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专题 22.6 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，选择15题，填空15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对二次函
数图象与系数之间关系的理解！
一．选择题（共15小题）
1
1．（2022•葫芦岛一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（ ，0），有下列结论：
2
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；
②根据抛物线与x轴的交点坐标即可得结论；
③根据对称轴和与x轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论；
1
④根据点（ ，0）和对称轴方程即可得结论．
2
【解答】解：①观察图象可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①正确；
1
②当x= 时，y＝0，
2
1 1
即 a + b+c＝0，
4 2∴a+2b+4c＝0，
∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，
所以②正确；
1
③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（ ，0），
2
5
所以与x轴的另一个交点为（- ，0），
2
5 25 5
当x=- 时， a- b+c＝0，
2 4 2
∴25a﹣10b+4c＝0．
所以③正确；
1
④当x= 时，a+2b+4c＝0，
2
b
又对称轴：- =- 1，
2a
1
∴b＝2a，a= b，
2
1
b+2b+4c＝0，
2
8
∴b=- c．
5
24 14
∴3b+2c=- c+2c=- c＜0，
5 5
∴3b+2c＜0．
所以④错误．
或者∵当x＝1时，a+b+c＜0，
∴c＜﹣a﹣b，
又∵b＝2a，
1
∴a= b，
2
3
∴c＜- b，
2
∴2c＜﹣3b，∴2c+3b＜0，
∴结论④错误
故选：C．
2．（2022•恩施市一模）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣
9a），下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两
个根x 和x ，且x ＜x ，则﹣5＜x ＜x ＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，
1 2 1 2 1 2
其中正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤
【分析】①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，即可求解；
②x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，即可求解；
③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，即可求解；
④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相当于由原抛物线y＝ax2+bx+c向上平移了1个单位，即可求解；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，当ax2+bx+c﹣1＝0时，由韦达定理得：其两个根的
和为﹣4，即可求解．
【解答】解：二次函数表达式为：y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a＝a（x+5）（x﹣1），
①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，则abc＜0，故正确；
②函数在y轴右侧的交点为x＝1，x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故正确；
③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，故错误；
④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相当于由原抛物线y＝ax2+bx+c向上平移了1个单位，故有两个根x 和x，
1 2
且x＜x，则﹣5＜x＜x＜1，正确；
1 2 1 2
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，当ax2+bx+c﹣1＝0时，用韦达定理得：其两个根的
和为﹣4，同理当ax2+bx+c+1＝0时，其两个根的和也为﹣4，故正确．
故选：D．
3．（2022春•崇川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的
部分对应值如下表：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y＝ … t m ﹣2 ﹣2 n …
ax2+bx+c
1
且当x=- 时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是
2
20
关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜ ，其中，正确结论的是（ ）
3
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】①根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可判断；
②根据二次函数的对称性即可判断；
③根据抛物线的对称轴确定a与b的关系式，再根据已知条件求出a的取值范围即可判断．
【解答】解：①根据图表可知：
二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），
0+1 1
∴对称轴为直线x= = ，c＝﹣2，
2 2
1
∵当x=- 时，与其对应的函数值y＞0，
2
∴a＞0，b＜0，
∴函数图象的顶点在第四象限内；
①正确；
②根据二次函数的对称性可知：
1
（﹣2，t）关于对称轴x= 的对称点为（3，t），
2
即﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，
∴②正确；
1 b 1
③∵对称轴为直线x= ，∴- = ，∴b＝﹣a，
2 2a 2
1
∵当x=- 时，与其对应的函数值y＞0，
2
1 1 1 1 8
∴ a- b﹣2＞0，即 a+ a﹣2＞0，∴a＞ ．
4 2 4 2 3
1
∵对称轴为直线x= ，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，m）（2，n），
2
∴m＝n，当x＝﹣1时，m＝a﹣b+c＝a+a﹣2＝2a﹣2，8
∴m+n＝4a﹣4，∵a＞ ．
3
20
∴4a﹣4＞ ，
3
∴③错误．
故选：B．
4．（2022春•东湖区校级期末）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c，它与x轴交于A、B，且A、B位于原
点两侧，与y的正半轴交于C，顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上，则下列说法：①bc＜0；②0＜b＜
4；③AB＝4；④S ＝8．其中正确的结论有（ ）
△ABD
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【分析】先由抛物线解析式得到a＝﹣1＜0，利用抛物线的对称轴得到b＝﹣2a＜0，易得c＜0，于是可
对①进行判断；由顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上可得b的范围，从而可判断②是否正确；由a＝
﹣1及顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上，可得抛物线与x轴两交点之间的距离AB为定值，故可取b
＝2进行计算，即可求得AB的长度及S 的大小．
△ABD
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＝﹣1＜0，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=- ＞0，
2a
∴b＞0，
而抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴﹣c＞0，则c＜0，
