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训练 18 平面向量的数量积
一、单项选择题
1．(2024·聊城模拟)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题可知，|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝0⇒a·b＝－1，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∵〈a，b〉∈[0，π]，
∴向量a与b的夹角为.
2．已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，t)，则下列说法不正确的是( )
A．若a∥b，则t的值为－
B．若|a＋b|＝|a－b|，则t的值为2
C．|a＋b|的最小值为1
D．若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是t<2
答案 D
解析 A选项，若a∥b，则－2×t＝1×1⇒t＝－，A选项说法正确；
B选项，若|a＋b|＝|a－b|，两边平方并化简得a·b＝0，即－2＋t＝0⇒t＝2，B选项说法正确；
C选项，|a＋b|＝|(－1，1＋t)|＝，当t＝－1时，有最小值为1，C选项说法正确；
D选项，若a与b的夹角为钝角，
则⇒⇒D选项说法不正确．
3．(2023·淄博模拟)如图，已知在△ABO中，OA＝1，OB＝2，OA·OB＝－1，过点O作
OD⊥AB于点D，则( )
A.OD＝OA＋OB
B.OD＝OA＋OB
C.OD＝OA＋OB
D.OD＝OA＋OB
答案 A
解析 ∵OA·OB＝|OA||OB|cos∠AOB
＝2cos∠AOB＝－1，
∴cos∠AOB＝－，又∵0°<∠AOB<180°，
∴∠AOB＝120°.
在△AOB中，根据余弦定理可得
AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos 120°＝7，
解得AB＝，
根据三角形面积公式
S ＝AB·OD＝OA·OB·sin 120°，
△AOB
解得OD＝，
∴AD＝＝，
∴AD＝AB，
∴OD＝OA＋AD＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝OA＋OB.
4．(2024·钦州、柳州模拟)已知点P是边长为2的正三角形ABC所在平面内一点，满足
PC·(PA＋PB)＝0，则|PB|的最小值是( )
A. B.
C．1 D.
答案 D
解析 设边AB的中点为D，
则PA＋PB＝2PD，
PC·(PA＋PB)＝0，即为PC·PD＝0，
则点P在以CD为直径的圆上，且|CD|＝，
则半径r＝，设CD的中点为O，则|PB|的最小值为|OB|－r＝－＝.
二、多项选择题
5．(2023·深圳模拟)已知e ，e 是两个相互垂直的单位向量，a＝e －2e ，b＝λe ＋e ，则下
1 2 1 2 1 2
列说法正确的是( )
A．若a∥b，则λ＝－
B．当λ＝3时，a，b夹角的余弦值为
C．存在λ使得a⊥b与|a|＝|b|同时成立
D．不论λ为何值，总有|a＋b|≥1成立
答案 ACD
解析 由于e，e 是两个相互垂直的单位向量，
1 2
故可设a＝(1，－2)，b＝(λ，1)．
对于A选项，a∥b，则1×1＝(－2)×λ⇒λ＝－，A正确；
对于B选项，cos〈a，b〉＝＝＝，B错误；
对于C选项，a·b＝λ－2＝0⇒λ＝2.当λ＝2时，|a|＝，|b|＝，C正确；对于D选项，|a＋b|＝|(λ＋1，－1)|＝≥1，D正确．
6．(2024·黄山模拟)如图，EF为圆O的一条直径，点P是圆周上的动点，M，N是直径EF
上关于圆心O对称的两点，且EF＝8，MN＝6，则( )
A.PM＝PE＋PF
B.PE＋PF＝PM＋PN
C.PM·PN>PE·PF
D.PF－PE>PN－PM
答案 BC
解析 由题意可得|EM|＝|NF|＝1.
