设直线BE解析式为 ，
将B点坐标代入，得： ，
解得： ，
直线BE解析式为 ．
联立 ，
解得 ， ，
∴E（6，-1）；
②若A为直角顶点，AE⊥AB，
同理得AE解析式： ．
联立 ，
解得 ， ，
∴E（10，-13）；
③若E为直角顶点，设E（m， ）
由AE⊥BE得k ·k =-1，
BE AE即 ，
整理，得： ，
∴m+2＝0或m-2＝0或 （无解），
∴解得m＝2或-2（不符合题意舍去），
∴点E的坐标E（6，-1）或E（10，-13）；
（3）∵ ，
∴ ，
设 ，且 ，
设直线AF的解析式为 ，则 ，
解得：
∴直线AF的解析式：y＝-x-3，
如图，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，
则 ，
∴ ．
设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），，
∴ ，
∴当t＝2时，S的最大值为16．
【点睛】本题为二次函数综合题，考点有利用待定系数法求函数解析式，二次函数的顶点，两直线垂直其
比例系数相乘等于-1等知识，为压轴题．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中）新定义：我们把抛物线 （其
中 ）与抛物线 称为“关联抛物线”．例如：抛物线 的“关联抛物线”
为： ．已知抛物线 的“关联抛物线”为 ．
(1)写出 的解析式（用含 的式子表示）及顶点坐标；
(2)若 ，过 轴上一点 ，作 轴的垂线分别交抛物线 ， 于点 ， ．
①当 时，求点 的坐标；
②当 时， 的最大值与最小值的差为 ，求 的值．
【答案】(1) ，顶点为
(2)① 或 ；② 或 ．
【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设 ，则 ， ，根据题意建立方程解方程即可
求解；
②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．
【详解】（1）解： 抛物线 的“关联抛物线”为 ，
根据题意可得， 的解析式顶点为
（2）解：①设 ，则 ，
∴
当 时，
解得 ，
当 时，方程无解
或
② 的解析式
顶点为 ，对称轴为
，
当 时，即 时，
函数的最大值为 ，最小值为的最大值与最小值的差为
解得 （ ，舍去）
当 时，且 即 时，
函数的最大值为 ，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得 （ ，舍去）
当 时，即 时，抛物线开向上，对称轴右侧 随 的增大而增大，
函数的最大值为 ，最小值为
的最大值与最小值的差为
即
即
解得 （ 舍去）综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】
例题：（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的
两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如： 的友好同轴二次函数为 ．
(1)函数 的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．
(2)已知二次函数 （其中 且 且 ），其友好同轴二次函数记为 ．
①若函数 的图象与函数 的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段 的长；
②当 时，函数 的最大值与最小值的差为8，求a的值．
【答案】(1)直线 ，
(2)①4；② 或3
【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；
（2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数 ，联立函数 ， ，解方程可求出点 的坐标，由此
即可得；
②分 且 且 、 两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：函数 的对称轴为直线 ，
因为 ，
所以设函数 的友好同轴二次函数为 ，所以 ，解得 ，
所以函数 的友好同轴二次函数为 ，
故答案为：直线 ， ．
（2）解：①二次函数 ，
则设 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
联立 得： ，
解得 或 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 ，
所以 ；
②函数 的对称轴为直线 ，
（Ⅰ）当 且 且 时，抛物线的开口向上，
当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最小值，最小值为 ，
当 时， 取得最大值，最大值为4，
所以 ，
解得 ，符合题设；
（Ⅱ）当 时，抛物线开口向下，
当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ，
当 时， 取得最小值，最小值为4，所以 ，
解得 ，符合题设；
综上， 的值为 或3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．
【变式训练】
1．【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为
“友好对称二次函数”，例如： 的“友好对称二次函数”为 ．
