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专题 22.8 二次函数中的三大类型新定义问题
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生二次函数中的三大类型新定义问题
的理解！
【类型1 二次函数问题中的新定义问题】
1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍
点．若二次函数y=x2-2x+c（c为常数）在-10，
解得c<4，
当直线x=-1和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-1代入y=x2-2x+c，得y=3+c，
把x=4代入y=x2-2x+c得y=8+c，
∴ ¿，
解得c>0，
∴00，
解得m<3；
1
（3）解：由题意得
x2+(b-c+2)x+a+c-3=2x
4
整理，得x2+4(b-c)x+4(a+c-3)=0
1
∵函数y= x2+(b-c+2)x+a+c-3的图像上存在唯一的一个“青竹点”，
4
2
∴Δ=[4(b-c)] -4×1×4(a+c-3)=0
整理，得a=(b-c) 2-c+3
∴当b=c时，a的最小值为3-c，
∵当-1≤b≤2时，a的最小值为c，
∴3-c=c
3
∴c= ，
2
【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，
解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．
5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图像与y轴交
点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：y=2x2+4x-5的友好同轴二次函数为y=-x2-2x-5．
1
(1)函数y= x2-2x+3的友好同轴二次函数为 ．
4(2)当-1≤x≤4时，函数y=(1-a)x2-2(1-a)x+3 (a≠0且a≠1)的友好同轴二次函数有最大值为5，
求a的值．
1
(3)已知点(m,p),(m,q)分别在二次函数y =ax2+4ax+c(a> 且a≠1）及其友好同轴二次函数y 的图
1 2 2
像上，比较p,q的大小，并说明理由．
3
【答案】(1)y= x2-6x+3；
4
1
(2)a= 或-2；
4
(3)当m=-4或m=0时，p=q；当m<-4或m>0时，p>q；当-40时，x=4时，y =a(4-1) 2+3-a=8a+3=5，
max
1
解得：a= ；
4
②当a<0时，x=1时，y =a(1-1) 2+3-a=3-a=5，
max
解得：a=-2；
1
综上所述，a= 或-2；
4
1
（3）由函数y =ax2+4ax+c(a> 且a≠1）可求得，
1 2
该函数的友好同轴二次函数为y =(1-a)x2+4(1-a)x+c，
2
把(m,p),(m,q)分别代入y ,y 可得，
1 2
p=am2+4am+c，q=(1-a)m2+4(1-a)m+c，
则p-q=am2+4am+c-[(1-a)m2+4(1-a)m+c]=(2a-1)m2+4(2a-1)m，
1
∵a> ，
2
∴(2a-1)>0，
①当p-q>0时，p>q，即(2a-1)m2+4(2a-1)m>0，
m2+4m>0，
解得：m<-4或m>0；
②当p-q<0时，p0时，p>q；
当-40，¿，∴AB=√(n+1) 2+4，
∵1≤n<3，
∴当n=1时，AB最小值为2√2，
当n=3时，AB最大值小于2√5，
∴2√2≤AB<2√5；
（3）由题意，令y=x2+(4-mt)x-4mt=0，
∴x +x =mt-4，x x =-4mt，
1 2 1 2
则l2=(x -x ) 2=(x +x ) 2-4x x =(mt+4) 2 ，
1 1 2 1 2 1 2
同理l2=(n+t) 2
，
2
s=(mt+4) 2-(n+t) 2=(m2-1)t2+(8m-2n)t+(16-n2 )，
∵m2-1≠0，
∴要不论t为何值，S≥0恒成立，
即：(m2-1)t2+(8m-2n)t+(16-n2 )≥0恒成立，
由题意得：m2-1>0，Δ=(8m-2n) 2-4(m2-1)(16-n2 )≤0，
解得：(mn-4) 2≤0，mn=4
∵m，n为正整数，且m≠1，
则m=2，n=2或m=4，n=1．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题
的关键．
9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）与y=ax2+bx+c（a≠0）满足a+a=0，b=b，c+c=0，则称这两个函数互为“旋转
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a=1，b=-3，c=-2，根据a+a=0，b=b，c+c=0，求出a，
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2
b，c，就能确定这个函数的“旋转函数”．
2 2
请参考小明的方法解决下面问题：
(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ；4
(2)若函数y=-x2+ mx-2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；
