文档内容
训练 18 平面向量的数量积
一、单项选择题
1．(2024·聊城模拟)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
2．已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，t)，则下列说法不正确的是( )
A．若a∥b，则t的值为－
B．若|a＋b|＝|a－b|，则t的值为2
C．|a＋b|的最小值为1
D．若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是t<2
3．(2023·淄博模拟)如图，已知在△ABO中，OA＝1，OB＝2，OA·OB＝－1，过点O作
OD⊥AB于点D，则( )
A.OD＝OA＋OB
B.OD＝OA＋OB
C.OD＝OA＋OB
D.OD＝OA＋OB
4．(2024·钦州、柳州模拟)已知点P是边长为2的正三角形ABC所在平面内一点，满足
PC·(PA＋PB)＝0，则|PB|的最小值是( )
A. B.
C．1 D.
二、多项选择题
5．(2023·深圳模拟)已知e ，e 是两个相互垂直的单位向量，a＝e －2e ，b＝λe ＋e ，则下
1 2 1 2 1 2
列说法正确的是( )
A．若a∥b，则λ＝－
B．当λ＝3时，a，b夹角的余弦值为
C．存在λ使得a⊥b与|a|＝|b|同时成立
D．不论λ为何值，总有|a＋b|≥1成立
6．(2024·黄山模拟)如图，EF为圆O的一条直径，点P是圆周上的动点，M，N是直径EF
上关于圆心O对称的两点，且EF＝8，MN＝6，则( )A.PM＝PE＋PF
B.PE＋PF＝PM＋PN
C.PM·PN>PE·PF
D.PF－PE>PN－PM
三、填空题
7．(2023·邯郸模拟)若向量a，b满足|a|＝|b|，|a＋2b|＝|a|，则向量a，b的夹角为______．
8．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图 1是一个正八边
形窗花隔断，图 2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在边长为 2的正八边形
ABCDEFGH中，若AE＝λAC＋μAF(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________；若P是正八边形
ABCDEFGH八条边上的动点，则AP·AB的最小值为________．
四、解答题
9．已知向量OA＝(0，1)，OB＝(1，3)，OC＝(k，4)，O为坐标原点．
(1)若AB⊥AC，求实数k的值；
(2)在(1)的条件下，求向量AB＋AC与AC的夹角的余弦值．
10．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S ，
A
S ，S ，则S ·OA＋S ·OB＋S ·OC＝0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因
B C A B C
为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedes benz)的logo很相似，故形象地称其为“奔
驰定理”．若O是锐角△ABC内的一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且点 O满足
OA·OB＝OB·OC＝OC·OA.(1)证明：点O为△ABC的垂心；
(2)证明：tan A·OA＋tan B·OB＋tan C·OC＝0.
