专题 22.8 二次函数中的三大类型新定义问题
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生二次函数中的三大类型新定义问题
的理解！
【类型1 二次函数问题中的新定义问题】
1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍
点．若二次函数y=x2-2x+c（c为常数）在-1<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是
（ ）
A．-5<c<4 B．0<c<1 C．-5<c<1 D．0<c<4
【答案】D
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y=2x上，由-1<x<4可得二倍点所在线段AB
的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y=2x，
将x=-1代入y=2x得y=-2，
将x=4代入y=2x得y=8，
设A(-1,-2)，B(4,8)，如图，
联立y=2x与y=x2-2x+c，得方程x2-2x+c=2x，
即x2-4x+c=0
∵抛物线与直线y=2x有两个交点，
∴ Δ=42-4c>0，
解得c<4，
当直线x=-1和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-1代入y=x2-2x+c，得y=3+c，
把x=4代入y=x2-2x+c得y=8+c，
∴ ¿，
解得c>0，
∴0<c<4．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，
将代数问题转化为图形问题求解．
2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为
“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数
的二次项系数是（ ）
1 1
A． B． C．1 D．﹣1
2 4
【答案】B
【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；
【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，
0），设此函数为y=ax2+bx+c，
∴¿，解得：¿，
1
∴此函数的二次项系数为 ；
4
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．
3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，
n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点
P（2，5）的限变点是P′（2，1），点P（-2，3）的限变点是P′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函
1 1 2 2
数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．-2≤n'≤2 B．1≤n'≤3 C．1≤n'≤2 D．-2≤n'≤3
【答案】D
【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，
n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围
是-2≤n′≤3．【详解】解：由题意可知，
当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，
∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，
当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，
∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，
综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的
函数．
4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是
横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点(1,2)、(-2.5,-5)……都是“青竹点”．显然，函数y=x2的图
象上有两个“青竹点”：(0,0)和(2,4)．
(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．
①y=2x-1________； ②y=-x2+1________； ③y=x2+2________．
1
(2)若抛物线y=- x2-m+1（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；
2
1
(3)若函数y= x2+(b-c+2)x+a+c-3的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当-1≤b≤2时，a的最
4
小值为c，求c的值．
【答案】(1)×；√；×
(2)m<3
3
(3)c=
2
【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；
（2）根据题意得出关于x的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；
（3）根据题意得出关于x的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值
求解即可．
【详解】（1）解：①令2x-1=2x，方程无解，
∴函数y=2x-1图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；
②令-x2+1=2x，解得：x =-1+√2，x =-1-√2，
1 2
∴函数y=-x2+1图像上存在“青竹点”(-1+√2,-2+2√2)和(-1-√2,-2-2√2)，故答案为：√；
③令x2+2=2x，方程无解，
∴函数y=x2+2图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；
1
（2）解：由题意得- x2-m+1=2x，
2
整理，得x2+4x+2m-2=0，
1
∵抛物线y=- x2-m+1（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，
2
∴Δ=42-4(2m-2)>0，
解得m<3；
1
（3）解：由题意得
x2+(b-c+2)x+a+c-3=2x
4
整理，得x2+4(b-c)x+4(a+c-3)=0
1
∵函数y= x2+(b-c+2)x+a+c-3的图像上存在唯一的一个“青竹点”，
4
2
∴Δ=[4(b-c)] -4×1×4(a+c-3)=0
整理，得a=(b-c) 2-c+3
∴当b=c时，a的最小值为3-c，
∵当-1≤b≤2时，a的最小值为c，
∴3-c=c
3
∴c= ，
2
【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，
解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．
5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图像与y轴交
点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：y=2x2+4x-5的友好同轴二次函数为y=-x2-2x-5．
1
(1)函数y= x2-2x+3的友好同轴二次函数为 ．
4(2)当-1≤x≤4时，函数y=(1-a)x2-2(1-a)x+3 (a≠0且a≠1)的友好同轴二次函数有最大值为5，
求a的值．
1
(3)已知点(m,p),(m,q)分别在二次函数y =ax2+4ax+c(a> 且a≠1）及其友好同轴二次函数y 的图
1 2 2
像上，比较p,q的大小，并说明理由．
3
【答案】(1)y= x2-6x+3；
4
1
(2)a= 或-2；
4
(3)当m=-4或m=0时，p=q；当m<-4或m>0时，p>q；当-4<m<0时，p<q
1
【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出y= x2-2x+3的友好同轴二次函数即可；
4
（2）根据友好同轴二次函数的定义，找出y=(1-a)x2-2(1-a)x+3的友好同轴二次函数，判断函数图
像开口方向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；
（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出y =ax2+4ax+c的友好同轴二次函数，再把两点代入p,q，
1
作差后比较大小，为含参数a的二次不等式，求解m的范围即可．
【详解】（1）设友好同轴二次函数为y=ax2+bx+c(a≠0)，
1
由函数y= x2-2x+3可知，
4
-2
x=- =4
对称轴为直线 1 ，与y轴交点为(0,3)，
2×
4
b
1 3 x=- =4
∴a=1- = ，c=3，对称轴为直线 3 ，
4 4 2×
4
∴b=-6，
3
∴友好同轴二次函数为y= x2-6x+3；
4
（2）由函数y=(1-a)x2-2(1-a)x+3 (a≠0且a≠1)可求得，该函数的友好同轴二次函数为y=ax2-2ax+3=a(x-1) 2+3-a；
①当a>0时，x=4时，y =a(4-1) 2+3-a=8a+3=5，
max
1
解得：a= ；
4
②当a<0时，x=1时，y =a(1-1) 2+3-a=3-a=5，
max
解得：a=-2；
1
综上所述，a= 或-2；
4
1
（3）由函数y =ax2+4ax+c(a> 且a≠1）可求得，
1 2
该函数的友好同轴二次函数为y =(1-a)x2+4(1-a)x+c，
2
把(m,p),(m,q)分别代入y ,y 可得，
1 2
p=am2+4am+c，q=(1-a)m2+4(1-a)m+c，
则p-q=am2+4am+c-[(1-a)m2+4(1-a)m+c]=(2a-1)m2+4(2a-1)m，
1
∵a> ，
2
∴(2a-1)>0，
①当p-q>0时，p>q，即(2a-1)m2+4(2a-1)m>0，
m2+4m>0，
解得：m<-4或m>0；
②当p-q<0时，p<q，即(2a-1)m2+4(2a-1)m<0，
m2+4m<0，
解得：-4<m<0；
③当p-q=0时，p=q，即(2a-1)m2+4(2a-1)m=0，
m2+4m=0，
解得：m=-4或m=0；综上所述，当m=-4或m=0时，p=q；
当m<-4或m>0时，p>q；
当-4<m<0时，p<q．
【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题
意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键．
6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此
抛物线为定弦抛物线．
(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；
(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，
求该抛物线的表达式；
(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大
