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专题10 二次函数的新定义问题专训
【精选最新30道二次函数的新定义问题】
1．（2023·广西柳州·校联考二模）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫
做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：
其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为(﹣1，0)和(3，0)；
②当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
③当x＝1时，函数有最大值是4；
④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由 可得函数图象的对称轴为直线x=1，与坐标轴交点坐标为 ， 和 ，
可判断①错误，根据图象及函数性质可判断②正确；由从图象上看，当 或 ，函数值有大于4的
值，因此③是错误的；由图象可知，函数与直线 有4个公共点，则 的取值范围是 ，故④
正确．
【详解】解：如图：∵ ，
∴函数图象的对称轴为直线x=1，与坐标轴交点坐标为 ， 和 ，
①是错误的；
②根据函数的图象和性质，发现当 或 时，函数值 随 值的增大而增大，因此②是正确的；
③由图象可知，当 时，函数值随 的减小而增大，当 时，函数值随 的增大而增大，均存在大
于顶点坐标的函数值，故当 时的函数值4并非最大值，故③错误．
④由图象可知，函数与直线 有4个公共点，则 的取值范围是 ，故④正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是主要通过题干信息理解“鹊桥”函数
， 的定义，掌握它与 之间的关系以及两个函数性质的联系和
区别．
2．（2023·山东济南·统考二模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二
次函数 （ 为常数）在 的图像上存在两个二倍点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y=2x上，由-2＜x＜4可得二倍点所在线段AB的
端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y=2x，
将x=-2代入y=2x得y=-4，
将x=4代入y=2x得y=8，
设A（-2，-4），B（4，8），如图，联立方程x2-x+c=2x，
当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，
即9-4c＞0，
解得c＜ ，
此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，
把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，
∴ ，
解得c＞-4，
∴-4＜c＜ 满足题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题
转化为图形问题求解．
3．（2023·山东济南·校联考二模）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点
A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴
交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，
则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜ D．﹣2≤a＜0
【答案】B
【分析】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围．
【详解】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x﹣1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，
M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）
恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），
如图所示：
∵当x＝0时，y＝a+2
∴0≤a+2＜1
当x＝﹣1时，y＝4a+2＜0
即： ，
解得﹣2≤a＜﹣1
故选B．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、及数形结合等知识，利用函数图象确定与
y轴交点位置是本题的关键．
4．（2023·湖南株洲·统考一模）对于实数a、b，定义一种运算“ ”为： ，有下列命题：
① ；②方程 的根为： ；③不等式组 的解集为： ；④
点 在函数 的图象上．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④【答案】C
【分析】根据新定义和解一元二次方程、解不等式组、，二次函数等知识对各选项进行判断
【详解】根据新定义 ，所以命题①正确；
∵ ，∴ ，解得 ，所以命题②正确；
∵ ，
∴ ，所以命题③正确；
∵ ，∴当 时， ，
∴点 不在函数 的图象上，所以命题④错误，
综上所述，命题①②③正确．故选C．
【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题，涉
及到解一元二次方程、解不等式组、，二次函数等知识，此题需要熟练掌握新定义．
5．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）定义一种新运算： ，下列说法：
①若 ，则 ， ；
②若 ，则该不等式的解集为 ；
③代数式 取得最小值时， ；④函数
，函数 ，当 时， ．
以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据新定义运算运算法则进行判断即可．
【详解】解：①由题意得： ， ，解得： ， ；检验：当 ， 时， ；
， 是原分式方程的解，
故①正确；
②当 时， ， ，此情况成立；
当 时， ，
，故 ，
，
解得： ，
综上所述： ，故②正确；
③由题意得： ，
取得最小值时， ，故③错误；
④ ，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，
，当 时， ，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法，绝对值的意义，一次函数与二次函数的交点
问题，分类讨论思想，正确理解新定义运算是本题的关键．
6．（2023春·重庆永川·九年级重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）若一列数含有n个数，除第一个数和
最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”．比如一列数为
5，7，2，-5，满足 ， ，所以5，7，2，-5为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论：①12，3，a为三级浪花数，则a的值为-9
②若四级浪花数中第1个数为1，则这列数的积的最大值可能为
③任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数
④2022级浪花数中的所有数之和为0
下列说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据定义：除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数
为“n级浪花数”，进行一一判断即可
【详解】解：①∵12，3，a为三级浪花数，
∴a+12=3，
解得：a=-9，
故①正确；
②设这四级浪花数分别为1，x+1，x，-1，
则其积为： ，
当x= 时，其积最大值为 ，
所以这列数的积的最大值不可能为 ，
故②错误；
③设任意组100级浪花数中第一个数为x，第二个数为y，
由题意得这一列数依次为：x，y，y-x，-x，-y，x-y，x，y，y-x，-x，-y，x-y，……
可以看出每六个数一次循环，
36÷6=6，所以第36个数为x-y，
63÷6=10余3，所以第63个数为y-x，
所以第36个数和第63个数一定互为相反数，
故③正确；
④2022级浪花数中第一个数为x，第二个数为y，
则一列数依次为：x，y，y-x，-x，-y，x-y，x，y，y-x，-x，-y，x-y，……，
可以看出每六个数一次循环，
这六个数的和为：x+y+y-x-x-y+x-y=0，且2022÷6=337，所以2022级浪花数中的所有数之和为0
由④正确；
故选：C