3
1
(3)已知函数y= (x-1)(x+4)的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点
2
A、B、C关于原点的对称点分别是A，B，C ，试证明经过点A，B，C 的二次函数与函数
1 1 1 1 1 1
1
y= (x-1)(x+4)互为“旋转函数”
2
【答案】(1)y＝-x2-3x＋2；
(2)1
(3)见解析
【分析】（1）根据y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c 是常数）与y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c 是常
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
数）满足a＋a＝0，b＝b，c＋c＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a，b，c，可得旋转函
1 2 1 2 1 2 2 2 2
数；
（2）根据y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c 是常数）与y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c 是常数）满足
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
a＋a＝0，b＝b，c＋c＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a，b，c，根据负数奇数次幂是
1 2 1 2 1 2 2 2 2
负数，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，
纵坐标互为相反数，可得A，B，C ，根据待定系数法，可得函数解析式；根据y＝ax2＋bx＋c（a≠0，
1 1 1 1 1 1 1
a，b，c 是常数）与y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c 是常数）满足a＋a＝0，b＝b，c＋c＝0，则
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
称这两个函数互为“旋转函数”，可得a，b，c，可得旋转函数．
2 2 2
【详解】（1）解：由y=x2-3x-2函数可知a＝1，b＝-3，c＝−2．
1 1 1
由a＋a＝0，b＝b，c＋c＝0，得
1 2 1 2 1 2
a＝-1，b＝-3，c＝2．
2 2 2
函数y＝x2＋3x−2的“旋转函数”为y＝-x2-3x＋2；
4
（2）由y=-x2+ mx-2与y＝x2−2nx＋n互为“旋转函数“，
3
4
得−2n＝ m，−2＋n＝0．
3
解得n＝2，m＝−3．
当m＝2，n＝−3时，(m+n)2020＝（2−3）2020＝（−1）2020＝1；1
（3）∵当y＝0时， (x-1)(x+4)=0，解得x＝−1，x＝4，
2
∴A（−1，0），B（4，0）．
1
当x＝0时，y＝ ×（−4）＝-2，即C（0，-2）．
2
由点A，B，C关于原点的对称点分别是A，B，C ，
1 1 1
得A（1，0），B（−4，0），C （0，2）．
1 1 1
设过点A，B，C 的二次函数y＝a(x+1)(x-4)，将C （0，2）代入，
1 1 1 1
1
解得a=- ，
2
1 1 3
∴过点A，B，C 的二次函数y=- (x+1)(x-4) =- x2+ x+2
1 1 1 2 2 2
1 1 3
而y= (x-1)(x+4)= x2+ x-2
2 2 2
∴a＋a＝0，b＝b，c＋c＝0，
1 2 1 2 1 2
1
∴经过点A、B、C 的二次函数与函数y= (x-1)(x+4)互为“旋转函数”．
1 1 1 2
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与
坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．
10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为x的二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c（a≠0，b≠0）称为一对“亲密函
数”，如y=5x2-3x+2的“亲密函数”是y=5x2+3x+2．
任务：
（1）写出二次函数y=x2+3x-4的“亲密函数”：______；
（2）二次函数y=x2+3x-4的图像与x轴交点的横坐标为1和-4，它的“亲密函数”的图像与x轴交点的
横坐标为______，猜想二次函数y=ax2+bx+c（b2-4ac>0）的图像与x轴交点的横坐标与其“亲密函
数”的图像与x轴交点的横坐标之间的关系是______；
（3）二次函数y=x2+bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为1和-2021，请利用（2）中的结论直接写出
二次函数y=4x2-2bx-2021的图像与x轴交点的横坐标．
【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）4和-1；互为相反数；（3）二次函数y=4x2-2bx-2021的图像与x
