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专题 22.7 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，选择题15题，填空题15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对二
次函数图象与系数的关系的理解！
一、单选题
1．（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-2，
并与x轴交于A，B两点，若OA=5OB，则下列结论：①abc>0；②(a+c) 2-b2=0；③9a+4c<0；④
若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向，判定a＞0；对称轴的位置，判定b＞0；抛物线与y轴的交点，判定
b
c＜0，从而判定abc＜0；根据对称轴是直线x=-2=- ，确定b=4a；根据OA=5OB，得
2a
OE=2OB，求出点B的坐标，从而得到a+b+c=0，确定c=-5a，可以判定②③；计算函数的最小值为：
4ac-b2 4a×(-5a)-(4a) 2
y= = =-9a，从而得到am2+bm+c≥-9a，代入化简，判定④．
4a 4a
【详解】解：因为抛物线的开口方向，
所以a>0；
因为对称轴是直线x=-2，b
所以x=-2=- ，b=4a>0；
2a
因为抛物线与y轴的交点位于负半轴，
所以c＜0，
所以abc＜0；
故①错误；
因为OA=5OB，
所以，OE=2OB，
所以OB=1，即B(1,0)，
所以a+b+c=0，
所以c=-5a，
所以(a+c) 2-b2=(a-5a) 2-(4a) 2=16a2-16a2=0，即②正确；
所以9a+4c=9a-20a=-11a＜0，即③正确；
4ac-b2 4a×(-5a)-(4a) 2
根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为：y= = =-9a，所以
4a 4a
am2+bm+c≥-9a，
所以am2+bm≥-9a-c=-9a+5a=-4a，
所以am2+bm+2b≥-4a+2b=-4a+8a，
所以am2+bm+2b≥4a，④正确．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质、对称轴、最值、抛物线与x轴的交点坐标等知识点，熟练掌
握抛物线的性质，特别是对称性和最值是解题的关键．
2．（2023春·湖南长沙·九年级校考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与
x轴的一个交点坐标为（-1，0），其部分图象如图所示，下列结论；①4ac0时，x的取值范围是-1≤x<3；⑤当x<0时，y随x增
1 2大而增大，其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)由此即可判断①②；根据
b
- =1，可得b+2a=0即可判断③；根据函数图象即可判断④⑤．
2a
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，
∴b2-4ac>0，即4ac0时，x的取值范围是-10；②9a+3b+c>0；③若点M ,y ，点 ,y 是函数图象上的两点，则y >y ；④
2 1 2 2 1 2
3 2
- 0．其中正确结论有（ ）
5 5A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】结合图象，可得a<0，b>0，c>0，可得abc<0，即可判断①；根据对称轴，可得二次函数与x
轴另一个交点为(5,0)，将x=3代入二次函数，可得9a+3b+c>0，即可判断②；根据二次函数的性质，
|1 | |5 |
因为 -2 > -2 ，故y 0，即可判断⑤，由此即可解答．
【详解】解：根据图象可得，a<0，c>0，
∵对称轴为x=2，
b
∴- =2，即b=-4a>0，
2a
∴abc<0，故①错误，
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)，
可得二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为(5,0)，
当x=3时，9a+3b+c>0，故②正确；
|1 | |5 |
∵ -2 > -2 ，
2 2
∴y 0，故⑤正确，综上所述，②④⑤正确，正确结论有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
4．（2023春·山东日照·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0)，其对称
轴为直线x=1，结合图象给出下列结论：
①abc>0；
②3a+c<0；
③M(-3,y )，N(3,y )是抛物线上两点，则y 0，对称轴x=- =1，则b=-2a<0，c<0，abc>0，
2a
所以①正确；
抛物线对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(4,0)，则另一个交点为(-2,0)，于是有4a-2b+c=0，联立¿，
解得¿，
3a+c=3a-8a=-5a<0，
所以②正确；
抛物线的解析式为y=ax2-2ax-8a，
M(-3,y )，N(3,y )是抛物线上两点，
1 2
∴y =9a+6a-8a=7a,y =9a-6a-8a=-5a，
1 2∴y - y =7a-(-5a)=12a>0，即y >y ，
1 2 1 2
所以③错误；
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a-5没有实数根，
ax2-2ax-8a=a-5，
ax2-2ax-9a+5=0，
∴Δ=4a2-4a(-9a+5)<0，
∵a>0，
1
∴00；②b2-4ac>0；③4a+c>0；④若t为任意实数，则有
(1 )
a-bt≤at2+b；⑤为图象经过点 ,2 时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x ,x (x 0，利用抛物线的对称轴方程得到b=2a>0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c<0，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴交点个数可对②进行判断；利用x=1时得到
