文档内容
专题 22.7 二次函数
目 录
一．知识梳理与题型分类精析.......................................................................................................2
知识点（一）二次函数定义.................................................................................................................2
【题型1】二次函数定义......................................................................................................................2
知识点（二）二次函数 的图象与性质....................................................................3
【题型2】二次函数 的图象.........................................................................................3
【题型3】二次函数 的图象与性质.............................................................................3
知识点（三）从二次函数 到 图象与性质........................4
【题型4】二次函数 的图象与性质....................................................................5
【题型5】二次函数 的图象...........................................................................6
【题型6】二次函数 的图象与性质...............................................................6
知识点（四）二次函数 （ ）的图象与性质..............................................7
【题型7】二次函数 （ ）的图象....................................................................7
【题型8】二次函数 （ ）的图象与性质........................................................7
知识点（五）二次函数与一元二次方程.............................................................................................8
【题型9】抛物线 （ ）的与一元二次方程....................................................8
知识点（六）二次函数 （ ）与系数关系..................................................9
【题型10】二次函数 （ ）的图象判断与系数、式子符号..........................9
知识点（七）实际问题与二次函数...................................................................................................10
【题型11】实际问题与二次函数——图形问题...............................................................................11
【题型12】实际问题与二次函数——营销问题...............................................................................12
知识点（八）二次函数与几何综合问题...........................................................................................13
【题型13】二次函数与几何动点问题...............................................................................................13
【题型14】二次函数与几何变换问题...............................................................................................14
二．同步练习...............................................................................................................................15【基础巩固（20题）】......................................................................................................................15
【能力提升（20题）】......................................................................................................................20
【直通中考（20题）】......................................................................................................................25
一．知识梳理与题型分类精析
一、全章知识结构：
实际问题
知识点（一）二次函数定义
一般地，形如 （其中 ， ， 是常数， ）的函数，叫做二次函
数.其中， 是自变量，
， ，
分别是函数解析式的二次函数系数，一次函数系数和常数
项。
【题型1】二次函数定义
【例题1】（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知函数 ．
（1）若这个函数是一次函数，且点 在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离；
（2）若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件．
【变式1】（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若函数 是二次函数，则m的值为
（ ）A． B． C． D． 或
【变式2】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是
13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设
降价后售价为 元，每天利润为 元，则 与 之间的函数关系为 ．
知识点（二）二次函数 的图象与性质
二次函数 的图象：一般地，抛物线 的对称轴是 轴，顶点是原点，
当 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当 时，抛物线的开口向
下，顶点是抛物线的最高点.对于抛物线 ， 越大，抛物线的开口越小.
【题型2】二次函数 的图象
【例题2】（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线 经过点 ， ．
（1）求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（2）求m的值；
【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）夕夕用软件绘制抛物线 时，将“4”按成了
“5”，和原图象相比，发生改变的是（ ）
A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标
【变式2】（24-25九年级下·上海·开学考试）如果某抛物线开口方向与抛物线 的开口方向
相同，那么该抛物线有最 点（填“高”或“低”）．
二次函数 的性质：从二次函数 的图象可以看出：如果 时，当
时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大；如果 时，当
时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小.
【题型3】二次函数 的图象与性质
【例题3】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知 是二次函数，且当 时，随 的增大而增大．
（1）则 的值为______；对称轴为______；
（2）已知，点 在该二次函数图象上，则点 在该图象上对称点的坐标为______；
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当 时， 的范围为______．
【变式1】（23-24九年级上·全国·阶段练习）关于x的二次函数 ，下列说法正确的是（
）
A．图像开口向上
B．y随x的增大而减小
C．图像关于x轴对称
D．无论x取何值，y的值总是非正数
【变式2】（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）已知二次函数 图象上有两个不同点
， ，则 ．
知识点（三）从二次函数 到 图象与性质
二次函数 （ ）的图象可由函数 （ ）的图象先向右
（当 ）或向左（当 ）平移 个单位，再向上（当 ）或向下（当 ）平移
个单位得到。简称“左加右减，上加下减”。顶点是（ ， ），对称轴是直线 。由此，我们易理解二次函数 （ ）的图象和性质
二次函数 （ ）的图象：
一般地，抛物线 与 形状相同，位置不同，把抛物线 向
上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线 ，平移的方向、距离要根据 , 的
值来决定.
