文档内容
专题 24.1 圆【七大题型】
【人教版】
【题型1 圆的概念】..................................................................................................................................................1
【题型2 圆的有关概念】..........................................................................................................................................4
【题型3 确定圆的条件】..........................................................................................................................................6
【题型4 点与圆的位置关系】..................................................................................................................................9
【题型5 圆中角度的计算】....................................................................................................................................12
【题型6 圆中线段长度的计算】............................................................................................................................15
【题型7 圆相关概念的应用】................................................................................................................................18
【知识点1 圆的概念】
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
【题型1 圆的概念】
【例1】（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得．
【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
B．圆有无数条对称轴，正确；
C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；
D．圆的对称中心是它的圆心，正确；
故选：C．
【变式1-1】（2022•武昌区校级期末）由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（ ）
A．4π B．9π C．5π D．13π
【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．
【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为以3
为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积，
即π×32﹣π×22＝5π，
故选：C．
【变式1-2】（2022•杭州模拟）现有两个圆，⊙O 的半径等于篮球的半径，⊙O 的半径等于一个乒乓球的
1 2
半径，现将两个圆的周长都增加1米，则面积增加较多的圆是（ ）
A．⊙O
1
B．⊙O
2
C．两圆增加的面积是相同的
D．无法确定
【分析】先由L＝2πR计算出两个圆半径的伸长量，然后再计算两个圆增加的面积，然后进行比较大小
即可．
【解答】解：设⊙O 的半径等于R，变大后的半径等于R′；⊙O 的半径等于r，变大后的半径等于
1 2
r′，其中R＞r．
由题意得，2πR+1＝2πR′，2πr+1＝2πr′，
1 1
解得R′＝R+ ，r′＝r+ ；
2π 2π
1 1
所以R′﹣R= ，r′﹣r= ，
2π 2π
1
所以，两圆的半径伸长是相同的，且两圆的半径都伸长 ．
2π
1 1 1
∴⊙O 的面积＝πR2，变大后的面积=π(R+ ) 2，面积增加了π(R+ ) 2-πR2＝R+ ，
1
2π 2π 4π
1 1 1
⊙O 的面积＝πr2，变大后的面积=π(r+ ) 2，面积增加了π(r+ ) 2-πr2=r+ ，
2
2π 2π 4π
∵R＞r，
1 1
∴R+ ＞r+ ，
4π 4π
∴⊙O 的面积增加的多．
1
故选：A．【变式1-3】（2022•浙江）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别
画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．
1 1
计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长l = πa= l；
2 2 2
1
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l＝ l ；
3
3
1
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l＝ l ；
4
4
1
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长l＝ l ．
n
n
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周
1
长的 ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
n
【分析】把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是l ＝
n
1 1 1
π（ a）= l，即每个小圆周长是大圆周长的 ；根据圆的面积公式求得每个小圆的面积和大圆的面积
n n n
后比较．
1
【解答】解：（2） l；
3
1
（3） l；
41 1
（4） l； ；
n n
每个小圆面积＝π（1•1a）2 1•πa2，而大圆的面积＝π（1•a）2 1πa2
= =
2 n 4 n2 2 4
1
即每个小圆的面积是大圆的面积的 ．
n2
【知识点2 与圆有关的概念】
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任
意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫
做劣弧．
【题型2 圆的有关概念】
【例2】（2022•远安县期末）下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的