∴bc＜0，故①正确；
由顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上可得：
4×(-1)×(-c)-b2
=4
4×(-1)
∴b2＝4c+16
∵0＜﹣c＜4∴﹣16＜4c＜0
∴0＜4c+16＜16
∴0＜b2＜16
∴0＜b＜4
∴②正确；
∵a＝﹣1，
∴该抛物线的开口方向及大小是一定的
又∵顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上
∴该抛物线与x轴两交点之间的距离AB是定值，
故可令b＝2
则c＝﹣3
此时抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3
由﹣x2+2x+3＝0
得x＝﹣1，x＝3
1 2
故AB＝4
∴③正确；
S ＝4×4÷2＝8
△ABD
故④正确；
综上，故选：D．
5．（2022•丹东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称
轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；
④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，
❑√6
若CM⊥AM，则a= ．其中正确的有（ ）
6
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；
②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；
③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；
④正确，判断出k＞0，可得结论；
⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣
5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出 a
即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
b
∴- = 2，
2a
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，MH CH
∴ = ，
MK AK
2 -4a
∴ = ，
-9a 3
1
∴a2= ，
6
∵a＞0，
❑√6
∴a= ，故⑤正确，
6
故选：D．
6．（2022•鹤峰县二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于
（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c
交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m
（am+b）＜4a+2b（其中m为任意实数）；④a＜﹣1，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣4a，则4a+2b+c＝c＞0，
于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当
x＝﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x＝2时，二次函数有最大值，则
am2+bm+c≤4a+2b+c，即，m（am+b）≤4a+2b，于是可对③进行判断；由于直线 y＝﹣x+c与抛物线y
＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，利用函数图象得x＝5时，一次函数值比
二次函数值大，即25a+5b+c＜﹣5+c，然后把b＝﹣4代入解a的不等式，则可对④进行判断；【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2∴b＝﹣4a，
∴4a+b+c＝4a﹣4a+c＝c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点B位于（4，0）、（5，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点位于（0，0）、（﹣1，0）之间，
即当x＝﹣1时，y＜0，也就是a﹣b+c＜0，因此②正确；
∵对称轴为x＝2，
∴x＝2时的函数值大于或等于x＝m时函数值，即，当x＝2时，函数值最大，
∴am2+bm+c≤4a+2b+c，
即，m（am+b）≤4a+2b，因此③不正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，
∴x＝5时，一次函数值比二次函数值大，
即25a+5b+c＜﹣5+c，
而b＝﹣4a，
∴25a﹣20a＜﹣5，解得a＜﹣1，因此④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：C．
7．（2022秋•朝阳期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x
1
=- ，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二
2
1 1
次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x =- ，x = ；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0
1 3 2 2
的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（ ）个．A．2 B．3 C．4 D．5
1
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 y轴交点位置判断①．由对称轴为直线 x=- 可
2
得a＝b，根据抛物线经过点（﹣3，0）可得6a+c＝0，再由a＜0可判断②．由图象对称轴及开口方向
-b-❑√b2-4ac
③．由抛物线经过（﹣3，0）可得抛物线经过（2，0），进而可得 =-3，
2a
-b+❑√b2-4ac -b+❑√b2-4ac -b-❑√b2-4ac
=2，因为cx2+bx+a＝0的根为x= 和x= ，将a与c的关
2a 2c 2c
系代入求解可判断④．将a（x+3）（x﹣2）+3＝0转化为抛物线与直线y＝﹣3的交点可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
b 1
∵抛物线对称轴为直线x=- =- ，
2a 2
∴b＝a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，①正确，符合题意．
∵抛物线经过点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∵a＝b，
∴6a+c＝3a+3a+c＝0，
∵a＜0，
∴3a+c＞0，②正确，符合题意．1
由图象可得x＜- 时，y随x增大而增大，
2
∴③错误，不符合题意．
-b+❑√b2-4ac -b-❑√b2-4ac
由cx2+bx+a＝0可得方程的解为x= 和x= ，
2c 2c
1
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣3，0），对称轴为直线x=- ，
2
∴抛物线与x轴另一个交点为（2，0），
∴x＝﹣3和x＝2是方程ax2+bx+c＝0的根，
-b-❑√b2-4ac -b+❑√b2-4ac
∴ =-3， =2，
2a 2a
∵6a+c＝0，
∴c＝﹣6a，
-b+❑√b2-4ac 1 -b-❑√b2-4ac 1
∴ =- ， = ，④正确，符合题意．
2c 3 2c 2
∵抛物线经过（﹣3，0），（2，0），
∴y＝a（x+3）（x﹣2），
将a（x+3）（x﹣2）+3＝0化为a（x+3）（x﹣2）＝﹣3，
由图象得抛物线与直线y＝﹣3交点在x轴下方，
∴m＜﹣3且n＞2，⑤正确，符合题意．
故选：C．
8．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为
（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①2a+b＝0；②﹣
2
1≤a≤- ；③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；④关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0
3
有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向判断a与0的关系，由抛物线与x轴交点坐标判断a、b、c的关系，由顶点