对于A，可得PM＝PE＋EM＝PE＋EF＝PE＋(PF－PE)＝PE＋PF，故A错误；
对于B，由EM＝NF，可得PM－PE＝PF－PN，整理得PE＋PF＝PM＋PN，故B正确；
对 于 C ， 由 题 意 可 得 0°<∠MPN<∠EPF ＝ 90° ， EP⊥PF ， 则 PM·PN ＝ |PM||PN|
cos∠MPN>0，PE·PF＝0，∴PM·PN>PE·PF，故C正确；
对于D，PF－PE＝EF，PN－PM＝MN，但向量不能比较大小，故D错误．
三、填空题
7．(2023·邯郸模拟)若向量a，b满足|a|＝|b|，|a＋2b|＝|a|，则向量a，b的夹角为______．
答案
解析 由|a＋2b|＝|a|，得|a＋2b|2＝3|a|2，
又|a|＝|b|，
∴|a|2＋4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2
＝5|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝3|a|2，
∴cos〈a，b〉＝－，
又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
8．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图 1是一个正八边
形窗花隔断，图 2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在边长为 2的正八边形
ABCDEFGH中，若AE＝λAC＋μAF(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________；若P是正八边形
ABCDEFGH八条边上的动点，则AP·AB的最小值为________．答案 －2
解析 因为AF⊥AB，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y 轴，建立平面
直角坐标系，如图所示，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2＋，)，E(2，2＋2)，F(0，2＋2)，
AE＝(2，2＋2)，AF＝(0，2＋2)，AC＝(2＋，)，
因为AE＝λAC＋μAF，
则(2，2＋2)＝λ(2＋，)＋μ(0，2＋2)，
所以
解得λ＝2－，μ＝2－2，
所以λ＋μ＝.
设P(x，y)，则－≤x≤2＋，
AP＝(x，y)，AB＝(2，0)，
则AP·AB＝2x∈[－2，4＋2]，
所以当点P在线段GH上时，AP·AB取得最小值－2.
四、解答题
9．已知向量OA＝(0，1)，OB＝(1，3)，OC＝(k，4)，O为坐标原点．
(1)若AB⊥AC，求实数k的值；
(2)在(1)的条件下，求向量AB＋AC与AC的夹角的余弦值．
解 (1)由已知得AB＝OB－OA
＝(1，3)－(0，1)＝(1，2)，
AC＝OC－OA＝(k，4)－(0，1)＝(k，3)，
∵AB⊥AC，∴AB·AC＝0，k＋6＝0，∴k＝－6.
(2)∵k＝－6，∴AC＝(－6，3)，
设向量AB＋AC与AC的夹角为θ，∵AB＋AC＝(1，2)＋(－6，3)＝(－5，5)，
AC＝(－6，3)，
∴(AB＋AC)·AC＝(－5)×(－6)＋5×3＝45，
|AB＋AC|＝＝5，|AC|＝＝3，
cos θ＝＝＝＝.
10．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S ，
A
S ，S ，则S ·OA＋S ·OB＋S ·OC＝0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因
B C A B C
为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedes benz)的logo很相似，故形象地称其为“奔
驰定理”．若O是锐角△ABC内的一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且点 O满足
OA·OB＝OB·OC＝OC·OA.
(1)证明：点O为△ABC的垂心；
(2)证明：tan A·OA＋tan B·OB＋tan C·OC＝0.
证明 (1)如图，
因为OA·OB＝OB·OC
＝OC·OA，
所以OB·(OA－OC)＝0
⇒OB·CA＝0，
同理OA·BC＝0，OC·AB＝0.
所以O为△ABC的垂心．
(2)因为四边形DOEC的对角互补，
所以∠AOB＝π－C，
所以OA·OB＝|OA||OB|cos(π－C)
＝－|OA||OB|cos C.
同理，OB·OC＝－|OB||OC|cos A，
OC·OA＝－|OC||OA|cos B，
所以|OA||OB|cos C＝|OB||OC|cos A＝|OC||OA|cos B，所以＝＝，
∴|OA|∶|OB|∶|OC|＝cos A∶cos B∶cos C.
又S ＝|OB||OC|sin(π－A)＝|OB||OC|sin A，
A
S ＝|OA||OC|sin(π－B)＝|OA||OC|sin B，
B
S ＝|OB||OA|sin(π－C)＝|OB||OA|sin C，
C
∴S ∶S ∶S ＝∶∶
A B C
＝∶∶＝tan A∶tan B∶tan C.
由奔驰定理得tan A·OA＋tan B·OB＋tan C·OC＝0.