直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据弦，直径，弧的定义一一判断即可．
【解答】解：①弦是直线，错误，弦是线段．
②圆的直径被该圆的圆心平分，正确．
③过圆内一点P的直径仅有一条，错误，点P是圆心时，直径有无数条．
④弧是圆的一部分，正确．
故选：B．
【变式2-1】（2022图木舒克月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（ ）
A．1 B．4 C．10 D．11
【分析】根据直径是圆中最长的弦，判断即可．
【解答】解：∵一个圆的半径为5，
∴圆中最长的弦是10，
∴弦长不可能为11，
故选：D．
【变式2-2】（2022•嘉鱼县期末）如右图中有 1 条直径，有 4 条弦，以点A为端点的优弧有 2
条，有劣弧 2 条．【分析】根据直径、弦、优弧及劣弧的概念解答即可得．
【解答】解：图中直径只有AB这1条，弦有AC、AB、CD、BC这4条，以点A为端点的优弧有^ACD、
^ADC这2条，劣弧有^AC、^AD这2条，
故答案为：1、4、2、2．
【变式2-3】（2022仪征市期末）如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当
OP长为整数时，P点有 4 个．
【分析】解法一：过点P最长的弦是12，根据已知条件，△OAB的面积为18，可以求出AB＜12，根据
三角形面积可得OC＝3❑√2，从而可知OP的长有两个整数：5，6，且OP＝6是P在A或B点时，每一
个值都有两个点P，所以一共有4个．
解法二：根据面积可知，OA上的高为6，也就是说OA与OB互相垂直，然后算出OC长度即可．
【解答】解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，
设OC＝x，AC＝y，
∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，
∴AB≤12，
∵△OAB的面积为18，
{
x2+ y2=36
∴ ，
1
⋅2y⋅x=18
218
则y= ，
x
18
∴x2+(
)
2=36，
x
解得x＝3❑√2或﹣3❑√2（舍），
∴OC＝3❑√2＞4，
∴4＜OP≤6，
∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．
解法二：设△AOB中OA边上的高为h，
1 1
则 ×OAh=18，即 ×6h=18，
2 2
∴h＝6，
∵OB＝6，
∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，
∴AB＝6❑√2，图中OC＝3❑√2，
同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．
故答案为：4．
【知识点3 确定圆的条件】
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不
能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过
一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
【题型3 确定圆的条件】
【例3】（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最
有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，
进而可得到半径的长．
故选：A．
【变式3-1】（2022春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点 A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，
﹣3） 能 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．
【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．
故答案为：能．
【变式3-2】（2022•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，
过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 （ 2 ， 1 ） ．
【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两
线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．
【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
【变式3-3】（2022•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；
（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．
【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，
25
解得：R= cm，
3
25
∴圆片的半径R为 cm．
3
【知识点4 点与圆的位置关系】
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外⇔d＞r；
点P在圆上⇔d=r；
点P在圆内⇔d＜r.
【题型4 点与圆的位置关系】
【例4】（2022秋•宜州区期末）如已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，CM是中线，
以C为圆心，以❑√5cm长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？
【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为 d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，
点在圆外；当d＜R时，点在圆内．
【解答】解：根据勾股定理，有AB 2 （cm）；
=❑√42+22= ❑√5
∵CA＝2cm＜❑√5cm，
∴点A在⊙O内，
∵BC＝4cm＞❑√5cm，
∴点B在⊙C外；
由中线定理得：CM=❑√5cm
∴M点在⊙C上．
【变式4-1】（2022春•龙湖区校级月考）⊙O的面积为25πcm2，⊙O所在的平面内有一点P，当PO ＝
5 cm 时，点P在⊙O上；当PO ＜ 5 cm 时，点P在⊙O内；当PO ＞ 5 cm 时，点P在⊙O外．
【分析】根据圆的面积求出圆的半径，然后确定圆上点，圆内点以及圆外的到圆心的距离．【解答】解：因为圆的面积为25πcm2，所以圆的半径为5cm．
当点P到圆心的距离等于5cm时，点P在⊙O上，此时OP＝5cm．
当点P到圆心的距离小于5cm时，点P在⊙O内，此时OP＜5cm．
当点P到圆心的距离大于5cm时，点P在⊙O外，此时OP＞5cm．
故答案分别是：PO＝5cm，PO＜5cm，PO＞5cm．