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，根据数的变化，找出该数列连续六个数相加等于零是解题的
关键．
7．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它
们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．
例如：正比例函数 ，它的相关函数为 ．已知点M，N的坐标分别为 ， ，
连接MN，若线段MN与二次函数 的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】求出二次函数 的相关函数的解析式，结合图像分析选项中的几个关键点 ，
，再解方程结合图象判断即可．
【详解】二次函数 的相关函数为 ，
大致函数图像如下：如图1所示，当线段MN与二次函数 的相关函数的图象有1个公共点时，
∴当x=2时， ，则-4+8+n=1,解得n=-3，
如图2所示，当线段MN与二次函数 的相关函数的图象有3个公共点时，∵抛物线y= 与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得n=-1；
∴当 时，线段MN与二次函数 的相关函数的图象有2个公共点；
如图3所示：线段MN与二次函数 的相关函数的图象有3个公共点，
∵二次函数 经过点（0，1），
∴n=1，
如图4所示：线段MN与二次函数 的相关函数的图象有2个公共点，∵抛物线y= 经过点 ，
∴ +2-n=1，解得n= ，
∴ 时，线段MN与二次函数 的相关函数的图象有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是 或 ．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，理解互为相关函数的定义是解题的
关键，本题是选择题使用排除法更简单．
8．（2023春·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对图形 给出如下定义：
若图形 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称
为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形 的坐标角度是90°．现将二次函数 的图象
在直线 下方的部分沿直线 向上：翻折，则所得图形的坐标角度 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分a=1和a=3两种情况画出图形，根据图形的坐标角度的定义即可解决问题．
【详解】解：当a=1时，如图1所示，
∵角两边分别过点A（-1,1），B（1,1），
作BE⊥x轴于点E，
∴BE＝OE，
∴∠BOE＝45°，
根据对称性可知：∠AOB＝90°，
∴此时坐标角度 ＝90°；
当a=3时，如图2所示，角两边分别过点A（ ,1），B（ ,1），
作BE⊥x轴于点E，
∵ ，
∴∠BOE＝60°，
根据对称性可知：∠AOB＝60°，
∴此时坐标角度 ＝90°,
∴60°≤ ≤90°，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数综合题，图形的坐标角度定义等知识，解题的关键是理解题意，学会画图，利
用特殊点或者特殊位置解决问题．
9．（2023·山东济宁·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，点 的横、纵坐标的绝对值之和叫做点
的勾股值，记 ．若抛物线 与直线 只有一个交点 ，已知点 在第一
象限，且 ，令 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意 =0，故（b-1）2-4a=0，4a=（b-1）2，用方程可以化为（b-1）2+4（b-1）x+4=0，则
△
x=x= ，故C（ ， ），而且2≤ ≤4，即1≤ ≤2或-2≤ ≤-1，解得：-1≤b≤0或
1 22≤b≤3，t=2b2-4a+2020=2b2-（b-1）2+2020=b2+2b+2019=（b+1）2+2018，即可求解．
【详解】由题意得方程组 只有一组实数解，
消去y得ax2+（b-1）x+1=0，
由题意 =0，
∴（b-1△）2-4a=0，
∴4a=（b-1）2，
∴用方程可以化为（b-1）x2+4（b-1）x+4=0，
∴x=x= ，
1 2
∴C（ ， ），
∵且2≤ ≤4，
∴1≤ ≤2或-2≤ ≤-1，
解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，
∵点C在第一象限，
∴-1≤b≤0，
t=2b2-4a+2020，
∵t=2b2-4a+2020=2b2-（b-1）2+2020=b2+2b+2019=（b+1）2+2018，
∵-1≤b≤0
∴2018≤t≤2019．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会
构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
10．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为
“互异二次函数”．如图，在正方形 中，点 ，点 ，则互异二次函数 与
正方形 有交点时 的最大值和最小值分别是（ ）A．4，-1 B． ，-1 C．4，0 D． ，-1
【答案】D
【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、
位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数 与正方形 有交点,则共有以下四种情况:
当 时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；
当 时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；
当 时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；
当 时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有
，
解得： ；综上可得： 的最大值和最小值分别是 ， ．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是
能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此
对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
11．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）我们定义一种新函数：形如 的
函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数 过 两点．关于下列结论：
①图像具有对称性，对称轴是直线 ；
②当 时，函数的最大值是 ；
③当 或 时，函数值y随x值的增大而增大；
④当 时， 有两个实数根，则 ．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③
【分析】先根据题意画出函数图像，再运用抛物线的对称性结合过 两点可得对称轴，即可判定
①；求出当 时， ，当 或 ，函数值有大于 的值，即可判断②；由函
数图像可知：当 或 时，函数值y随x值的增大而增大，即可判断③；由图像可得当 时，
有两个实数根，则 或 即可判定④．
【详解】解：根据题意画出图像如图：
由二次函数图像的对称性可得：对称轴为 ，则①正确；∵函数 过 两点，
∴ ，
∴ ，
∵对称轴为 ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴由函数图像可知：当 或 ，函数值有大于 的值，则②错误；
由函数图像可知：当 或 时，函数值y随x值的增大而增大，则③正确；
当 时， ，
∵ 有两个实数根，
∴由函数图像可知： 或 ，则④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，根据题意正确画出函数图像是解答本题的关键．
12．（2023·云南昭通·统考二模）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣
2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则
称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的
“友好抛物线”，则n的值为 ．
【答案】-3或6
【分析】到A、B、C、D四个点距离都相等的点为AC、BD的交点点E，求出点E的坐标，将点E的坐标代入二次函数解析式，求出n的值即可.
