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专题 22.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学
生对新定义函数的理解！
一．选择题（共10小题）
1．（2022•市中区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，点 P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做
点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在
第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，则t的取值范围为（ ）
A．2017≤t≤2018 B．2018≤t≤2019
C．2019≤t≤2020 D．2020≤t≤2021
2．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函
数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：
正比例函数y＝x，它的相关函数为 { x(x≥0) ．已知点M，N的坐标分别为 1 ， 9 ，
y= (- ，1) ( ，1)
-x(x＜0) 2 2
连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（
）
5 5
A．﹣3≤n≤﹣1或1＜n≤ B．﹣3＜n＜﹣1或1＜n≤
4 4
5 5
C．﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤ D．﹣3≤n≤﹣1或1≤n≤
4 4
3．（2022•青秀区校级一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的 2倍，则称这个点为二倍点．若二次
函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）
1 9 1 9
A．﹣2＜c＜ B．﹣4＜c＜ C．﹣4＜c＜ D．﹣10＜c＜
4 4 4 4
4．（2022秋•汉阳区期中）我们定义：若点A在某一个函数的图象上，且点A的横纵坐标相等，我们称点
A为这个函数的“好点”．若关于x的二次函数y＝ax2+tx﹣2t对于任意的常数t恒有两个“好点”，则
a的取值范围为（ ）1 1 1 1
A．0＜a＜1 B．0＜a＜ C． ＜a＜ D． ＜a＜1
2 3 2 2
5．（2022秋•和平区校级月考）对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=
{a2-ab(a≥b)，例如：4*2，因
b2-ab(a＜b)
为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若函数y＝（2x）*（x+1），则下列结论：
①方程（2x）*（x+1）＝0的解为﹣1和1；
②关于x的方程（2x）*（x+1）＝m有三个解，则0＜m≤1；
③当x＞1时，y随x的增大而增大；
④直线y＝kx﹣k与函数y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点，则k＝﹣2；
⑤当x＜1时，函数y＝（2x）*（x+1）的最大值为1．
其中正确结论的序号有（ ）
A．②④⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．①③⑤
6．（2022•莱芜区二模）定义：平面直角坐标系中，点 P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y
的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，
记为|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法），若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点
M，已知点M在第一象限，且2≤|M|≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，则t的取值范围为（ ）
A．2018≤t≤2019 B．2019≤t≤2020
C．2020≤t≤2021 D．2021≤t≤2022
7．（2022•岳阳模拟）在平面直角坐标系中，对于点 P（m，n）和点P′（m，n′），给出如下新定义，
若n' {|n|(当m＜0时)，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点，例如：点P （1，4）
= 1
n-2(当m≥0时)
的限变点是P′ （1，2），点P （﹣2，﹣1）的限变点是P′ （﹣2，1），若点P（m，n）在二次函
1 2 2
数y＝﹣x2+4x+1的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣1≤n'＜3 B．1≤n'＜4 C．1≤n'≤3 D．﹣1≤n'≤4
8．（2022•自贡模拟）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物
1 1
线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线 l：y= x+b经过点M（0， ），一组抛物线的顶点B （1，
1
3 4
y），B（2，y），B（3，y），…B（n，y） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与
1 2 2 3 3 n n
x轴正半轴的交点依次是：A（x，0），A（x，0），A（x，0），…A （x ，0）（n为正整数）．
1 1 2 2 3 3 n+1 n+1若x＝d（0＜d＜1），当d为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
1
5 7 5 11 7 11 7
A． 或 B． 或 C． 或 D．
12 12 12 12 12 12 12
9．（2022秋•诸暨市期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函
数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与
正方形OABC有交点时m的最大值和最小值之差为（ ）
7+√17 7-√17
A．5 B． C．4 D．
2 2
10．（2022秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点 P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐
标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫做和谐点，所围成的矩形叫做和谐矩形．
已知点P是抛物线y＝x2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（ ）
A．16 B．4 C．﹣12 D．﹣18
二．填空题（共10小题）
11．（2022•芦淞区模拟）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数位[2m，1﹣m，﹣1
﹣m]的函数的一些结论：
1 8
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）；
3 3
②当m＝1时，函数图象截x轴所得的线段长度等于2；
1
③当m＝﹣1时，函数在x＞ 时，y随x的增大而减小；
4
④当m≠0时，函数图象经过同一个点．上述结论中所有正确的结论有 ．（填写所有正确答案的序号）
12．（2022秋•浦东新区期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，
如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线 y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点
B，点B恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是 ．
13．（2022•宣州区校级自主招生）对某一个函数给出如下定义：若存在实数 m＞0，对于任意的函数值
y，都满足﹣m≤y≤m，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m中，其最小值称为这个函数的
边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数y＝﹣x2+1（﹣2≤x≤t，t≥0）的图象
9 5
向上平移t个单位，得到的函数的边界值n满足 ≤n≤ 时，则t的取值范围是 ．
4 2
14．（2022秋•德清县期末）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．
若抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3与x轴围成的区域内（不包括抛物线和x轴上的点）恰好有8个“整点”，
则a的取值范围是 ．
15．（2022秋•鄞州区校级期末）定义：在平面直角坐标系中，若点 A满足横、纵坐标都为整数，则把点
A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．当抛物线y＝ax2﹣4ax+1与其关于x轴
对称的抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点时，a的取值范围 ．16．（2022秋•思明区校级期中）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：
若y′ { y(x≥0) ，则称点Q为点P的“可控变点”．
=
- y(x＜0)
请问：若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是
﹣16＜y′≤16，则实数a的取值范围是 ．
17．（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的
“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一
个符合条件的函数解析式： ．
18．（2022•二道区校级模拟）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二
次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣
m与正方形OABC有公共点时m的最大值是 ．
