文档内容
专题 22.7 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】............................................................................................1
【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】................................................................................7
【考点三 新定义型二次函数——衍生抛物线】..........................................................................................11
【考点四 新定义型二次函数——同轴对称抛物线】..................................................................................20
【考点五 新定义型二次函数——孔像抛物线】..........................................................................................22
【考点六 新定义型二次函数——伴随抛物线】..........................................................................................26
【考点七 新定义型二次函数——美丽抛物线】..........................................................................................29
【考点八 新定义型二次函数——系列平移抛物线】..................................................................................32
【典型例题】
【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】
例题：如果抛物线C 的顶点在抛物线C 上，抛物线C 的顶点也在抛物线C 上时，那么我们称抛物线C 与
1 2 2 1 1
C “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C ：y＝ x2+x与C ：y＝ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，
2 1 1 2 2
点A，B分别是抛物线C ，C 的顶点，抛物线C 经过点D（6，﹣1）．
1 2 2
(1)直接写出A，B的坐标和抛物线C 的解析式；
2
(2)抛物线C 上是否存在点E，使得 ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请
2
△说明理由；
(3)如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C 上，点M，N分别是抛物线C ，C 上的动点，且点M，N的横坐标
1 1 2
相同，记 AFM面积为S（当点M与点A，F重合时S＝0）， ABN的面积为S（当点N与点A，B重合
1 1 2
时，S＝0△），令S＝S+S，观察图象，当y≤y 时，写出x的取值△范围，并求出在此范围内S的最大值．
2 1 2 1 2
【变式训练】
1．（2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中）新定义：我们把抛物线 （其
中 ）与抛物线 称为“关联抛物线”．例如：抛物线 的“关联抛物线”
为： ．已知抛物线 的“关联抛物线”为 ．
(1)写出 的解析式（用含 的式子表示）及顶点坐标；
(2)若 ，过 轴上一点 ，作 轴的垂线分别交抛物线 ， 于点 ， ．
①当 时，求点 的坐标；
②当 时， 的最大值与最小值的差为 ，求 的值．【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】
例题：（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的
两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如： 的友好同轴二次函数为 ．
(1)函数 的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．
(2)已知二次函数 （其中 且 且 ），其友好同轴二次函数记为 ．
①若函数 的图象与函数 的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段 的长；
②当 时，函数 的最大值与最小值的差为8，求a的值．
【变式训练】
1．【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为
“友好对称二次函数”，例如： 的“友好对称二次函数”为 ．
【特例求解】（1） 的“友好对称二次函数”为______________； 的“友好对称二
次函数”为____________．【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；
②二次项系为 的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
③ 的“友好对称二次函数”为 ．
④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点．
【拓屐应用】
（3）如图，二次函数 与其“友好对称二次函数” 都与y轴交于点A，点B，C分别在
， 上，点B，C的横坐标均为 ，它们关于 的对称轴的称点分别力 ， ，连接 ，
， ， ．
①若 ，且四边形 为正方形，求m的值；
②若 ，且四边形 邻边之比为 ，直接写出a的值．
【考点三 新定义型二次函数——衍生抛物线】
例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，
经历了如下过程：求解体验：
(1)已知抛物线 经过点 ，则b＝ ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点 成中心对称的
抛物线表达式是 ．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线 ，以y轴上的点 为中心，作该抛物线关于点M对称的
抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
(2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．
问题解决：
(3)已知抛物线 ．
①若抛物线y的衍生抛物线为 ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求
a，b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；关于点 的衍生抛物线为 ，其
顶点为 ；…；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ，…（ 为正整数）．求 的长（用
含n的式子表示）．【变式训练】
1．我们定义：对于抛物线 （a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点
M成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
（1）已知抛物线 经过点（-1，0），则b=_______，顶点坐标为_______，该抛物线关于点
（0，1）成中心对称的抛物线的表达式是_______；
