文档内容
专题 22.10 二次函数解析式的确定【六大题型】
【人教版】
【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】.......................................................................................................1
【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】.......................................................................................................4
【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】.......................................................................................................8
【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】.................................................................................................10
【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】.................................................................................................14
【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】..........................................................................................18
【知识点1】
当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式 （ ， ， 为常数， ），转化成一
个三元一次方程组，以求得a，b，c的值.
【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】
【例1】（2022秋•闽侯县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 3.5 1 ﹣0.5 ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 …
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线；（3）直接写出，当x取什么值时，y＞0？
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式．
（2）描点、连线画出图象即可；
（3）令y＝0，解方程求得抛物线与x轴交点的横坐标，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）由已知可得，
二次函数y＝ax2+bx+c经过点（2，﹣1），（0，1），（4，1）则
{4a+2b+c=-1
c=1 ，
16a+4a+c=1
1
{ a=
2
解得： ，
b=-2
c=1
1
∴二次函数解析式为y= x2﹣2x+1；
2
（2）用描点法画出函数图象，如图所示：
1
（3）令y＝0，则 x2﹣2x+1＝0，
2
解得：x＝2-❑√2，x＝2+❑√2，
1 2
由图象知，当x＞2+❑√2或x＜2-❑√2时，y＞0，
【变式1-1】（2022秋•淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求
这个二次函数的解析式．
【分析】先设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（﹣1，10）、（1，4）、（0，3）
代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，进而可得函数解析式．
【解答】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），{a-b+c=10
根据题意，得 a+b+c=4 ，
c=3
{a=4
解得 b=-3，
c=3
∴所求二次函数解析式为y＝4x2﹣3x+3．
【变式1-2】（2022秋•大连期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（2，0），（4，2）两点．求这个二次
函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．
{4+2b+c=0①
【分析】把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，可得二元一次方程组 ，解二元一
16+4b+c=2②
{b=-5 b
次方程组可得 ，即可求出二次函数解析式，再根据二次函数对称轴的公式x =- ，顶点坐标公
c=6 2a
b 4ac-b2
式(- ， )，把a，b，c的值代入计算即可得出答案．
2a 4a
【解答】解：把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，
{4+2b+c=0①
得 ，
16+4b+c=2②
②﹣①，
得2b＝﹣10，
解得：b＝﹣5，
把b＝5代入①中，
得4+2×（﹣5）+c＝0，
解得：c＝6，
{b=-5
∴ ，
c=6
∴这个二次函数的解析式y＝x2﹣5x+6，
b -5 5
∴二次函数y＝x2﹣5x+6对称轴是直线x=- =- = ，
2a 2×1 2
b 4ac-b2
由二次函数的顶点坐标公式（- ， ）可得，
2a 4a
b 5 4ac-b2 4×1×6-(-5) 2 1
二次函数y＝x2﹣5x+6顶点坐标：x=- = ，y= = =- ，
2a 2 4a 4×1 45 1
即（ ，- ）．
2 4
【变式1-3】（2022秋•上城区期中）已知二次函数y ＝ax2+bx+c，过（1，﹣32），在x＝﹣2时取到最大
1
值，且二次函数的图象与直线y＝x+1交于点P（m，0）．
2
（1）求m的值；
（2）求这个二次函数解析式；
（3）求y 大于y 时，x的取值范围．
1 2
【分析】（1）将（m，0）代入直线解析式求解．
（2）根据抛物线对称轴为直线x＝﹣2可得a与b的关系，再将（﹣1，0），（1，﹣32）代入抛物线解析
式求解．
（3）联立两方程，根据图象交点横坐标求解．
【解答】解：（1）将（m，0）代入y2＝x+1得0＝m+1，
解得m＝﹣1．
b
（2）由题意可得抛物线对称轴为直线x=- =-2，
2a
∴b＝4a，y＝ax2+4ax+c，
{-32=a+4a+c
把（1，﹣32），（﹣1，0）代入y＝ax2+4ax+c得 ，
0=a-4a+c
{a=-4
解得 ，
c=-12
∴y＝﹣4x2﹣16x﹣12．
（3）令﹣4x2﹣16x﹣12＝x+1，
13
解得x＝﹣1或x=- ，
4
13
∴抛物线与直线交点横纵标为﹣1和- ，
4
如图，
13
∴- ＜x＜﹣1时，y 大于y ．
4 1 2
【知识点2】
2
y=a(x−h) +k
若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式 ．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数.