【特例求解】（1） 的“友好对称二次函数”为______________； 的“友好对称二
次函数”为____________．
【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；
②二次项系为 的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
③ 的“友好对称二次函数”为 ．
④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点．
【拓屐应用】
（3）如图，二次函数 与其“友好对称二次函数” 都与y轴交于点A，点B，C分别在
， 上，点B，C的横坐标均为 ，它们关于 的对称轴的称点分别力 ， ，连接 ，
， ， ．
①若 ，且四边形 为正方形，求m的值；②若 ，且四边形 邻边之比为 ，直接写出a的值．
【答案】（1）y＝ x2，y＝ x2+2x－5；（2）①②③；（3）①m的值为 ；②a的值为－ 或
或 或
【分析】（1）根据题中“友好对称二次函数”的性质：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴
交点也相同，据此求解即可；
（2）根据题中“友好对称二次函数”的性质逐个判断即可得；
（3）①根据题意可得：二次函数L： ，二次函数L： ，点B的坐标为
1 2
，点C的坐标为 ，则可得点 ，点 的坐标，然后得出线段 ，
的长，根据四边形 为正方形，得出方程求解即可；
②当 时，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，则可得点 ，点 的坐标，然后得出线
段 ， 的长，根据题意：四边形 的邻边之比为1：2，得出 或 ，求解即
可得．
【详解】解：（1）∵ ，
∴函数 的“友好对称二次函数”为 ；
，原函数的对称轴为： ，
∴ ，
∴ ， ，
∴函数 的“友好对称二次函数”为 ，,
故答案为： ； ；（2）∵ ，
∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，①正确；
∵ ，
∴二次项系数为 的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，②正确；
由定义， 的“友好对称二次函数”为 ，③正确；
若 ，则其“友好对称二次函数”为 ，此时这两条抛物线与x轴都没有交点，④
错误；
故答案为：①②③；
（3）二次函数L： 的对称轴为直线 ，其“友好对称二次函数”L：
1 2
．
①∵ ，
∴二次函数L： ，二次函数L： ，
1 2
∴点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ，
，
∵四边形 为正方形，
∴ ，即 ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴m的值为 ；
②当 时，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ， ，
∵四边形 的邻边之比为1：2，
∴ 或 ，
即 或 ，
解得： ， ， ， ，
∴a的值为－ 或 或 或 ．
【点睛】题目主要考查二次函数拓展运用，正方形的性质，两点之间的距离等，理解题意，熟练掌握运用
二次函数的性质是解题关键．
【考点三 新定义型二次函数——衍生抛物线】
例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，
经历了如下过程：
求解体验：
(1)已知抛物线 经过点 ，则b＝ ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点 成中心对称的
抛物线表达式是 ．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线 ，以y轴上的点 为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
(2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．
问题解决：
(3)已知抛物线 ．
①若抛物线y的衍生抛物线为 ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求
a，b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；关于点 的衍生抛物线为 ，其
顶点为 ；…；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ，…（ 为正整数）．求 的长（用
含n的式子表示）．
【答案】(1) ； ； ；
(2)
(3)① ；衍生中心的坐标为 ；②
【分析】（1）把 代入 即可求出 ，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛
物线的顶点坐标，继而可得顶点关于 的对称点，从而可写出原抛物线关于点 成中心对称的抛物
线的表达式；
（2）先求出抛物线 的顶点是 ，从而求出 关于 的对称点是 ，
得 ，根据两抛物线有交点，可以确定方程 有解，继而求
得 的取值范围即可；
（3）①先求出抛物线 以及抛物线 的衍生抛物线为 ，的顶
点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；
②根据中心对称，由题意得出 ， … 分别是 ， … 的中位线，