（1）当 时，开口向上；当 时，开口向下.
（2）对称轴是 .
（3）顶点是 .
【题型4】二次函数 的图象与性质
【例题4】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数 ，不画图像，回答下列问
题．
（1）确定抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x取何值时，y有最大（小）值？最大（小）值是多少？
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？
（4）抛物线 是由抛物线 经过怎样的平移得到的？
【变式1】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数 和
一次函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【变式2】（24-25八年级下·北京·期中）对于二次函数 和 ，其自变
量和函数值的两组对应值如下表所示：
根据二次函数图象的相关性质可知： ， ．
【题型5】二次函数 的图象
【例题5】（24-25九年级上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数
（a是实数）．
（1）当 时，若点 在该函数图象上，求b 的值；
（2）小明说该二次函数图象的顶点在直线 上，你认为他的说法对吗？ 为什么？
【变式1】（24-25九年级上·湖北荆州·期末）已知二次函数 ，下列说法正确的是
（ ）
A．其图象的顶点坐标为 B．函数的最小值为
C．其图象的开口向上 D．其图象的对称轴为直线
【变式2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）若抛物线 与x轴只有一个公共点，且过
点 ， ，则 ．二次函数 的性质：从二次函数 的图象可以看出：如果
时，当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大；如果 时，
当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小.
【题型6】二次函数 的图象与性质
【例题6】（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）已知函数 ．
（1）函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______．
（2）当 ______时， 随 的增大而减小．
（3）当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？
（4）怎样平移抛物线 可以得到拋物线 ？
【变式1】（2025·广西南宁·模拟预测）二次函数 的图象中，以下性质正确的是
（ ）
A．图象开口向下
B．图象的对称轴为直线
C．图象向左平移1个单位得到
D．当 时， 随 的增大而增大
【变式2】（2025·广东珠海·一模）抛物线 过 两点，将抛物线L
向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若 是以 为斜边的直角三角形，
则点C的坐标为 ．
知识点（四）二次函数 （ ）的图象与性质
二次函数 可以通过配方化成 的形式，即
因此，抛物线 对称轴是 ，顶点坐标是（ ， ）.如果 ，当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大；
如果 ，当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小.
【题型7】二次函数 （ ）的图象
【例题7】（2025·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线： 经过点 ．
（1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
（2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（ ）个单位，图象恰好经过
点 ，求n的值．
【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）关于二次函数 的图象，下列说法错误的是
（ ）
A．对称轴在 轴的右侧
B．与 轴的交点坐标为
C．顶点坐标为
D．是由抛物线 向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的
【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）写出一个二次函数的表达式 ，使它
满足以下两个条件： 图像的对称轴是y轴； 函数的最小值为2．
① ②
【题型8】二次函数 （ ）的图象与性质
【例题8】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数 ．
（1）当 时， 随 的增大而增大，求 的取值范围；
（2）若二次函数 的图象经过点 ，顶点坐标 ．
①求 关于 的函数解析式；
②求该二次函数的图象顶点最低时 的值．
【变式1】（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）若点 ， ， 都在二次函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知关于 的二次函数 ，
其中 为实数，当－2≤ ≤1时， 的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ；
知识点（五）二次函数与一元二次方程
一般地，从二次函数 的图象可得如下的结论：
（1）如果抛物线 与 轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么 时，函数值
是0，因此， 是方程 的一个根.
（2）二次函数 与 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公
共点。这对应着一元二次方程 的根三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，
有两个不相等的实数根.