1 2021
轴交点的横坐标为- 和
2 2
【分析】（1）根据二次函数y=x2+3x-4的“亲密函数”定义把一次项系数变为相反数即可；（2）利用“亲密函数”建立y=0时方程，解方程，得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，与原函数与x轴
交点横坐标比较，得出规律即可；
（3）先将函数变形，发现与“亲密函数”类似，根据原函数与x轴交点横坐标得出“亲密函数”与x轴交
点横坐标，利用2x等于交点横坐标，求出x得出所求函数与x轴的交点横坐标即可．
【详解】解：（1）二次函数y=x2+3x-4的“亲密函数”为y=x2-3x-4，
故答案为：y=x2-3x-4；
（2）x2-3x-4=0，解得x=4,x=-1，
它的“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐标为4和-1，
∴二次函数y=ax2+bx+c（b2-4ac>0）的图像与x轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与x轴交点
的横坐标之间的关系是互为相反数；
故答案为4和-1；互为相反数；
（3）y=4x2-2bx-2021=(2x) 2-b(2x)-2021，
∵二次函数y=x2+bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为1和-2021，
∴二次函数y=x2-bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为-1和2021，
∴y=4x2-2bx-2021=(2x) 2-b(2x)-2021图像与x轴交点的横坐标为-1和2021，
∴2x=-1,2x=2021，
1 2021
∴x=- ，x= ，
2 2
1 2021
∴二次函数y=4x2-2bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为- 和 ．
2 2
【点睛】本题考查新定义函数，仔细阅读题目，抓住实质，抛物线与x轴交点横坐标和一元二次方程的根，
利用“亲密函数”变形得出新函数图像与x轴的交点横坐标是解题关键．
【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+(a+b)x+b叫做一次函数y＝ax＋
b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数y=ax2+(a+b)x+b的“本源函数”（a，b为常数，
且a≠0）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是y=ax2-3x+a+1，那么二次函数y=ax2-3x+a+1
的“本源函数”是 ．
【答案】y=﹣2x-1
【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数y=ax2-3x+a+1的本源函数．
【详解】解：由题意得¿解得¿
∴函数y=ax2-3x+a+1的本源函数是y=﹣2x-1．
故答案为：y=﹣2x-1．
【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．
2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函
数的不动点．例如，点(1,1)是函数y=-2x+3的不动点．已知二次函数y=x2+2(b+2)x+b2（b是实数）．
(1)若点(-1,-1)是该二次函数的一个不动点，求b的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求b的取值范围．
【答案】(1)1+√3或1-√3
3
(2)b≥-
4
【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可；
（2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可．
【详解】（1）解：依题意把点(-1,-1)代入解析式y=x2+2(b+2)x+b2，
得-1=1-2(b+2)+b2，化简得：b2-2b-2=0，解得：b =1+√3,b =1-√3；
1 2
（2）解：设点(t,t)是函数y=x2+2(b+2)x+b2的一个不动点，
则有t=t2+2(b+2)t+b2，化简得，t2+(2b+3)t+b2=0，
∵关于t的方程有实数解，
3
∴ Δ=(2b+3) 2-4b2≥0，解得：b≥- ．
4
【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与
判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题．
3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数y =2kx+k与函数y =x2-2x+3，定义“和函数”y= y + y ．
1 2 1 2
(1)若k=2，则“和函数”y= ；
(2)若“和函数”y为y=x2+bx-2，则k= ，b= ；
(3)若该“和函数”y的顶点在直线y=-x上，求k．
【答案】(1)x2+2x+5．
(2)-5，-12．
(3)k=3或-1．【分析】（1）将k=2代入函数y =2kx+k中得出函数y =4x+2，再利用y= y + y 即可得出结论；