值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．
【答案】(1)是定弦抛物线，理由见解析
√3 √3
(2)y=- (x+1)(x-3)或y= (x+1)(x-3)
3 3
28
(3)b＝﹣4或-
3
【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点坐标，可判断；
（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交
点坐标，代入可得答案；
（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可．
【详解】（1）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x＝1，x＝﹣3，
1 2
则|x -x|＝4，
1 2
即该抛物线是定弦抛物线；
（2）：当该抛物线开口向下时，如图所示．∵该定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，
设C(m,0),D(n,0)
则¿
解得：¿
∴ C（﹣1，0），D（3，0），
∵△CED为直角三角形
∴由题意可得∠CED＝90°，
∵EO⊥CD，
∴△CEO∽△EDO，
∴OE2＝OC·OD＝3，
∴E（0，√3）
设该定弦抛物线表达式为y=a(x+1)(x-3)，
√3
把E（0，√3）代入求得a=-
3
√3
∴该定弦抛物线表达式为y=- (x+1)(x-3)，
3
当该抛物线开口向上时，
√3
同理可得该定弦抛物线表达式为y= (x+1)(x-3)，
3
√3 √3
∴综上所述，该定弦抛物线表达式为y=- (x+1)(x-3)或y= (x+1)(x-3)；
3 3
b
（3）解：若- ≤ 2，则在2≤ x ≤4中，
2
当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝2时该定弦抛物线取最小值．
b
∴l6+4b+c-(4+2b+c)＝- +2，
2解得：b＝﹣4，
b
∵- ≤ 2，
2
∴b≥﹣4，即b＝﹣4，
b
若2≤- ≤ 3，则在2≤x≤4中，
2
b
当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝- 时该定弦抛物线取最小值．
2
4c-b2 b
∴16+4b+c﹣ ＝- +2，
4 2
解得：b＝﹣4，b＝﹣14，
1 2
b
∵2≤- ≤3，
2
∴﹣6≤ b≤﹣4，
∴b＝﹣4，b＝﹣14（舍去），
1 2
b
若3<- ≤ 4，则在2≤ x ≤4中，
2
b
当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝- 时该定弦抛物线取最小值．
2
4c-b2 b
∴4+2b+c﹣ ＝- +2，
4 2
解得：b＝﹣5±√17，
b
∵3<- ≤4，
2
∴﹣8≤ b＜﹣6，
∴b＝﹣5±√17不合题意，舍去，
b
若- ＞4，则在2≤ x≤ 4中，
2
当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝4时该定弦抛物线取最小值．
b
∴4+2b+c-(16+4b+c)＝- +2，
2
28
解得：b＝- ，
3
b
∵- ＞4，
2∴b＜﹣8，
28
∴ b＝﹣ ，
3
28
∴综上所述b＝﹣4或- ．
3
【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地
理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键．
7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线y =a (x+h) 2+k 与抛物线y =a (x+h) 2+k ．同时满足
1 1 1 2 2 2
1
a =-4a 且k =- k ，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．
2 1 2 4 1
1
(1)已知抛物线y =- x2+bx+c与y =x2-2x-3是一对共轭抛物线，求y 的解析式；
1 4 2 1
(2)如图1，将一副边长为4√2的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立
平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为y ，经过A、B、C的抛物线为y ，请立接写出y 、y 的
1 2 1 2
解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．
1 1 63
【答案】(1)y =- x2+ x+
1 4 2 4
1 1
(2)y =- x2+8，y = x2-2，y 、y 是一对共轭抛物线
1 8 2 2 1 2
【分析】（1）将y =x2-2x-3化作顶点式，可求出a ，h和k 的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出
2 2 2
a ，h和k 的值，进而求出y 的解析式；
1 1 1
（2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点A，B，C，D，E的坐标，分别求出y 和y 的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．
1 2
【详解】（1）解： y =x2-2x-3=(x-1) 2-4，
2
∴a =1，h=-1，k =-4，
2 2
1
∵抛物线y =- x2+bx+c与y =x2-2x-3是一对共轭抛物线，
1 4 2
a 1
∴a = 2 =- ，h=-1且k =-4k =16，
1 -4 4 1 1
1 1 1 63
y =- (x-1) 2+16=- x2+ x+ ．
1 4 4 2 4
（2）解：如图，
由题意得，DF=AF=4√2，则AG=GF=DG=GF=4，EG=2，HG=2，BC=4，OF=2，
∵点O为BC的中点，∴BO=OC=2，
∴B(-2,0)，C(2,0)，A(-4,6)，D(4,6)，E(0,8)，
∴可设抛物线y =a (x+4)(x-4)+6，与抛物线y =a (x+2)(x-2)，
1 1 2 2
1 1
∴-16a +6=8，(-4+2)(-4-2)a =6，解得：a =- ，a = ，
1 2 1 8 2 2
1 1
∴抛物线y = (x+4)(x-4)+6=- x2+8，
1 8 8
1 1
抛物线y = (x+2)(x-2)= x2-2，
2 2 2
1 1
∴a =- ，h=0，k =8，a = ，h=0，k =-2，
1 8 1 2 2 2
1 1 1
∵- ×(-4)= ，- ×8=-2，
8 2 4
1
∴满足a =-4a 且k =- k ，
2 1 2 4 1
∴y 、y 是一对共轭抛物线．
1 2【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，
一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．
8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(x ,0)，
1
B(x ,0)，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长．
2
(1)求抛物线y=x2-2x-3的雅礼弦长；
(2)求抛物线y=x2+(n+1)x-1(1≤n<3)的雅礼弦长的取值范围；
(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+(4-mt)x-4mt的雅礼弦长为l ，抛物线
1
y=-x2+(t-n)x+nt的雅礼弦长为l ，s=l2-l2 ，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s≥0恒
2 1 2
成立，求m，n的值．
【答案】(1)4
(2)2√2≤AB<2√5
(3)m=2，n=2或m=4，n=1
【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解；
（2）根据（1）的方法求得AB=√(n+1) 2+4，根据n的范围，即可求解．
（3）根据题意，分别求得l ,l ，根据s=l2-l2，求得出s与t之间的函数关系式，根据s≥0恒成立，可得
1 2 1 2
mn=4，根据m，n为正整数，且m≠1，即可求解．
【详解】（1）解：x2-2x-3=0，
(x-3)(x+1)=0，
∴x =3，x =-1，
1 2
∴雅礼弦长AB=4；
（2）x2+(n+1)x-1=0，A(x ,0)B(x ,0)，
1 1
∴AB=|x -x |=√(x +x ) 2-4x x ，
1 2 1 2 1 2
∵Δ=(n+1) 2+4>0，¿，∴AB=√(n+1) 2+4，
∵1≤n<3，
∴当n=1时，AB最小值为2√2，
当n=3时，AB最大值小于2√5，
∴2√2≤AB<2√5；
（3）由题意，令y=x2+(4-mt)x-4mt=0，
∴x +x =mt-4，x x =-4mt，
1 2 1 2
则l2=(x -x ) 2=(x +x ) 2-4x x =(mt+4) 2 ，
1 1 2 1 2 1 2
同理l2=(n+t) 2
，
2
s=(mt+4) 2-(n+t) 2=(m2-1)t2+(8m-2n)t+(16-n2 )，
∵m2-1≠0，
∴要不论t为何值，S≥0恒成立，
即：(m2-1)t2+(8m-2n)t+(16-n2 )≥0恒成立，
由题意得：m2-1>0，Δ=(8m-2n) 2-4(m2-1)(16-n2 )≤0，
解得：(mn-4) 2≤0，mn=4
∵m，n为正整数，且m≠1，
则m=2，n=2或m=4，n=1．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题
的关键．
9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）与y=ax2+bx+c（a≠0）满足a+a=0，b=b，c+c=0，则称这两个函数互为“旋转
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a=1，b=-3，c=-2，根据a+a=0，b=b，c+c=0，求出a，
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2
b，c，就能确定这个函数的“旋转函数”．
2 2
请参考小明的方法解决下面问题：
(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ；4
(2)若函数y=-x2+ mx-2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；
3
1
(3)已知函数y= (x-1)(x+4)的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点
2
A、B、C关于原点的对称点分别是A，B，C ，试证明经过点A，B，C 的二次函数与函数
1 1 1 1 1 1
1
y= (x-1)(x+4)互为“旋转函数”
2
【答案】(1)y＝-x2-3x＋2；
(2)1
(3)见解析
【分析】（1）根据y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c 是常数）与y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c 是常