【题型9】抛物线 （ ）的与一元二次方程
【例题9】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线 与直线 相交于点A
和点 ．
（1）求抛物线函数解析式；
（2）结合图象写出不等式 的解集；
（3）将抛物线向上平移_____个单位与直线只有一个交点．【变式1】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，二次函数 为常数 的图象与
轴的一个交点为 ，则关于 的一元二次方程 为常数 的两实数根是（
）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式2】（23-24九年级上·天津和平·期末）抛物线 与 轴交于 ， 两点，
则 的长为 ．
知识点（六）二次函数 （ ）与系数关系
（1）开口方向： 时，开口向上， 时，开口向下；
（2）对称轴位置： 、 同号，对称轴在 轴左侧， 、 异号，对称轴在 轴右侧；
（3）抛物线与 轴相交位置： 时，抛物线交 轴正半轴相交， 时，抛物线交 轴负
半轴相交， 时，抛物线经过原点；
（4）当 时，抛物线与 有两个交点；当 时， 抛物线与 有一个交点； 抛物线与 有没有交点.
【题型10】二次函数 （ ）的图象判断与系数、式子符号
【例题10】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线 的图象如图所示．
（1）判断 、 、 及 的符号；
（2）求 的值；
（3）给出下列结论：① ；② ；③ ，其中正确的有 ．（填序号）
【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数 的图象如图所示．下列
结论：① ；② ；③ 为任意实数，则 ；④ ；⑤若点
和点 都在抛物线上，则 ．其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线 的对称轴是直线
，且抛物线与x轴的一个交点坐标是 ．① ；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 ；③若点 和 在该抛物线上，则 ；④对任意实数n，不等式
总成立．其中正确的有 ．
知识点（七）实际问题与二次函数
（ ）时，抛物线 的顶点是最低（高）点，也就是说，当
一般地，当
时，二次函数 抛物有最小（大）值
我们常用来解决实际问题中的最值问题.
【题型11】实际问题与二次函数——图形问题
【例题11】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是一座悬索桥侧面示意图．桥塔 与桥塔
均垂直于桥面 ，缆索 段与缆索 段、缆索 段均呈抛物线型．缆索 段所在的抛物
线与缆索 段所在的抛物线关于 所在的直线对称，桥塔 与桥塔 之间的距离
（桥塔的粗细忽略不计），缆索 段的最低点 到 的距离
．请你建立适当的坐标系，解答问题：
（1）在你所建坐标系下，求缆索 段所在的抛物线的函数解析式；
（2）若 ，求 的长．
【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长为 ．设矩形菜园的边 的长为 m，面积为S ，其中 ．有下列结论：① 与 之间的函数关系为 ；
② 的取值范围为 ；
③ 的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为 ；
④矩形菜园 的面积的最大值为 ．
其中，正确结论是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【变式2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在 中， ， ，动点
从点 ，出发以 的速度沿折线 方向运动到点 停止，动点 以 的速度沿
方向运动到点 停止．设 的面积为 ，运动时间为 ．表示 与 之间关系的图象
如图2所示，则当面积 时，对应的运动时间 的值是 ．
【题型12】实际问题与二次函数——营销问题
【例题12】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工
品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销
售利润率不高于 ，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2
元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利
润W（元）．
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多
少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润）【变式1】（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，
月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表：
售价x（元/千克） 50 60 70 80 …
销售量y（千克） 250 240 230 220 …
①y与x之间的函数关系式为 ；
②当售价为72元时，月销售利润为7296元；
③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元；
④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（2025·河南郑州·一模）河荫石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的
美誉．某商户购进一批石榴进行销售，进价为 元 箱，当销售价为 元 箱时，每天可售出
箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价 元，平均每天可多售出 箱．
（1）每箱石榴降价 元时，商家平均每天能盈利 元．
（2）每箱石榴降价 元时，商家平均每天盈利最多．
知识点（八）二次函数与几何综合问题
【题型13】二次函数与几何动点问题
【例题13】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，抛物线 交 轴于点
和点 ，交 轴于点 ．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，若点 是抛物线上一动点（不与点 重合），且 ，求点 的坐标；
（3）如图2，设点 是线段 上的一动点，作 轴，交抛物线于点 ，求线段 长度的
最大值及此时点 的坐标．【变式1】（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，抛物线 与x轴交于 ，