【详解】连接AC、BD交于点E，作EF⊥AB交AB于点F，
由题意得，抛物线必经过点E，
∵A（﹣4，0），B（﹣2，0），
∴AB=2，BO=2，
∵正方形ABCD，
∴∠ABE=45°，AE⊥BE，AE=BE，
∴AF=BF=EF=1，
∴E（﹣3，﹣1），
∴﹣1=2×9+3n﹣n2﹣1，
解得n=﹣3或6.
故答案为﹣3或6.
【点睛】确定出到A、B、C、D四个点距离相等的点的位置是解题的关键.
13．（2022·全国·九年级专题练习）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边
是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如： ．根据以上知识解决问题：
（1）若x☆3=1，则x的值为 ．
（2）抛物线 的顶点坐标是 ．
（3）若 的值小于0，则方程 有 个根．
【答案】 x=1，x=2 （ ，− ） 2
1 2
【分析】（1）利用新定义运算法则列出方程x2-3x+3=1，然后解方程即可；（2）利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案；
（3）由2☆a的值小于0知22-2a+a＜0，解之求得a＞4．再在方程-2x2-bx+a=0中由Δ=（-b）2+8a≥8a＞0可
得答案．
【详解】解：（1）根据题意，得x2-3x+3=1，
移项、合并同类项，得x2-3x+2=0，
整理，得（x，-1）（x-2）=0，
解得x=1，x=2；
1 2
故答案为：x=1，x=2；
1 2
（2）根据题意知，y=（2-x）2-（2-x）（-1）+（-1）
=x2-5x+5=（x- ）2- ．
所以，顶点坐标（ ，− ）；
故答案为：（ ，− ）；
（3）∵2☆a的值小于0，
∴22-2a+a＜0，
解得a＞4．
在方程-2x2-bx+a=0中，
∵Δ=（-b）2+8a≥8a＞0，
∴方程-2x2-bx+a=0有两个不相等的实数根．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握
新定义运算法则，难度不大．
14．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直
线的“割距”，如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线 与x轴交于点A，
与y轴交于点B，点B恰好是抛物线 的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是 ．【答案】
【分析】先求出B点坐标，从而求出抛物线解析式，然后求出直线与抛物线的两个交点，利用两点距离公
式即可求出答案．
【详解】解：∵B直线 与y轴的交点，
∴B点坐标为（0，3），
∵B是抛物线 的顶点，
∴抛物线解析式为 ，
∴ ，
解得 或 ，
∴直线 与抛物线 的两个交点坐标为（0，3），（1，2），
∴抛物线关于直线y的割距是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数与y轴交点，二次函数与一次函数的交点，两点距离公式，二次函数
图像的性质，熟知相关知识是解题的关键．
15．（2022·山东济南·模拟预测）定义[a，b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征数，下面给出特
征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ；③当m＜0时，函数在 时，y随x的增大而减小；④当m
＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则 ，正确的结论是
．（填写序号）
【答案】①②④
【分析】根据函数特征数确定二次函数解析式为 ，当m≠0时，把 =1代入函数，
求得 可判断①，当m＞0时， ,求出 作差可判断②；当m＜0
时， ，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，对称轴为 可判断③；
当m＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，根据两交点关于对称轴
对称构造方程 ，解得 ，可判断④．
【详解】解：由题意得：二次函数解析式为
当m≠0时， =1，
∴点(1，0)一定在函数的图象上；
故①正确；
当m＞0时， ,
因式分解得
解得
函数图象截x轴所得的线段长度=1+
故②正确；
当m＜0时，
∴ ，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，对称轴为
函数在 时，可能x在对称轴左侧，y随x的增大而增大；
故③不正确；
④当m＞0， 抛物线顶点的纵坐标为 ，
由②知抛物线与x轴的两个交点坐标为解得 ，
∴两交点的距离为
∵抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，
列方程得
解得 ，
∵m＞0，
则 ，
经检验 符合题意，是原方程的根，
故④正确；
∴正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查抛物线的特征数，利用特征数研究抛物线的性质过定点，交点间弦长，增减性，等腰直
角三角形性质等知识，掌握以上知识，灵活应用数形结合的思想是解题关键．
16．（2022·江苏·九年级专题练习）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为 ，
当x<0时，点P的变换点 的坐标为 ；当 时，点P的变换点 的坐标为 ．抛物线
与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换