19．（2022•郫都区模拟）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的
“滋生函数”，一次函数y＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且
a≠0）．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本
源函数”是 ．
20．（2022•亭湖区校级开学）定义{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值为a，b，c的中位数，
1
例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y= x+b有3个交点时，
3
则b的值为 ．三．解答题（共10小题）
21．（2022•工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个
函数图象的“好点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．
3
（1）在函数①y＝﹣x+3，②y= ③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是 ；（填序
x
号）
4
（2）设函数y=- （x＜0）与y＝kx+3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为
x
C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；
（3）若将函数y＝x2+2x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余
部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．22．（2022春•荷塘区校级期中）如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x
轴交于两个不同的点A（x ，0），B（x ，0）（x ＜0＜x ），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O
1 2 1 2
是坐标原点．
（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．
①求此二次函数图象的顶点M的坐标；
②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．
求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“好点”．
1
（2）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点P，满足∠PCA＝∠PBC，且tan∠PBC= ，△PBC
2
1
的面积为 ，求二次函数的表达式．
323．（2022春•海门市期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足
y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：当m＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函
数y＝3x+4的“2倍点”．
6
（1）在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中， 是函数y= 的“1倍点”；
x
（2）若函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，求b的值；
（3）若函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．
24．（2022•费县一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的
“等值点”，例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．5
（1）分别判断函数y= ，y=x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；
x
如果不存在，说明理由；
（2）写出函数y＝﹣x2+2的等值点坐标；
（3）若函数y＝﹣x2+2（x≤m）的图象记为W ，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W ．当W ，W 两
1 2 1 2
部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请写出m的取值范围．
25．（2022春•武侯区校级月考）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于
点A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣5）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k为常数，且k＞0），其矩形长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG所在直线与抛物线无交点，则称
该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上
有一点P，使得△PEG的面积最小，则称点P是该“悬浮矩形”的核心点．
①请说明“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P的坐标（用k表示）；
②若k＝1，DF所在直线与抛物线交于点M和N（M在N的右侧），是否存在这样的“悬浮矩形”，使
得△PMN是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF所在直线的表达式；若不存在，说
明理由．
v
26．（2022•武侯区模拟）【阅读理解】
定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交于M，N两点
（其中点M在点N的右侧），与抛物线 C的对称轴相交于点Q，若记S（l，C）＝PQ•MN，则称S
（l，C）是直线l与抛物线C的“截积”．
【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：
如图，若直线l的函数表达式为y＝x+2．
（1）若抛物线C的函数表达式为y＝2x2﹣1，分别求出点M，N的坐标及S（l，C）的值；
（2）在（1）的基础上，过点P作直线l的平行线l'，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线
C'的顶点P′落在直线l'上，试探究S（l，C'）是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）设抛物线C的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，若S（l，C）＝6√2，MN＝4√2，且点P在点Q的
下方，求a的值．
27．（2022•南关区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：若点P到两坐标轴的
距离之和等于3，则称点P为三好点．
（1）在点R（0，﹣3），S（1，2），T（6，﹣3）中，属于三好点的是 （填写字母即可）；
（2）若点A在x轴正半轴上，且点A为三好点，直线y＝2x+b经过点A，求该直线与坐标轴围成的三角
形的面积；
（3）若直线y＝a（a＞0）与抛物线y＝x2﹣x﹣2的交点为点M，N，其中点M为三好点，求点M的坐标；
（4）若在抛物线y＝﹣x2﹣nx+2n上有且仅有两个点为三好点，直接写出n的取值范围．
28．（2022秋•长沙期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上的点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y的
和x+y称为点P的“横纵和”，而图形G上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”．
（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣2的图象上点P（1，﹣3）的“横纵和”是 ；该抛物线的“极小和”
是 ．
（2）记抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2的“极小和”为s，若﹣2021≤s≤﹣2020，求m的取值范围．
m
（3）已知二次函数y＝x2+bx+c（c≠0）的图象上的点A（ ，2c）和点C（0，c）的“横纵和”相等，
2求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，
请说明理由．
29．（2022•泰兴市二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若P、Q的坐标分别为（x ，y ）、Q（x ，
1 1 2
y），则称|x﹣x|+|y﹣y|为若P、Q的“绝对距离”，表示为d ．
2 1 2 1 2 PQ
【概念理解】
（1）一次函数y＝﹣2x+6图象与x轴、y轴分别交于A、B点．
①d 为 ；
AB
②点N为一次函数y＝﹣2x+6图象在第一象限内的一点，d ＝5，求N的坐标；
AN
3
③一次函数y=x+ 的图象与y轴、AB分别交于C、D点，P为线段CD上的任意一点，试说明：d ＝
AP
2
d ．
BP【问题解决】
（2）点P（1，2）、Q（a，b）为二次函数y＝x2﹣mx+n图象上的点，且Q在P的右边，当b＝2时，
d ＝4．若b＜2，求d 的最大值；
PQ PQ
3
（3）已知P的坐标为（1，1），点Q为反比例函数y= （x＞0）图象上一点，且Q在P的右边，d
PQ
x
＝2，试说明满足条件的点Q有且只有一个．
30．（2022•开福区校级一模）定义：当x取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒
心函数”，这个常数称为“恒心值”．
（1）判断：函数y＝x2+2x+2是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说
明理由；
（2）已知“恒心函数”y＝3|ax2+bx+c|+2．
①当a＞0，c＜0时，此时的恒心值为 ；
b c
②若三个整数a、b、c的和为12，且 = ，求a的最大值与最小值，并求出此时相应的b、c的值；
a b
a+b+c
（3）恒心函数y＝ax2+bx+c（b＞a）的恒心值为0，且 ＞m恒成立，求m的取值范围．
a+b
