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§5.4 向量中的综合问题
重点解读 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，
体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的
模、数量积、向量夹角、系数的范围等．
题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)(多选)(2023·武汉模拟)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是(
)
A．若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的垂心
B．若AP＝λ，则直线AP必过△ABC的外心
C．若|OA|＝|OB|＝|OC|，则O为△ABC的外心
D．若NA＋NB＋NC＝0，则N是△ABC的重心
(2)(2023·南宁模拟)△ABC的外心O满足OA＋OB＋OC＝0，|AB|＝，则△ABC的面积为(
)
A. B. C. D．2
思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题―――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题．
跟踪训练1 (1)在四边形ABCD中，AB＝DC＝(3，)，且满足 ＋＝，则|AC|等于( )
A．2 B．6 C. D．2
(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，点D满足CD＝2DB，AD＝，则BC的长为( )
A．3 B．3 C．3 D．6
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2 如图，在△ABC中，点P满足2BP＝PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交
于点M，N，若AM＝xAB，AN＝yAC(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为( )
A．3 B．3 C．1 D.
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
例3 (2024·开封模拟)已知等边△ABC的边长为，P为△ABC所在平面内的动点，且|PA|＝
1，则PB·PC的取值范围是( )
A. B.
C．[1,4] D．[1,7]命题点3 与模有关的最值(范围)问题
例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[－1，＋1] B．[－1，]
C．[，＋1] D．[2－，2＋]
跟踪训练2 (1)已知向量a，b，c，|a|＝|b|＝1，a⊥b且(c－a)⊥(c－b)，则|c|的最大值为
________．
(2)(多选)在直角△ABC中，斜边AB＝2，P为△ABC所在平面内一点，AP＝sin2θ·AB＋
cos2θ·AC(其中θ∈R)，则( )
A.AB·AC的取值范围是(0,4)
B．点P经过△ABC的外心
C．点P所在轨迹的长度为2
D.PC·(PA＋PB)的取值范围是