a+b+c>0，把b=2a代入得到3a+c>0，然后利用a>0可对③进行判断；利用二次函数当x=-1时有最
(1 )
小值可对④进行判断；由于二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为 ,2 ，利用对称性得到二
2
( 5 ) 5 1
次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为 - ,2 ，从而得到x =- ，x = ，则可对⑤进行判
2 1 2 2 2
断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
b
即- =-1，
2a
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，所以①错误；
∵抛物线与x轴交于两点，
∴b2-4ac>0
故②正确；
∵x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，
而b=2a，
∴3a+c>0，
∵a>0，
∴4a+c>0，
所以③正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时，y有最小值，
∴a-b+c≤at2+bt+c(t为任意实数），
即a-bt≤at2+b，
所以④正确；(1 )
∵图象经过点 ,2 时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x ,x (x 0时，
抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a
与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线
与y轴交于(0,c)．利用图象法求相关不等式解集，二次函数与方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的
关键．
6．（2023春·安徽芜湖·九年级统考期末）已知抛物线y=ax2+bx+c过点(-1,-1)，(0,1)，当x=-2时，
1
与其对应的函数值y>1，下列结论：①abc>0；②a+b+c>7；③当x≥- 时，y随x的增大而增大；④
2
关于x的方程ax2+bx+c=0两根满足|x -x |>1．其中，正确的个数有( )
1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①抛物线y=ax2+bx+c过点(-1,-1)，(0,1)，表示出c=1，a=b-2，当x=-2时，与其对应
的函数值y>1，表示出b>4，从而判断abc>0；②a+b+c=b-2+b+1=2b-1，根据b>4，即可求出
b 1 1 1 1
x=- =- = -1< <-
a+b+c>7；③表示出对称轴 2(b-2) 2 ( 1- 2) 4 -2 ，判断 4 -2 2，即可求出当
b b b
1 -b+√b2-4ac -b-√b2-4ac
x≥- 时，y随x的增大而增大；④利用公式法表示出x = ，x = ，两者相
2 1 2a 2 2a减即可判断．
【详解】①∵抛物线y=ax2+bx+c过点(-1,-1)，(0,1)，
∴c=1，a-b+c=-1，
∴a=b-2，
∵当x=-2时，与其对应的函数值y>1，
∴4a-2b+1>1，
∴4(b-2)-2b+1>1，解得：b>4，
∴a=b-2>0，
∴abc>0，
故①正确；
②∵a=b-2，c=1，
∴a+b+c=b-2+b+1=2b-1，
由（1）得：b>4
∴2b-1>7，
∴a+b+c>7
故②正确；
③由（1）得：a=b-2，c=1，
∴y=ax2+bx+c=(b-2)x2+bx+1
b 1 1
x=- =- =
∴对称轴是 2(b-2) 2 ( 1- 2) 4 -2
b b
由（1）得：b>4，
4
∴0< <1
b
4
∴-2< -2<-1
b
1 1
-1< <-
∴ 4 2
-2
b
由（1）得：a=b-2>0，
∴抛物线y=ax2+bx+c的图象开口向上
1 1
-1< <-
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴 4 2
-2
b1
∴当x≥- 时，y随x的增大而增大；
2
故③正确
④∵关于x的方程ax2+bx+c=0
-b+√b2-4ac -b-√b2-4ac
∴x = ，x =
1 2a 2 2a
由（1）得：a=b-2，c=1，
√b2-4ac √b2-4(b-2)×1
∴|x -x |= =
1 2 a a
√(b-2) 2+4 √(b-2) 2+4
= =
b-2 (b-2) 2
√ 4
= 1+ >1
(b-2) 2
故④正确
故选：D
【点睛】本题考查二次函数系数的取值范围，对称轴，一元二次方程的解，解题的关键是表示出a，b，c
之间的关系．
7．（2023春·山东德州·九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，直线x=1
是它的对称轴，下列结论：①abc>0；②b2-4ac>0；③3a+c>0；④2a-b=0；⑤方程
ax2+bx+c-3=0有两个相等的实数根．⑥(a+c) 20，c>0进而可判断①；根据根的二次函数与坐标轴的b
交点可判断②；根据特殊点的函数值和二次函数的对称性可判断③；对称轴为直线x=- 可判断④；根
2a
据二次函数与一元二次方程的关系可判断⑤；根据特殊点的函数值和平方差公式可判断⑥．
b
【详解】①抛物线的开口向下：a<0，对称轴为直线x=- =1，∴b=-2a>0，
2a
∵抛物线与y轴交于正半轴：c>0；
∴abc<0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点：b2-4ac>0，故②正确；
③∵对称轴为直线x=1，
∴x=-1与x=3时y的值相等，
∵x=1时，y<0，
∴x=3时，9a+3b+c<0，
∵b=-2a，
∴9a-6a+c<0，
∴3a+c<0，故③错误；
b
④对称轴为直线x=- =1，∴2a+b=0，故④错误；
2a
⑤∵顶点坐标：(1,3)，
∴当且仅当x=1时，ax²+bx+c=3，
∴ax²+bx+c-3=0有两个相等的实数根．故⑤正确；
⑥由图可知：a+b+c>0,a-b+c<0，
∴(a+c)²-b²=(a+b+c)(a-b+c)<0，
∴(a+c)²-3b；（3）7a-3b+2c>0
( 1 )