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
数）满足a＋a＝0，b＝b，c＋c＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a，b，c，可得旋转函
1 2 1 2 1 2 2 2 2
数；
（2）根据y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c 是常数）与y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c 是常数）满足
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
a＋a＝0，b＝b，c＋c＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a，b，c，根据负数奇数次幂是
1 2 1 2 1 2 2 2 2
负数，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，
纵坐标互为相反数，可得A，B，C ，根据待定系数法，可得函数解析式；根据y＝ax2＋bx＋c（a≠0，
1 1 1 1 1 1 1
a，b，c 是常数）与y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c 是常数）满足a＋a＝0，b＝b，c＋c＝0，则
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
称这两个函数互为“旋转函数”，可得a，b，c，可得旋转函数．
2 2 2
【详解】（1）解：由y=x2-3x-2函数可知a＝1，b＝-3，c＝−2．
1 1 1
由a＋a＝0，b＝b，c＋c＝0，得
1 2 1 2 1 2
a＝-1，b＝-3，c＝2．
2 2 2
函数y＝x2＋3x−2的“旋转函数”为y＝-x2-3x＋2；
4
（2）由y=-x2+ mx-2与y＝x2−2nx＋n互为“旋转函数“，
3
4
得−2n＝ m，−2＋n＝0．
3
解得n＝2，m＝−3．
当m＝2，n＝−3时，(m+n)2020＝（2−3）2020＝（−1）2020＝1；1
（3）∵当y＝0时， (x-1)(x+4)=0，解得x＝−1，x＝4，
2
∴A（−1，0），B（4，0）．
1
当x＝0时，y＝ ×（−4）＝-2，即C（0，-2）．
2
由点A，B，C关于原点的对称点分别是A，B，C ，
1 1 1
得A（1，0），B（−4，0），C （0，2）．
1 1 1
设过点A，B，C 的二次函数y＝a(x+1)(x-4)，将C （0，2）代入，
1 1 1 1
1
解得a=- ，
2
1 1 3
∴过点A，B，C 的二次函数y=- (x+1)(x-4) =- x2+ x+2
1 1 1 2 2 2
1 1 3
而y= (x-1)(x+4)= x2+ x-2
2 2 2
∴a＋a＝0，b＝b，c＋c＝0，
1 2 1 2 1 2
1
∴经过点A、B、C 的二次函数与函数y= (x-1)(x+4)互为“旋转函数”．
1 1 1 2
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与
坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．
10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为x的二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c（a≠0，b≠0）称为一对“亲密函
数”，如y=5x2-3x+2的“亲密函数”是y=5x2+3x+2．
任务：
（1）写出二次函数y=x2+3x-4的“亲密函数”：______；
（2）二次函数y=x2+3x-4的图像与x轴交点的横坐标为1和-4，它的“亲密函数”的图像与x轴交点的
横坐标为______，猜想二次函数y=ax2+bx+c（b2-4ac>0）的图像与x轴交点的横坐标与其“亲密函
数”的图像与x轴交点的横坐标之间的关系是______；
（3）二次函数y=x2+bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为1和-2021，请利用（2）中的结论直接写出
二次函数y=4x2-2bx-2021的图像与x轴交点的横坐标．
【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）4和-1；互为相反数；（3）二次函数y=4x2-2bx-2021的图像与x
1 2021
轴交点的横坐标为- 和
2 2
【分析】（1）根据二次函数y=x2+3x-4的“亲密函数”定义把一次项系数变为相反数即可；（2）利用“亲密函数”建立y=0时方程，解方程，得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，与原函数与x轴
交点横坐标比较，得出规律即可；
（3）先将函数变形，发现与“亲密函数”类似，根据原函数与x轴交点横坐标得出“亲密函数”与x轴交
点横坐标，利用2x等于交点横坐标，求出x得出所求函数与x轴的交点横坐标即可．
【详解】解：（1）二次函数y=x2+3x-4的“亲密函数”为y=x2-3x-4，
故答案为：y=x2-3x-4；
（2）x2-3x-4=0，解得x=4,x=-1，
它的“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐标为4和-1，
∴二次函数y=ax2+bx+c（b2-4ac>0）的图像与x轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与x轴交点
的横坐标之间的关系是互为相反数；
故答案为4和-1；互为相反数；
（3）y=4x2-2bx-2021=(2x) 2-b(2x)-2021，
∵二次函数y=x2+bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为1和-2021，
∴二次函数y=x2-bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为-1和2021，
∴y=4x2-2bx-2021=(2x) 2-b(2x)-2021图像与x轴交点的横坐标为-1和2021，
∴2x=-1,2x=2021，
1 2021
∴x=- ，x= ，
2 2
1 2021
∴二次函数y=4x2-2bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为- 和 ．
2 2
【点睛】本题考查新定义函数，仔细阅读题目，抓住实质，抛物线与x轴交点横坐标和一元二次方程的根，
利用“亲密函数”变形得出新函数图像与x轴的交点横坐标是解题关键．
【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+(a+b)x+b叫做一次函数y＝ax＋
b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数y=ax2+(a+b)x+b的“本源函数”（a，b为常数，
且a≠0）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是y=ax2-3x+a+1，那么二次函数y=ax2-3x+a+1
的“本源函数”是 ．
【答案】y=﹣2x-1
【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数y=ax2-3x+a+1的本源函数．
【详解】解：由题意得¿解得¿
∴函数y=ax2-3x+a+1的本源函数是y=﹣2x-1．
故答案为：y=﹣2x-1．
【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．
2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函
数的不动点．例如，点(1,1)是函数y=-2x+3的不动点．已知二次函数y=x2+2(b+2)x+b2（b是实数）．
(1)若点(-1,-1)是该二次函数的一个不动点，求b的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求b的取值范围．
【答案】(1)1+√3或1-√3
3
(2)b≥-
4
【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可；
（2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可．
【详解】（1）解：依题意把点(-1,-1)代入解析式y=x2+2(b+2)x+b2，
得-1=1-2(b+2)+b2，化简得：b2-2b-2=0，解得：b =1+√3,b =1-√3；
1 2
（2）解：设点(t,t)是函数y=x2+2(b+2)x+b2的一个不动点，
则有t=t2+2(b+2)t+b2，化简得，t2+(2b+3)t+b2=0，
∵关于t的方程有实数解，
3
∴ Δ=(2b+3) 2-4b2≥0，解得：b≥- ．
4
【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与
判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题．
3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数y =2kx+k与函数y =x2-2x+3，定义“和函数”y= y + y ．
1 2 1 2
(1)若k=2，则“和函数”y= ；
(2)若“和函数”y为y=x2+bx-2，则k= ，b= ；
(3)若该“和函数”y的顶点在直线y=-x上，求k．
【答案】(1)x2+2x+5．
(2)-5，-12．
(3)k=3或-1．【分析】（1）将k=2代入函数y =2kx+k中得出函数y =4x+2，再利用y= y + y 即可得出结论；
1 1 1 2
（2）y的解析式为y= y + y =x2+（2k-2）x+k+3，又y=x2+bx-2， 利用两者相等即可得出结论；
1 2
（3）先得出和函数y= y + y =x2+（2k-2）x+k+3=（x+k-1） 2-k2+3k+2，进而根据顶点在
1 2
直线y=-x上得出-k2+3k+2=-(k-1)，即可得出结论．
【详解】（1）解：当k=2时，y =2kx+k=4x+2，
1
∵函数y =x2-2x+3，此时和函数y= y + y ，
2 1 2
∴y=4x+2+x2-2x+3=x2+2x+5，
故答案为：x2+2x+5．
（2）解：∵函数y =2kx+k与函数y =x2-2x+3，和函数y= y + y ，
1 2 1 2
∴和函数y的解析式为y= y + y =x2+（2k-2）x+k+3，
1 2
∵和函数y的解析式为y=x2+bx-2，
∴b=2k-2，k+3=-2，
∴k=-5，b=-12，
故答案为：-5，-12．
（3）解：由题意得和函数为
y= y + y =x2+（2k-2）x+k+3，
1 2
=（x+k-1） 2-k2+3k+2，
∴和函数的顶点为（1-k，-k2+3k+2），
∵和函数的顶点在y=-x上，
∴-k2+3k+2=-(1-k)，
整理得k2-2k-3=0，
解得k =3，k =-1．
1 2
故答案为：k=3或-1．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，
只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(x ,y )
1 1