，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①
；② ；③ 为任意实数 ；④若点 是抛物线上第一象限上
的动点，当 的面积最大时， ，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ，点 是抛物线的对称轴上一动点，连接 和 ，则当 的值最小时，点
的坐标为 ．【题型14】二次函数与几何变换问题
【例题14】（24-25九年级上·山东日照·期末）如图1，将 放置在平面直角坐标系 中，使
边 与 轴重合，点 在 轴上，已知 ，过 三点画抛物线 ．
（1）求 的值及点 的坐标；
（2）如图2，将此拋物线沿水平方向向左平移 个单位长度，得到的新抛物线记为L，L与
轴交于点D，E（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，设 的长为d．
①求 关于 的函数解析式；
②在抛物线平移过程中，是否存在 ？若存在，求出 的所有可能值；若不存在，请说明
理由．
【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交
轴于点 ．抛物线上有点 ，在第三象限的抛物线上存在点 ，且 ，求点
的坐标．
【变式2】（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线 ，与 轴
交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，且 ，点 ．
（1）求抛物线 的函数表达式；
（2）若抛物线 的顶点为 ，抛物线的对称轴交直线 于点 ，点 为直线 右侧抛物线上一点，点 在直线 上，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求
出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
二．同步练习
【基础巩固（20题）】
一、单选题
1．（24-25九年级上·福建·阶段练习）把抛物线 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，
得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·河南商丘·期中）现有一组抛物线∶
，．．．这组抛物线的顶点都在（ ）
A．直线 上 B．直线 上
C．抛物线 上 D．抛物线 上
3．（2025·广东揭阳·一模）如图，两抛物线的函数解析式分别为 和 ，则阴影部
分面积为（ ）A． B．2 C．1 D．
4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）已知在二次函数 中，若 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．抛物线与y轴交于正半轴
C．对称轴在y轴的右侧 D．顶点在第一象限
5．（2024·河北邯郸·三模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）点 、 、 在抛物线
上，则 、 、 三点的位置从高到低排列正确的是（ ）
A． 、 、 B． 、 、 C． 、 、 D． 、 、7．（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，且
．点 在抛物线上， 的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2
个单位后，点 的对应点为 ，抛物线与 轴交于 ， 两点，则 的面积是（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、填空题
8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数 的图象如图所示，那么点
在第 象限．
9．（2025·上海松江·二模）已知 、 是抛物线 上不同的两点，如果 ，
那么 ．
10．（24-25九年级下·全国·期中）已知二次函数 ，当 （填写x的取值范围）
时，函数值y随着自变量x的增大而增大．
11．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本
图案组成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线 的表达式为 ，则抛物线
的表达式为 ．12．（2025·山东聊城·二模）对于任意函数，定义当 时，若函数值 ，称 为此函数
的不动点．例如函数 ，当 时 ，则点 为此函数的不动点．则二次函数
的不动点为 ．
13．（2025·上海宝山·一模）一个二次函数的图象经过点 ，则称t的值是这个函数的“零点”．
例如：二次函数 ，无论a取何值 和点 ，所以3和 是这个函
数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点” ，那么这个二次函数的解析式可以是
．（写出一个符合要求的函数解析式即可）
14．（2025·河北邢台·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 为函数
的图象，抛物线 为函数 的图象 ， 与 轴交于点 ， 与 轴交于
点 ，当 时， 为 ．
三、解答题
15．（2025·河北邢台·二模）如图，已知抛物线 的图象经过点 ，交y轴于
点B．
（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；
（2）延长 至点C，使 ．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程．
16．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数 ．
（1）当函数图象过点 时：
①求二次函数的表达式．
②若 和 都是二次函数图象上的点，且 ，求 的最小值．
（2）当 时，二次函数有最小值 ，请直接写出实数k的值为 ．
17．（2025·贵州遵义·模拟预测）“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保护学生
的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进 ， 两种不同类型的护眼灯，若
购进5台 型和4台 型护眼灯需要270元；购进3台 型和2台 型护眼灯需要148元．
（1）求该商场购进每台 型和 型护眼灯的成本价；
（2）该商场经过调查发现， 型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台，每涨价1元，则每天少
售出2台，求每台 型护眼灯涨价多少元时，销售利润最大?