；（4）若点A(-3,y )、点B - ,y 、点C(7,y )在该函数图象上，则y 0，即9a+c>-3b；由图象过点(-1,0)，知a-b+c=0，易得c=-5a，再根据抛物线开口
向下得a<0，可得7a-3b+2c=9a<0；利用抛物线的对称性得到C' (-3,y )，然后利用二次函数的增减
3
性求解即可，作出直线y=-3，然后依据函数图象进行判断即可．
b
【详解】解：∵x=- =2，
2a
∴4a+b=0，故①正确；
由函数图象可知，当x=3时，y>0，即：9a+3b+c>0，
∴9a+c>-3b，故②正确；
∵图象过点(-1,0)，
∴a-b+c=0
又∵4a+b=0
∴b=-4a，
∴a+4a+c=0，即：c=-5a
∴7a-3b+2c=7a+12a-10a=9a
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴7a-3b+2c=9a<0，故③错误，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴C(7,y )在图象上的对称轴点坐标为：C' (-3,y )
3 3
∵A(-3,y )
1
∴y = y
1 31
而-3＜- 在对称轴的左侧，
2
∴y随x的增大而增大，
∴y = y 0；（2）2a=b
( 7 ) ( 3 ) (5 )
；（3）点 - ,y 、 - ,y 、 ,y 是该抛物线上的点，则y b2，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C
【分析】由抛物线与x轴有两个不相同的交点结合根的判别式即可得出（1）正确；根据抛物线的对称轴为
13
x=-1，即可得出b=2a，即（2）正确；根据抛物线的对称性找出点(- ,y )在抛物线上，再结合抛物
4 3
线对称轴左边的单调性，即可得出（3）错误；由x=-3时，y<0，即可得出3a+c<0，结合b=2a，即可
得出（4）正确；由方程at2+bt+a=0中Δ=b2-4a⋅a=0结合a<0，即可得出抛物线y=at2+bt+a中
y≤0，由此即可得出（5）正确；先根据因式分解得到(a+c) 2-b2 =(3a+c)(c-a)，再求出(a+c) 2-b2<0，
即可得出（6）错误．综上即可得出结论．
【详解】解：由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac>0，
∴（1）正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1，
b
∴- =-1，
2a
∴2a=b，
∴（2）正确；
5
∵抛物线的对称轴为x=-1，点( ,y )在抛物线上，
4 3
13
∴(- ,y )．
4 3
7 13 3
∵- <- <- ，且抛物线对称轴左边图象y值随x的增大而增大，
2 4 2
∴y 0，
∵a<0，
∴c-a>0，
∵3a+c<0，
∴(3a+c)(c-a)<0，
∴(a+c) 2-b2<0，
即(a+c) 2m(am+b)（其中m≠ ）其中正确的结论有（ ）
2 2 1 2 4 2A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴a<0,c>0，再根据对称轴可得b=-a>0，
由此可判断结论①；将点(2,0)代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减
性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴正半轴，
∴a<0,c>0，
b 1
∵抛物线的对称轴为x=- = ，
2a 2
∴b=-a>0，
∴abc<0，则结论①正确；
将点(2,0)代入二次函数的解析式得：4a+2b+c=0，则结论③错误；
将a=-b代入4a+2b+c=0得：-2b+c=0，则结论②正确；
1
∵抛物线的对称轴为x= ，
2
3 1
∴x= 和x=- 时的函数值相等，即都为y ，
2 2 1
1 3 5
又∵当x≥ 时，y随x的增大而减小，且 < ，
2 2 2
∴y >y ，则结论④错误；
1 2
1 1 1 1 1 1
由函数图像可知，当x= 时，y取得最大值，最大值为 a+ b+c=- b+ b+c= b+c，
2 4 2 4 2 4
1
∵m≠ ，
2
1 1
∴ b+c>am2+bm+c，即 b>m(am+b)，结论⑤正确；
4 4
综上，正确的结论有①②⑤，共3个．故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图像判断式子的符号、二次函数的性质等知识点，从函数图像上
得到相关信息是解题的关键．
11．（2023春·天津和平·九年级天津一中校考期末）二次函数y=ax2+bx+c大致图象如图所示，其中顶
点为（-2，-9a）下列结论：①abc<0；②4a+2b+c>0；③5a-b+c=0；④若方程a(x+5)(x-1)=-1
有两根为x 和x ，且x 0．有下列结论：
2
1 20
①abc>0；②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③对称轴为x=- ；④00得出a>0，进而判断①结论；根据二次函数对称轴x=- 进而判断③结论；
2 2a
由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点(-1,m)，(2,n)代入解析式得出
m+n=4(a-1)，再由a<0判断④结论．
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），
当x=0时，y=c=-2，
当x=1时，y=a+b+c=-2，
∴a+b=0．
1
∵当x=- 时，其对应的函数值y>0，
2
∴二次函数开口向下，a<0．
∵ a<0，b>0，c<0，
∴abc>0．（①结论符合题意）∵ x=-2时，y=t，
∴ -2是关于x的方程ax2+bx+c=t的根．
b -a 1 -2+3 1
∵对称轴x=- =- = ， = ，（③结论不符合题意）
2a 2a 2 2 2
∴ -2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根．（②结论符合题意）
∵x=-1时，y=a-b-2=m，
x=2时，y=4a+2b-2=n，
∴m+n=a-b-2+4a+2b-2=5a+b-4=4(a-1)．
∴m+n<-4．（④结论不符合题意）