继而可得 ， ，… ，再根据点的坐标即可求得 的长，即可
求解．
【详解】（1）解：把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴顶点坐标是 ，
∵ 关于 的对称点 ，
∴成中心对称的抛物线表达式是： ，
即 ，
故答案为： ， ， ；
（2）∵ ，
∴ 顶点是
∵ 关于 的对称点是 ，
∴ ，
∵ 两抛物线有交点，∴ 有解，
∴ 有解，
∴ ，
∴ ；
（3）①∵ ，
∴顶点 ，
代入 得： ①
∵ ，
∴顶点 ，
代入 得： ②
由① ②得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 两顶点坐标分别是 ， ，
由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是 ；②如图，设 ， … ， 与 轴分别相于 ， … ， ，
则 ， ，… ， 分别关于 ， … ， 中心对称，
∴ ， … 分别是 ， … 的中位线，
∴ ， ，… ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题
是关键．
【变式训练】1．我们定义：对于抛物线 （a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点
M成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
（1）已知抛物线 经过点（-1，0），则b=_______，顶点坐标为_______，该抛物线关于点
（0，1）成中心对称的抛物线的表达式是_______；
（2）已知抛物线 关于点（0，m）的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值
范围；
（3）已知抛物线 （a≠0）．若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y，其顶点为
1
A；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y，其顶点为A；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为y，其顶
1 2 2 n
点为A；…（n为正整数），直接写出AA 的长_________（用含n的式子表示）．
n n n+1
【答案】（1） ，（-2，1）， ；（2）m≤5；（3）4n+2
【分析】（1）利用待定系数法求出b的值，进而求出顶点坐标，在抛物线上取一点（0，-3），求出点
（-2，1）和（0，-3）关于（0，1）的对称点坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（2）求出抛物线的顶点坐标（-1，6），进而利用待定系数法求出衍生函数解析式，联立即可得出结论；
（3）求出抛物线顶点关于（0，k+n2）和（0，k+（n+1）2）的对称点坐标，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx-3经过点（-1，0），
∴-1-b-3=0，
∴b=-4，
∴抛物线解析式为y=-x2-4x-3=-（x+2）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴抛物线的顶点坐标（-2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1），
即：新抛物线的顶点坐标为（2，1），
y=-x2-4x-3中，令x=0，
∴y=-3，
∴（0，-3）关于点（0，1）的对称点坐标为（0，5），
设新抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，
∵点（0，5）在新抛物线上，
∴5=a（0-2）2+1，
∴a=1，
∴新抛物线解析式为y=（x-2）2+1=x2-4x+5，
故答案为-4，（-2，1），y=x2-4x+5；
（2）∵抛物线y=-x2-2x+5=-（x+1）2+6①，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，6），
设衍生抛物线为y′=a（x-1）2+2m-6，
∵抛物线y=-x2-2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，
∴a=1，
∴衍生抛物线为y′=（x-1）2+2m-6=x2-2x+2m-5②，
联立①②得，x2-2x+2m-5=-x2-2x+5，
整理得，2x2=10-2m，
∵这两条抛物线有交点，
∴10-2m≥0，
∴m≤5；
（3）抛物线y=ax2+2ax-b的顶点坐标为（-1，-a-b），
∵点（-1，-a-b）关于点（0，k+n2）的对称点为（1，a+b+2k+2n2），
∴抛物线y 的顶点坐标A 为（1，a+b+2k+2n2），
n n
同理：A （1，a+b+2k+2（n+1）2）
n+1
∴AA =a+b+2k+2（n+1）2-（a+b+2k+2n2）=4n+2．
n n+1
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线顶点坐标的求法，新定义的理解和掌握，
点的对称点坐标的求法，理解新定义是解本题的关键．【考点四 新定义型二次函数——同轴对称抛物线】
例题：定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如： 的“同轴对称抛物线”为 ．