坐标及顶点坐标公式推断a、b的关系及n与a、b、c的关系，由抛物线与y轴的交点坐标判断c的取值
范围，进而对所得结论进行推断．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）
b 4ac-b2
∴- =1， =n
2a 4a∴2a+b＝0
故①正确．
∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0）
∴a﹣b+c＝0
∴c＝b﹣a
由①知：2a+b＝0，即b＝﹣2a
∴c＝﹣2a﹣a＝﹣3a
又∵抛物线与y轴的交点（0，c）在（0，2），（0，3）之间（含端点）
∴2≤c≤3
∴2≤﹣3a≤3
2
∴-1≤a≤-
3
故②正确．
∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向下
∴a＜0
又∵a（m2﹣1）+b（m﹣1）＝am2+bm﹣a﹣b（a≠0）
令g＝am2+bm﹣a﹣b
∴关于m的二次函数g＝am2+bm﹣a﹣b开口向下
若对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立
故需判断Δ＝b2﹣4a（﹣a﹣b）与0的数量关系
由以上分析知：b＝﹣2a
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣a+2a）＝0
故③正确．
4ac-b2
由以上分析知：a＜0，b=-2a，c=-3a，n=
4a
4a⋅(-3a)-(-2a) 2
∴n= =-4a
4a
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n+1）＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a+4a+1）＝﹣4a＞0
∴关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不相等的实数根
故④正确
故选：D．
9．（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物1
线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y ）与（ ，y ）是抛物线上
1 2 2
的两个点，则y ＜y ；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x ＝﹣3，x ＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b
1 2 1 2
﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结
论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
b
∴- =- 1，
2a
∴b＝2a，b＜0．
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴①的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴9a﹣3×2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴4a+c＝a＜0，
∴②的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（﹣2，y）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y），
1 1
∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
1
∵ ＞0＞﹣1，
2
∴y＞y．
1 2
∴③的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线一定经过点（1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x＝﹣3，x＝1，
1 2
∴④的结论正确；
∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），
∴﹣3k+c＝0，
∴c＝3k．
∵3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴3k＝﹣3a，
∴k＝﹣a．
∴函数y＝ax2+（b﹣k）x
＝ax2+（2a+a）x
＝ax2+3ax
3 9
＝a(x+ ) 2- a，
2 4
∵a＜0，
3
∴当x=- 时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，
2
∴⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①④，
故选：A．
10．（2022•济南二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴
为直线x＝1，有下列结论：
①c＞0；
②9a+3b+c＞0；③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x、x，满足x＜x，则x＜﹣2，x＞4；
1 2 1 2 1 2
④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ=❑√66，则a＝﹣1；
其中，正确结论的个数是（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用数形结合的方法解答，依据已知条件画出函数的大致图象，依据图象直接得出结论可判定
①②③的正确；分别过点P，Q作坐标轴的平行线，则△PHQ为等腰直角三角形，设点P，Q的横坐标
分别为m，n，则m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根，利用韦达定理和待定系数法可得到用a的代
数式表示PQ，利用PQ=❑√66，列出方程，解方程即可求得a值，即可判定④的结论不正确．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，
∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）．
综上抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如下：
由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴（0，c），
∴c＞0．
∴①的结论正确；
由图象可知：当﹣2＜x＜4时，函数值y＞0，
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0．
∴②的结论正确．
作直线y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x，x，如图，
1 2则x，x 是方程ax2+bx+c＝﹣1的两根，
1 2
即方程ax2+bx+c+1＝0的解为x、x，
1 2
由图象可知：满足x＜x，则x＜﹣2，x＞4，
1 2 1 2
∴③的结论正确；
如图，分别过点P，Q作坐标轴的平行线，它们交于点H，
则△PHQ为等腰直角三角形，
∴PH＝HQ，PQ=❑√2HQ．
{y=ax2+bx+c
∴ ．
y=x
∴ax2+（b﹣1）x+c＝0．
设点P，Q的横坐标分别为m，n，
∴m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根，
1-b c
∴m+n= ，mn= ．
a a
√ 1-b 4c
∴HQ＝|m﹣n|=❑√(m-n) 2=❑√(m+n) 2-4mn=❑( ) 2- ．
a a
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，{4a-2b+c=0
∴ b ．
- =1
2a
{b=-2a
∴ ．
c=-8a
√ 1+2a
∴HQ=❑( ) 2+32．
a
∵PQ=❑√66，
√ 1+2a
∴❑√2•❑( ) 2+32=❑√66．
a
1
解得：a＝﹣1或- ．
3
∴④的结论不正确；
综上所述，正确结论有：①②③，
故选：B．
1
11．（2022•宁远县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（- ，0），对
2
称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y ），（3，y ），（0，y ）均
1 2 3