和B(x ,y )，用以下方式定义两点间距离：d(A,B)=|x -x |+|y - y |．
2 2 1 2 1 2
(1)①已知点A(-2,1)，则d(O,A)=______．
②函数y=-2x+4(0≤x≤2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O,B)=3，求点B的坐标．
(2)函数y=x2-5x+7(x≥0)的图象如图②所示，D是图象上一点，求d(O,D)的最小值及对应的点D的坐
标．
【答案】(1)①3，②(1,2)
(2)3，(2,1)
【分析】（1）①根据公式d(A,B)=|x -x |+|y - y |直接计算即可；②根据函数y=-2x+4(0≤x≤2)的
1 2 1 2
图象上的点的横纵坐标均非负，可得x ≥0，y ≥0，y =-2x +4，再根据d(O,B)=3，可得
B B B B
|0-x |+|0- y |=3，即有x + y =3，进而可得¿，解方程即可求解；
B B B B
( 5) 2 3 3
（2）函数y=x2-5x+7化为顶点式为：y= x- + ，即可得y≥ ，x≥0，根据点D是图象上一点，
2 4 4
3
可得y ≥ ，x ≥0，y =x2 -5x +7，则有d(O,D)=|0-x |+|0- y |=x + y ，即可得
D 4 D D D D D D D D
d(O,D)=(x -2) 2+3，问题随之得解．
D【详解】（1）①∵A(-2,1)，O(0,0)，
∴d(O,A)=|x -x |+|y - y |=|0-(-2)|+|0-1|=3，
1 2 1 2
故答案为：3；
②∵点B是函数y=-2x+4(0≤x≤2)的图象点，
∵函数y=-2x+4(0≤x≤2)的图象上的点的横纵坐标均非负，
∴x ≥0，y ≥0，y =-2x +4，
B B B B
∵d(O,B)=3，
∴|0-x |+|0- y |=3，
B B
∴x + y =3，
B B
∵y =-2x +4，
B B
∴¿，
解得：¿，
∴B点坐标为：(1,2)，
( 5) 2 3
（2）函数y=x2-5x+7化为顶点式为：y= x- + ，
2 4
( 5) 2 3 3
∴y= x- + ≥ ，
2 4 4
∵x≥0，点D是图象上一点，
3
∴y ≥ ，x ≥0，y =x2 -5x +7，
D 4 D D D D
∴d(O,D)=|0-x |+|0- y |=x + y ，
D D D D
∴d(O,D)=x +x2 -5x +7=x2 -4x +7，
D D D D D
∴d(O,D)=(x -2) 2+3，
D
∴当x =2时，d(O,D)有最小值，最小值为d(O,D)=3，
D
∴y =x2 -5x +7=22-5×2+7=1，
D D D
∴D点坐标为：(2,1)，
即最小值为3，D点坐标为(2,1)．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，充分理解定义的两点间距离：，是解答本题的关键．
d(A,B)=|x -x |+|y - y |
1 2 1 2
5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【a，b，c】为函数
y=ax2+bx+c的“特征数”，如：函数y=2x2-3x+5的“特征数”是【2，-3，5】，函数y=x+2的
“特征数”是【0，1，2】
(1)若一个函数的“特征数”是【1，-4，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到一个图像对应的函数“特征数”是______；
√3
(2)将“特征数”是【0，- ，-1】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是
3
______；
(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与y轴交于A、B两点，与直线x=-√3分别交于D、C两点，
在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、B、C、D四点为顶点的四边形的面积；
1
(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，-2b，b2+ 】的函数图像有交点，求满足条件的实数b的取
2
值范围．
【答案】(1)【1，0，-2】
√3
(2)y=- x+1
3
(3)图见解析；面积为2√3
√6 √2
(4)-√3- ≤b≤
2 2
【分析】（1）由已知可知y=x2-4x+1，平移后的函数为y=x2-2，则可求“特征数”；√3 √3
（2）由已知可知函数为y=- x-1，平移后函数为y=- x+1；
3 3
（3）令x=0，求出A(0,-1)，B(0,1)，令x=-√3，求出D(-√3，0)，C(-√3，2)，则
AB=CD=AD=2，又由AB∥CD，可判断四边形ABCD是菱形；然后结合图形求面积即可；
1 1
（4）由已知可得y=x2-2bx+b2+ =(x-b) 2+ ，则函数与AD边无交点，只能与BC边有交点，将
2 2
B(0,1)代入函数，将C(-√3，2)代入函数求解即可得出结果．
【详解】（1）解：∵函数的特征数是【1，-4，1】，
∴函数为y=x2-4x+1=(x-2) 2-3，
将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=x2-2，
∴函数y=x2-2的“特征数”是【1，0，-2】．
故答案为：【1，0，-2】．
√3
（2）∵函数的“特征数”是【0，- ，-1】，
3
√3
∴y=- x-1，
3
∵函数图象向上平移2个单位，
√3
∴平移后函数为y=- x+1．
3
√3
故答案为：y=- x+1．
3
（3）解：令x=0，则A(0,-1)，B(0,1)，
∴AB=2，
令x=-√3，则D(-√3，0)，C(-√3，2)，
∴CD=2，AO=1,DO=√3，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=√AO2+DO2=√12+(√3) 2=2，
∴四边形ABCD是菱形．S =AB×DO=2√3；
四边形ABCD
1
（4）∵函数的“特征数”是【1，-2b，b2+
】，
2
1 1
∴y=x2-2bx+b2+ =(x-b) 2+ ，
2 2
∴由函数图象得：函数与AD边无交点，
∴函数与BC边有交点，
1 √2
将B(0,1)代入函数y=x2-2bx＋b2 ＋ 得：b=± ，
2 2
1 √6
将C(-√3，2)代入函数y=x2-2bx+b2+ 得：b=-√3± ，
2 2
√6 √2
∴-√3- ≤b≤ ．
2 2
【点睛】本题考查二次函数的综合、新定义，函数的平移，理解定义，能将定义与所学函数知识结合是解
题的关键．
6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．
例如：一次函数y=x-1，它的相关函数为y=¿
(1)已知点A（-2，1）在一次函数y=ax-3的相关函数的图象上时，求a的值．
1 5
(2)已知二次函数y=-x2+4x-
．当点B（m， ）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．
2 2
【答案】(1)a=-1；
(2)m=2-√6或m=3或m=1．
【分析】（1）函数y=ax-3的相关函数为y=¿，将点A（-2，1）代入y=-ax+3即可求解；
5 1 1 5 5
（2）当m＜0时，将B（m， ）代入y=x2-4x+ 得m2-4m+ = ，可求得m的值；当m≥0时，将B（m，
2 2 2 2 2
1 1 5
）代入y=-x2+4x- 得：-m2+4m- = ，可求得m的值．
2 2 2
(1)
解：函数y=ax-3的相关函数为y=¿，
将点A（-2，1）代入y=-ax+3得：2a+3=1，解得：a=-1；
(2)
1
解：二次函数y=-x2+4x- 的相关函数为y=¿，
2
5 1 1 5
①当m＜0时，将B（m， ）代入y=x2-4x+ 得m2-4m+ = ，
2 2 2 2
解得：m=2+√6（舍去）或m=2-√6；
5 1 1 5
②当m≥0时，将B（m， ）代入y=-x2+4x- 得：-m2+4m- = ，
2 2 2 2
解得：m=3或m=1．
综上所述：m=2-√6或m=3或m=1．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象
上点的坐标与函数解析式的关系，理解互为相关函数的概念是解题的关键．
7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形M与图形N有且只有两个公共点，则称图形M与
图形N互为“双联图形”，即图形M是图形N的“双联图形”，图形N是图形M的“双联图形”．1
(1)若直线y=-x+b与抛物线y=x2+1互为“双联图形”，且直线y=-x+b不是双曲线y= 的“双联图
x
形”，求实数b的取值范围；
(2)如图2，已知A(-2,0)，B(4,0)，C(1,3)三点．若二次函数y=a(x+1) 2+3的图象与△ABC互为“双联
图形”，直接写出a的取值范围．
3
【答案】(1)b的取值范围是 <b≤2
4
1 3
(2)-3<a<- 或- <a<0
8 25
【分析】（1）已知直线y=-x+b与抛物线y=x2+1有且只有两个公共点，
∴将y=-x+b代入抛物线y=x2+1中，得，
x2+x+1-b=0
1 2 3
配方得，(x+ ) =b-
2 4
∵方程有实数解，
3 3
∴b- >0即b>
4 4
1
又直线y=-x+b不是双曲线y= 的“双联图形”，
x
1
∴直线y=-x+b与双曲线y= 最多有一个公共点，
x
即当x=1时，y=-x+b≤1代入得，-1+b≤1，即b≤2，
3
∴实数b的取值范围是 <b≤2；
4（2）∵y=a(x+1) 2+3是二次函数，
∴a≠0
∵二次函数y=a(x+1) 2+3的顶点坐标为（-1，3），且对称轴为直线x=-1，
∴当a>0时，二次函数y=a(x+1) 2+3的图象与ΔABC的图象没有交点，
∴a>0不成立；
当a<0时，二次函数y=a(x+1) 2+3的图象开口向下，为使它与ΔABC互为双联图形，即有且只有两个公
共点，
∴①当抛物线与AC和AB相交时，设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C(1，4)，B(4，0)代入，得
¿，
∴¿，
∴y=-x+4，
∵抛物线与BC不想交，
∴a(x+1) 2+3=-x+4，即ax2+(2a+1)x+a-1=0无实数根，
∴(2a+1)2-4a(a-1)<0，
1
解得a<- ，
8
又当x=-2时，要满足y>0，相当于a+3>0，所以a>-3；
1
∴-3<a<- ；
8
②当抛物线与AC和BC相交时，
3
当x=4时，要满足y>0，相当于25a+3>0，所以，a>- ，
25
3
∴- <a<0；
25
1 3
综上，a的取值范围为：-3<a<- 或- <a<0
8 25
8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）
的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 ；
②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 ；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象
与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝ ；（用含c的式子表示）
②求b的值．
【答案】（1）①2；②5；（2）①m＝－c；②3-2√2或3+2√2．
【分析】（1）①由题中所给“坐标差”的定义即可得到点A（1，3）的坐标差.