【变式4-2】（2022•广东模拟）如图，已知⊙A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P（m，n）是⊙A
上的一个动点，则m2+n2的最大值为 3 6 ．
【分析】由于圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），利用勾股定理可计算出OA＝5，OP
，这样把m2+n2理解为点P与原点的距离的平方，利用图形可得到当点P运动到射线OA上时，
=❑√m2+n2
点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，然后求出此时的PO长即可．
【解答】解：作射线OA交⊙O于P′点，如图，
∵圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），∴OA 5，OP ，
=❑√32+42= =❑√m2+n2
∴m2+n2是点P点圆点的距离的平方，
∴当点P运动到P′处，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，
此时OP＝OA+AP′＝5+1＝6，则m2+n2＝36．
故答案为：36．
【变式4-3】（2022秋•金牛区期末）如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO
的中点为C，则线段AC的最小值为 2 ．
【分析】先确定AC最小值时点B的位置：过B作BD∥AC交x轴于D，由图可知：当BD经过M时，
线段BD的长最小，此时AC有最小值，根据勾股定理和三角形中位线定理可得AC的长．
【解答】解：过B作BD∥AC交x轴于D，
∵C是OB的中点，
∴OA＝AD，
1
∴AC= BD，
2
∴当BD取最小值时，AC最小，
由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，
∵A（3，0），
∴D（6，0），
∵M（3，4），
∴DM 5，
=❑√(6-3) 2+42=
∴BD＝5﹣1＝4，
1
∴AC= BD＝2，即线段AC的最小值为2；
2
故答案为：2．【题型5 圆中角度的计算】
【例5】（2022•江宁区校级期中）如图，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．
【分析】设∠B＝x，根据等腰三角形的性质，由BD＝OD得∠DOB＝∠B＝x，再根据三角形外角性质
得∠ADO＝2x，则∠A＝∠ADO＝2x，然后根据三角形外角性质得2x+x＝114°，解得x＝38°，最后利用
三角形内角和定理计算∠AOD的度数．
【解答】解：设∠B＝x，
∵BD＝OD，
∴∠DOB＝∠B＝x，
∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2x，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝2x，
∵∠AOC＝∠A+∠B，
∴2x+x＝114°，解得x＝38°，
∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝180°﹣4x＝180°﹣4×38°＝28°．
【变式5-1】（2022•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于
点E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度数．【分析】求∠AOC的度数，可以转化为求∠C与∠E的问题．
【解答】解：连接OD，
∵AB＝2DE＝2OD，
∴OD＝DE，
又∵∠E＝25°，
∴∠DOE＝∠E＝25°，
∴∠ODC＝50°，
同理∠C＝∠ODC＝50°
∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝75°．
【变式5-2】（2022•金牛区期末）如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD＝84°，则∠BOC＝ 48 °
．
【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D＝∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后
根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．
【解答】解：∵OD＝OC，
∴∠D＝∠A，∵∠AOD＝84°，
1
∴∠A= （180°﹣84°）＝48°，
2
又∵AD∥OC，
∴∠BOC＝∠A＝48°．
故答案为：48°．
【变式5-3】（2022•大丰市月考）如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O
上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是
否存在点P，使得QP＝QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．
【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB
上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．
【解答】解：①根据题意，画出图（1），
在△QOC中，OC＝OQ，
∴∠OQC＝∠OCP，
在△OPQ中，QP＝QO，
∴∠QOP＝∠QPO，
又∵∠AOC＝30°，
∴∠QPO＝∠OCP+∠AOC＝∠OCP+30°，
在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC＝180°，
即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP＝180°，
整理得，3∠OCP＝120°，
∴∠OCP＝40°．
②当P在线段OA的延长线上（如图2）
∵OC＝OQ，
1
∴∠OQP＝（180°﹣∠QOC）× ①，
2
∵OQ＝PQ，1
∴∠OPQ＝（180°﹣∠OQP）× ②，
2
在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ＝180°③，
把①②代入③得∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°
∴∠OCP＝100°；
③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），
∵OC＝OQ，
1
∴∠OCP＝∠OQC＝（180°﹣∠COQ）× ①，
2
∵OQ＝PQ，
1
∴∠P＝（180°﹣∠OQP）× ②，
2
∵∠AOC＝30°，
∴∠COQ+∠POQ＝150°③，
∵∠P＝∠POQ，2∠P＝∠OCP＝∠OQC④，
①②③④联立得
∠P＝10°，
∴∠OCP＝180°﹣150°﹣10°＝20°．
故答案为：40°、20°、100°．【题型6 圆中线段长度的计算】
【例6】（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的
圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）
A．5❑√3 B．8 C．6 D．5
【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．
【解答】解：如图，连结CD，
∵CD是直角三角形斜边上的中线，
1 1
∴CD= AB= ×10＝5．
2 2
故选：D．
【变式6-1】（2022•海港区校级自主招生）如图，圆O的周长为4π，B是弦CD上任意一点（与C，D不
重合），过B作OC的平行线交OD于点E，则EO+EB＝ 2 ．（用数字表示）【分析】根据圆的周长公式得到OD＝2，根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵⊙O的周长为4π，
∴OD＝2，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠D，
∵BE∥OC，
∴∠EBD＝∠C，
∴∠EBD＝∠D，
∴BE＝DE，
∴EO+EB＝OD＝2，
故答案为：2．
【变式6-2】（2022•龙湖区校级开学）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，
AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．
1 5
【分析】由直径AB＝5cm，可得半径OC＝OA= AB= cm，分别利用勾股定理计算AD、AC的长．
2 2
【解答】解：连接OC，
∵AB＝5cm，
1 5
∴OC＝OA= AB= cm，
2 2
√ 5 3
Rt△CDO中，由勾股定理得：DO=❑( ) 2-22= cm，
2 2
5 3
∴AD= - =1cm，
2 2由勾股定理得：AC ，
=❑√22+12=❑√5
则AD的长为1cm，AC的长为❑√5cm．
【变式6-3】（2022秋•邗江区期中）如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，
DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．
【分析】连接OD，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF是矩形，利用矩形的对角线相
等即可得到所求结论．
【解答】解：连接OD．
∵OC⊥AB DE⊥OC，DF⊥OA，
∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°，
∴四边形DEOF是矩形，
∴EF＝OD．
∵OD＝OA
∴EF＝OA＝4．
【题型7 圆相关概念的应用】
【例7】（2022秋•南岗区校级期中）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美
观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案：
方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；
方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成 2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）
（1）如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π）
（2）如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）
1
（3）如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的 ，
15
他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高
1
了 ，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π
2
取3）
【分析】（l）根据圆的周长公式：c＝xd，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可．
（2）首先根据圆的周长公式：c＝元d，求出直径是4米、和6米的圆的周长和，然后与图1进行比较．
（3）求出乙的钱数，再用总钱数﹣乙是钱数，可得结论．
【解答】解：（1）10÷2＝5（米），2π×5×2＝20π（米）．
故答案为：20π米．
2
（2）10×2＝20（米），20× =8（米），8÷2＝4（米），
2+3
3
20× =12（米），12÷2＝6（米），
2+3
方案B花坛周长：2π（4+6）＝20π（米），
20π＝20π，方案B与A周长一样，用的材料一样．
1
（3）乙的钱数= ×2×（5﹣1）×20π×10＝320（元）．
15
甲的钱数＝20π×10﹣320＝280（元），
答：修完花坛后，甲，乙分别得到320元和280元．
【变式7-1】（2022•南岗区期末）一个压路机的前轮直径是1.7米，如果前轮每分钟转动6周，那么这台
压路机10分钟前进（ ）米．A．51π B．102π C．153π D．204π
【分析】首先根据圆的周长公式C＝πd，求出前轮的底面圆周长，然后用前轮的底面周长乘每分钟转的
周数（6周），求出1分钟前进多少米，再乘工作时间10分钟即可．
【解答】解：前轮的底面圆周长：π×1.7＝1.7π（米），1.7π×6×10＝102π（米）
故选：B．
【变式7-2】（2022•罗田县校级模拟）一个塑料文具胶带如图所示，带宽为 1cm，内径为4cm，外径为
7cm，已知30层胶带厚1.5mm，则这卷胶带长 51.8 1 m．（π≈3.14，结果保留4位有效数字）
【分析】首先求出胶带的体积，用胶带的体积除以一米长的胶带的体积即可求得．
【解答】解：4÷2＝2（cm），
7÷2＝3.5（cm），
胶带的体积是：π（3.52﹣22）•1＝8.25πcm3＝8.25π×10﹣6（m3），
一米长的胶带的体积是：0.01×1×5×10﹣5＝5×10﹣7（m3），
因而胶带长是：（8.25π×10﹣6）÷（5×10﹣7）≈51.81（m）．
故答案为：51.81．
【变式7-3】（2022•张店区期末）如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂
蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂
蚁直到行走2010πcm后才停下来．则这只蚂蚁停在点 E ．
【分析】首先求得蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序走一周的路线长，然后确定走2010πcm是走了
多少周，即可确定．
【解答】解：A开始ABCDEFCGA的顺序转一周的路径长是：8π+4π＝12πcm，蚂蚁直到行走2010πcm
所转的周数是：2010π÷12π＝167…6π．
即转167周以后又走了6πcm．
从A到B得路长是：2π，再到C的路线长也是2π，从C到D，到E的路线长是2π，则从A行走6πcm到
E点．故答案是：E．