18．（2025·浙江·三模）已知二次函数 （ 为常数， ）．
（1）求二次函数的对称轴．
（2）若点 在二次函数 的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若
存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若二次函数的图象与x轴有交点，求 的取值范围．
19．（2025·河北·模拟预测）二次函数 的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是
，图象过点 ．（1）求二次函数的解析式；
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；
（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得 的周长最小？若C点存在，求出C点的坐
标；若C点不存在，请说明理由．
20．（2025·福建莆田·模拟预测）如图 ，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
， ，与 轴交于点 ，顶点为 ．
（1）求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
（2）如图 ，连接 ， ，若在 上方的抛物线上存在点 ，满足 ，求点 的
坐标．
【能力提升（20题）】
一、单选题
1．（2025·江苏泰州·二模）将下列函数的图像向上平移一个单位长度后，经过点 的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）点 ， ， 均在二次函数
的图象上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数 图象如图所示，则二次函数 在平
面直角坐标系中的图象可能是（ ）A． B． C． D．
4．（2025·浙江舟山·三模）已知点 在二次函数 的图象上，且点 到 轴的距
离小于 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山东滨州·模拟预测）下面四个选项中同时具备如下三条性质的二次函数解析式为（ ）
性质1：开口向上；
性质2：对称轴 ；
性质3：与 轴有两个交点．
A． B．
C． D．
6．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两
点，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ， 是抛物线对称轴上一动点，则 周长的最小值是
（ ）
A． B． C． D．7．（2025·山东聊城·三模）如图，已知抛物线 的对称轴是直线 ，且抛物线与x
轴的一个交点坐标是 ．下列结论正确的有（ ）
① ；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 ；③若点 和 在该抛物线
上，则 ；④对任意实数n，不等式 总成立．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
8．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数 ，当 时， 随 的
增大而增大，则 的取值范围是 ．
9．（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系 中，若点 ， 在二次函数
的图象上，则 （填“>”，“<”或“=”）．
10．（24-25八年级下·上海·期末）已知一抛物线的形状与 的形状相同，对称轴为 ，
且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ．
11．（24-25九年级下·全国·随堂练习）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图
是抛物线形拱桥，当拱顶距水面 时，水面宽 ，水面下降 ，水面宽度增加 ．
12．（2025·安徽六安·二模）把函数 的图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，x轴上方部分的图象不变，得到函数 的图象．
（1）函数 的顶点为 ．
（2）若函数 与函数 有3个交点，则b的值为 ．
13．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，二次函数 的图象开口向上，对称
轴为直线 ，图象经过 ，下列结论：① ，② ，③ ，④
，⑤ 时， 随 的增大而增大．其中正确的是 ．
14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知二次函数 的图象与x轴的负半轴
交于点 ，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线 上有一个动点C，现有下列结论：①
；② 是方程 的一个根；③当 时，符合条件的点C有且只
有一个．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
15．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 过点
， ．（1）求抛物线的解析式；
（2）已知 和 是抛物线上的两点，若对于 ， ，都有 ，
求 的取值范围．
16．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数 ．
（1）求证：不论n取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上．
（2）若点 ， 都在二次函数图象上，求证： ．
17．（2025·福建龙岩·模拟预测）已知二次函数 （ ， 为常数， ）．
（1）求证：若该函数的图象与 轴一定有两个不同的交点；
（2）若 ， ，该函数图象经过 ， 两点，若 ， 分别位于抛物
线对称轴的两侧，且 ，求 的取值范围．
（3）若该二次函数满足：当 时，总有 随 的增大而减小，且图象经过点 ，求 的
最大值．
18．（24-25九年级下·全国·随堂练习）已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线
下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，
）满足一次函数关系，部分数据如表：
x/（元/件） 13 14 15 16
y/件 1100 1000 900 800
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当线下售价x为多少时，线下月销售利润最大，最大是多少？
（3）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．求出总利润w（单位：
元）与线下售价x（单位：元/件， ）之间的函数关系式．
19．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点 ，
且交 轴于 两点，交 轴于点 ．
（1）求直线 的表达式和a，m的值．（2） 是直线 上方抛物线上的一个动点，求 面积的最大值及 面积最大时点 的坐
标．
（3）在（2）中 面积最大的条件下，将该抛物线沿射线 方向平移 个单位长度， 为
平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点 ，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形
是菱形，写出所有符合条件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程．
20．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图①，已知二次函数 与 轴相交于 、
两点，与 轴相交于点 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图②，连结 、 ．
①在对称轴上是否存在一个点 ，使 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标和此时
的周长；若不存在，请说明理由；