1 1 1 2
（2）y的解析式为y= y + y =x2+（2k-2）x+k+3，又y=x2+bx-2， 利用两者相等即可得出结论；
1 2
（3）先得出和函数y= y + y =x2+（2k-2）x+k+3=（x+k-1） 2-k2+3k+2，进而根据顶点在
1 2
直线y=-x上得出-k2+3k+2=-(k-1)，即可得出结论．
【详解】（1）解：当k=2时，y =2kx+k=4x+2，
1
∵函数y =x2-2x+3，此时和函数y= y + y ，
2 1 2
∴y=4x+2+x2-2x+3=x2+2x+5，
故答案为：x2+2x+5．
（2）解：∵函数y =2kx+k与函数y =x2-2x+3，和函数y= y + y ，
1 2 1 2
∴和函数y的解析式为y= y + y =x2+（2k-2）x+k+3，
1 2
∵和函数y的解析式为y=x2+bx-2，
∴b=2k-2，k+3=-2，
∴k=-5，b=-12，
故答案为：-5，-12．
（3）解：由题意得和函数为
y= y + y =x2+（2k-2）x+k+3，
1 2
=（x+k-1） 2-k2+3k+2，
∴和函数的顶点为（1-k，-k2+3k+2），
∵和函数的顶点在y=-x上，
∴-k2+3k+2=-(1-k)，
整理得k2-2k-3=0，
解得k =3，k =-1．
1 2
故答案为：k=3或-1．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，
只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(x ,y )
1 1
和B(x ,y )，用以下方式定义两点间距离：d(A,B)=|x -x |+|y - y |．
2 2 1 2 1 2
(1)①已知点A(-2,1)，则d(O,A)=______．
②函数y=-2x+4(0≤x≤2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O,B)=3，求点B的坐标．
(2)函数y=x2-5x+7(x≥0)的图象如图②所示，D是图象上一点，求d(O,D)的最小值及对应的点D的坐
标．
【答案】(1)①3，②(1,2)
(2)3，(2,1)
【分析】（1）①根据公式d(A,B)=|x -x |+|y - y |直接计算即可；②根据函数y=-2x+4(0≤x≤2)的
1 2 1 2
图象上的点的横纵坐标均非负，可得x ≥0，y ≥0，y =-2x +4，再根据d(O,B)=3，可得
B B B B
|0-x |+|0- y |=3，即有x + y =3，进而可得¿，解方程即可求解；
B B B B
( 5) 2 3 3
（2）函数y=x2-5x+7化为顶点式为：y= x- + ，即可得y≥ ，x≥0，根据点D是图象上一点，
2 4 4
3
可得y ≥ ，x ≥0，y =x2 -5x +7，则有d(O,D)=|0-x |+|0- y |=x + y ，即可得
D 4 D D D D D D D D
d(O,D)=(x -2) 2+3，问题随之得解．
D【详解】（1）①∵A(-2,1)，O(0,0)，
∴d(O,A)=|x -x |+|y - y |=|0-(-2)|+|0-1|=3，
1 2 1 2
故答案为：3；
②∵点B是函数y=-2x+4(0≤x≤2)的图象点，
∵函数y=-2x+4(0≤x≤2)的图象上的点的横纵坐标均非负，
∴x ≥0，y ≥0，y =-2x +4，
B B B B
∵d(O,B)=3，
∴|0-x |+|0- y |=3，
B B
∴x + y =3，
B B
∵y =-2x +4，
B B
∴¿，
解得：¿，
∴B点坐标为：(1,2)，
( 5) 2 3
（2）函数y=x2-5x+7化为顶点式为：y= x- + ，
2 4
( 5) 2 3 3
∴y= x- + ≥ ，
2 4 4
∵x≥0，点D是图象上一点，
3
∴y ≥ ，x ≥0，y =x2 -5x +7，
D 4 D D D D
∴d(O,D)=|0-x |+|0- y |=x + y ，
D D D D
∴d(O,D)=x +x2 -5x +7=x2 -4x +7，
D D D D D
∴d(O,D)=(x -2) 2+3，
D
∴当x =2时，d(O,D)有最小值，最小值为d(O,D)=3，
D
∴y =x2 -5x +7=22-5×2+7=1，
D D D
∴D点坐标为：(2,1)，
即最小值为3，D点坐标为(2,1)．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，充分理解定义的两点间距离：，是解答本题的关键．
d(A,B)=|x -x |+|y - y |
1 2 1 2
5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【a，b，c】为函数
y=ax2+bx+c的“特征数”，如：函数y=2x2-3x+5的“特征数”是【2，-3，5】，函数y=x+2的
“特征数”是【0，1，2】
(1)若一个函数的“特征数”是【1，-4，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到一个图像对应的函数“特征数”是______；
√3
(2)将“特征数”是【0，- ，-1】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是
3