∴正确的结论有2个．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质与图象的理解与综合运用能力．二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物
b
线，抛物线是轴对称图形．对称轴x=- ．二次项系数a决定抛物线的开口方向与大小．如果a>0，当
2a
b b b
x<- 时，y随x的增大而减小，当x>- 时，y随x的增大而增大．如果a<0，当x<- 时，y随x的
2a 2a 2a
b
增大而增大，当x>- 时，y随x的增大而减小．灵活运用二次函数的性质与图象对每个结论依次分析是
2a
解本题的关键．
13．（2023春·浙江金华·九年级统考期末）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a≠0）开口
向上且过点A(-1,0)，B(m,0)（10；②若(-1,y )和(1,y )都在抛
1 2
物线上，则y >y ；③2a+c>0；④若方程a(x-m)(x+1)+4=0没有实数根，则b2-4ac<16a．其中正
1 2
确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口以及对称轴即可判断①③，根据抛物线上的点离对称轴的距离越远，其函数值
越大，即可判断②，将方程转化为ax2+bx+c +4=0无实根，根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a≠0）开口向上且过点A(-1,0)，B(m,0)
（10，
2
b
又对称轴为x=- ，
2a
b
∴ =1-m
a
∵10
∴b=(1-m)a<0
故①不正确，
m-1
②∵对称轴为直线x= ，11
2 2 2 2
(-1,y )和(1,y )都在抛物线上，又抛物线开口向上，离抛物线越远的点的函数值越大，
1 2
∴ y >y
1 2
故②正确，
m-1
∵对称轴为直线x= ，1-b>0，
由抛物线过点A(-1,0)，则a-b+c=0，
∴a-b+c0，
故③正确，
∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a≠0）开口向上且过点A(-1,0)，B(m,0)（1-
2
C．△PAB周长的最小值是√5+3√2 D．x=3是ax2+bx+3=0的一个根
【答案】C
【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个
交点的横坐标是3，则x=3时，y=0，得到3a+3=0，即2a+3=-a>0即可判断B、D；利用两点间直线最短来
求△PAB周长的最小值即可判断C．
b
【详解】A．根据图象知，对称轴是直线x=- =1，则b=-2a，即2a+b=0，故A正确；
2a
B．根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x
轴的另一个交点的坐标是(3,0)，
∴x=3时，y=9a+3b+3=0，
∴9a-6a+3=0,
∴3a+3=0，
∴2a+3=-a，
∵抛物线开口向下，则a<0，
∴2a+3=-a＞0，3
∴a>- ，故B正确；
2
C．点A关于x=1对称的点是A´(3,0)，即抛物线与x轴的另一个交点，
连接BA´与直线x=1的交点即为点P，
则△PAB的周长的最小值是(BA´+AB)的长度，
∵A(-1,0)，B(0,3)，A´(3,0)，
∴AB=√10，BA´=3√2，
即△PAB周长的最小值为√10+3√2，故C错误；
D．根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x
轴的另一个交点的坐标为(3,0)，所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故D正确．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质及两点之间
线段最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．
15．（2023春·陕西渭南·九年级校联考期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示，图像
过点(-1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）8a+7b+2c>0
( 1 ) (7 )
；（4）若点A(-3,y )，点B - ,y 、点C ,y 在该函数图像上，则y 0 ，故③正确．
1 7
④错误，∵点A(-3，y)、点B(- ，y)、点C( ，y)
1 2 2 2 3
∵3.5-2= 1.5，2-(-0.5)=2.5 ，
∴1.5< 2.5
点C离对称轴的距离近，
∴y>y，
3 2
∵a<0 ， -3< -0.5<2，
∴y0 ，
a
即(x+1)(x-5)>0 ，
故x<-1或x>5 ，故⑤正确．∴正确的有三个，
故选B．
【点睛】本题考查抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问
题的关键，学会利用图像信息解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
16．（2023春·广西贵港·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，y
轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中：① abc>0；② 4a+b>0；③ M(x ，y )与
1 1
N(x ，y )是抛物线上两点，若0y ；④若抛物线的对称轴是直线x=3，m为任意实数，
2 2 1 2 1 2
则a(m-3)(m+3)≤b(3-m)；⑤若AB≥3则4b+3c>0其中正确结论的个数共有 个．
【答案】4
【分析】根据图象得出a<0，c<0，b>0，可判断①；再由图象可得对称轴在直线x=2右侧，可得
b
- >2，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得
2a
出b=-6a，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出当x=1时，
4b+c
a+b+c≥0，当x=4时，16a+4b+c=0，变形为a= ，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判
-16
断⑤．