②由坐标差的定义可得：二次函数y＝－x2＋3x＋4图象上点的坐标差为：y－x＝－x2＋3x＋4－x＝－x2＋
2x＋4，将此关系式配方即可求得y－x的最大值，从而得到抛物线y＝－x2＋3x＋4的“特征值”.
（2）①由题意可得：0－m＝c－0，由此可得：m＝－c.
②由m＝－c可得点B的坐标为（－c，0），把点B的坐标代入y＝x2＋bx＋c（c≠0）中可得c(c－b＋1)＝
0，由c≠0可得c－b＋1＝0，即b＝c＋1，再由y-x＝－x2＋（b－1）x＋c.
(b-1) 2
（c≠0）的特征值为1可得： +c=1，两者即可解得b和c的值．
4
【详解】解：（1）①根据图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，
点A（1，3）的“坐标差”为3－1＝2，
故答案为2；
②抛物线y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”为－x2＋3x＋4－x
－x2＋3x＋4－x＝－x2＋2x＋4＝－(x2－2x＋1－1)＋4＝－(x－1)2＋5，
所以抛物线y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”为5.
故答案为5；
（2）①∵点C是此二次函数的图象与y轴的交点，
∴C（0，c）,
∵ B（m，0），点B与点C的“坐标差”相等．
∴c-0=0-m
∴m=-c,
故答案为：m＝－c.
②∵m＝－c
∴B（－c，0）将其代入 y＝－x2＋bx＋c中，
得－c2－bc＋c＝0
∵c≠0
∴－c－b＋1＝0
∴b＝－c＋1①
∴其“坐标差”为：y－x＝－x2＋bx＋c－x＝－x2＋（b－1）x＋c.
b-1 (b-1) 2
∴y－x＝－x2＋（b－1）x＋c=-[ x-（ ）]2+ +c
2 4
∵“特征值”为1.
(b-1) 2
∴ +c=1②.
4
将①代入②中，
c2+4c=4
解得c＝±2√2－2，
当c=2√2-2，b=-c+1=-(2√2-2)+1=3-2√2,
当c=-2√2-2，b=-c+1=-(-2√2-2)+1=3+2√2．
【点睛】本题考查新定义“坐标差”“特征值”，仔细阅读，掌握新定义的特征，二次函数的性质，一元
二次方程的解法，解题的解题关键是能够正确利用题意进行计算，正确利用“特征值”的定义计算．
9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意
的函数值y，都满足-M≤ y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个
函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．(1)直接写出有界函数y=2x+1(-4<x≤2)的边界值；
(2)已知函数y=2x2+bx+c(m≤x≤n,m<n)是有界函数，且边界值为3，直接写出n-m的最大值；
(3)将函数y=2x2(-1≤x≤k,k≥0)的图象向下平移k个单位，得到的函数的边界值是t，直接写出k的取值
3
范围，使得 ≤t≤2．
2
【答案】(1)7
(2)2√3
1 √13+1 √17+1
(3)0≤k≤ 或 ≤k≤
2 4 4
【分析】（1）先分别代入解析式，计算对应的函数值，再根据有界函数的定义确定边界值即可．
（2）根据新定义可得当n-m最大时y=2x2+bx+c的顶点在y=-3上，求得此时y=2x2+bx+c与y=3的
交点的线段长，即为所求；
（3）分k>2，0≤k≤2两种情况根据新定义分析即可．
【详解】（1）解：解析式为y=2x+1(-4<x≤2)，
当x=-4时，y=2x+1=-8+1=-7；
当x=2时，y=2x+1=4+1=5；
因为-7<y≤5，
根据定义可得-7≤ y≤7
所以函数y=2x+1(-4＜x≤2)的边界值是7．
（2）解：∵函数y=2x2+bx+c(m≤x≤n,m<n)是有界函数，且边界值为3，
∴y=2x2+bx+c开口向上，如图，当n-m最大时，y=2x2+bx+c的顶点在y=-3上，此时BC的长最大，
设y=2x2+bx+c=2(x-h) 2-3，
当y=3时，6=2(x-h) 2，
解得：x=h±√3，
∴n-m=h+√3-(h-√3)=2√3，
即n-m的最大值为2√3．
（3）解：∵函数y=2x2(-1≤x≤k,k≥0)的图象向下平移k个单位，
所以解析式为y=2x2-k，
当x=0时，函数值为y=-k，是函数的最小值，
当k>2时，函数值为y=-k<-2，
3
所以边界值t>2，与 ≤t≤2矛盾，
2
所以k>2不成立；
当k≤2时，
当x=0时，函数y=2x2=0，函数过点(0,0)，此时函数有最小值，
当x=-1时，函数y=2x2=2，函数过点(-1,2)，
当函数向下平移k个单位后，两个点的坐标变为(0,-k)，(-1,2-k)，
3
∵函数的边界值是t满足 ≤t≤2，
2
∴¿或¿1 √13+1 √17+1
解得0≤k≤ 或 ≤k≤ ，
2 4 4
1 √13+1 √17+1 3
故当0≤k≤ 或 ≤k≤ 时，满足 ≤t≤2．
2 4 4 2
【点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、有界函数的定义以及解一元一次不等式组，解题
的关键是理解新定义，列出不等式．
10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则
把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”y=x+1，其“明德点”为（1，
2）．
(1)①判断：函数y=2x+3 __________ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数y=x2的图像上的明德点是 ___________；
1
(2)若抛物线y=(m-1)x2+mx+ m上有两个“明德点”，求m的取值范围；
4
n k
(3)若函数y=x2+(m-k+2)x+ - 的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当-1≤m≤3时，n的最小
4 2
值为k，求k的值．
【答案】(1)①不是；②（2，4）
5+√5 5-√5
(2)m> 或m< ，且m≠1
2 2
-3-√5
(3)k= 或k=0
2
【分析】（1）根据定义，即可得到结果；
1
（2）根据抛物线y=(m-1)x2+mx+ m上有两个“明德点”，可知Δ>0，得到m2-5m+5>0，求解一
4
元二次不等式方程即可；
n k
（3）若函数y=x2+(m-k+2)x+ - 的图像上存在唯一的一个“明德点”，可知Δ=0 ，得到方程
4 2
n=(m-k) 2+2k，再进行分类讨论即可求出k值．
【详解】（1）①∵2x=2x+3时无解，
∴y=2x+3不是“明德函数”；
②根据定义2x=x2，解得：x =2，x =0（舍去），
1 2
∴明德点是（2，4）；
1
（2）∵抛物线y=(m-1)x2+mx+ m是“明德函数”，
4
1
∴2x=(m-1)x2+mx+
，
4
1
整理得：(m-1)x2+(m-2)x+ =0，
4
1
∵抛物线y=(m-1)x2+mx+ m上有两个“明德点”，
4
1
∴Δ=(m-2) 2-4(m-1)× =m2-4m+4-m+1=m2-5m+5>0，
4
( 5) 2 5
即 m- - >0，
2 4
5+√5 5-√5
解得：m> 或m< ，
2 2
∵m-1≠0，
∴m≠1，
5+√5 5-√5
∴m的取值范围为m> 或m< 且m≠1；
2 2
n k
（3）∵函数y=x2+(m-k+2)x+ - 的图像上存在唯一的一个“明德点”，
4 2
n k
∴2x=x2+(m-k+2)x+ - ，且Δ=0，
4 2
∴(m-k) 2-4
(n
-
k)
=0，
4 2
即(m-k) 2-n+2k=0，
∴n=(m-k) 2+2k，
n是关于m的二次函数，对称轴为m=k，
①若k≤-1，则当m=-1，时，n有最小值k，
∴(-1-k) 2+2k=k，即k2+3k+1=0，
-3-√5 -3+√5
解得：k= 或k= （舍去）；
2 2②若k≥3 ，则当m=3时，n有最小值k，
∴(3-k) 2+2k=k，即k2-5k+9=0，
∵Δ=(-5) 2-4×9=-11<0，
∴方程没有实数根；
③若-1<k<3，则当m=k时，n有最小值k，
∴2k=k，
解得k=0，
-3-√5
综上可知：k= 或k=0．
2
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，理解新定义，将新定义与所学二次函数，一元二次方程的知识相
结合，熟练掌握跟与系数关系是解题关键．
【类型3 二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为
“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A(0,2)，点C(2,0)，则互异二次函数y=(x-m) 2-m与
正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
5-√17 5+√17
A．4，-1 B． ，-1 C．4，0 D． ，-1
2 2
【答案】D
【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、
位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数y=(x-m) 2-m与正方形OABC有交点,则共有以下四种情况:当m≤0时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有¿，
解得：-1≤m<0；
当0<m≤1时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有¿，
解得：0<m≤1；
当1<m≤2时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有¿，
解得：1<m≤2；
当m>2时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有¿，
5+√17
解得：2<m≤ ；
2
5+√17
综上可得：m的最大值和最小值分别是 ，-1．
2
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是
能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此