【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】
【例2】（2022秋•长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该图象的顶点坐标；
（3）观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．
【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣1，可设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，再通过待定系数法求解．
（2）由抛物线顶点式求解．
（3）根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
{0=4a+k
将（﹣3，0），（0，3）代入y＝a（x+1）2+k得 ，
3=a+k
{a=-1
解得 ，
k=4
∴y＝﹣（x+1）2+4．
（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，4）．
（3）∵抛物线经过（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线经过（1，0），
∴﹣3＜x＜1时，y＞0．
【变式2-1】（2022秋•西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x轴两交点间的距离是6．求
抛物线解析式．
【分析】由题意设抛物线解析式为 y＝a（x+1）2+9，抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣4，0）或
（2，0），利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：由抛物线顶点知，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
又与x轴交点间的距离为6，∴交点横坐标为﹣4与2，
∴两个交点坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+9，
把点（2，0）代入0＝9a+9，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+9．
【变式2-2】（2022秋•凉州区校级月考）已知某二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为 ﹣ 4 ≤ y ≤ 0 .（直接写出答案）
【分析】（1）根据顶点坐标设y＝a（x+1）2﹣4，直接把点（1，0）代入即可得到二次函数的解析式；
（2）把x＝﹣2和x＝1分别代入解析式，再根据顶点可得y的取值范围．
【解答】解：（1）∵顶点为（﹣1，﹣4），
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2﹣4，
把（1，0）代入可得0＝a（1+1）2﹣4，
解得a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝0，
∵y的最小值是﹣4，
∴y的取值范围是﹣4≤y≤0．
故答案为：﹣4≤y≤0．
【变式2-3】（2022秋•汉滨区校级月考）已知抛物线顶点为 C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴
于点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△ABC的面积．【分析】（1）已知了顶点C坐标，可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数，然后根据 A点的坐
标可求出二次函数的解析式；
（2）先根据（1）中求出的二次函数的解析式，求出B点的坐标，然后可用待定系数法用B、A的坐标
求出AB所在直线的解析式，求出对称轴与直线AB的交点D的坐标，求三角形CAB的面积转化为三角
形BCD和三角形ACD面积之和即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，
所以y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B点的坐标为（0，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得
{3k+b=0
，
b=3
{k=-1
解得： ，
b=3
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
设对称轴直线x＝1与直线AB相交与点D，∴当x＝1时，y＝2，
∴D点坐标（1，2），
所以CD＝4﹣2＝2，
1
S ＝S +S = ×（1+2）×2＝3，
△CAB △BCD △ACD
2
∴△ABC的面积为3．
【知识点3】
y=a(x−x )(x−x )
已知图像与 x轴交于不同的两点 ，设二次函数的解析式为 1 2 ，根据题目
条件求出a的值．
【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】
【例3】（2022•包头）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且图
象经过点C（0，﹣3），求这个二次函数的解析式．
【分析】设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将（0，﹣3）代入解析式求解．
【解答】解：∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得﹣3a＝﹣3，
解得a＝1．
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3．
【变式3-1】（2022秋•温州校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B
（3，0）两点，顶点为D．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求点D的坐标及△ABD的面积．【分析】（1）先设函数的交点式，然后将点A和点B代入函数解析式得到二次函数的一般式；
（2）将二次函数的一般式化为顶点式，得到顶点D的坐标，然后求得△ABD的面积．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点D的坐标为（1，﹣4），
∴点D到AB的距离为4，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
1
∴S = ×4×4＝8．
△ABD
2
【变式3-2】（2022春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），
B（3，0），C（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．
（2）求直线CM的解析式．
【分析】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式．【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