【详解】解：由抛物线图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
b
∴a<0，c<0，- >0，
2a
∴b>0，
∴abc>0，故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，点B（4，0），∴对称轴在直线x=2右侧，
b
即- >2，
2a
b 4a+b
∴2+ = <0，
2a 2a
∵a<0，
∴4a+b>0，故②正确；
b
∵ M(x ，y )与N(x ，y )是抛物线上两点，由图象可得抛物线y=ax2+bx+c在0- 上， y随x的增大而减小，
2a
∴ y >y 不一定成立，故③错误；
1 2
若抛物线的对称轴是直线x=3，
b
∴- =3，即b=-6a，
2a
∴a(m-3)(m+3)-b(3-m)=a(m-3) 2≤0，
∴ a(m-3)(m+3)≤b(3-m)，故④正确；
由AB≥3得，00，
∴4b+3c>0，故⑤正确；
综上所述，正确的有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是能根据图象得出二次函数表达式各项系数的符
号．(1 )
17．（2023春·福建泉州·九年级泉州五中校考期中）抛物线y=ax2+bx+c的最低点为 ,m ，其中
3
-10；②(a+c) 20，y=ax2+bx+c=a(x- ) +m，
3
2 1
∴b=- a<0，c= a+m<0，
3 9
∴abc>0，
故①正确；
∵抛物线与x轴交于点(x ,0),(x ,0),-10；∴(a+c) 2-b2=(a+b+c)(a-b+c)<0，
∴(a+c) 2-
2 2
3
∴- 0；②若点P（﹣2﹣t2，y ）和
abc 1
1
Q（t2+3，y ）是该抛物线上的两点，则y ＞y ；③不等式cx2+bx+a＜0的解集为- 0，
∴4ac-b2<0．
又∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴左边，
∴a<0,b<0．
又∵抛物线与y轴交点在原点上方，
∴c>0，
4ac-b2
∴ <0，
abc
∴①错误，不符合题意；②因为对称轴是直线x＝﹣1，
∴P(-2-t2 ，y )关于直线x＝﹣1对称的对称点是P'(t2 ，y )．
1 1
又∵a<0,b<0，
∴当x>﹣1时，y随着x的增大而减小．
又∵-1y ，
1 2
∴②正确，符合题意；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
-b
∴a+b+c=0， =-1，
2a
∴b=2a,c=-3a，
又∵cx2+bx+a＜0，
∴-3ax2+2ax+a＜0．
又∵a<0，
∴-3x2+2x+1>0，
∴(3x+1)(x-1)<0，
1
∴¿，解得- 0；④ = ；⑤当a<- 时，OC>2．其中结论
DE 4 3
正确的有 ．（填序号）（多填错填倒扣一分）【答案】③④⑤
【分析】①根据抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，判定当x<1时，y随x增大而增大；②根据a<0，
b
- =1， 得到b=-2a，代入a+b=a-2a=-a>0；③x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a，得到
2a
b
9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0,根据- >0，a<0，得到b>0，推出3a+b+c>0；④根据3a+c=0，得到c=-3a，
2a
OC c
= c -3a 3
推出DE 4ac-b2 = = = ；⑤根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中
c-a -3a-a 4
4a
点B坐标为（3，0），对称轴为直线x=1，得到A(-1,0)设抛物线解析式为
2
y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a，推出当a<- 时，-3a>2．
3
【详解】①当x<1时，y随x增大而减小，
∵抛物线顶点D的横坐标为1，
∴对称轴为直线x=1，
∵抛物线开口向下，
∴当x<1时，y随x增大而增大，
∴不正确；
②a+b<0，
b
∵- =1，a<0，
2a
∴b=-2a>0，
∴a+b=a-2a=-a>0，∴不正确；
③3a+b+c>0，
∵x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a，
∴9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0,
∵b>0，
∴3a+b+c>0，
∴正确；
OC 3
④ = ，
DE 4
∵b=-2a，3a+c=0，
∴c=-3a，
OC c
=
DE 4ac-b2
4a
4ac
=
4ac-b2
4ac
=
4ac-(-2a) 2
c
=
c-a
-3a
=
-3a-a
3
= ，
4
∴正确；
2
⑤当a<- 时，OC>2，
3
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中点B坐标为（3，0），对称轴为直线x=1，
∴A(-1,0)
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a，
2
当a<- 时，-3a>2，
3
∴正确．
故答案为，③④⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决此类问题的关键是熟练掌握图象开口与a的关系，
图象与y轴交点与c的关系，对称轴与a、b的关系，图象与x轴的交点特征．
20．（2023春·九年级课时练习）如图是抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A
1
（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线 y=mx+n （m≠0）上．①2a+b=0；
2
②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点是（-4，0）；④方程 ax2+bx+c=−3 有两个不相等的实数根、②a-
b+c<4m+n；⑥不等式 mx+n>ax2+bx+c 的解集为10，而b=-2a>0，因而abc<0，故②错误；
③由抛物线对称性，与x轴的一个交点B（4，0），则另一个交点坐标为（-2，0），故③错误；