在函数图象上，则 y ＞y ＞y ；④若方程 a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为 x ，x 且x ＜x ，则 x
1 3 2 1 2 1 2 1
1 5
＜- ＜ ＜x ；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得
2 2 2
PM⊥PN，则a的范围为a≥❑√22-4．其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
1
【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，函数图象与x轴负半轴交于（- ，0），
2b
∴x=- =1，
2a
∴b＝﹣2a，
由图象可知a＞0，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由图可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大；
又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，
∴y＞y＞y；故③错误；
1 2 3
5
由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为（ ，0），
2
1 5
∴抛物线解析式为：y＝a（x+ ）（x- ），
2 2
1 5 1
令a（x+ ）（x- ）= ，
2 2 4
则a（2x+1）（2x﹣5）＝1，
1
如图，作y= ，
4
1 5
由图形可知，x＜- ＜ ＜x；故④正确；
1 2 2 2
3
由题意可知：M，N到对称轴的距离为 ，
2
3
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于 时，
2
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，4ac-b2 3
即 ≤- ，
4a 2
1 5 5
∵y＝a（x+ ）（x- ）＝ax2﹣2ax- a，
2 2 4
5
∴c=- a，b＝﹣2a，
4
5
4a⋅(- )a-(-2a) 2
∴ 4 3，
≤-
4a 2
2
解得：a≥ ，故⑤错误；
3
故选：B．
12．（2022•惠城区二模）如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A
a-b
（﹣2，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：① ＜0；②4ac+2b＝
c
1
﹣1；③a=- ；④当b＞1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在
4
点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先根据函数图象可判断a，b，c的符号，a＜0，b＞0，c＞0，从而可判断①正确；由OB＝
2OC可推出点B（2c，0）代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x轴的交点A（﹣2，0）和点B
c 1
（2c，0），再结合韦达定理可得x•x = =（﹣2）×（2c）＝﹣4c，可得a=- ，即可判断③正确；根
1 2 a 4
1 1
据a=- ，2b+4ac＝﹣1，可得c＝2b+1，从而可得抛物线解析式为y=- x2+bx+（2b+1），顶点坐标为
4 4
（2b，b2+2b+1），所以对称轴为直线x＝2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一1
定在对称轴上，则△APB 为等腰直角三角形，PQ= AB＝2+2b，得 P（2b，2b+2），且 2b+2＜
2
b2+2b+1，解得b＞1或b＜﹣1，故可判断④正确．
【解答】解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，
∴C（0，c），B（2c，0）．
由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
①∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
a-b
∴ ＜0．故①正确；
c
②把B（2c，0）代入解析式，得：
4ac2+2bc+c＝0，又c≠0，
∴4ac+2b+1＝0，
即2b+4ac＝﹣1，故②正确；
③∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（2c，0），
∴x＝﹣2和x＝2c为相应的一元二次方程的两个根，
1 2
c
由韦达定理可得：x•x = =（﹣2）×（2c）＝﹣4c，
1 2 a
1
∴a=- ．故③正确；
4
1
④∵a=- ，2b+4ac＝﹣1，
4
∴c＝2b+1．
1
故原抛物线解析式为y=- x2+bx+（2b+1），顶点坐标为（2b，b2+2b+1）．
4
∴对称轴为直线x＝2b．
要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，
∵△APB为等腰直角三角形，Q是AB中点，
1 1
∴PQ= AB= [4b+2﹣（﹣2）]＝2b+2，
2 2
∴P（2b，2b+2），且有2b+2＜b2+2b+1，
整理得：b2＞1，
解得：b＞1或b＜﹣1，故④正确．综上所述，正确的有4个，
故选：D．
13．（2022秋•大石桥市期末）如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，
n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；
③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线x＝1可得抛物线与x轴另一交点坐标在（﹣1，0），（﹣
2，0）之间，从而判断①．由对称轴为直线x＝1可得b与a的关系，将b＝﹣2a代入函数解析式根据图
象可判断②由ax2+bx+c＝n有两个相等实数根可得Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，从而判断③．由函数最大值
为y＝n可判断④．
【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵图象与x轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间，
∴图象与x轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
故①正确，符合题意．
b
∵抛物线对称轴为直线x=- =1，
2a
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
∴x＝﹣1时，y＝3a+c＞0，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为（1，n），∴ax2+bx+c＝n有两个相等实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，
∴b2＝4a（c﹣n），
故③正确，符合题意．
∵y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n，
∴ax2+bx+c＝n+1没有实数根，
故④正确，符合题意．
故选：D．
14．（2022•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，
1
m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c= m．其中正确
2
的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴以及与 y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得abc的符
号，结论①错误；
②由抛物线与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），可判断出抛物线与x轴的另一个交点为（1，
0），当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，结论②正确；
b
③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，即- =-1，得b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c并化
2a
简得：x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可判断出结论③正确；
1 1