(1)请写出抛物线 的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线” 的顶点坐标
；写出抛物线 的“同轴对称抛物线”为 ．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L： 上一点，点B的横坐标为1，过点B作x
轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点 、 ，
连接 、 、 、 ，设四边形 的面积为 ．
①当四边形 为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的
点时，请求出a的取值范围．
【答案】(1) ， ，
(2)①a ；② 或
【分析】（1）根据顶点式 的顶点坐标为 ；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物
线”的解析式；
（2）①写出点B的坐标，再由对称轴求出点 ，然后结合正方形的性质列出方程求 a；②先由对称性分
析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．【详解】（1）解：由 知顶点坐标为 ，由 知顶点坐标为 ，
∴抛物线 的“同轴对称抛物线”为 ；
故答案为： ， ， ．
（2）①当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线L的对称轴为直线 ，
∴点 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，即 ，
解得： （舍）或 ．
②抛物线L的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，
∴整点数也是关于x轴对称出现的，
∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，
（i）当 时，
∵L开口向上，与y轴交于点 ，
∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，
∴当 时， ，当 时， ，解得： ；
（ii）当 时，
∵L开口向下，与y轴交于点 ，
∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，
∴当 时， ，当 时， ，
解得： ，
综上所述： 或 ．
【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛
物线”．
【考点五 新定义型二次函数——孔像抛物线】
例题：二次函数 的图象交 轴于原点 及点 ．
【感知特例】
(1)当 时，如图1，抛物线 ： 上的点 ， ， ， ， 分别关于点 中心对称的点为 ，
， ， ， ，如表：
… （___，___） …
… …①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为 ．
【形成概念】
我们发现形如（1）中的图象 上的点和抛物线上的点关于点 中心对称，则称 是的“孔像抛物线”．
例如，当 时，图2中的抛物线 是抛物线的“孔像抛物线”．
【探究问题】
(2)①当 时，若抛物线 与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着 的增大而减小，则 的取值范围
为______；
②若二次函数 及它的“孔像抛物线”与直线 有且只有三个交点，直接写出 的值______；
③在同一平面直角坐标系中，当 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 的
所有“孔像抛物线” 都有唯一交点，这条抛物线的解析式为____________．
【答案】(1)① ；②见解析；
(2)① ；② ；③
【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为
，则图象L′的顶点为 ，再根据题意即可求解；③根据题意得：二次函数
的“孔像抛物线”为 ，设符合条件的抛物线M的解析式为
， ，再由抛物线M与 有唯一交点，分两种情况：当
时，无论 取任何值，都会存在对应的m使得 ，此时符不符合题意；当 时，有
，根据当m取何值时，两抛物线都有唯一的交点，可得当m取任意实数时，上述等式成立，从而得到 ，即可求解．
【详解】（1）解：①∵点 与点 关于点A中心对称，
∴点A的坐标为 ，即 ，
故答案为：2，0；
②描点，连线，得到的图象如图所示：
（2）解：①当 时，抛物线L为 ，对称轴为 ，
∴它的“孔像抛物线” 的解析式为 ，对称轴为 ，
画出草图如图所示：
∴抛物线L与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着x的增大而减小，
则x的取值范围为： ；②L： ，设顶点为 ，过点P作 轴于点M，“孔像抛物线”
的顶点为 ，过点 作 轴于点 ，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线L及“孔像抛物线” 与直线y=m有且只有三个交点，
∴ 或 ，
解得m= 0，
当 时， 与 只有一个交点，不合题意，舍去，
∴ ．
③根据题意得：二次函数 的“孔像抛物线”为 ，
∴设符合条件的抛物线M的解析式为 ，
∴ ，
整理得： ，
∵抛物线M与 有唯一交点，
当 时，无论 取任何值，都会存在对应的m使得 ，