点 在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，则满足该条件所有n值的和为 ．【答案】-13
【分析】根据四边形ECP′D是菱形,点E与点P′关于x轴对称，可求P′（2，-n）,根据变换当点P在y轴左
侧， P（-2，-n）, 当点P在y轴右侧，P（-n,-2），点P在 上， 或
解方程即可．
【详解】解：∵四边形ECP′D是菱形,点E与点P′关于x轴对称，
∵E（2，n）,
∴P′（2，-n）,
当点P在y轴左侧， , P的坐标为 ，点P的变换点 的坐标为 ；
∴P（-2，-n）,
∵点P在 上，
∴ ，
∴ ；
当点P在y轴右侧， , P的坐标为 ，点P的变换点 的坐标为 ．
∴P（-n,-2），
∵点P在 上，
∴ ，
整理得 ，
因式分解得 ，
解得 ；
∴n=-8或-2或-3．
∴-8-2-3=-13，
故答案为-13．
【点睛】本题考查点的变换，二次函数性质，菱形性质，掌握点的变换特征，二次函数性质，菱形性质是解题关键．
17．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）定义： 为二次函数 （ ）的特征数，
下面给出特征数为 的二次函数的一些结论：①当 时，函数图象的对称轴是 轴；②当
时，函数图象过原点；③当 时，函数有最小值；④如果 ，当 时， 随 的增大而减
小，其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③．
【分析】利用二次函数的性质根据特征数 ，以及 的取值，逐一代入函数关系式，然判断
后即可确定正确的答案．
【详解】解：当 时，
把 代入 ，可得特征数为
∴ ， ， ，
∴函数解析式为 ，函数图象的对称轴是 轴，故①正确；
当 时，
把 代入 ，可得特征数为
∴ ， ， ，
∴函数解析式为 ，
当 时， ，函数图象过原点，故②正确；
函数
当 时，函数 图像开口向上，有最小值，故③正确；
当 时，函数 图像开口向下，
对称轴为：
∴ 时， 可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；综上所述，正确的是①②③，
故答案是：①②③．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解
题的关键．
18．（2022·湖北武汉·统考一模）（定义[a,b,c]为函数 的特征数,下面给出特征数为 [2m,1－
m,－1－m]的函数的一些结论：
①当m＝－3时,函数图象的顶点坐标是（ , ）;
②当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于 ;
③当m<0时,函数在 时,y随x的增大而减小;
④当m≠0时,函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有 ．（只需填写序号）
【答案】①②④．
【详解】试题分析：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m,1﹣m,﹣1﹣m];
①当m=﹣3时,y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣ ）2+ ,顶点坐标是（ , ）;此结论正确;
②当m＞0时,令y=0,有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0,解得x= ,x=1,x= ,
1 2
|x﹣x|= ＞ ,所以当m＞0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于 ,此结论正确;
2 1
③当m＜0时,y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线,其对称轴是： ,在对称轴的
右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时, = ＞ ,即对称轴在x= 右边,因此函数在x= 右边
先递增到对称轴位置,再递减,此结论错误;
④当x=1时,y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）="0" 即对任意m,函数图象都经
过点（1,0）那么同样的：当m=0时,函数图象都经过同一个点（1,0）,当m≠0时,函数图象经过同一个点
（1,0）,故当m≠0时,函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
根据上面的分析,①②④都是正确的,③是错误的．
故答案是①②④．
考点：二次函数综合题．19．（2022秋·九年级单元测试）我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换
函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，
那么b= ．
【答案】﹣2
【分析】根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x轴对称，从而得到关于b的方程，可以解答本题．
【详解】解：由题意函数y=2x2+bx的交换函数为y=bx2+2x．
∵y=2x2+bx= ，
y=bx2+2x= ，
函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，
∴﹣ =﹣ 且 ，
解得：b=﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．
20．（2022·全国·九年级假期作业）对于实数a，b，定义新运算“ ”：a b= ；若关于x
的方程 恰好有两个不相等的实根，则t的值为 ．
【答案】2.25或0
【分析】令y= ，并画出函数的图象，根据函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，
