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专题10 二次函数的新定义问题专训
【精选最新30道二次函数的新定义问题】
1．（2023·广西柳州·校联考二模）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫
做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：
其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为(﹣1，0)和(3，0)；
②当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
③当x＝1时，函数有最大值是4；
④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·山东济南·统考二模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二
次函数 （ 为常数）在 的图像上存在两个二倍点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东济南·校联考二模）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点
A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴
交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，
则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜ D．﹣2≤a＜0
4．（2023·湖南株洲·统考一模）对于实数a、b，定义一种运算“ ”为： ，有下列命题：① ；②方程 的根为： ；③不等式组 的解集为： ；④
点 在函数 的图象上．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④
5．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）定义一种新运算： ，下列说法：
①若 ，则 ， ；
②若 ，则该不等式的解集为 ；
③代数式 取得最小值时， ；④函数
，函数 ，当 时， ．
以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023春·重庆永川·九年级重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）若一列数含有n个数，除第一个数和
最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”．比如一列数为
5，7，2，-5，满足 ， ，所以5，7，2，-5为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论：
①12，3，a为三级浪花数，则a的值为-9
②若四级浪花数中第1个数为1，则这列数的积的最大值可能为
③任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数
④2022级浪花数中的所有数之和为0
下列说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它
们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数 ，它的相关函数为 ．已知点M，N的坐标分别为 ， ，
连接MN，若线段MN与二次函数 的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
8．（2023春·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对图形 给出如下定义：
若图形 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称
为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形 的坐标角度是90°．现将二次函数 的图象
在直线 下方的部分沿直线 向上：翻折，则所得图形的坐标角度 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·山东济宁·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，点 的横、纵坐标的绝对值之和叫做点
的勾股值，记 ．若抛物线 与直线 只有一个交点 ，已知点 在第一
象限，且 ，令 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
10．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为
“互异二次函数”．如图，在正方形 中，点 ，点 ，则互异二次函数 与
正方形 有交点时 的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B． ，-1 C．4，0 D． ，-1
11．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）我们定义一种新函数：形如 的
函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数 过 两点．关于下列结论：
①图像具有对称性，对称轴是直线 ；
②当 时，函数的最大值是 ；
③当 或 时，函数值y随x值的增大而增大；
④当 时， 有两个实数根，则 ．其中正确结论的序号是 ．
12．（2023·云南昭通·统考二模）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣
2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则
称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的
“友好抛物线”，则n的值为 ．13．（2022·全国·九年级专题练习）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边
是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如： ．根据以上知识解决问题：
（1）若x☆3=1，则x的值为 ．
（2）抛物线 的顶点坐标是 ．
（3）若 的值小于0，则方程 有 个根．
14．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直
线的“割距”，如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线 与x轴交于点A，
与y轴交于点B，点B恰好是抛物线 的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是 ．
15．（2022·山东济南·模拟预测）定义[a，b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征数，下面给出特
征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ；③当m＜0时，函数在 时，y随x的增大而减小；④当m
＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则 ，正确的结论是
．（填写序号）
16．（2022·江苏·九年级专题练习）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为 ，
当x<0时，点P的变换点 的坐标为 ；当 时，点P的变换点 的坐标为 ．抛物线
与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换
点 在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，则满足该条件所有n值的和为 ．