此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；
当 时，
，即 ，
整理得： ，
∵当m取何值时，两抛物线都有唯一的交点，
∴当m取任意实数时，上述等式成立，
∴ ，
解得： ，
∴该函数解析式为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次
函数的相关性质是解题的关键．
【考点六 新定义型二次函数——伴随抛物线】
例题：定义：如图，若两条抛物线关于直线 成轴对称，当 时，取顶点 左侧的抛物线的部分；
当 时，取顶点在 右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线 的一对
伴随抛物线．例如：抛物线 与抛物线 就是关于直线 轴 的一对伴
随抛物线．(1)求抛物线 关于直线 的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．
(2)设抛物线 交 轴于点 ，交直线 于点 ．
①求直线 平行于 轴时的 的值．
②求 是直角时抛物线 关于直线 的“伴随抛物线”的顶点横坐标．
③已知点 、 的坐标分别为 、 ，直接写出抛物线 及其关于直线 的“伴随
抛物线”与矩形 不同的边有四个公共点时 的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；② 或 ；③ 或 且 或 ．
【分析】（1）先求出“伴随抛物线”的顶点坐标，即可求解；
（2）①先求出点 ，点 坐标，代入解析式可求 的值；
②根据 是直角确定 点在 轴上，进而得 点坐标，代入抛物线的解析式便可求得 的值即原抛物
线的顶点横坐标，进而求得伴随抛物线的顶点坐标；
③当 点在 轴下方时，抛物线 及其关于直线 的“伴随抛物线”与矩形 不同的
边有四个公共点，求出此时 的取值范围便可．
【详解】（1） 抛物线 的顶点坐标 ，
关于直线 的对称点坐标为
“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式为： ；（2）① 抛物线 交 轴于点 ，
点 ，
直线 平行于 轴，抛物线交直线 于点 ．
点 ，
，
（舍去）， ，
；
②如图1和图2，
，
点 在 轴上，
点 的坐标是 ，
把 代入 中，得
，
解得， 或 ，
的顶点横坐标为： ，
即抛物线 的顶点横坐标为 或 ，
则抛物线 关于直线 的“伴随抛物线”的顶点横坐标为：
，或 ，
“伴随抛物线”的顶点横坐标为 或 ；③如图3和图4，
点 、 的坐标分别为 、 ， ，抛物线 及其关于直线 的“伴随抛物
线”与矩形 不同的边有四个公共点，
点 在 轴下方，
设 ，则 ，
把 代入 中，得 ，
，
由二次函数 图象可知，
当 时，若 ，则 ；
当 时，若 ，则 ．
又 ，
且 ，
故 或 且 ．
当点 在线段 上时， ，解得 ，
此时抛物线的顶点的纵坐标小于0，不符合题意，
当点 在 的上方，抛物线的顶点在 与 之间时，符合题意，
则有 ，解得， ，
综上所述，满足条件的 的值为 或 且 或 ．【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问
题，着重理解互称为“伴随抛物线”抛物线这个新定义，本题（2）问的关键是运用了数形结合和分类思
想解决问题．
【考点七 新定义型二次函数——美丽抛物线】
例题：已知如图，抛物线 的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以线段 为对角
线的正方形 的另两顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把抛物线 称为美丽抛
物线，正方形 为它的内接正方形．
（1）当抛物线 是美丽抛物线时， ________；当抛物 是美丽抛物线时，
________．
（2）若抛物线 是美丽抛物线，请直接写出的a，k数量关系．
（3）若抛物线 是美丽抛物线，（2）中a，k数量关系仍成立吗？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由．
（4）已知系列美丽抛物线 （n为正整数， ）的顶点为均在直线 上，且它
们中恰有两个美丽抛物线 与 （s，t为正整数， ， ）的内
接正方形的面积之比为1：4，试求 的值．【答案】（1） ， ；（2） ；（3）成立，理由见解析；（4） 或 或
【分析】（1）先求出抛物线得对称轴及顶点坐标，得出AC的长，由AC=BD，B，D关于对称轴对称可得
B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可求解；
（2）同（1）的方法得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；
（3）分 ， 两种情况，先求出点D的坐标，代入抛物线解析式，即可得出结论；
（4）由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为 ，根据题意得出 ，从而得出 ，
根据题中 的范围得出 的值，再得出 的值，然后由 即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线 中，令 ，则 ，
∴对称轴是 ，顶点坐标 ，
∴对称轴与 轴交于点C的坐标是 ，
∴AC=1，
∵正方形 中，AC，BD是对角线，
∴AC=BD=1，