即可得到直线y=t与函数y的图象的位置关系，进而即可求解．
【详解】∵当 时，即： 时， ，
当 时，即： 时， ，
∴令y= = ，画出函数图象，从图象上观察当关于x的方程 恰好有两个不相等的实根时，函数y的图
象与直线y=t有两个不同的交点，即直线y=t过抛物线y= 的顶点或直线y=t与x轴重合．
∴t=2.25或t=0．
故答案是：2.25或0．
【点睛】本题主要考查函数图象的交点与方程的根的关系，
掌握二次函数的图象和性质，学会画二次函数的图象，理解函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，
是解题的关键．
21．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系 中，对于某函数图象上的一点P，先向右
平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点Q，若点Q也在该函数图象上，则称点P为该
函数图象的“n倍平点”．
(1)函数① ；② ；③ 中，其图象存在“2倍平点”的是_______（填序号）；
(2)若反比例函数 ，图象恰有1个“n倍平点”，求n的值；
(3)求函数 图象的“3倍平点”的坐标．
【答案】(1)②(2)
(3) 或
【分析】（1）根据函数图象的“n倍平点”的定义逐个进行判断即可；
（2）设 ，则 ，把 代入 得 ，根据图象恰有1个
“n倍平点”，得出 ，即可求出答案；
（3）当 时， ，当 时， ，分两种情况，根据函数图象的“n倍平
点”的定义分别计算即可得出结论．
【详解】（1）当 时，
①设 ，则 ，
当 时， ，
∴点 不在 的图象上．
∴该函数图象不存在“2倍平点”．
②设 ，则 ，
当 时， ，
∴点 在 的图象上．
∴该函数图象存在“2倍平点”．
③设 ，则 ，
当 时， ，
∴点 不在 的图象上．
∴该函数图象不存在“2倍平点”．
故答案是②；
（2）设 ，则 ，把 代入 得，
，即 ，
∵图象恰有1个“n倍平点”，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）当 时， ，
设 ，则 ，
把 代入 得，
，
解得： ，
∴ ， ．
∴ ， ．
当 时， ，
设 ，则 ，
把 代入 得，
，
解得： ，
∴ ， ．
∴ ， ．综上所述，函数 图象的“3倍平点”的坐标是 或 ．
【点睛】本题主要考查了新定义，正确理解新定义：函数图象的“n倍平点”是解题的关键．
22．（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两
个二次函数互为友好同轴二次函数．例如： 的友好同轴二次函数为 ．
(1)函数 的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．
(2)已知二次函数 （其中 且 且 ），其友好同轴二次函数记为 ．
①若函数 的图象与函数 的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段 的长；
②当 时，函数 的最大值与最小值的差为8，求a的值．
【答案】(1)直线 ，
(2)①4；② 或3
【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；
（2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数 ，联立函数 ， ，解方程可求出点 的坐标，由此
即可得；
②分 且 且 、 两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：函数 的对称轴为直线 ，
因为 ，
所以设函数 的友好同轴二次函数为 ，
所以 ，解得 ，所以函数 的友好同轴二次函数为 ，
故答案为：直线 ， ．
（2）解：①二次函数 ，
则设 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
联立 得： ，
解得 或 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 ，
所以 ；
②函数 的对称轴为直线 ，
（Ⅰ）当 且 且 时，抛物线的开口向上，
当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最小值，最小值为 ，
当 时， 取得最大值，最大值为4，
所以 ，
解得 ，符合题设；
（Ⅱ）当 时，抛物线开口向下，
当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ，
当 时， 取得最小值，最小值为4，
所以 ，
解得 ，符合题设；综上， 的值为 或3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．
23．（2021春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）定义：同时经过x轴上两点 ，
的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线 ： 与抛物线 ：
是都经过 ， 的同弦抛物线．
(1)任意写出一条抛物线 的同弦抛物线 ．
(2)已知抛物线 是 的同弦抛物线，且过点 ，求抛物线 对应函数的最大值或最小值．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)最小值为
【分析】（1）根据同弦抛物线的定义即可得；
（2）先根据同弦抛物线的定义可设抛物线 的解析式为 （ 且 ），将点 代
入可求出 的值，再根据二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解： 抛物线 与抛物线 ： 为同弦抛物线，