将C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴顶点坐标M（2，﹣1），
（2）设直线CM的解析式为y＝kx+b，
将C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：
{ b=3
，
2k+b=-1
{k=-2
∴ ．
b=3
∴y＝﹣2x+3．
【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求
此函数的解析式．
【分析】根据抛物线与 x轴的交点（﹣1，0），（3，0）可设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点
（1，﹣8）代入求得a即可．
【解答】解：根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，
解得：a＝2，
∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），
即y＝2x2﹣4x﹣6．
25．
5 5 1
二次函数的解析式y＝x2﹣5x+6，对称轴是直线x= ，顶点坐标是（ ，- ）．
2 2 4
【知识点4】
将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析
是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像
向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值
正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．
【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】
【例4】（2022秋•宜春期末）在平面直角坐标系中，抛物线 N过A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）
三点（1）求该抛物线和直线AB的解析式；
（2）平移抛物线N，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：
①平移后抛物线的顶点在直线AB上；
②设平移后抛物线与y轴交于点C，如果S ＝3S ．
△ABC △ABO
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线M和直线AB的解析式；
（2）先求出直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+4），则平移
1
后的抛物线解析式为 y＝（x﹣t）2+t+4，接着表示出N（0，t2+t+4），利用三角形面积公式得到 •|
2
1
t2+t+4﹣4|•（4+1）＝4× ×4×（4+1），然后解绝对值方程求出得到平移后的抛物线解析式．
2
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
{
a-b+c=3
{
a=1
把A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）代入得 16a+4b+c=8，解得 b=-2，
c=0 c=0
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x；
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
{-m+n=3
把A（﹣1，3），B（4，8）代入得 ，解得m＝1，n＝4，
4m+n=8
∴直线AB的解析式为y＝x+4；
（2）当x＝0时，y＝x+4＝4，则直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），
设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+4），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t）2+t+4，
当x＝0时，y＝（0﹣t）2+t+4＝t2+t+4，则C（0，t2+t+4），
∵S ＝3S ，
△ABC △ABO
1 1
∴ •|t2+t+4﹣4|•（4+1）＝3× ×4×（4+1），
2 2即|t2+t|＝12，
方程t2+t＝﹣12没有实数解，
解方程t2+t＝12得t＝﹣4，t＝3，
1 2
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+4）2或y＝（x﹣3）2+7．
【变式4-1】（（2022秋•河东区校级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+3．
（1）求抛物线的顶点坐标，对称轴；
（2）当x＝ ＞ 1 时，y随x的增大而减小；
（3）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在x轴上截取的线段长为4，求平移后的抛物线解析式．
【分析】（1）先把解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到物线的顶点坐标，对称轴；
（2）根据二次函数的性质求解；
（3）先设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx，再根据抛物线与x轴的交点问题求出平移后的抛物线
b
与x轴的交点坐标为（0，0）、（ ，0），利用两交点间的距离可计算出b的值，从而得到平移后的抛
2
物线解析式．
【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，
所以抛物线的顶点坐标为（1，5），对称轴为直线x＝1；
（2）当x＞1时，y随x的增大而减小；
故答案为＞1；
（3）因为平移后的抛物线过原点，
所以设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx，
b
解方程﹣2x2+bx＝0得x＝0，x =
1 2
2
b
所以平移后的抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（ ，0），
2
b
所以| |＝4，解得b＝8或﹣8，
2
所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+8x或y＝﹣2x2﹣8x．
【变式4-2】（2022秋•长葛市校级月考）已知直线y＝x+1与x轴交于点A，抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后
与点A重合．
（1）求平移后的抛物线C的解析式；
1
（2）若点B（x，y），C（x，y）在抛物线C上，且- ＜x＜x，试比较y，y 的大小．
1 1 2 2 1 2 1 2
2【分析】（1）求得A的坐标，然后根据平移的规律即可求得；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交于点A，
∴A（﹣1，0），
∵抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合，
∴平移后的抛物线C的解析式是y＝﹣2（x+1）2；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口向下，