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c并计算可得b=- m，由对称轴可得b＝2a，∴a=- m
2 4
3
，由a+b+c＝0可得c= m，再计算b+c的值，可判断④错误．
4
【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，
故结论①错误；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∵抛物线开口向上，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，
故结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，
b
∴x=- =-1，
2a
∴b＝2a，
把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：
ax2+2ax+c＝c，
∴x2+2x＝0，
解得x＝0或﹣2，
∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，
故结论③正确；
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：
a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，
1
∴b=- m，
2
∵b＝2a，
1
∴a=- m，
4
∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c＝0，
3
∴c= m，
4
1 3 1
∴b+c=- m+ m= m，
2 4 4
故选：B．
15．（2022•开福区模拟）如图，是抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A
1
（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y ＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
2①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④当1＜x＜4时，有y ＜y ；⑤若ax2+bx ＝ax2+bx ，且x≠x ；则x+x ＝1．则命题正确的个数为（
2 1 1 1 2 2 1 2 1 2
）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】①根据对称轴可以判断；②根据已知交点坐标和对称轴可以判断；③根据图象性质向下平移3
个单位即可判断；④根据图象性质即可判断；⑤根据图象对称性即可判断．
b
【解答】解：①∵对称轴为直线x=- =1，
2a
则：2a+b＝0正确；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是B（4，0），则与x轴的另一个交点是（﹣2，0），
故②正确；
③将抛物线y =ax2+bx+c向下平移3个单位，得到y＝ax2+bx+c﹣3，
1
∴顶点坐标变为（1，0），
∴此时抛物线与x轴只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根正确；
④当1＜x＜4时，有图象可知y＜y 正确；
2 1
⑤若ax2+bx＝ax2+bx，
1 1 2 2
则ax2+bx+c＝ax2+bx+c，
1 1 2 2
即y＝y，
1 2
∴x、x 关于函数的对称轴对称，
1 2
b
由①知函数对称轴为直线x=- =1，
2a
1
故 （x+x）＝1，
2 1 2
∴⑤不正确，
故选：B．
二．填空题（共15小题）16．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，
0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x＝1．下列结
1 2
论：① abc＞0；② 4a+2b+c＞0；③ 4ac﹣b2＜﹣4a；④ ＜a＜ ；⑤ b＞c．其中正确结论有
3 3
①③④⑤ （填写所有正确结论的序号）．
【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴
得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从
4ac-b2
而对②⑤作判断；利用 ＜-1，可判断③；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）
4a
之间可以判断c的大小得出④的正误．
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，
4ac-b2
∴最小值： ＜-1，
4a
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a；
∴③正确；
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
2 1
∴ ＞a＞ ；
3 3
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确．
综上所述，正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
17．（2022秋•金牛区期末）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列 5个结论：
①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正
确结论的序号有 ①③④ ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及
抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
b
∵- ＞0，
2a∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故a﹣b+c＞0，错误；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；
b
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x=- =1，
2a
b b
即a=- ，代入得9（- ）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
2 2
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误．
故①③④正确．
故答案为：①③④．
18．（2022•宜宾）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横
坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：
1
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a= 时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB
2
为等腰三角形的a的值可以有三个．
那么，其中正确的结论是 ①④ ．
【分析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线
的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x
轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB＝4，b
∴对称轴x=- =1，
2a
即2a+b＝0；
故①正确；
b
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而- ＞0
2a
∴b＜0，
∵对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故②错误；
③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∴5a+b+c＝0，
∴a+4a+b+c＝0，
∵a＞0，
∴4a+b+c＜0，
故③错误；
④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x＝1时y的值的绝对值．
当x＝1时，y＝a+b+c，
即|a+b+c|＝2，
∵当x＝1时y＜0，
∴a+b+c＝﹣2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x＝﹣1时y＝0即a﹣b+c＝0；