④方程ax2+bx+c=-3从函数角度可以看作是y=ax2+bx+c与直线y=-3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点
为（1，3），则抛物线与直线有两个交点，故方程ax2+bx+c=-3有两个相等的实数根，故④正确；
⑤由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c>0；当x=4时，y=4m+n=0，所以y y，即a-b+c>4m+n，故⑤错误；
1 2 1> 2
⑥由图象可知，当x<1或x>4时，一次函数图象在二次函数图象上方，所以y>y，即mx+n>ax2+bx+c，所
2 1
以mx+n>ax2+bx+c的解集为x<1或x>4，故⑥错误．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是
利用数形结合方法解答．
21．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，
给出以下结论：①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若M(n2+1,y ),N(n2+2,y )为函数图像上的两点，
1 2
则y＜y；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有2个．其中正确的有
1 2．
【答案】①②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再根据对称轴
方程可判断b与0的关系，从而可判断①，由对称轴方程可得：当x=1时，函数取最大值，可判断②，由
n2+2＞n2+1≥1，可得M(n2+1,y ),N(n2+2,y
)的位置，结合二次函数的性质可判断③，先求解
1 2
b=-2a,c=-3a，再由函数图像得当0＜y≤-4a时，-1＜x＜3，其中x为整数时，x=0，1，2，从而可判
断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下， a＜0；
b
∵抛物线的对称轴为直线x=- =1＞0，
2a
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∴当x=1时，y最大，即a+b+c≥ax2+bx+c，故②正确；
∵n2+2＞n2+1≥1
∴ M(n2+1,y ),N(n2+2,y )在对称轴上或右侧，y随x的增大而减小，
1 2
∴y ＞y ，故③错误；
1 2
∵抛物线的对称轴是x=1，与x轴的一个交点是（3，0），
∴抛物线与x轴的另个交点是（-1，0），
把（3，0）代入y=ax2+bx+c得，0=9a+3b+c，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=- =1，
2a∴b=-2a，
∴9a-6a+c=0， 解得，c=-3a．
∴y=ax2-2ax-3a=a(x-1) 2-4a（a＜0），
∴顶点坐标为(1,-4a)，
由图像得当0＜y≤-4a时，-1＜x＜3，其中x为整数时，x=0，1，2，
又∵x=0与x=2时，关于直线x=1轴对称 当x=1时，直线y=p恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有2个．故④正确；
故答案为①②④．
【点睛】本题考查的是抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函
数的图像与一元二次方程的整数根的情况判断，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2023春·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常
数，a≠0）的图象开口向下，对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点在点（-1，0），（0，0）之间，下
列结论正确的是 （填写序号）．
①abc>0；②a-b+c<0；③a+b≥m(am+b)（m是一个常数）；④若方程ax2+bx+c=mx-2m（m
是一个常数)的根为x ,x ，则(x -2)(x -2)<0．
1 2 1 2
【答案】②③④
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点来判断a、b、c的正负情况即可；
②由图像可知，当x=-1时，y<0，即可求出a-b+c<0；
③比较x=1和x=m时y的大小，即可得出结论；
④将方程的解转化为抛物线y=ax2+bx+cy与直线y=mx-2m的交点的横坐标，再根据图像来分析即可．
【详解】
b
①因为抛物线开口向下，所以a<0；因为抛物线对称轴为1，所以- >0，所以b>0；因为抛物线对称轴
2a为1，且抛物线与x轴的一个交点在点（-1，0）和（0，0）之间，所以抛物线与y轴的交点在y的正半轴，
所以c>0；所以abc<0，故①错误；
②由图像可知，当x=-1时，y<0，所以a-b+c<0，故②正确；
③当x=1时，y=a+b+c；当x=m时，y=am2+bm+c；
∵x=1为抛物线的对称轴，且抛物线开口向下
∴当x=1，y取最大值
即a+b+c≥am2+bm+c
∴a+b≥m(am+b)，故③正确；
④设直线y=mx-2m，其过固定点（2，0），
方程ax2+bx+c=mx-2m的根即为抛物线y=ax2+bx+cy与直线y=mx-2m的交点的横坐标；
由图像可知，抛物线y=ax2+bx+cy与直线y=mx-2m的交点的横坐标在点（2，0）的两边，所以
(x -2)(x -2)<0，故④正确；
1 2
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像性质，二次函数与方程之间的转换，利用特殊值代入法求特殊的
式子等知识点．
23．（2023春·九年级校考期末）抛物线y＝ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①c＞0；
②a+b+c＞0；③a﹣b+c＞0 ④b2﹣4ac＜0；⑤abc＜0；⑥4a＞c；其中正确的为 （填序号）．【答案】①②⑥．
【分析】由抛物线的开口向上可知a>0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上可得c>0，由此判定①正确；由
b