______；
(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与y轴交于A、B两点，与直线x=-√3分别交于D、C两点，
在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、B、C、D四点为顶点的四边形的面积；
1
(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，-2b，b2+ 】的函数图像有交点，求满足条件的实数b的取
2
值范围．
【答案】(1)【1，0，-2】
√3
(2)y=- x+1
3
(3)图见解析；面积为2√3
√6 √2
(4)-√3- ≤b≤
2 2
【分析】（1）由已知可知y=x2-4x+1，平移后的函数为y=x2-2，则可求“特征数”；√3 √3
（2）由已知可知函数为y=- x-1，平移后函数为y=- x+1；
3 3
（3）令x=0，求出A(0,-1)，B(0,1)，令x=-√3，求出D(-√3，0)，C(-√3，2)，则
AB=CD=AD=2，又由AB∥CD，可判断四边形ABCD是菱形；然后结合图形求面积即可；
1 1
（4）由已知可得y=x2-2bx+b2+ =(x-b) 2+ ，则函数与AD边无交点，只能与BC边有交点，将
2 2
B(0,1)代入函数，将C(-√3，2)代入函数求解即可得出结果．
【详解】（1）解：∵函数的特征数是【1，-4，1】，
∴函数为y=x2-4x+1=(x-2) 2-3，
将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=x2-2，
∴函数y=x2-2的“特征数”是【1，0，-2】．
故答案为：【1，0，-2】．
√3
（2）∵函数的“特征数”是【0，- ，-1】，
3
√3
∴y=- x-1，
3
∵函数图象向上平移2个单位，
√3
∴平移后函数为y=- x+1．
3
√3
故答案为：y=- x+1．
3
（3）解：令x=0，则A(0,-1)，B(0,1)，
∴AB=2，
令x=-√3，则D(-√3，0)，C(-√3，2)，
∴CD=2，AO=1,DO=√3，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=√AO2+DO2=√12+(√3) 2=2，
∴四边形ABCD是菱形．S =AB×DO=2√3；
四边形ABCD
1
（4）∵函数的“特征数”是【1，-2b，b2+
】，
2
1 1
∴y=x2-2bx+b2+ =(x-b) 2+ ，
2 2
∴由函数图象得：函数与AD边无交点，
∴函数与BC边有交点，
1 √2
将B(0,1)代入函数y=x2-2bx＋b2 ＋ 得：b=± ，
2 2
1 √6
将C(-√3，2)代入函数y=x2-2bx+b2+ 得：b=-√3± ，
2 2
√6 √2
∴-√3- ≤b≤ ．
2 2
【点睛】本题考查二次函数的综合、新定义，函数的平移，理解定义，能将定义与所学函数知识结合是解
题的关键．
6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．
例如：一次函数y=x-1，它的相关函数为y=¿
(1)已知点A（-2，1）在一次函数y=ax-3的相关函数的图象上时，求a的值．
1 5
(2)已知二次函数y=-x2+4x-
．当点B（m， ）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．
2 2
【答案】(1)a=-1；
(2)m=2-√6或m=3或m=1．
【分析】（1）函数y=ax-3的相关函数为y=¿，将点A（-2，1）代入y=-ax+3即可求解；
5 1 1 5 5
（2）当m＜0时，将B（m， ）代入y=x2-4x+ 得m2-4m+ = ，可求得m的值；当m≥0时，将B（m，
2 2 2 2 2
1 1 5
）代入y=-x2+4x- 得：-m2+4m- = ，可求得m的值．
2 2 2
(1)
解：函数y=ax-3的相关函数为y=¿，
将点A（-2，1）代入y=-ax+3得：2a+3=1，解得：a=-1；
(2)
1
解：二次函数y=-x2+4x- 的相关函数为y=¿，
2
5 1 1 5
①当m＜0时，将B（m， ）代入y=x2-4x+ 得m2-4m+ = ，
2 2 2 2
解得：m=2+√6（舍去）或m=2-√6；
5 1 1 5
②当m≥0时，将B（m， ）代入y=-x2+4x- 得：-m2+4m- = ，
2 2 2 2
解得：m=3或m=1．
综上所述：m=2-√6或m=3或m=1．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象
上点的坐标与函数解析式的关系，理解互为相关函数的概念是解题的关键．
7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形M与图形N有且只有两个公共点，则称图形M与
图形N互为“双联图形”，即图形M是图形N的“双联图形”，图形N是图形M的“双联图形”．1
(1)若直线y=-x+b与抛物线y=x2+1互为“双联图形”，且直线y=-x+b不是双曲线y= 的“双联图
x
形”，求实数b的取值范围；
(2)如图2，已知A(-2,0)，B(4,0)，C(1,3)三点．若二次函数y=a(x+1) 2+3的图象与△ABC互为“双联
图形”，直接写出a的取值范围．
3
【答案】(1)b的取值范围是 0即b>
4 4
1
又直线y=-x+b不是双曲线y= 的“双联图形”，