对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称
抛物线”．例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．
1 2
（1）请写出抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐
1 2
标 ；
（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作
x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B'、C'，
连接BC、CC'、B'C'、BB'．
①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的
点时，直接写出a的取值范围．2 3 1 1
【答案】（1）(1，﹣2)，(1，2)；（2）y＝2（x﹣1）2﹣5；（3）①a＝ ；② ≤a≤1或﹣ ≤a＜﹣
3 4 4 5
【分析】（1）根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）；
（2）先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；
（3）①写出点B的坐标，再由对称轴求出点B'，然后结合正方形的性质列出方程求 a；
②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．
【详解】解：（1）由y＝（x﹣1）2﹣2知顶点坐标为（1，﹣2），
1
由y＝﹣（x﹣1）2+2知顶点坐标为（1，2），
2
故答案为：（1，﹣2），（1，2）．
（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5，
∴“同轴对称抛物线”的解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣5．
（3）①当x＝1时，y＝1﹣3a，
∴B（1，1﹣3a），
∴C（1，3a﹣1），
∴BC＝|1﹣3a﹣（3a﹣1）|＝|2﹣6a|，
-4a
∵抛物线L的对称轴为直线x＝- ＝2，
2a
∴点B'（3，1﹣3a），
∴BB'＝3﹣1＝2，
∵四边形BB'C'C是正方形，
∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，
2
解得：a＝0（舍）或a＝ ．
3
②抛物线L的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1﹣4a），
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，∴整点数也是关于x轴对称出现的，
∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，
（i）当a＞0时，
∵L开口向上，与y轴交于点（0，1），
∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，
∴当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，当x＝2时，﹣3≤1﹣4a＜﹣2，
3
解得： ≤a≤1；
4
（ii）当a＜0时，
∵L开口向下，与y轴交于点（0，1），
∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，
∴当x＝2时，1＜1﹣4a≤2，当x＝﹣1时，5a+1＜0，
1 1
解得：- ≤a<- ，
4 5
3 1 1
综上所述： ≤a≤1或﹣ ≤a＜﹣ ．
4 4 5
【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛
物线”．
3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P(a,b)和抛
物线y=x2+ax+b，我们称P(a,b)是抛物线y=x2+ax+b的相伴点，抛物线y=x2+ax+b是点P(a,b)的
相伴抛物线．如图，已知点A(-2,-2)，B(4,-2)，C(1,4)．
（1）点A的相伴抛物线的解析式为______；过A，B两点的抛物线y=x2+ax+b的相伴点坐标为______；
（2）设点 P(a,b)在直线AC上运动：
①点P(a,b)的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式．
②当点P(a,b)的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．【答案】（1）y=x2-2x-2，(-2，-10)；（2）①抛物线Ω的解析式为：y=-x2-4x+2；②
4-4√2<a<0
【分析】（1）a=b=-2，故抛物线的表达式为：y=x2-2x-2，故答案为：y=x2-2x-2；将点A、B坐标代入
y=x2+ax+b并解得：a=-2，b=-10；
（2）①直线AC的表达式为：y=2x+2，设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，顶
1 1
点为：（- m，- m2+2m+2），即可求解；
2 4
②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，即可求解．
【详解】解：（1）a=b=﹣2，
故抛物线的表达式为：y=x2-2x-2．
故答案为：y=x2-2x-2；
将点A、B坐标代入y=x2+ax+b得：
¿，
解得：a=-2，b=-10．
故答案为：(-2，-10)；
（2）①由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y=2x+2，
设点P(m，2m+2)，则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，
顶点为： ( - 1 m,- 1 m2+2m+2 ) ，
2 4
1
令x=- m，则m=-2x，
2
1
则y=- m2+2m+2=-x2-4x+2
4
即抛物线Ω的解析式为：y=-x2-4x+2；
②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，抛物线与直线AC的交点为点E(0,2)；
当y=-2时，即y=-x2-4x+2=-2，解得：x=-2±2√2
故点F(-2+2√2,-2)；
故0<x<-2+2√2，由①知：a=m=-2x，
故：4-4√2<a<0．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通
常按照题设的顺序逐次求解．
4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B
两点，点P在该抛物线上(P点与A． B两点不重合)，如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边
是另一边2√2倍，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的“好”点．
（1）命题：P(0，3)是抛物线y=-x2+2x+3的“好”点．该命题是_____（ 真或假）命题．
（2）如图2，已知抛物线C:y=ax2+bx(a<0)与x轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，
求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S =S P的Q点(异于点P)的坐标．
△ABQ △AB
1 7 7
【答案】（1）假；（2）y=- x2+ x；（3）( ，2)．
3 3 2
【分析】（1）y=-x2+2x+3=0，则x=3或-1，即点A、B的坐标分别为：(-1,0)、(3,0)，即可求解；
（2）分PA=2√2PB、PB=2√2PA两种情况，分别求解即可；
（3）S =S ，则点P、Q关于抛物线对称轴对称，即可求解．
ΔABQ ΔABP
【详解】解：（1）令y=-x2+2x+3=0，则x=3或-1，即点A、B的坐标分别为：(-1,0)、(3,0)，
则PA=√1+9=√10，PB=3√2，
则PA与PB两条边满足其中一边是另一边的2√2倍，则该命题是假命题，故答案为：假；
（2）将点P的坐标代入抛物线表达式得：a+b=2，
a-2
点A(0,0)，则点B( ，0)，点P(1,2)，
a
a-2 2 2 2
则PA2=5，PB2=4+( -1) =4+( ) ，
a a
①当PA=2√2PB时，
2 2
即5=8[4+( ) ]，解得：方程无解；
a
②当PB=2√2PA时，
2 2
4+( ) =5×8=40，
a
1 7
解得：a=- ，则b= ，
3 3
1 7
故抛物线的表达式为：y=- x2+ x；
3 3
（3）S =S ，则点P、Q关于抛物线对称轴对称，
ΔABQ ΔABP
7
函数的对称轴为：x= ，
2
7
则点Q的坐标为：( ，2)．
2
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，其中
（2），要注意分类求解，避免遗漏．
5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c
（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其
2√3 4√3
“梦想三角形”．已知抛物线y=- x2- x+2√3与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B
3 3
的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将 ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若
AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点△M的坐标．
△2√3 2√3 3 3√3
【答案】（1）y=- x+ ；（-2，2√3）；（1，0）；（2）N点坐标为（0，2√3-3）或（ ，
3 3 2 2
）
【分析】（1）由“梦想直线”的定义可求得其解析式，联立直线与抛物线的解析式可求得A,B的坐标；
（2）根据“梦想三角形”的定义，分当点N在y轴上时和当M点在y轴上时两种情况讨论即可.