4a-b和对称轴为x=-- =-2，则a、b同号，即b>0，然后即可判定⑤错误；由抛物线与x轴有两个交点
2a
得到b2-4ac>0，由此判定④错误；当x=1时，y=a+b+c>0，由此判定②正确；当x=-1时，y=a-b+c<0，由此
判定③错误；由a-b+c<0，而2a=b，可以推出cc，由此判定⑥正确
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴①正确；
b
∵对称轴为x＝- ＝﹣1，得2a＝b，
2a
∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＞0，
∴⑤错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴④错误；
当x＝1时，y＝a+b+C＞0，
∴②正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴③错误；
∵a﹣b+c＜0，4a＝b，
∴c＜3a，
∴4a＞c，∴⑥正确．
故填空答案：①②⑥．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定以及灵活运用
数形结合思想是解答本题的关键.
24．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与
b2-4ac
y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc<0；② >0；③ac-b+1=0；
4a
c
④OA⋅OB=- .其中正确结论的序号是 ．
a
【答案】①③④
【详解】（1）∵抛物线开口向下，
∴a<0，
又∵对称轴在y轴的右侧，
∴ b>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0 ，
∴abc<0，即①正确；
（2）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，
又∵a<0，
b2-4ac
∴ <0，即②错误；
4a
（3）∵点C的坐标为(0，c)，且OA=OC，
∴点A的坐标为(-c，0)，
把点A的坐标代入解析式得：ac2-bc+c=0，∵c>0，
∴ac-b+1=0，即③正确；
（4）设点A、B的坐标分别为(x ，0)、(x ，0)，则OA=-x ，OB=x ，
1 2 1 2
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴x ，x 是方程ax2+bx+c=0的两根，
1 2
c
∴x ⋅x = ，
1 2 a
c
∴OA·OB=-x ⋅x =- .即④正确；
1 2 a
综上所述，正确的结论是：①③④.
25．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交
点的横坐标分别为x，x，其中﹣1＜x＜0，1＜x＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a
1 2 1 2
＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有 ．
【答案】①②③④
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛
物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，
b
对称轴为x=- ＜1，
2a
∵a＜0，
∴2a+b＜0，
而抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，
当x=1时，a+b+c=2．4ac-b2
∵ ＞2，
4a
∴4ac-b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，
∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，
②4a+2b+c＜0，
③a-b+c＜0．
由①，③得到2a+2c＜2，
由①，②得到2a-c＜-4，4a-2c＜-8，
上面两个相加得到6a＜-6，
∴a＜-1．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、
抛物线与x轴交点的个数等．
26．（2023春·安徽马鞍山·九年级马鞍山八中校考期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，
图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值
随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中
正确的结论是 ．
【答案】①④⑤．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，
逐项判断即可．
【详解】解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
b
∴x＝- ＝2，与x轴的另一个交点为（5，0），
2a
即，4a+b＝0，故①正确；
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即，9a+c＜3b，因此②不正确；当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，因此③不正确；
抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），又a＜0，因此当函数值y＜0时，自变量x的取值范围
是x＜﹣1或x＞5，故④正确；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，
当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，
∴25a+7b+2c＞0，
又∵a＜0，
∴8a+7b+c＞0，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①④⑤，
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题主要考查二次函数图像性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图像性质.