又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，
∴ ， 或 ， ，
∴将 代入抛物线 中，得
，解得： ；
∵抛物线 中，令 ，则 ，
∴对称轴是 ，顶点坐标 ，
∴对称轴与 轴交于点C的坐标是 ，
∴AC=k，
∵正方形 中，AC，BD是对角线，
∴AC=BD=k，
又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴ ， 或 ， ，
∴将 代入抛物线 中，得
，
解得： （不合题意，舍去）； ，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2） ，
∵抛物线 中，令 ，则 ，
∴对称轴是 ，顶点坐标 ，
∴对称轴与 轴交于点C的坐标是 ，
∴AC=k，
∵正方形 中，AC，BD是对角线，
∴AC=BD=k，
又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，
∴ ， 或 ， ，
∴将 代入抛物线 中，得
，
解得： ， （不合题意，舍去）；
∴ ；
（3）a，k数量关系仍成立．
当 时，
∵抛物线 是美丽抛物线，正方形 ，
又∵点A是抛物线的顶点，直线AC是对称轴，∴AC=BD= ， ，
∴点D的坐标为 ，
∵点D在抛物线 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
当 时，同理可得 ．
∴若抛物线 是美丽抛物线，a，k数量关系仍为 ；
（4）由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为 ，
∵系列美丽抛物线 （n为正整数， ）的顶点为均在直线 上，
∴ ，
∵美丽抛物线 与 的内接正方形的面积之比为1：4，
∴ ，
∵ ， 在直线 上，
∴ ，
∵s，t为正整数， ， ，
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∵ ，∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，主要涉及抛物线的对称轴及顶点坐标，二次函数图象上点的坐标特
征，正方形的性质，综合性较强，熟练掌握方程思想是解题的关键．
【考点八 新定义型二次函数——系列平移抛物线】
例题：【特例感知】
（1）如图1，对于抛物线 ， ， ，下列结论正确的序号是
_______；
①抛物线 都经过点 ；
②抛物线 的对称轴由抛物线 的对称轴依次向左平移 个单位得到；
③抛物线 与直线 的交点中，相邻两点之间的距离相等．
【形成概念】
（2）把满足 （ 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
【知识应用】
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为 ，用含 的代数式表示顶点 的坐标，并写出该顶点纵坐标 与横坐标 之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”： ，其横坐标分
别为 （ 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接
写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线 分别交“系列平移抛物线”于点 连接 ，判断
是否平行？并说明理由．
【答案】（1）①②③；（2）① ， ，②相邻两点之间的距离都相等，理由见解析；
③ 与 不平行,理由见解析
【分析】（1）①当 时，分别代入抛物线 ， ， ，即可得 ；
② ， 的对称轴分别为 ， ， 的对称轴 ，
③当 时，则 ，可得 或 ； ，可得 或 ； ，
可得 或 ；所以相邻两点之间的距离都是1，
（2）① 的顶点为 ， ，可得 ；
②横坐标分别为 ， ， ， ， 为正整数），当 时， ，纵
坐标分别为 ， ， ， ， ，相邻两点间距离分别为 ；
③由题可知 ， ， ， ．比较
，即可得出结论 与 不平行．.
【详解】解：解：（1）①当 时，分别代入抛物线 ， ， ，即可得 ；①正确；
② ， 的对称轴分别为 ， ，
的对称轴 ，由 向左移动 得到 ，再向左移动 得到 ，
②正确；
③当 时，则 ，
或 ；
，
或 ；
，
或 ；
相邻两点之间的距离都是1，
③正确；
故答案为①②③；
（2）① 的顶点为 ， ，
令 ， ，
；
②相邻两点之间的距离都相等．
理由：根据题意得： ， ．
∴ 两点之间的铅直高度 ．
两点之间的水平距离 ．
∴由勾股定理得 ．
∴ ．
③ 与 不平行．
理由：
根据题意得： ， ， ， ．过 分别作直线 的垂线，垂足为 ， ，
所以 ， ．
在 中，
．
在 中，
．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ 与 不平行．
【点睛】本题考查二次函数图象及性质，平行线的性质；能够结合题意，分别求出抛物线与定直线的交点，
抛物线上点的横坐标求出相应的纵坐标，结合勾股定理，直线的解析式进行综合求解是关键．
【变式训练】1．在平面直角坐标系中，有系列抛物线 （n为正整数）．系列抛物线的顶点分别
为 ， ， ，…， ．
(1)下列结论正确的序号是______．
①系列抛物线的对称轴是直线 ；
②系列抛物线有公共交点 和 ；
③系列抛物线都是由抛物线 平移所得；
④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等；
