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专项训练三 二次函数
一、选择题
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )
A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋
2．二次函数y＝x2＋4x－5的图象的对称轴为( )
A．x＝4 B．x＝－4 C．x＝2 D．x＝－2
3．将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛
物线解析式为( )
A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x＋1)2＋2
C．y＝－2(x－1)2＋2 D．y＝－2(x－1)2＋1
4．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x＝3时，y
＝18，那么当成本为72元时，边长为( )
A．6cm B．12cm C．24cm D．36cm
5．(2016·兰州中考)点P(－1，y)，P(3，y)，P(5，y)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c
1 1 2 2 3 3
的图象上，则y，y，y 的大小关系是( )
1 2 3
A．y＞y＞y B．y＞y＝y C．y＞y＞y D．y＝y＞y
3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3
6．(2016·毕节中考)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平
面直角坐标系中的图象可能是( )
7．(2016·兰州中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，
有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a＋b＝0；④a－b＋c＞2.其中正确的结论的个数
是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，
连接AC、BC，则tan∠CAB的值为( )
A. B. C. D．2
二、填空题
9．(2016·河南中考)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线
的顶点坐标是________．
10．若二次函数y＝x2＋2x＋m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是________．
11．(2016·大连中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A、B(m＋2，0)，与
y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．第11题图 第14条图
12．(2016·台州中考)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔 1
秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后 1.1秒
时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相
同，则t＝________．
13．(2016·厦门中考)已知点P(m，n)在抛物线y＝ax2－x－a上，当m≥－1时，总有
n≤1成立，则a的取值范围是____________．
14．★(2016·梅州中考)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点
P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以 CD 为底的等腰三角形，则点 P 的坐标为
____________．
三、解答题
15．已知二次函数y＝x2－4x＋3.
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化
的情况；
(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
16．(2016·成都中考)某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种
一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳
光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5个橙子，假设果园多
种了x棵橙子树．
(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系；
(2)果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？
17．(2016·大连中考)如图，抛物线y＝x2－3x＋与x轴相交于A、B两点，与y轴相交
于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E.
(1)求直线BC的解析式；
(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
18．★★(2016·枣庄中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝
－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和
最小，求出点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形时点P
的坐标．参考答案与解析
1．C 2.D 3.C 4.A 5.D 6.C
7．C 解析：∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝－1，∴b
＝2a＜0.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；∵抛物线与
x轴有2个交点，∴Δ＝b2－4ac＞0，所以②正确；∵b＝2a，∴2a－b＝0，所以③错误；∵
抛物线开口向下，x＝－1是对称轴，所以x＝－1对应的y值是最大值，∴a－b＋c＞2，所
以④正确．
8．D 解析：令y＝0，则－x2－2x＋3＝0，解得x＝－3或1.不妨设A(－3，0)，B(1，
0)．∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴顶点C的坐标为(－1，4)．作CD⊥AB于D.在
Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝＝2.
9．(1，4) 10.m＞1
11．(－2，0) 解析：由C(0，c)，D(m，c)，得函数图象的对称轴是x＝.设A点坐标为
(x，0)，由A、B关于对称轴x＝对称，得＝，解得x＝－2，即A点坐标为(－2，0)．
12．1.6 解析：设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，则小球的高度y
＝a(t－1.1)2＋h，由题意a(t－1.1)2＋h＝a(t－1－1.1)2＋h，解得t＝1.6.故第一个小球抛出后
1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．
13．－≤a＜0 解析：根据已知条件，画出函数图象，如图所示．由已知得解得－≤a
＜0.
14．(1＋，2)或(1－，2) 解析：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段
CD的垂直平分线上．过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点．∵抛物线y＝－x2
＋2x＋3与y轴交于点C，∴C点坐标为(0，3)．又∵D点坐标为(0，1)，∴E点坐标为(0，
2)，∴P点纵坐标为2.在y＝－x2＋2x＋3中，令y＝2，可得－x2＋2x＋3＝2，解得x＝1±，
∴P点坐标为(1＋，2)或(1－，2)．
15．解：(1)y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－4＋3＝(x－2)2－1，所以顶点C的坐标是(2，－
1)，当x≤2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；
(2)解方程x2－4x＋3＝0得x ＝3，x ＝1，即A点的坐标是(1，0)，B点的坐标是(3，
1 2
0)．如图，过点C作CD⊥AB于点D.∵AB＝2，CD＝1，∴S ＝AB×CD＝×2×1＝1.
△ABC
16．解：(1)平均每棵树结的橙子个数 y(个)与x之间的关系为y＝600－5x(0≤x＜
120)；
(2)设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w＝(600－5x)(100＋x)＝－
5x2＋100x＋60000＝－5(x－10)2＋60500，则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最
大，最大为60500个．
17．解：(1)∵抛物线y＝x2－3x＋与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y
＝0，可得x＝或x＝，∴A点坐标为，B点坐标为；令x＝0，则y＝，∴C点坐标为.设直线
BC的解析式为y＝kx＋b，则有解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋；
(2)设点D的横坐标为m，则坐标为，∴E点的坐标为.设DE的长度为d.∵点D是直线
BC下方抛物线上一点，则d＝－m＋－＝－m2＋m.∵a＝－1＜0，∴当m＝＝时，d有最大值，d ＝＝，∴m2－3m＋＝－3×＋＝－，∴点D的坐标为.
最大
18．解：(1)依题意得解得∴抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.∵对称轴为直线x＝－1，
且抛物线经过A(1，0)，∴点B的坐标为(－3，0)．把B(－3，0)，C(0，3)分别代入直线y＝
mx＋n，得解得∴直线BC的解析式为y＝x＋3；
(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝－1代
入y＝x＋3得y＝2，∴点M的坐标为(－1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之
和最小时点M的坐标为(－1，2)；
(3)设点P的坐标为(－1，t)．又∵点B的坐标为(－3，0)，点C的坐标为(0，3)，∴BC2
＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若点B为直角顶点，
则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若点C为直角顶点，则BC2
＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝
BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t ＝，t ＝.综上所述，点P的坐标为(－1，－2)或(－
1 2
1，4)或或.