②点 为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点 ，使得 的面积最大？若存在，
请求出点 的坐标和此时 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【直通中考（20题）】
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数 的最小值是（ ）A． B．1 C．2 D．3
2．（2024·广东·中考真题）若点 都在二次函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线 向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐
标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川·中考真题）二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：①
；② ；③当 时， ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： ）与小球的运动
时间 （单位： ）之间的关系式是 ．有下列结论：
小球从抛出到落地需要 ；
①
小球运动中的高度可以是 ；
②
小球运动 时的高度小于运动 时的高度．
③
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线 过点 与x轴交点的横坐标
分别为 ， ，且 ， ，则下列结论：① ；
②方程 有两个不相等的实数根；
③ ；
④ ；
⑤ ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数 与 的图像均过点 和
坐标原点 ，这两个函数在 时形成的封闭图像如图所示， 为线段 的中点，过点 且与
轴不重合的直线与封闭图像交于 ， 两点．给出下列结论：
① ；
② ；
③以 ， ， ， 为顶点的四边形可以为正方形；
④若点 的横坐标为 ，点 在 轴上（ ， ， 三点不共线），则 周长的最小值为
．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题8．（2024·宁夏·中考真题）若二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是
．
9．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线 （ 是常数）与 轴没有交点，则 的取值范
围是 ．
10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线 向下平移5个单位长度后，经过点
，则 ．
11．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 是 ，出手
后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．若实心球落地点为M，
则 ．
12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线 （ 是常数），下列结论正确
的是 （填写所有正确结论的序号）．
①当 时，抛物线的对称轴是 轴；
②若此抛物线与 轴只有一个公共点，则 ；
③若点 ， 在抛物线上，则 ；
④无论 为何值，抛物线的顶点到直线 的距离都等于 ．
13．（2024·四川·中考真题）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量
青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据 ，
，…， ，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5
名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位： ），则这株
青稞穗长的最佳近似值为 ．
14．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线 （a，b，c是常数， ）经过 ，两点，且 ．下列四个结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点 ， 在抛物线上，若 ， ，总有 ，则 ．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题
15．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长 ，主塔高 ，主缆可
视为抛物线，主缆垂度 ，主缆最低处距离桥面 ，桥面距离海平面约 ．
请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
16．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推
出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60
件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？
最大利润是多少？
17．（2025·河南·中考真题）在二次函数 中， 与 的几组对应值如下表所示．
… 0 1 …
… 1 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移 个单位长度后，当 时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出 的值．
18．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量 时，其对应的函数
值 ，那么我们称该函数为“不动点函数”，点 为该函数图象上的一个不动点．例如：
在函数 中，当 时， ，则我们称函数 为“不动点函数”，点 为该函数图象
上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数 进行探究后，得出下列结论：
① 是“不动点函数”，且只有一个不动点；
② 是“不动点函数”，且不动点是 ；
③ 是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数 是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件；
探究2：
（3）对二次函数 进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线
的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
探究3：
（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出 件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函
数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
19．（2025·山东·中考真题）已知二次函数 ，其中 ， 为两个
不相等的实数．
（1）当 、 时，求此函数图象的对称轴；
（2）当 时，若该函数在 时，y随 的增大而减小；在 时， 随 的增大而增
大，求 的取值范围；
（3）若点 ， ， 均在该函数的图象上，是否存在常数 ，使得
？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由
20．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象（记
为 ）与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，二次函数 的图象（记为 ）经过点 ，
．直线 与两个图象 ， 分别交于点 ， ，与 轴交于点 ．
（1）求 ， 的值．
（2）当点 在线段 上时，求 的最大值．
（3）设点 ， 到直线 的距离分别为 ， ．当 时，对应的 值有______个；当
时，对应的 值有______个；当 时，对应的 值有______个；当 时，对应的 值
有______个．
