北京丰台区2023年高三上学期期末数学答案_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_3数学高考模拟题_新高考_北京丰台区2023年高三上学期期末数学_北京丰台区2023年高三上学期期末数学

丰台区 2022～2023 学年度第一学期期末练习参考答案 高三数学 2023. 01 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A D C A C B C 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．[−1,0) (0,+) 12．−2；5 13．(0,4) 14．4 15． ①④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题13分） D 1 C 1 （Ⅰ）证明：连接CD ，交DC 于点M ， B 1 1 A 1 1 M F 依题意知，四边形CDDC 为正方形，所以M 是 1 1 线段CD 的中点， D C 1 E A B 连接EM ，因为E 为棱BC的中点， 所以EM //BD ， 1 因为EM 平面DC E，BD 平面DC E， 1 1 1 所以BD //平面DC E. ………………5分 1 1 （Ⅱ）解：设正方体ABCD−ABCD 的棱长为1, 1 1 1 1 z 以D为坐标原点，DA，DC，DD 所在的直 D 1 C 1 1 B A 1 1 线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间 F 直角坐标系， 则D(0,0,0)，B(1,1,0)，D(0,0,1)，C (0,1,1)， 1 1 D y C E C(0,1,0)， x A B 因为点F 是线段BD 的中点，E 为棱BC的中 1 点， 1 1 1 1 所以F( , , )，E( ,1,0)， 2 2 2 2 高三数学答案 第1页（共6页）1 1 1 1 所以DF =( , , )，DC =(0,1,1)，DE=( ,1,0). 2 2 2 1 2 设u=(x,y,z)是平面DC E的一个法向量，则 1 uDC = y+z=0,  1  1 uDE= x+ y=0.  2 取y=1，则x=−2，z=−1. 于是u=(1,−2,−1)是平面DC E的一个法向量. 1 设直线DF与平面DC E所成角为， 1 1 1 −1− DFu 2 2 2 所以sin= cosDF,u = = = ， DF  u 3 3  6 2 2 所以直线DF与平面DC E所成角的正弦值为 . ………………13分 1 3 17.（本小题14分） a b 解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理 = ，得asinB=bsinA， sinA sinB 因为2asinB= 2b 所以2bsinA= 2b， 因为 b0 ， 2 所以sinA= ， 2 因为0 Aπ， π 3π 所以A= 或A= ； ………………7分 4 4 （Ⅱ）若选择①， 在△ABC中，0Cπ， 10 3 10 因为cosC=− ，所以sinC = ． 10 10 π 又因为A= ，A+B+C=π 4 π π 所以sinB=sin(A+C)=sin cosC+cos sinC 4 4 2 10 2 3 10 5 = (− )+ ( )= 2 10 2 10 5 高三数学答案 第2页（共6页）5 = ， 5 3 10 2 2 bsinC 10 在△ABC中，由正弦定理可得c= = =6， sinB 5 5 1 1 2 所以S bcsinA 2 2 6 6. ………………14分 △ABC 2 2 2 若选择②， a b bsinA 在△ABC中，因为 = ，所以sinB= ， sinA sinB a 2 因为a=2，b=2 2，sinA= ， 2 2 2 2 所以 2 ， sinB= =1 2 π 因为B(0,π)，所以B= ， 2 所以b2 a2 c2，所以c2 =b2 −a2 =4， 所以c=2， 1 1 2 所以S bcsinA 2 2 2 2． △ABC 2 2 2 18.（本小题14分） 解：（Ⅰ）由题意10(0.004+0.012+0.014+a+0.024+0.028)=1 所以a=0.018； ………………3分 （Ⅱ）记“一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁”为事件A， P(A)=10(0.004+0.012+0.014)=0.3， 所以估计一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁的概率为0.3. X可能取值为0,1,2. P(X =0)=C00.72 =0.49； 2 P(X =1)=C10.30.7=0.42； 2 P(X =2)=C20.32 =0.09. 2 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.49 0.42 0.09 E(X)=00.49+10.42+20.09=0.6. ……………11分 （或因为X~B(2,0.3)，所以E(X)=20.3=0.6） （Ⅲ）mn. ………………14分 19.（本小题15分） 高三数学答案 第3页（共6页）a=2,  c 2 解：（Ⅰ）由题意得 = , a 2  a2 =b2 +c2,  解得a2 =4，b2 =2. x2 y2 所以椭圆E 的方程是 + =1. ………………5分 4 2 m （Ⅱ）因为A(−2,0)，P(2,m)，所以直线AP的方程为y= (x+2)（m0）. 