x＝3时y＝0．
∴9a+3b+c＝0，
1 3
解这三个方程可得：b＝﹣1，a= ，c=- ；
2 2
⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，当AB＝BC＝4时，
∵AO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=-❑√7，
❑√7
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a= ；
3
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=-❑√15
❑√15
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a= ；
3
同理当AC＝BC时
在△AOC中，AC2＝1+c2，
在△BOC中BC2＝c2+9，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．
故⑤错误．
故答案为：①④．
19．（2022•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝
1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x ，
1y ），N（x ，y ）是抛物线上两点（x ＜x ），若x+x ＞2，则y ＜y ；④若抛物线经过点（3，﹣1），
1 2 2 1 2 1 2 1 2
则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为 ①④ ．
【分析】根据函数的图象和性质即可求解．
【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；
1 1
②△ABC的面积= AB•y = ×AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②
2 C 2
错误，不符合题意；
1
③函数的对称轴为x＝1，若x+x ＞2，则 （x+x ）＞1，则点N离函数对称轴远，故y ＞y ，故③错误，
1 2 2 1 2 1 2
不符合题意；
④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），
根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故④正确，符
合题意；
故答案为：①④．
20．（2022•霍林郭勒市模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直
线x＝1，下列结论中一定正确的是 ①②④ （填序号即可）．①abc＞0；②若A（x ，m），B（x ，
1 2
m）是抛物线上的两点，当x＝x+x 时，y＝c；③若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x ，x ，且x
1 2 1 2 1
＜x，则﹣2＜x＜x＜4；④（a+c）2＞b2．
2 1 2【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①正确，符合题意；
②∵A（x，m），B（x，m）是抛物线上的两点，
1 2
由抛物线的对称性可知：x+x＝1×2＝2，
1 2
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故②正确，符合题意；
③抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x，x，
1 2
则x、x 为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
1 2
∵x＜x，
1 2
∴x＜﹣2＜4＜x，③错误，不符合题意；
1 2
④当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
故（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，
故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
21．（2022春•蔡甸区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y
轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当 x＝﹣n2﹣2时，y≥c；⑤若 x ，x （x ＜x ）是方程
1 2 1 2
ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x ）（x﹣x ）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x 且n＞x ；其
1 2 1 2
中，正确结论的个数是 3 个
【分析】利用二次函数图象的性质，数形结合法，和二次函数与一元二次方程的关系对每一个选项进行
逐一判断即可．【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
b
∴- =- 1．
2a
∴b＝2a．
∴b＞0．
∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴，
∴c＞0．
∴abc＞0．
∴①的结论错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0．
∴4ac﹣b2＜0．
∴②的结论正确；
由抛物线可知：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
b
∴- =- 1．
2a
∴b＝2a．
∴a﹣2a+c＜0．
∴c﹣a＜0．
∴③的结论错误；
∵x＝0时，y＝c，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣2时，y＝c．
∵﹣n2﹣2≤﹣2，
∴由抛物线的对称性可知：当x＝﹣n2﹣2时，y≥c．
∴④的结论正确；
∵若x，x（x＜x）是方程ax2+bx+c＝0的两根，
1 2 1 2
∴a（x﹣x）（x﹣x）＝0，A（x，0），B（x，0）．
1 2 1 2
设直线y＝1与抛物线交于点M，N，如图，分别过点M，N作x轴的垂线，垂足对应的数字为m，n，
即方程a（x﹣x）（x﹣x）﹣1＝0的两根m，n，
1 2
由图象可得：m＜x，n＞x；
1 2
∴⑤的结论正确．
综上，正确结论的个数是3个．
故答案为：3个．
22．（2022秋•武汉期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的图象经过（﹣1，0），对称轴
为直线x＝1，下列结论：①bc＞0；②9a+3b+c＝0；③关于x的方程a（x+1）（x﹣3）﹣1＝0有两根
m，n，m＜n，则﹣1＜m＜n＜3；④若方程|ax2+bx+c|＝b有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的
是 ①②③ （填序号即可）．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
能得到：a＜0，c＞0，b＞0，
∴bc＞0是正确的；
②图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
可得与x轴的另一个交点（3，0），
当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0，正确；
③将图象向下平移一个单位，
得到y＝a（x+1）（x﹣3）﹣1与x轴两个交点m、n，m＜n，
则﹣1＜m＜n＜3，∴正确；
④∵|ax2+bx+c|＝b，
∴ax2+bx+c＝±b，b
当ax2+bx+c﹣b＝0时，x+x =- =2，
1 2 a
b
当ax2+bx+c+b＝0时，x+x =- =2，
1 2 a
∴这四个根的和为4，∴错误；
故正确的是①②③．
23．（2022秋•和平区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为
直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；
③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有 ①②③④⑤ （只填写序号）．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断①；根据函数的增减性可判断
②；由抛物线开口方向及对称轴可得x＝﹣1时y最大，从而判断③；由对称轴可得b＝2a，由x＝﹣1