17．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）定义： 为二次函数 （ ）的特征数，
下面给出特征数为 的二次函数的一些结论：①当 时，函数图象的对称轴是 轴；②当
时，函数图象过原点；③当 时，函数有最小值；④如果 ，当 时， 随 的增大而减
小，其中所有正确结论的序号是 ．
18．（2022·湖北武汉·统考一模）（定义[a,b,c]为函数 的特征数,下面给出特征数为 [2m,1－
m,－1－m]的函数的一些结论：
①当m＝－3时,函数图象的顶点坐标是（ , ）;
②当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于 ;
③当m<0时,函数在 时,y随x的增大而减小;
④当m≠0时,函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有 ．（只需填写序号）
19．（2022秋·九年级单元测试）我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换
函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，
那么b= ．20．（2022·全国·九年级假期作业）对于实数a，b，定义新运算“ ”：a b= ；若关于x
的方程 恰好有两个不相等的实根，则t的值为 ．
21．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系 中，对于某函数图象上的一点P，先向右
平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点Q，若点Q也在该函数图象上，则称点P为该
函数图象的“n倍平点”．
(1)函数① ；② ；③ 中，其图象存在“2倍平点”的是_______（填序号）；
(2)若反比例函数 ，图象恰有1个“n倍平点”，求n的值；
(3)求函数 图象的“3倍平点”的坐标．
22．（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两
个二次函数互为友好同轴二次函数．例如： 的友好同轴二次函数为 ．
(1)函数 的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．
(2)已知二次函数 （其中 且 且 ），其友好同轴二次函数记为 ．
①若函数 的图象与函数 的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段 的长；
②当 时，函数 的最大值与最小值的差为8，求a的值．
23．（2021春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）定义：同时经过x轴上两点 ，的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线 ： 与抛物线 ：
是都经过 ， 的同弦抛物线．
(1)任意写出一条抛物线 的同弦抛物线 ．
(2)已知抛物线 是 的同弦抛物线，且过点 ，求抛物线 对应函数的最大值或最小值．
24．（2023春·江苏盐城·九年级校考期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点 和
为“反射对称点”、如：点（1，3）和（-3，-1）是一对“反射对称点”．
(1)下列函数：① ；② ；③ ，其中图像上存在，“反射对称点”的是________（填
序号）
(2)直线 与反比例函数 的图像在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反射对称
点”，若 ，求k的值；
(3)抛物线 上是否存在一对“反射对称点”？如果存在，求出这一对“反射对称点”所连线段的
中点坐标；如果不存在，请说明理由．25．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市实验中学校考期中）对某一个函数给出如下定义：对于任意的函数
值y，都满足 ，且在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上边界值；对于任意的函数值
y，都满足 ，且在所有满足条件的N中，其最大值称为这个函数的下边界值；若一个函数既有上边界
值又有下边界值，则称这个函数是有界函数，其上边界与下边界的差称为边界差．例如，图中的函数上边
界值是 ，下边界值是 ．所以这个函数是“有界函数”，边界差为 ．
(1)在下列关于x的函数中，是“有界函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“有界函数”
的打“×”．
① （_________）；② （___________）；③ （_________）
(2)若函数 （ 为常数，且 ），当 时，这个函数的边界差为2，求 的值；
(3)若关于x的函数 （ 为常数）经过点 ，当 时，其边界差为1，求t的值．
26．（2023·湖北鄂州·统考二模）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此往往不能沿直
线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系
，对两点 和 ，用以下方式定义两点间的“折线距离”： ．【数学理解】
(1)①已知点 ，则 ___________；
②函数 的图象如图（1）， 是图象上一点，若 ，则点 的坐标为
________；
(2)函数 的图象如图（2），该函数图象上是否存在点 ，使 ？若存在，求出其坐标；
若不存在，请说明理由；
【拓展运用】
(3)函数 的图象如图（3）， 是图象上一点，求 的最小值及对应的点 的坐
标．
27．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系 中，若函数图象上的点 满足
（其中 ，a为常数），则称点P为函数图象的“a级和点”．(1)若点 为反比例函数 图象的“1级和点”，则 ______， ______；
(2)若 时，直线 上有“a级和点”，求k的取值范围；
(3)若抛物线 的“a级和点”恰有一个，求a的取值范围．
28．（2023·湖南长沙·校联考三模）在平面直角坐标系 中，对于点 和 ．给出如下定义：
如果 ，那么称点Q为点P的“沉毅点”．例如点 的“沉毅点”为点 ，点 的
“沉毅点”为点 ．
(1)若直线 上点M的“沉毅点”是 ，求点M的坐标；
(2)若双曲线 上点P的“沉毅点”为点Q，且 =4，求k的值；(3)若点P在函数 上，其“沉毅点”Q的纵坐标 的取值范围是 ，结合图
象写出 的取值范围．
29．（2023·四川达州·统考一模）定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函
数图像的“等值点”，例如：点 是函数 的图像的“等值点”．
(1)分别判断函数 ， 的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；
如果不存在，说明理由；
(2)设函数 ， 的图像的“等值点”分别为点 ， ，过点 作 轴，垂足为 ．
当 的面积为 时，求 的值；
(3)若函数 的图像记为 ，将其沿直线 翻折后的图像记为 ，当 ， 两部分组成
的图像上恰有 个“等值点”时，直接写出 的取值范围．30．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市北雅中学校考阶段练习）【定义】对于函数图象上的任意一点
，我们把 称为该点的“雅和”，把函数图象上所有点的“雅和”的最小值称为该函数的“礼
值”．根据定义回答问题：
(1)①点 的“雅和”为________；（直接写出答案）
②一次函数 的“礼值”为________；（直接写出答案）
(2)二次函数 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 与点 的 雅和”相等，若此
二次函数的“礼值”为 ，求 ， 的值；(3)如图所示，二次函数 的图象顶点在“雅和”为 的一次函数的图象上，四边形 是矩
形，点 的坐标为 ，点 为坐标原点，点 在 轴上，当二次函数 的图象与矩形的边
有四个交点时，求 的取值范围．