1
故当- ＜x＜x，y＞y．
1 2 1 2
2
【变式4-3】（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过
点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的
抛物线解析式．
【分析】（1）利用交点式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标
即可；
1
（2）把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=- ，进而得出答案．
2
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）
（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；
（2）平移方法有：
①向下平移5个单位，得到：y＝﹣x2+4x﹣8，
把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，
∵顶点坐标（2，1）；
∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为（2，﹣4）；
②向左平移2.5个单位，得到：y＝﹣（x+0.5）2+1，
1
把y＝1代入y＝﹣2x得出y=- ，
2
1
∴向左平移2.5个单位，抛物线的顶点为（- ，1）．
2
【知识点5】
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变．求抛物
线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物
线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后
再写出其对称抛物线的表达式．
【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】
【例5】（2022•莲湖区二模）已知抛物线W ：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与
1
y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线W 的表达式；
1
（2）将抛物线W 绕原点O旋转180°后得到抛物线W ，W 的顶点为D'，点M为W 上的一点，当
1 2 2 2
△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解得即可；
（2）由题意求得抛物线W 的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线 W 的图象，利用待定系数法
2 2
求得直线DD′的解析式，过点M作MN∥x轴，交DD′于N，利用S ＝S +S ，用m的代
△DD′M △MND′ △MND
数式表示出S ，利用已知条件列出m的方程，解方程即可求得结论．
△DD′M
【解答】解：（1）∵抛物线W：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
1
{ a+b-3=0
∴ ，
9a-3b-3=0
{a=1
解得： ．
b=2
∴抛物线W 的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
1（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∵将抛物线W 绕原点O旋转180°后得到抛物线W，W 的顶点为D'，
1 2 2
∴D′（﹣1，4），
∴抛物线W 的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．
2
如图，在坐标系中画出抛物线W 的图象，
2
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4，
1
∴S = ×4×3=6，
△ABC
2
过点M作MN∥x轴，交DD′于N，
∵D（1，﹣4），D′（﹣1，4），
∴直线DD′为y＝﹣4x，
m2+2m-3
设点M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（ ，﹣m2﹣2m+3），
4
m2+2m-3 m2-2m-3
∴MN= -m= ，
4 4
1 m2-2m-3
∴S = × ×（4+4）＝m2﹣2m﹣3，
△DD′M
2 4∵△D'DM的面积等于△ABC的面积，
∴m2﹣2m﹣3＝6．
解得：m＝1±❑√10．
当m＝1+❑√10时，﹣m2﹣2m+3＝﹣4❑√10-10，
当m＝1-❑√10时，﹣m2﹣2m+3＝4❑√10-10，
∴M（1+❑√10，﹣4❑√10-10）或（1-❑√10，4❑√10-10）．
【变式5-1】（2022秋•淮南月考）已知抛物线y＝x2+2x﹣1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物
线的解析式．
【分析】求出顶点坐标关于原点对称的坐标，然后利用顶点式解析式写出，再整理成一般形式即可．
【解答】解：抛物线y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2．
所以其顶点（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（1，2），
所以，抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x﹣+2，即y＝﹣x2+2x﹣+2．
【变式5-2】（2022秋•南京期末）已知二次函数的图象如图所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）观察图象，当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为 ﹣ 4 ≤ y ＜ 0 ；
（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为 y ＝﹣（ x + 1 ） 2 + 4 ．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入得求出a即可；
（2）计算自变量为﹣3、0对应的函数值，然后利用函数图象写出对应的函数值的范围；
（3）利用关于x轴对称点的性质进而得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，
把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，
所以抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4；
（2）当x＝﹣3时，y＝（﹣3+1）2﹣4＝0；
当x＝0时，y＝﹣3；
所以当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜0，故答案为﹣4≤y＜0；
（3）∵函数y＝（x+1）2﹣4图象的顶点为（﹣1，﹣4），a＝1
∴该函数的图象沿x轴翻折后得到的函数图象顶点为（﹣1，4），a＝﹣1
∴翻折后得到的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，