时y＜0可判断④；根据函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点可判断⑤．
【解答】解：由图象可知：a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向下，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵k是实数，
∴k2+2＞k2+1＞﹣1，
∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c，
即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），
故②正确；b
∵抛物线对称轴为x=- =-1，
2a
∴b＝2a，
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c）
∴y ＝a﹣b+c＝﹣a+c，
最大
∴am2+bm+c≤﹣a+c，
即m（am+b）≤﹣a，
故③正确；
由图象知，x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，
故④正确；
根据图象可知，函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，
故⑤正确，
故答案为：①②③④⑤．
24．（2022•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c≠0）经过A（x ，y ），B（x ，
1 1 2
y ），C（c，0）三点，x ＜x ，抛物线的对称轴为直线x＝m．下列四个结论：①ac+b+1＝0；②若点m
2 1 2
＜x ，则y ＜y ；③若m＝2，y ＝y ，则x+x ＝4；④对于x+x ＞8，都有y ＜y ，则m＜4．则结论正确
1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
的为 ①②③ ．（填序号）
【分析】根据二次函数图象的性质逐个求解即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c≠0）经过A（x，y），B（x，y），C
1 1 2 2
（c，0）三点，x＜x，抛物线的对称轴为直线x＝m．
1 2
∵过C（c，0），
∴0＝ac2+bc+c
∵c≠0
∴o＝c（ac+b+1），
∴ac+b+1＝0，m＜x，故①正确；
1∵m＜x，x＜x，
1 1 2
∴A、B两点，在对称轴右侧，
∵a＞0，开口向上，
∵在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y＜y，故②正确；
1 2
b
当m＝2，则对称轴x=- =2，
2a
∴b＝﹣4a，
∵y＝y，
1 2
∴ax 2+bx +c=ax +bx +c，
1 1 22 2
∴a(x2-x2 )=b(x -x )
1 2 2 1
∴a（x+x）（x﹣x）＝﹣4a（x﹣x），
1 2 1 2 2 1
∴x+x＝4，故③正确；
1 2
若点m≤4，则y＜y，
1 2
b
∴- ＜4，
2a
∴b＞﹣8a，
ax2+bx +c＜ax2+bx +c，
1 1 2 2
a(x 2-x 2 )＜b(x -x )，
1 2 2 1
a（x+x）＜﹣b＜8a，
1 2
a（x+x）＜8a，
1 2
x+x＞8，都有y＜y，则m≤4．
1 2 1 2
故④错误；
故答案为：①②③．
25．（2022秋•八步区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜
0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正确的结论有 4 个．【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关
系，逐项判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y
轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，于是①正确；
b
抛物线的对称轴为直线x=- =1，因此有2a+b＝0，故④正确；
2a
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，而2a+b＝0，所以3a+c＜0，故②不正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确；
抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点在﹣1与0之间，因此另一个交点在2与3之间，于是当x＝
2时，y＝4a+2b+c＞0，因此③正确；
综上所述，正确的结论有：①③④⑤，
故答案为：4．
26．（2022•桂平市模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣
5
3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y ），Q（ ，y ）是函数图象
1 2 2
2❑√7 2❑√15
上的两点，则y ＞y ；③c＝﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，则b=- 或- ．其中正确的有
1 2 3 3
①③④ ．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
【分析】①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知：当x＝﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；
②根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1确定对称轴是：x＝﹣1，可得：（﹣4.5，y ）与
3
5
Q（ ，y）是对称点，所以y＜y；
2 2 1 2
③根据对称轴和x＝1时，y＝0可得结论；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，先计算c的值，再联
立方程组可得结论．【解答】解：①∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴当x＝﹣4时，y＜0，
即16a﹣4b+c＜0；
故①正确；
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴抛物线的对称轴是：x＝﹣1，
5
∵P（﹣5，y），Q（ ，y），
1 2 2
5
﹣1﹣（﹣5）＝4， -（﹣1）＝3.5，
2
5
由对称性得：（﹣4.5，y）与Q（ ，y）是对称点，
3 2 2
∴则y＜y；
1 2
故②不正确；
b
③∵- =- 1，
2a
∴b＝2a，
当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
3a+c＝0，
c＝﹣3a，故③正确；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵BO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c=❑√15，
2❑√15
与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b=- ；
3
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝3，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c=❑√7，
2❑√7
与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b=- ；
3
同理当AC＝BC时，
在△AOC中，AC2＝9+c2，
在△BOC中BC2＝c2+1，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b值满足条件．
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案是：①③④．
27．（2022•武汉模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：
4
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；②abc＞0；③a+b＝c﹣b；④y❑ = c；
最大值 3
⑤a+4b＝3c中正确的有 ①③④ （填写正确的序号）