抛物线 的函数解析式为 ．
（2）解：由题意可设抛物线 的解析式为 （ 且 ），
将点 代入得： ，
解得 ，
则抛物线 的解析式为 ，
由二次函数的性质可知，当 时，抛物线 对应函数取得最小值，最小值为 ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，读懂同弦抛物线的定义，并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
24．（2023春·江苏盐城·九年级校考期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点 和
为“反射对称点”、如：点（1，3）和（-3，-1）是一对“反射对称点”．
(1)下列函数：① ；② ；③ ，其中图像上存在，“反射对称点”的是________（填
序号）
(2)直线 与反比例函数 的图像在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反射对称
点”，若 ，求k的值；
(3)抛物线 上是否存在一对“反射对称点”？如果存在，求出这一对“反射对称点”所连线段的
中点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)①②③
(2)
(3)存在，中点坐标为 或
【分析】(1)根据定义，把点 ， 分别代入函数解析式，解方程组即可；
(2)根据题意，用 的代数式将 坐标表示出来，然后根据 列出方程求出 即可；
(3)假设 存在一对“反射对称点” ， ，由此得到线段 中点坐标为
，再将 ， 两点代入 中联立方程组求出 的值即可．
【详解】（1）解：对于 ，若 ， 是一对“反射对称点”，
则 ，得到 ，此时方程组有无数组解，
∴函数 图像上存在无数对“反射对称点”；对于 ，若 ， 是一对“反射对称点”，
则 ，得到 ，此时方程组有无数组解，
∴函数 图像上存在无数对“反射对称点”；
对于函数 ，若 ， 是一对“反射对称点”，
则 ，得到 ，
∴函数 图像上存在唯一一对“反射对称点”，
故答案为：①②③；
（2）解：联立方程组 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 且点 在第一象限，
∴ ，
∵点 和点 为一对“反射对称点”，
∴ ，
设直线 解析式为 ，代入 两点坐标，
∴ ，解得 ，
∴直线 解析式为 ，
设直线 与 轴交于点 ，过 作 于点 ，过 作 于点 ，如下图所示，则 ，
∴
整理得到： ，
又已知 ，
∴ ，
解得 ；
（3）解：假设抛物线 上存在一对“反射对称点” ， ，则线段 的中点坐标
为 ，
∴ ，①－②并整理得到： ，
当 即 时，回代方程①得到 ，解得 或 ，若 此时 重合，舍去；
若 时， ，线段 中点坐标为 ；
当 时，即 时，回代方程①得到 ，解得 或 ，
当 时， ，此时 ， ，此时线段 中点坐
标为 ；
当 时， ，此时 ， ，此时线段 中点坐
标为 ；
综上所述，线段 中点坐标为 或 ．
【点睛】本题是反比例函数和二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及
性质，能理解应用新定义是解题的关键．
25．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市实验中学校考期中）对某一个函数给出如下定义：对于任意的函数
值y，都满足 ，且在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上边界值；对于任意的函数值
y，都满足 ，且在所有满足条件的N中，其最大值称为这个函数的下边界值；若一个函数既有上边界
值又有下边界值，则称这个函数是有界函数，其上边界与下边界的差称为边界差．例如，图中的函数上边
界值是 ，下边界值是 ．所以这个函数是“有界函数”，边界差为 ．
(1)在下列关于x的函数中，是“有界函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“有界函数”的打“×”．
① （_________）；② （___________）；③ （_________）
(2)若函数 （ 为常数，且 ），当 时，这个函数的边界差为2，求 的值；
(3)若关于x的函数 （ 为常数）经过点 ，当 时，其边界差为1，求t的值．
【答案】(1)①√；②×；③×
(2)
(3)2或3
【分析】（1）根据“有界函数”的定义结合各函数解析式判断即可；
（2）分类讨论：当 时和当 时，结合一次函数的性质解答即可；
（3）将点 代入 ，可求出m的值，从而得出 ．分别求出当
， 时，y ．再分类讨论：当 ，即 时；当 时；当 ，且
，即 时；当 ，且 ，即 时，根据二次函数的图象和性
质结合“边界差”的定义，可分别得出关于t的等式，解出t即可．
【详解】（1）解：①对于 ，
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴ 有最大值和最小值，
∴ 是“有界函数”．
故答案为： ；
②对于 ，总有 ，
∴ 不是“有界函数”．
故答案为： ；③对于 ，总有 ，
∴ 不是“有界函数”．
故答案为： ；
（2）解：当 时，当 时，y随x的增大而增大，
∴有上边界值 ，有下边界值 ，
∴边界差为 ，
∵这个函数的边界差为2，
∴ ，
即 ；
当 时，当 时，y随x的增大而减小，
∴有上边界值 ，有下边界值 ，
∴边界差为 ，
∵这个函数的边界差为2，
∴ ，
即 ；
综上所述：k的值为 ；
（3）解：将点 代入 ，得： ，
解得： ，
．
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ．
∵其边界差为1，
当 ，即 时，，
解得： （舍去）；
当 时，
，
解得： （舍去）；
当 ，且 ，即 时，