2√3 2√3
【详解】解（1）由“梦想直线”的定义得，抛物线的“梦想直线”的解析式为y=- x+ ，
3 3
联立梦想直线与抛物线解析式可得¿，解得¿或¿，
∴A（-2，2√3），B（1，0），
2√3 2√3
故答案为：y=- x+ ；（-2，2√3）；（1，0）；
3 3
（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，
如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，
2√3 4√3
在y=- x2- x+2√3中，令y=0可求得x=-3或x=1，
3 3
∴C（-3，0），且A（-2，2√3），
∴AC=√ (-2+3) 2+(2√3) 2=√13，
由翻折的性质可知AN=AC=√13，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=√AN2-AD2=3，
∵OD=2√3，
∴ON=2√3-3或ON=2√3+3，
当ON=2√3+3时，则MN＞OD＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意，
∴N点坐标为（0，2√3-3）；
当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，
在Rt△AMD中，AD=2，OD=2√3，
∴∠DAM=60°，
∵AD∥x轴，
∴∠AMC=∠DAO=60°，
又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°，
∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，
1 3 √3 3√3
∴MP= MN= ，NP= MN= ，
2 2 2 2
3 3√3
∴此时N点坐标为（ ， ）；
2 2
3 3√3
综上可知N点坐标为（0，2√3-3）或（ ， ）；
2 2
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，二次函数与一元二次方程的联系，翻折的性质，勾股定理，正
确的理解“梦想直线”和“梦想三角的定义是解决问题的关键.
6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，
则称P、Q为线段MN的三等分点．
已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点
C的左边）．（1）直接写出点A、C的坐标；
（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；
②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重
合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存
在，试说明理由；
（3）在（2）的条件下，将 OAB沿AC方向移动到 O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），
△ △
3
O'A'B'与 OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝ 时点A'的坐标．
8
△ △
3 7
【答案】（1）点A、C的坐标分别为：（1，2）、（2，1）；（2）①抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+
2 2
15+√29 177+2√29 3 3
x；②P的坐标为：（ ， ）；（3）点A′的坐标为：（ ， ）
14 98 2 2
【分析】（1）先求出M、N的坐标，再根据A、C为线段MN的三等分点，即可求解；
（2）①设函数的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、C的坐标代入上式即可求解；
3 7 3 7 1
②设点P（m，﹣ m2+ m），AP＝BE，则（m﹣1）2+（﹣ m2+ m﹣2）2＝ ，即可求解；
2 2 2 2 4
1 1 1 1 1 3-3π 3
（3）S＝S ﹣S ＝ ×GK×A′K﹣ HE×A′R＝ （1﹣ m）（2﹣m）﹣ （1﹣m）（ ）＝
△A′GK △A′HR 2 2 2 2 2 2 8
，即可求解．
【详解】解：（1）一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，令x=0，y=3，则M的坐标为
（0，3），令y=0，x=3，则N的坐标为（3，0），由A、C为线段MN的三等分点，则点A、C的坐标分
别为：（1，2）、（2，1）；
（2）①设函数的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、C的坐标代入上式得：¿，解得：¿，3 7
故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ x；
2 2
②存在，理由：
3 7
设点P（m，﹣ m2+ m），
2 2
1 1 1
直线OC的表达式为：y＝ x，则点B（1， ），BE＝ ，
2 2 2
3 7 1
AP＝BE，则（m﹣1）2+（﹣ m2+ m﹣2）2＝ ，
2 2 4
化简得：7m2﹣15m+7＝0，
15±√29
解得：m＝ （舍去负值），
14
15+√29 177+2√29
故点P的坐标为：（ ， ）；
14 98
（3）设直线A′O′交OC于点H，交x轴于点G，直线A′B′交OC于点R，交x轴于点K，过点H作
HE⊥A′B′于点E，
设点A向下平移m个单位向右平移m个单位得到A′（1+m，2﹣m），
设直线O′A′的表达式为：y＝2x+b，将点A′的坐标代入上式并解得：
直线O′A′的表达式为：y＝2x﹣3m①，
3π 3π 1
故点G（ ，0），则GK＝1+m﹣ ＝1﹣ m，
2 2 2
1
直线OC的表达式为：y＝ x②，
2
联立①②并解得：x＝2m，故点H（2m，m），则HE＝1+m﹣2m＝1﹣m，
1+π 1 3-3π
点R（1+m， ），则A′R＝2﹣m﹣ （m+1）＝ ，
2 2 2
1 1 1 1 1 3-3π 3
S＝S ﹣S ＝ ×GK×A′K﹣ HE×A′R＝ （1﹣ m）（2﹣m）﹣ · （1﹣m）＝ ，
△A′GK △A′HR 2 2 2 2 2 2 81
解得：m＝ ，
2
3 3
故点A′的坐标为：（ ， ）．
2 2
【点睛】本题是对二次函数知识的综合考查，难度较大，属于中考压轴题.
7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y
与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G
的“特征值”．
（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．
（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和
y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．
（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形
DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图
象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．
【答案】(1)-1,5;(2) y＝﹣x2+3x﹣2；(3) 2＜p＜10.