(2)对于任意一条与x轴垂直的直线 ，与系列抛物线的交点分别为 ， ， ，…， ．
①当 时， ______；
②试判断相邻两点之间的距离是否相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离 ；若不相等，说明
理由；
③以 为边作正方形，若正方形的另二个点落在对称轴上，求a的值．
【答案】(1)①②④
(2)①-1；②相邻两点之间的距离相等，距离为NnNn = ；③a的值为 或 ．
-1
【分析】（1）根据抛物线的对称轴、顶点坐标的求法，以及平移的性质即可求解；
（2）根据题意求得NnNn = yn - yn= ；①令a=0，代入求解即可；②相等距离就是
-1 -1
；③分两种情况讨论，列出一元二次方程，求解即可．
(1)解：系列抛物线的对称轴是直线 ，故①正确；
yn= ，
令 ，解得x=-4，x=1，
1 2
∴系列抛物线有公共交点为（-4，1），（1，1），故②正确；
∵系列抛物线二次项的系数为 ，与抛物线 的系数不同，
∴系列抛物线不是由抛物线 平移所得，故③错误；
∵yn= ，
∴系列抛物线的顶点坐标为（ ， ），
∴MnMn = ，即任意两条相邻抛物线顶点的距离都等于 ，故④正确；
-1
综上，正确的有①②④，
故答案为：①②④；
(2)
解：当x=a时，yn= ，
yn =
-1
= ，
∴NnNn = yn - yn= ；
-1 -1
①当a=0时，NnNn =-1；
-1
②相邻两点之间的距离相等，距离为NnNn = ；
-1
③∵系列抛物线的对称轴是直线 ，当 时，
由题意得： ，
整理得 ，解得 （舍去）或 ；
当 时，
由题意得： ，
整理得 ，解得 （舍去）或 ；
综上，a的值为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象的基本特征等，正确理解
题意是本题解题的关键．
2．我们把抛物线： （n为正整数）称为“拉手系列抛物线”，为了探究的它性质，
某同学经历如下过程：
【特例求解】
（1）当n=1时，抛物线y 的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
1
（2）当n=2时，抛物线y 的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
2
（3）当n=3时，抛物线y 的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
3
【性质探究】
（4）那么抛物线： （n为正整数）的下列结论正确的是 （请填入正确的序号）．①抛物线与x轴有两个交点；
②抛物线都经过同一个定点；
③相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点；
④所有抛物线 的顶点都在抛物线 上．
【知识应用】
若“拉手系列抛物线”： （n为正整数），y 与x轴交于点O，A，顶点为D，y
1 1 1 2
与x轴交于点A，A，顶点为D，…，yn与x轴交于点 ，顶点为Dn．
1 2 2
（5）求线段 的长（用含n的式子表示）；
（6）若△ 的面积与△ 的面积比为1:125，求 的解析式．
【答案】（1）（1，1），（0，0），（2，0）；（2）（4，4），（2，0），（6，0）；（3）（9，
9），（6，0），（12，0）；（4）①, ③ ；（5） ；（6）
【分析】（1）将n=1代入解析式中求出，即可求出结论；
（2）将n=2代入解析式中求出，即可求出结论；
（3）将n=1代入解析式中求出，即可求出结论；
（4）求出 即可判断①；并不能求出所有抛物线经过同一点，即可判断②；求出 和 与x轴的交点坐
标，即可判断③；求出 的顶点坐标即可判断④；
（5）求出 与x的轴的两个交点坐标即可得出结论；
（6）由（5）知： ， ，根据面积比求出k的值，即可求出结论．
【详解】解：（1）当n=1时，抛物线的解析式为 =
∴该抛物线的顶点坐标为（1，1）
当 时，解得：x=0或x=2
∴与x轴的交点坐标是（0，0），（2，0）
故答案为：（1，1）；（0，0），（2，0）．
（2）当n=2时，抛物线的解析式为 =
∴该抛物线的顶点坐标为（4，4）
当 时，
解得：x=2或x=6
∴与x轴的交点坐标是（2，0），（6，0）
故答案为：（4，4）；（2，0），（6，0）．
（3）当n=3时，抛物线的解析式为 =
∴该抛物线的顶点坐标为（9，9）
当 时，
解得：x=6或x=12
∴与x轴的交点坐标是（6，0），（12，0）
故答案为：（9，9）；（6，0），（12，0）．
（4）
=
=
∵n为正整数
∴ ＞0
即
∴抛物线与x轴有两个交点，故①正确；
抛物线并不经过同一个定点，故②错误；
第n支抛物线的解析式为 ，当 时，即
解得： 或
∴该抛物线与x轴的两个交点为（ ，0），（ ，0）；
它的下一支抛物线的解析式为
当 时，即
∴该抛物线与x轴的两个交点为（ ，0），（ ，0）
∴相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点，故③正确；
=
∴该抛物线的顶点坐标为（ ）
∴该抛物线的顶点都在直线y=x上，故④错误．
故答案为：①, ③ ．
（5）当 时，即
解得 ，
∴ ．
∴
（6）由（5）知： ，
∴ = ， = ．∴ ，
解得k=5．
∴ 的解析式为： ．
【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，此题难度较大，掌握求抛物线的顶点坐标、与x轴的交点坐
标是解决此题的关键．