27．（2023春·九年级课时练习）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点
（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；
④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 个．
【答案】3
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线
x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，所以当x=1时，
b
y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=- =-1
2a
得b=2a，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有
x=-1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，所以①错误；
∵顶点为D(-1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，
∴当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D(-1,2)，
∴a-b+c=2，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=- =-1，
2a
∴b=2a，
∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；
∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
综上所述，共有3个正确结论，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当
b
a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=- ；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)；当b2-4ac>0，抛物
2a
线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac<0，抛物线与x轴没有交点．
28．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A、B，顶
点为C，对称轴为直线x=1，给出下列结论：①abc<0；②若点C的坐标为(1,2)，则△ABC的面积可以
等于2；③M(x ,y ), N(x ,y )是抛物线上两点(x 2，则y 0，∵抛物线与y轴的交点在y的正半
轴上，∴ c>0， abc<0，正确．
1 1
②从图像可知，AB>4,S = ×AB×C > ×4×2，∴S >2 ，故错误．
ΔABC 2 y 2 ΔABC
③∵ x +x >2，∴从图像可知 x 到1的距离小于x 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值
1 2 1 2
越大；∴y >y ，故错误．
1 2
④把点（3，-1）代入抛物线得9a+3b+c=-1 ，即ax2+bx+c=-1 ，∴ax2+bx+c+1=0，即x=3，是
方程ax2+bx+c+1=0的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方
程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解．
29．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交
点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．以下五个结论：①2a+b＝0；②a+b+c＞0；
1
③4a+b+c＞0；④只有当a＝ 时， ABD是等腰直角三角形；⑤使 ACB为等腰三角形的a的值可以有两
2
△ △
个．那么，其中正确的结论是 ．【答案】①④⑤
【分析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开
口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点
情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB＝4，
b -1+3
∴对称轴x＝- ＝ =1，
2a 2
即2a+b＝0；
故①正确；
b
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而- ＞0
2a
∴b＜0，
∵对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故②错误；
③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∴5a+b+c＝0，
∴a+4a+b+c＝0，
∵a＞0，
∴4a+b+c＜0，
故③错误；
④要使 ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
△D到x轴的距离就是当x＝1时y的值的绝对值．
当x＝1时，y＝a+b+c，
即|a+b+c|＝2，
∵当x＝1时y＜0，
∴a+b+c＝﹣2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x＝﹣1时y＝0即a﹣b+c＝0；
x＝3时y＝0．
∴9a+3b+c＝0，
1 3
解这三个方程可得：b＝﹣1，a＝ ，c＝﹣ ；
2 2
⑤要使 ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝△BC＝4时，
∵AO＝1， BOC为直角三角形，
又∵OC的△长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣√7，
√7
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝ ；
3
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝1， AOC为直角三角形，
又∵OC的△长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣√15
√15
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝ ；
3
同理当AC＝BC时
在△AOC中，AC2＝1+c2，
在△BOC中BC2＝c2+9，
∵AC＝BC，∴1+c2＝c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．
故⑤正确．
故答案为：①④⑤．
【点睛】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
b
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=- 判断符号；
2a
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：
①2个交点，b2-4ac＞0；
②1个交点，b2-4ac=0；
③没有交点，b2-4ac＜0．
30．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(-1,0)，对称
轴为直线x=1，与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间（不包括这两个点），下列结论：①当-10；②-1m(am+b)；④b2-4ac=15a2．其中正确的结论的序号是
3
．
【答案】①②③
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），利用函数图象得到在x轴
b
上方所对应的自变量的范围，从而可对①进行判断；利用x=-1，y=0，- =1得到b=-2a，c=-3a，而2＜c
2a
＜3，所以2＜-3a＜3，则可利用不等式的性质可对②进行判断；根据二次函数的性质得到二次函数的最大
值为a+b+c，则a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1），于是可对③进行判断；利用b=-2a，c=-3a可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线与x轴交于A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当-1＜x＜3，y＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴交于A（-1，0），对称轴为直线x=1，
b
∴a-b+c=0，- =1，
2a
∴b=-2a，c=-3a，
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
而抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），
∴2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
2
∴-1＜a＜- ，所以②正确；
3
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴二次函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1）
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），所以③正确；
∵b=-2a，c=-3a，
∴b2-4ac=9a2-4a•（-3a）=21a2，所以④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛
物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二
次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即
ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与
x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个
交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