【分析】（1）1-2=-1，故“坐标差”为-1，y-x=-x2+3x+4-x=-（x-1）2+5，故“特征值”为5；
（2）由题意得：点C（0，c），故点B、C的“指标差”相等，故点B（-c，0），把点B的坐标代入y=-
x2+（1-c）x+c得：0=-（-c）2+b（-c）+c，解得：b=1-c，故：y=-x2+（1-c）x+c，故抛物线的“特征值”
4×(-1)c-c2
为-1，y-x=-x2+（1-c）x+c-x=-x2-cx+c，故 =-1，即可求解；
4×(-1)
（3）“坐标差”为2的一次函数为：y=x+2，对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），则对称轴
p
为：- - =1，解得：p=2，对于图2，把点E（7，3）代入y=-（x-m）2+m+2并解得：m=5或10
2×(-1)
（舍去10），即可求解．【详解】解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐标差”为﹣1，
y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”为5；
（2）由题意得：点C（0，c），且点B、C的“坐标差”相等，
故点B（﹣c，0），把点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：
0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，
解得：b＝1﹣c，
故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，
故抛物线的“特征值”为﹣1，
∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，
4×(-1)c-c2
故 ＝﹣1．
4×(-1)
∴c＝﹣2，b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2；
（3）“坐标差”为2的一次函数为：y＝x+2，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在y＝x+2上，
∴设抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m+2，
当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2，
对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），
p
则对称轴为：﹣ ＝1，解得：p＝2，
2×(-1)
对于图2，把点E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得：
m＝5或10（舍去10），
p
故﹣ ＝5，解得：p＝10，
2×(-1)
故二次函与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围：2＜p＜10．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法、二次函数的性质、一次函数、矩形性质等，
这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解．
8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，
连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
1 3
如图3，二次函数y= x2– x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否
2 2
存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3+√89 3-√89
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（ ，5）或（ ，5）
2 2
【详解】（1）如图1所示，取AC的中点D，连接BD，则△BAD和△BCD为偏等积三角形．
（2）如图2所示：过点B作BH⊥EA交EA延长线于点H．
∵四边形ABFC和四边形ADGE均为正方形，∴∠HAC+∠DAC=90°，∠BAH+∠HAC=90°，AB=AC，AD=AE．
∴∠BAH=∠DAC．
在△ABH和△ACD中，¿，
∴△ABH≌△ACD．∴CD=HB．
1 1
∵S = AE•BH，S = AD•DC，AE=AD，CD=BH，
△ABE 2 △CDA 2
∴S =S ．
△ABE △CDA
∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）∵S =S ，
△ABC △ABD
∴点D到AB的距离等于点C到AB的距离．
将x=0代入得：y=–5， ∴CO=5．
∴点D到AB的距离为5，即点D的纵坐标为±5．
当点D的纵坐标为–5时，△ABC与△ABD全等（舍去）．
1 3
当点D的纵坐标为5时， x2– x–5=5，
2 2
3+√89 3-√89
整理得：x2–3x–20=0，解得x= ，x= ．
1 2 2 2
3+√89 3-√89
∴点D的坐标为（ ，5）或（ ，5）
2 2
9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物
线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．
如下图，抛物线F 都是抛物线F 的过顶抛物线，设F 的顶点为A，F 的对称轴分别交F、F 于点D、B，
2 1 1 2 1 2
点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么
①a= ，b= ．
②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．
2
1 2 7
（3）如果抛物线y= x2- x+ 的过顶抛物线是F，四边形ABCD的面积为 2√3，请直接写出点B的
3 3 3 2
坐标．
【答案】（1）①a=1，b=2；②D；（2）4；（3）（1+√3，1），（1-√3，1）．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据自变量的值，可得相应的函数值，根据四边形对
角线的关系，可得答案；
（2）根据对称性，可得AC的长，根据顶点式解析式，可得F 根据待定系数法，可得4a+c-1=c，根据
2
四边形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：B在A的右侧，B在A的左侧，AC=2√3，BD=2，可得答案．
【详解】解：（1）①由A、C点关于对称轴对称，得对称轴x=1
将C点坐标代入解析式，及对称轴公式，得¿
解得：¿
故答案为：a=1,b=-2．
②当x=1时，y=x2，B(1，1)；
y=x2-2x=-1，D(1，-1)；
四边形ABCD的对角线相等互相平分，且互相垂直，
∴四边形ABCD时正方形
故选D．
（2）∵B（2，c－1），
∴AC=2×2=4．
∵当x=0，y=c，
∴A（0，c）．
∵F：y=ax2+c，B（2，c－1）．
1
∴设F：y=a（x－2）2+c－1．
2
∵点A（0，c）在F 上，
2
∴4a+c－1=c，1
∴a= ．
4
当x=2时，y=ax2+c=4a+c，B(2，4a+c)
∴BD=（4a+c）－（c－1）=2．
∴S =4．
四边形ABCD
（3）如图所示：
1 2 7 1
y= x2- x+ = (x-1) 2+2
3 3 3 3
设F 的解析式y= 1 (x-1-a) 2+2+b，B(1+a,2+b),C(3b+1+a,2),D ( 1+a, 1 a2+2 )
2 3 3
1
B点在A点的右侧时， AC=1+a-1=√3
2
1
BD= a2+2-2-b=2
3
解得：a=√3，b=-1，B (1+√3,1)
1
1
B在点A的左侧时， AC=1-(a+1)=√3
2
1
BD= a2+2-2-b=2
3
解得：a=-√3，b=-1，B (1-√3,1)
2
综上所述，B (1+√3,1)，B (1-√3,1)．
1 2
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式，又利用了正方形的判定，分类讨
论是解题的关键，以防遗漏．
10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直
线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝ax2+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，
BD
对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝ ．
AC
（1）图①是抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标 ，点B坐标 ，
惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形 ，|D|为 ．
（2）如果抛物线y＝m(x-1) 2 ﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．
（3）如果抛物线y＝(x-1) 2﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐
标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|．
√7
【答案】（1）（-1,0）；（1，-4）；菱形；2；（2） ；（3） m=2，|D|=√14 或 m=10，|D|=√70
7
．
【分析】（1）联立两个函数的解析式，得到方程组¿，求得方程组的解，得A的坐标；利用配方法确定B
的坐标；根据菱形的判定定理判定即可；根据惊喜度的定义计算即可；
（2）联立两个函数的解析式，得到方程组，解方程组确定交点的坐标，根据惊喜度的定义计算即可；
（3）计算对称轴，分三种情形计算．
【详解】（1）根据题意，得 ¿，∴x2-2x-3=0，
解得x =-1,x =3，
1 2
∴解方程组的解为¿，¿，点A（-1,0）；
∵y＝x2﹣2x﹣3=(x-1) 2-4，
∴点B的坐标为（1，-4）；∵翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D ，
∴直线BD是抛物线的对称轴，
∴BA=BC，DA=DC，
根据翻折的意义，得BA=DA，BC=DC，
∴BA=BC=DA=DC，
∴四边形ABCD是菱形；
设点D的纵坐标为n，
n+(-4)
根据题意，得 =0，
2
∴n=4，
∴点D的坐标为（1，4），
∴AC=x -x =3-(-1)=4，BD=y - y =4-(-4)=8，
C A D B
BD 8
∴|D|＝ ＝ =2；
AC 4
故答案为：（-1,0），（1，-4），菱形，2；
（2）根据题意，得m(x-1) 2-6m=m，解得x =1+√7,x =1-√7，
1 2
∴解方程组的解为¿，¿，
∴点A（1-√7，m），点C（1+√7，m）；
∴AC=x -x =1+√7-1+√7=2√7，
C A
∵抛物线y＝m(x-1) 2 ﹣6m（m＞0），
∴点B的坐标为（1，-6m）；
∵翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D ，∴直线BD是抛物线的对称轴，
n+(-6m)
设点D的纵坐标为n，根据题意，得 =m，
2
∴n=8m，
∴点D的坐标为（1，8m），
∴BD=y - y =8m-(-6m)=14m，
D B
BD 14m
∴|D|＝ ＝ =1，
AC 2√7
√7
∴m= ；
7
（3）∵抛物线y＝(x-1) 2﹣6m，
∴抛物线的对称轴为x=1，
（a）当m﹣1≤1 ≤m+3时，即﹣2≤m ≤2时，如图③，
根据（2），得 点B的坐标为（1，-6m），点D的坐标为（1，8m），
根据对称性，得点D是最高点，且最高点的纵坐标为16，
∴8m=16，
∴m=2，
∴BD=y - y =8m-(-6m)=14m=28，
D B
∴(x-1) 2-12=2，解得x =1+√14,x =1-√14，
1 2
∴点A（1-√14，2），点C（1+√14，2）；
∴AC=x -x =1+√14-1+√14=2√14，
C A
BD 28
∴|D|＝ ＝ =√14；
AC 2√14
（b）当m﹣1＞1 时，即m＞2时，如图④，根据题意，得翻折前的坐标为（m-1，m2-10m+4），翻折后对应点R的坐标为
（m-1，16），
m2-10m+4+16
根据对称性，得 =m，
2
∴m2-12m+20=0，
∴m=2（舍去），m=10，
∴BD=y - y =8m-(-6m)=14m=140，
D B
∴(x-1) 2-60=10，解得x =1+√70,x =1-√70，
1 2
∴点A（1-√70，10），点C（1+√70，10）；
∴AC=x -x =1+√70-1+√70=2√70，
C A
BD 140
∴|D|＝ ＝ =√70；
AC 2√70
（c）当m+3＜1 时，即m＜-2时，不能形成惊喜线，所以不存在m，
综上所述，m=2，|D|=√14 或 m=10，|D|=√70．
【点睛】本题考查了二次函数的新定义问题，熟练掌握解析式联立方程组的意义及其解法，抛物线的对称
性，活用分类的思想是解题的关键．