故答案为y＝﹣（x+1）2+4．
【变式5-3】（2022•雁塔区校级模拟）已知抛物线L：y＝ax2﹣2x﹣3a与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，
与y轴相交于点C，点D为抛物线L的顶点，抛物线L′与L关于y轴对称．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PBC的面积等于四边形OCDB的面积？若存在，求点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A点坐标代入y＝ax2﹣2a﹣3中求a的值，从而得到抛物线L的表达式；
（2）连接OD，过P点作PQ∥y轴交直线BC于Q点，如图，解方程x2﹣2x﹣3＝0得B（3，0），再配
方得y＝（x﹣1）2﹣4，则D（1，﹣4），利用关于y轴对称的点的坐标特征和顶点式得到抛物线L′的
解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，设P（t，t2+2t﹣3），易得直线BC的解析式为y＝x﹣3，接
15 1 15
着计算出四边形OCDB的面积为 ，所以 ×3×|t2+t|= ，然后解关于t的方程，从而得到P点坐标．
2 2 2
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2a﹣3得a+2﹣3＝0，
解得a＝1，
∴抛物线L的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接OD，过P点作PQ∥y轴交直线BC于Q点，如图，
y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1，x＝3，
1 2
∴B（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∴点D关于y轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣4），
∴抛物线L关于y轴对称的抛物线L′的解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，
设P（t，t2+2t﹣3），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
1 1 15
∵四边形OCDB的面积＝S +S = ×3×1+ ×3×4= ，
△OCD △ODB
2 2 2而PQ＝|t2+2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2+t|，
1 15
∴S = ×3×|t2+t|= ，
△PBC
2 2
∴t2+t＝5或t2+t＝﹣5，
-1+❑√21 -1-❑√21
解方程t2+t＝5得t = ，t = ，
1 2
2 2
方程t2+t＝5无实数解，
-1+❑√21 3+❑√21 -1-❑√21 3-❑√21
∴P（ ， ）或（ ， ）．
2 2 2 2
【知识点6】
此类题目只给出一些条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．
【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】
【例6】（2022•林州市一模）已知二次函数的图象开口向下，对称轴是 y轴，且图象不经过原点，请写出
一个符合条件的二次函数解析式 y ＝﹣ x 2 + 1 ．
【分析】根据二次项系数小于零，图象开口向下，一次项系数等于零，图象的对称轴为 y轴，常数项不
等于零，图象不过原点，可得答案．
【解答】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，且图象不经过原点，请写出一个符合条件的二
次函数解析式y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1．
【变式6-1】（2022•虹口区二模）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二
次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是 y ＝﹣ x 2 ﹣ 1 等（答案不唯一） ．
【分析】设二次函数解析式为y＝ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得到关于a、c的关系式，从而推
知a、c的值．
【解答】解：∵对称轴为y轴，
∴设二次函数解析式为y＝ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得a+c＝﹣2，
不防取a＝﹣1，c＝﹣1，得解析式为y＝﹣x2﹣1，答案不唯一．
故答案为：y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一）．
【变式6-2】（2022秋•二道江区校级月考）老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数
的一个性质：
甲：函数的图象经过第一、二、四象限；
乙：当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大；
丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点；
已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数 y ＝（ x ﹣ 2 ） 2 ﹣ 3 ．
【分析】利用二次函数的性质可判断抛物线开口向上，抛物线与 y轴的交点在x轴上方，于是可设a＝
1，c＝1，再利用二次函数的确定抛物线的对称轴为直线x＝2，然后利用函数的图象与坐标轴只有两个
交点得到抛物线的顶点坐标为（2，0），再设顶点式求抛物线解析式．
【解答】解：由函数的图象经过第一、二、四象限可判断抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴
上方，可设a＝1，c＝1，
因为当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而减大，则抛物线的对称轴为直线 x＝
2，
由函数的图象与坐标轴只有两个交点，则抛物线的顶点坐标为（2，0），
所以抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+m，
把（0，1）代入得1＝4+m，解得m＝﹣3，
即抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣3．
故答案为y＝（x﹣2）2﹣3．
【变式6-3】（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函
数的“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写
出一个符合条件的函数解析式： y ＝ x 2 ﹣ 2 x + 4 ．
【分析】抛物线y＝（x﹣1）2+1向上或向下平移2个单位求解．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+1向上平移2个单位可得抛物线y＝（x﹣1）2+1y＝（x﹣1）2+3＝
x2﹣2x+4，
故答案为：y＝x2﹣2x+4．