（2）已知抛物线 关于点（0，m）的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值
范围；
（3）已知抛物线 （a≠0）．若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y，其顶点为
1
A；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y，其顶点为A；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为y，其顶
1 2 2 n
点为A；…（n为正整数），直接写出AA 的长_________（用含n的式子表示）．
n n n+1【考点四 新定义型二次函数——同轴对称抛物线】
例题：定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如： 的“同轴对称抛物线”为 ．
(1)请写出抛物线 的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线” 的顶点坐标
；写出抛物线 的“同轴对称抛物线”为 ．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L： 上一点，点B的横坐标为1，过点B作x
轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点 、 ，
连接 、 、 、 ，设四边形 的面积为 ．
①当四边形 为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的
点时，请求出a的取值范围．【考点五 新定义型二次函数——孔像抛物线】
例题：二次函数 的图象交 轴于原点 及点 ．
【感知特例】
(1)当 时，如图1，抛物线 ： 上的点 ， ， ， ， 分别关于点 中心对称的点为 ，
， ， ， ，如表：
… （___，___） …
… …
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为 ．
【形成概念】
我们发现形如（1）中的图象 上的点和抛物线上的点关于点 中心对称，则称 是的“孔像抛物线”．
例如，当 时，图2中的抛物线 是抛物线的“孔像抛物线”．
【探究问题】
(2)①当 时，若抛物线 与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着 的增大而减小，则 的取值范围
为______；
②若二次函数 及它的“孔像抛物线”与直线 有且只有三个交点，直接写出 的值______；
③在同一平面直角坐标系中，当 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 的
所有“孔像抛物线” 都有唯一交点，这条抛物线的解析式为____________．【考点六 新定义型二次函数——伴随抛物线】
例题：定义：如图，若两条抛物线关于直线 成轴对称，当 时，取顶点 左侧的抛物线的部分；
当 时，取顶点在 右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线 的一对
伴随抛物线．例如：抛物线 与抛物线 就是关于直线 轴 的一对伴
随抛物线．
(1)求抛物线 关于直线 的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．
(2)设抛物线 交 轴于点 ，交直线 于点 ．
①求直线 平行于 轴时的 的值．
②求 是直角时抛物线 关于直线 的“伴随抛物线”的顶点横坐标．
③已知点 、 的坐标分别为 、 ，直接写出抛物线 及其关于直线 的“伴随
抛物线”与矩形 不同的边有四个公共点时 的取值范围．【考点七 新定义型二次函数——美丽抛物线】
例题：已知如图，抛物线 的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以线段 为对角
线的正方形 的另两顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把抛物线 称为美丽抛
物线，正方形 为它的内接正方形．
（1）当抛物线 是美丽抛物线时， ________；当抛物 是美丽抛物线时，
________．
（2）若抛物线 是美丽抛物线，请直接写出的a，k数量关系．
（3）若抛物线 是美丽抛物线，（2）中a，k数量关系仍成立吗？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由．
（4）已知系列美丽抛物线 （n为正整数， ）的顶点为均在直线 上，且它
们中恰有两个美丽抛物线 与 （s，t为正整数， ， ）的内
接正方形的面积之比为1：4，试求 的值．【考点八 新定义型二次函数——系列平移抛物线】
例题：【特例感知】
（1）如图1，对于抛物线 ， ， ，下列结论正确的序号是
_______；
①抛物线 都经过点 ；
②抛物线 的对称轴由抛物线 的对称轴依次向左平移 个单位得到；
③抛物线 与直线 的交点中，相邻两点之间的距离相等．
【形成概念】
（2）把满足 （ 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
【知识应用】
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为 ，用含 的代数式表示顶点 的坐标，并写出该顶点纵
坐标 与横坐标 之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”： ，其横坐标分
别为 （ 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线 分别交“系列平移抛物线”于点 连接 ，判断
是否平行？并说明理由．
【变式训练】
1．在平面直角坐标系中，有系列抛物线 （n为正整数）．系列抛物线的顶点分别
为 ， ， ，…， ．
(1)下列结论正确的序号是______．
①系列抛物线的对称轴是直线 ；
②系列抛物线有公共交点 和 ；
③系列抛物线都是由抛物线 平移所得；
④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等；
(2)对于任意一条与x轴垂直的直线 ，与系列抛物线的交点分别为 ， ， ，…， ．
①当 时， ______；
②试判断相邻两点之间的距离是否相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离 ；若不相等，说明理由；
③以 为边作正方形，若正方形的另二个点落在对称轴上，求a的值．
2．我们把抛物线： （n为正整数）称为“拉手系列抛物线”，为了探究的它性质，
某同学经历如下过程：
【特例求解】
（1）当n=1时，抛物线y 的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
1
（2）当n=2时，抛物线y 的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
2
（3）当n=3时，抛物线y 的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
3
【性质探究】
（4）那么抛物线： （n为正整数）的下列结论正确的是 （请填入正确的序号）．
①抛物线与x轴有两个交点；
②抛物线都经过同一个定点；
③相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点；
④所有抛物线 的顶点都在抛物线 上．
【知识应用】若“拉手系列抛物线”： （n为正整数），y 与x轴交于点O，A，顶点为D，y
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与x轴交于点A，A，顶点为D，…，yn与x轴交于点 ，顶点为Dn．
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（5）求线段 的长（用含n的式子表示）；
（6）若△ 的面积与△ 的面积比为1:125，求 的解析式．