x
1
∴直线y=-x+b与双曲线y= 最多有一个公共点，
x
即当x=1时，y=-x+b≤1代入得，-1+b≤1，即b≤2，
3
∴实数b的取值范围是 0时，二次函数y=a(x+1) 2+3的图象与ΔABC的图象没有交点，
∴a>0不成立；
当a<0时，二次函数y=a(x+1) 2+3的图象开口向下，为使它与ΔABC互为双联图形，即有且只有两个公
共点，
∴①当抛物线与AC和AB相交时，设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C(1，4)，B(4，0)代入，得
¿，
∴¿，
∴y=-x+4，
∵抛物线与BC不想交，
∴a(x+1) 2+3=-x+4，即ax2+(2a+1)x+a-1=0无实数根，
∴(2a+1)2-4a(a-1)<0，
1
解得a<- ，
8
又当x=-2时，要满足y>0，相当于a+3>0，所以a>-3；
1
∴-30，相当于25a+3>0，所以，a>- ，
25
3
∴- 0，对于任意
的函数值y，都满足-M≤ y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个
函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．(1)直接写出有界函数y=2x+1(-42，0≤k≤2两种情况根据新定义分析即可．
【详解】（1）解：解析式为y=2x+1(-42时，函数值为y=-k<-2，
3
所以边界值t>2，与 ≤t≤2矛盾，
2
所以k>2不成立；
当k≤2时，
当x=0时，函数y=2x2=0，函数过点(0,0)，此时函数有最小值，
当x=-1时，函数y=2x2=2，函数过点(-1,2)，
当函数向下平移k个单位后，两个点的坐标变为(0,-k)，(-1,2-k)，
3
∵函数的边界值是t满足 ≤t≤2，
2
∴¿或¿1 √13+1 √17+1
解得0≤k≤ 或 ≤k≤ ，
2 4 4
1 √13+1 √17+1 3
故当0≤k≤ 或 ≤k≤ 时，满足 ≤t≤2．
2 4 4 2
【点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、有界函数的定义以及解一元一次不等式组，解题
的关键是理解新定义，列出不等式．
10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则
把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”y=x+1，其“明德点”为（1，
2）．
(1)①判断：函数y=2x+3 __________ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数y=x2的图像上的明德点是 ___________；
1
(2)若抛物线y=(m-1)x2+mx+ m上有两个“明德点”，求m的取值范围；
4
n k
(3)若函数y=x2+(m-k+2)x+ - 的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当-1≤m≤3时，n的最小
4 2
值为k，求k的值．
【答案】(1)①不是；②（2，4）
5+√5 5-√5
(2)m> 或m< ，且m≠1
2 2
-3-√5
(3)k= 或k=0
2
【分析】（1）根据定义，即可得到结果；
1
（2）根据抛物线y=(m-1)x2+mx+ m上有两个“明德点”，可知Δ>0，得到m2-5m+5>0，求解一
4
元二次不等式方程即可；
n k
（3）若函数y=x2+(m-k+2)x+ - 的图像上存在唯一的一个“明德点”，可知Δ=0 ，得到方程
4 2
n=(m-k) 2+2k，再进行分类讨论即可求出k值．
【详解】（1）①∵2x=2x+3时无解，
∴y=2x+3不是“明德函数”；
②根据定义2x=x2，解得：x =2，x =0（舍去），
1 2
∴明德点是（2，4）；
1
（2）∵抛物线y=(m-1)x2+mx+ m是“明德函数”，
4
1
∴2x=(m-1)x2+mx+
，
4
1
整理得：(m-1)x2+(m-2)x+ =0，
4
1
∵抛物线y=(m-1)x2+mx+ m上有两个“明德点”，
4
1
∴Δ=(m-2) 2-4(m-1)× =m2-4m+4-m+1=m2-5m+5>0，
4
( 5) 2 5
即 m- - >0，
2 4
5+√5 5-√5
解得：m> 或m< ，
2 2
∵m-1≠0，
∴m≠1，
5+√5 5-√5
∴m的取值范围为m> 或m< 且m≠1；
2 2
n k
（3）∵函数y=x2+(m-k+2)x+ - 的图像上存在唯一的一个“明德点”，
4 2
n k
∴2x=x2+(m-k+2)x+ - ，且Δ=0，
4 2
∴(m-k) 2-4
(n
-
k)
=0，
4 2
即(m-k) 2-n+2k=0，
∴n=(m-k) 2+2k，
n是关于m的二次函数，对称轴为m=k，
①若k≤-1，则当m=-1，时，n有最小值k，
∴(-1-k) 2+2k=k，即k2+3k+1=0，
-3-√5 -3+√5
解得：k= 或k= （舍去）；
2 2②若k≥3 ，则当m=3时，n有最小值k，
∴(3-k) 2+2k=k，即k2-5k+9=0，
∵Δ=(-5) 2-4×9=-11<0，
∴方程没有实数根；
③若-12时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有¿，
5+√17
解得：2