，
解得： 或4（舍去）；
当 ，且 ，即 时，
，
或1（舍去），
综上所述： 或3．
【点睛】本题考查对新定义的理解，正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质．读懂
题意，理解“有界函数”和“边界差”的定义是解题关键．
26．（2023·湖北鄂州·统考二模）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此往往不能沿直
线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系
，对两点 和 ，用以下方式定义两点间的“折线距离”： ．
【数学理解】(1)①已知点 ，则 ___________；
②函数 的图象如图（1）， 是图象上一点，若 ，则点 的坐标为
________；
(2)函数 的图象如图（2），该函数图象上是否存在点 ，使 ？若存在，求出其坐标；
若不存在，请说明理由；
【拓展运用】
(3)函数 的图象如图（3）， 是图象上一点，求 的最小值及对应的点 的坐
标．
【答案】(1)①4，②
(2)不存在，理由见解析
(3) 的最小值为 ，点D坐标为（ ， ）
【分析】（1）①根据题目所给“折线距离”的定义，即可解答；②根据题意可得
，即可求解；
（2）根据题意可得： 得出 ，再根据一元二次方程根的判别式，即可得
出结论；
（3）根据 可得 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵ ， ，
∴ ，
故答案为：4；
②∵ ，∴
∴ ，
解得： ；
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：不存在，理由如下：设点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即
∵ ，
∴此方程没有实数根
∴不存在符合条件的点C．
（3）解：设点D为 ，
∴ ，
∵ ，
∴
，∴当 时， 的最小值为 ，
此时点D坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数，反比例函数，二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，熟练掌
握化简绝对值的方法，以及二次函数的性质．
27．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系 中，若函数图象上的点 满足
（其中 ，a为常数），则称点P为函数图象的“a级和点”．
(1)若点 为反比例函数 图象的“1级和点”，则 ______， ______；
(2)若 时，直线 上有“a级和点”，求k的取值范围；
(3)若抛物线 的“a级和点”恰有一个，求a的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或2
【分析】（1）根据题中所给新定义运算可进行求解；
（2）由题意易得 ，然后根据 可进行求解；
（3）由题意易得 ，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】（1）解：由点 为反比例函数 图象的“1级和点”，可知： ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ， ；
（2）解：由题意可知： ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴当 时，则有 ，且 ，
解得： ；
当 时，则有 ，
解得： ，
∵ ，
∴当 时，则 ，
∴ ，
∴综上所述 ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∵抛物线 的“a级和点”恰有一个，
∴ 只有一个解，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴当 或 时符合题意．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数及反比例函数，熟练掌握一元二次方程根的判
别式、二次函数及反比例函数是解题的关键．28．（2023·湖南长沙·校联考三模）在平面直角坐标系 中，对于点 和 ．给出如下定义：
如果 ，那么称点Q为点P的“沉毅点”．例如点 的“沉毅点”为点 ，点 的
“沉毅点”为点 ．
(1)若直线 上点M的“沉毅点”是 ，求点M的坐标；
(2)若双曲线 上点P的“沉毅点”为点Q，且 =4，求k的值；
(3)若点P在函数 上，其“沉毅点”Q的纵坐标 的取值范围是 ，结合图
象写出 的取值范围．
【答案】(1)点M的坐标为 或
(2)
(3)
【分析】（1）先根据题中条件写出点 的坐标为 ，然后根据“沉毅点”的定义分 和
两种情况进行讨论，分别求出 的值，即可得出点 的坐标；
（2）设点 ，且 ，根据“沉毅点”的定义可得点 的坐标为 ，即可求得 ，然后利用三角形面积公式得到 ，解得 ；
（3）当 时，求出 的值，再根据“沉毅点”的定义即可解决问题．
【详解】（1） 直线 上点 的“沉毅点”是 ，
点 的坐标为 ，
当 时，根据“沉毅点”的定义可得： ，
解得： ，
此时点 的坐标为 ，
当 时，根据“沉毅点”的定义可得： ，
解得： ，
此时点 的坐标为 ，
综上所述，点 的坐标为： 或 ；
（2）由题意可设点 ，且 ，
根据“沉毅点”的定义可得点 的坐标为 ，
，
，
，
，
；
（3）如图为“沉毅点”函数图象：从函数图象看，“沉毅点” 的纵坐标 的取值范围是 ，
而 ，
当 时， ，
当 时， 或 ，
当 时， ，解得： 舍去负值 ，
观察图象可知满足条件的 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的
坐标特征，三角形面积，解题的关键是理解题意，属于创新题目，中考常考题型．
