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训练 29 椭 圆
一、单项选择题
1．点P为椭圆＋＝1上一点，F为焦点，则PF的最大值为( )
A．1 B．3 C．5 D．7
2．(2023·郑州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以C的上、下顶点和一个焦点
为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
3．(2023·河北衡水中学检测)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，
也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短
半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为
12π，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4．(2024·滁州模拟)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F ，F ，点P在椭圆上且在x轴的
1 2
下方，若线段PF 的中点在以原点O为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的倾斜角为(
2 2 2
)
A. B. C. D.
二、多项选择题
5．(2024·韶关模拟)设P是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F ，F 是椭圆的左、右焦点，焦距为
1 2
2c(c>0)，若∠FPF 是直角，则( )
1 2
A．OP＝c (O为原点)
B． ＝b2
C．△FPF 的内切圆半径r＝a－c
1 2
D．(PF) ＝a＋c
1 max
6．(2023·湖北四地联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，长轴长为
1 2
4，点P(，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则( )
A．椭圆C的离心率的取值范围是
B．当椭圆C的离心率为时，QF 的取值范围是[2－，2＋]
1
C．存在点Q使得QF1·QF2＝0
D.＋的最小值为1
三、填空题
7．(2023·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程________________．
①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为.
8．(2024·海东模拟)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．
事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点
A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程＋＝4的解是________．
四、解答题
9．已知F ，F 分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆上的点到F 的最近距离为4，
1 2 2
最远距离为16.
(1)求椭圆方程；
(2)P为该椭圆上一点，且∠FPF＝60°，求△FPF 的面积．
1 2 1 2
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(－，0)，F(，0)，且该椭圆过点A.
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l，直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x
轴对称的点为点P′，若直线P′Q与x轴相交于点D，求△DPQ面积的最大值．