【分析】①由抛物线与x轴的一个交点坐标及对称轴为x＝1，利用对称性得到另一个交点的坐标，可得
出ax2+bx+c＝0的两个解为﹣1，3，判断选项①；
②由抛物线开口向下得到a小于0，对称轴在y轴右侧，得到b大于0，与y轴交点在正半轴得到c大于
0，进而得到abc小于0，判断选项②；
③根据对称轴x＝1和过（﹣1，0），代入可得：b＝﹣2a，c＝b﹣a，判断选项③；1 4ac-b2
④将a=- c，b＝﹣2a代入顶点坐标的纵坐标y= 中，判断选项④；
3 4a
1
⑤将a=- c，b＝﹣2a代入a+4b中计算，判断选项⑤．
3
【解答】解：①∵抛物线与x轴一个交点为（3，0），且对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1，3，
选项①正确；
②∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴，
∴ab＜0，c＞0，即abc＜0，
选项②错误；
b
③由对称轴是：x＝1=- ，得b＝﹣2a，
2a
∴a+b＝a﹣2a＝﹣a，
∵抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c﹣b＝﹣a，
∴a+b＝c﹣b，
选项③正确；
1
④由a﹣b+c＝0和b＝﹣2a得：a=- c，
3
4ac-b2 b2 4a2 1 4c
∴y = =c- =c- =c﹣（- c）= ，
最大值 4a 4a 4a 3 3
选项④正确；
1 7c
⑤∵a+4b＝a﹣8a＝﹣7a＝﹣7×(- c)= ，
3 3
选项⑤错误；
综上所述，本题正确的结论有：①③④；
故答案为：①③④．
28．（2022•东西湖区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图形经过点（1，2），且与x轴
交点的横坐标分别为x ，x ，其中﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，下列结论：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；
1 2 1 2
③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正确结论的序号是 ①② ．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称
轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，判断①；根据对称轴小于1，判断②；根据顶点的纵坐标大于2判
断③，根据图象经过（1，2）判断④．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，a，b异号，∴b＞0，
∴①abc＜0，正确；
b
∵- ＜1，
2a
∴b＜﹣2a，
∴②a＜b＜﹣2a正确；
4ac-b2
由于抛物线的顶点纵坐标大于2，即： ＞2，
4a
由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故③错误，
由题意知，a+b+c＝2，（1）
a﹣b+c＜0，（2）
4a+2b+c＜0，（3）
把（1）代入（3）得到：4a+b+2﹣a＜0，
-b-2
则a＜ ．
3
由（1）代入（2）得到：b＞1．
则a＜﹣1．故④错误．
综上所述，正确的结论是①②．
故答案为①②．
29．（2022•越秀区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别
为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a+4b+c＞0：5
②若P（﹣5，y），Q（ ，y）是函数图象上的两点，则y＜y；
1 2 2 1 2
③c＝3a；
2❑√7 2❑√15
④若△ABC是等腰三角形，则b=- 或- ．
3 3
其中正确的有 ②④ ．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
【分析】①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知：当x＝﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；
②根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1确定对称轴是：x＝﹣1，可得：（﹣4.5，y ）与
3
5
Q（ ，y）是对称点，所以y＜y；
2 2 1 2
③根据对称轴和x＝1时，y＝0可得结论；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，先计算c的值，再联
立方程组可得结论．
【解答】解：①∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴当x＝﹣4时，y＜0，
即16a﹣4b+c＜0；
故①错误，不符合题意；
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴抛物线的对称轴是：x＝﹣1，
5
∵P（﹣5，y），Q（ ，y），
1 2 2
5
﹣1﹣（﹣5）＝4， -（﹣1）＝3.5，
2
5
由对称性得：（﹣4.5，y）与Q（ ，y）是对称点，
3 2 2
∴则y＜y；
1 2
故②正确，符合题意；
b
③∵- =- 1，
2a∴b＝2a，
当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
故③错误，不符合题意；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵BO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c=❑√15，
2❑√15
与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b=- ；
3
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝3，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c=❑√7，
2❑√7
与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b=- ；
3
同理当AC＝BC时，
在△AOC中，AC2＝9+c2，
在△BOC中，BC2＝c2+1，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b值满足条件．
故④正确，符合题意．
综上所述，正确的结论是②④．
故答案是：②④．30．（2022•硚口区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x ，0），1＜x ＜
0 0
2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列四个结论中一定正确的是 ①②③ ．
①b＞0；②2a﹣b﹣1＜0；③2a+c＜0；④a＜3b．（填序号即可）
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线对称轴的位置判断b与0的关系，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：如图：
①由图象开口向上知a＞0，
由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x，0 ），且1＜x＜2，
0 0
b -2+x b
该抛物线的对称轴为x=- ，由于0＞ 0，即0＜ ＜1，
2a 2 a
a＞0，所以b＞0；故①正确；
②当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0，
∴c＝﹣4a+2b．
∵c＞﹣2，
∴﹣4a+2b＞﹣2，
∴4a﹣2b﹣2＜0，
∴2a﹣b﹣1＜0，
故②正确；
③∵把（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c得：4a﹣2b+c＝0，
∴即2b＝4a+c＞0（因为b＞0），
∵当x＝1时，a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∴6a+3c＜0，
即2a+c＜0，
故③正确；
1 1 1
④由x=- 时， a- b+c＜0得a﹣3b＜﹣9c，而﹣2＜c＜0，
3 9 3
∴a﹣3b＜0，或a﹣3b＜18．
∴无法判断a与3b的大小，故④错误．
综上所述，正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