29．（2023·四川达州·统考一模）定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函
数图像的“等值点”，例如：点 是函数 的图像的“等值点”．
(1)分别判断函数 ， 的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；
如果不存在，说明理由；
(2)设函数 ， 的图像的“等值点”分别为点 ， ，过点 作 轴，垂足为 ．
当 的面积为 时，求 的值；
(3)若函数 的图像记为 ，将其沿直线 翻折后的图像记为 ，当 ， 两部分组成
的图像上恰有 个“等值点”时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) 不存在“等值点”， 存在“等值点”，有两个“等值点” 或(2) 或
(3) 或
【分析】（1）根据“等值点”的定义进行计算，即可；
（2）根据“等值点”的定义可算出点 的坐标，用含 的式子表示点 的坐标，根据 的面积为
即可求出 的值；
（3）根据“等值点”的定义算出 的等值点，再根据沿直线 翻折，进行分类讨论，①
当 时；②当 时；③当 时；④当 时；⑤当 时；由此即可求解．
【详解】（1）解：在 中，令 ，得 不成立，
∴函数 的图像上不存在“等值点”；
在 中，令 ，
解得： ， ，
∴函数 的图像上有两个“等值点” 或 ，
综上所述， 不存在“等值点”， 存在“等值点”，有两个“等值点” 或 ．
（2）解：在函数 中，令 ，解得： ，
∴ ，
在函数 中，令 ，解得： ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，∵ 的面积为 ，
∴ ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
∵ ，
∴方程 没有实数根，
当 时， ，解得： ，
综上所述， 的值为 或 ．
（3）解：令 ，解得： ， ，
∴函数 的图像上有两个“等值点” 或 ，
①当 时， ， 两部分组成的图像上必有2个“等值点” 或 ，
： ， ： ，
令 ，整理得： ，
∵ 的图像上不存在“等值点”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
②当 时，有 个“等值点” 、 、 ，
③当 时， ， 两部分组成的图像上恰有2个“等值点”，④当 时， ， 两部分组成的图像上恰有1个“等值点” ，
⑤当 时， ， 两部分组成的图像上没有“等值点”，
综上所述，当 ， 两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时， 或 ．
【点睛】本题主要考查定义新运算，一次函数、反比例函数、二次函数的综合，理解定义新运算的规则，
掌握计算方法，结合一次函数、反比例函数、二次函数的相关知识是解题的关键．
30．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市北雅中学校考阶段练习）【定义】对于函数图象上的任意一点
，我们把 称为该点的“雅和”，把函数图象上所有点的“雅和”的最小值称为该函数的“礼
值”．根据定义回答问题：
(1)①点 的“雅和”为________；（直接写出答案）
②一次函数 的“礼值”为________；（直接写出答案）
(2)二次函数 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 与点 的 雅和”相等，若此
二次函数的“礼值”为 ，求 ， 的值；
(3)如图所示，二次函数 的图象顶点在“雅和”为 的一次函数的图象上，四边形 是矩
形，点 的坐标为 ，点 为坐标原点，点 在 轴上，当二次函数 的图象与矩形的边
有四个交点时，求 的取值范围．
【答案】(1)① ；②
(2)(3)
【分析】（1）①根据新定义计算即可求解；
②先计算 ，设“雅和”为 ，根据一次函数的性质求得 在 的最小值即可求解．
（2）根据题意得出 ， ，且 ，将点 代入解析式得， ①，根据此二次函数
的“礼值”为 ，求得最小值，建立方程即可求解；
（3）二次函数 的图象顶点 在“雅和”为 的一次函数的图象上，即 上，
得出 ，结合函数图象，得出二次函数 的图象与矩形的边有四个交点时，抛物线的
顶点在直线 的下方，其二次函数图象当 时， ，对称轴右侧当 时， ，解不等式组
即可求解．
【详解】（1）解：①点 的“雅和”为 ，
故答案为： ．
②∵一次函数 的上的点为： ，设“雅和”为 ，
则 ，
∵ ， ， 随 的增大而增大
∴当 时， 取得最小值，最小值为 ，
根据定义可得，一次函数 的“礼值”为 ，
故答案为： ．
（2）解：二次函数 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 与点 的“雅和”相等，
∴ ， ，且
将点 代入解析式得， ，即 ①
设此函数的“雅和”为 ，则 ，又∵此二次函数的“礼值”为 ，
∴ 的最小值为 ，即 ，即
解得：
则 ；
（3）解：∵二次函数 顶点为 即 ，
∵二次函数 的图象顶点在“雅和”为 的一次函数的图象上，即 上，
∴ ，即
∵四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点 为坐标原点，
∴ 时，
时，
∵二次函数 的图象与矩形的边有四个交点，
则抛物线的顶点在直线 的下方，其二次函数图象当 时， ，对称轴右侧当 时， ，
如图所示
∴
由①得： ，又 ，
∴ ，
解得： ，
② ，解得： ，
③ ，
由 ，
解得： 或 （舍去，抛物线的左侧过点 ），
∵ ，抛物线开口向上，
∴ 的解集为： 或 ，
综上所述，不等式的解集为： ．
【点睛】本题考查了新定义运算，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