4  m y= (x+2) 由 4 得(m2 +8)x2 +4m2x+4m2 −32=0，  x2 +2y2 =4 即(x+2)[(m2 +8)x+(2m2 −16)]=0. 2m2 −16 因为点A的横坐标为−2，所以点C的横坐标为x=− ， m2 +8 m 2m2 −16 8m 代入直线AP的方程可得点C的纵坐标为y= (− +2)= ， 4 m2 +8 m2 +8 2m2 −16 8m 即C(− , ). m2 +8 m2 +8 又点B的坐标为(2,0)， 8m m2 +8 2 所以k = =− ， 2 2m2 −16 m − −2 m2 +8 m m 2 又因为k = ，所以k k = (− )=−1. 1 2 1 2 2 m 即k k 为定值−1. ………………15分 1 2 20.（本小题15分） 1 解：（Ⅰ）由题意得， f(x)= +cosx，所以 f(1)=1+cos1， x 又 f(1)=sin1， 所以曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−sin1=(1+cos1)(x−1)， 即y=(1+cos1)x+sin1−cos1−1； ………………4分 1 （Ⅱ）因为 f(x)= +cosx， x 1 因为y= 和y=cosx均在区间因为[1,e]上单调递减， x 所以 f(x)在区间[1,e]上单调递减， 1 1 2 1 1 因为 f(1)=1+cos10， f(e)= +cose +cos = − 0， e e 3 e 2 高三数学答案 第4页（共6页）所以 f(x)=0在(1,e)上有且只有一个零点，记为x ， 0 所以x[1,x )时， f(x)0；x(x ,e]时， f(x)0， 0 0 所以 f(x)在区间[1,x )上单调递增，在区间(x ,e]上单调递减. 0 0 因为 f(1)=sin1,f(e)=1+sine，所以 f(x)在区间[1,e]上的最小值为 高三数学答案 第5页（共6页） s i n 1 . ………………10分 （Ⅲ）函数 f(x)的定义域为{x|x0}， 由（Ⅱ）知， f(x)在区间[1,e]上的最小值sin10， 又当x(e,+)时， f(x)lne+sinx=1+sinx0， 所以 f(x)在区间[1,+)上没有零点； 1 当x(0,1)时， f(x)= +cosx0，所以 f(x)在区间(0,1)上单调递增， x 1 1 因为 f( )=−1+sin 0,f(1)=sin10， e e 所以 f(x)在区间(0,1)上仅存在一个零点； 综上所述，函数 f(x)有且仅有一个零点. ………………15分 21.（本小题14分） 解：（Ⅰ）数列A是P(2)数列， 数列B不是P(2)数列. ………………3分 （Ⅱ）不存在正实数，使得数列{b }是P()数列. n 说明理由如下：假设存在正实数，使得数列{b }是P()数列 . n 则b b +，nN*. n+1 n 因为b =b + n+3− n+1， n+1 n 2 1 所以b −b = n+3− n+1=  ， n+1 n n+3+ n+1 n 1 当n 时，b −b ，这与假设矛盾. 2 n+1 n 所以不存在正实数，使得数列{b }是P()数列. ………………7分 n （Ⅲ）因为数列{a }是P(1)数列，则a a +1， n n+1 n 所以a a +1a +2 a +(m−1)m m m−1 m−2 1 所以a a −1，a a −1a −2，a a −1a −3，……， m−1 m m−2 m−1 m m−3 m−2 m a a −1a −(m−2)，a a −1a −(m−1) 2 3 m 1 2 mm(m−1) 所以a +a +a ++a ma −[1+2+3+ +(m−1)]=ma − 1 2 3 m m m 2 m(m−1) 即150ma − m 2 150 m 1 所以a  + − ， m m 2 2 150 3m 1 150 3m 1 所以a +m + − 2  =30− ， m m 2 2 m 2 2 所以a +m的最小值不小于30. m 150 3m 1 假设a +m=30，必有 + − 30， m m 2 2 25 解得 m12， 3 因为mN*，所以m=9,10,11,12， 当m=9时，a =21，存在满足条件的数列 m a =10,a =14,a =15,a =16,a =17,a =18,a =19,a =20,a =21 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 当m=10时，a =20，存在满足条件的数列 m a =6,a =12,a =13,a =14,a =15,a =16,a =17,a =18,a =19,a =20； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当m=11时，a =19，存在满足条件的数列 m a =5,a =10,a =11,a =12,a =13,a =14,a =15,a =16,a =17, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a =18,a =19； 10 11 当m=12时，a =18，存在满足条件的数列 m a =7,a =8,a =9,a =10,a =11,a =12,a =13,a =14,a =15,a =16, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a =17,a =18. 11 12 以上都是a +m=30的充分条件. m 所以a +m的最小值为30，此时a 的所有可能取值为18，19，20，21. …14分 m m 高三数学答案 第6页（共6页）