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训练 28 圆的方程、直线与圆的位置关系
一、单项选择题
1．(2024·曲靖模拟)过原点且与曲线x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线方程是( )
A．y＝0 B．x＝0
C．xy＝0 D．x±y＝0
答案 C
解析 因为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，所以(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，当斜
率不存在时，过原点的直线方程为x＝0，
此时圆心(1,1)到它的距离为1，等于圆的半径，
当斜率存在时，设过原点的切线方程为kx－y＝0，
所以圆心(1,1)到切线的距离等于半径，
所以＝1，解得k＝0，
所以切线方程为x＝0或y＝0，即xy＝0.
2．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦长为( )
A．8 B．4 C．2 D．1
答案 B
解析 两圆方程作差得x＝2，
当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，设两圆交点为A，B，
即可令两圆的交点坐标为A(2,2)，B(2，－2)，
则其公共弦长AB＝2－(－2)＝4.
3．(2024·兰州模拟)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山
大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0，且
λ≠1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到点A(－1,0)，B(1,0)的
距离之比为，则点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为( )
A．2－ B.－
C．2 D.
答案 A
解析 设C(x，y)，则＝，
即＝，化简得(x－2)2＋y2＝3，
所以点C的轨迹是以(2,0)为圆心，r＝的圆，则圆心到直线x－2y＋8＝0的距离d＝＝2，
所以点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为2－.
4．(2023·新高考全国Ⅰ)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则
sin α等于( )A．1 B. C. D.
答案 B
解析 如图，设A(0，－2)，两切点分别为B，C，
由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，
所以圆心坐标为(2,0)，半径r＝，
所以圆心到A(0，－2)的距离为
＝2，
由于圆心与A(0，－2)的连线平分∠BAC，
所以sin ＝＝＝，
所以cos∠BAC＝1－2sin2＝－<0，
所以∠BAC为钝角，且∠BAC＋α＝π，
所以sin α＝sin∠BAC＝＝.
二、多项选择题
5．已知直线l：kx－y＋2k＝0和圆O：x2＋y2＝9，则( )
A．直线l恒过定点(2,0)
B．存在k使得直线l与直线l：x－2y＋2＝0垂直
0
C．直线l与圆O相交
D．若k＝－1，直线l被圆O截得的弦长为2
答案 BCD
解析 直线l：kx－y＋2k＝0，即y＝k(x＋2)，则直线恒过定点(－2,0)，故A错误；
当k＝－2 时，直线l：kx－y＋2k＝0与直线l：x－2y＋2＝0垂直，故B正确；
0
∵定点(－2,0)在圆O：x2＋y2＝9的内部，∴直线l与圆O相交，故C正确；
当k＝－1时，直线l化为－x－y－2＝0，即x＋y＋2＝0，圆心O到直线的距离d＝＝，直线
l被圆O截得的弦长为2＝2，故D正确．
6．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，
这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△ABC满足AC＝BC，顶
点A(1,0)，B(－1,2)，且其“欧拉线”与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论正确的是(
)
A．△ABC的“欧拉线”方程为y＝x－1
B．圆M上存在三个点到直线x－y－1＝0的距离为C．若点(x，y)在圆M上，则的最小值是－
D．若圆M与圆x2＋(y－a)2＝2有公共点，则a∈[－3,3]
答案 BD
解析 因为AC＝BC，所以△ABC是等腰三角形，由三线合一得△ABC的外心、重心、垂心
均在底边上的中线或高线上，设△ABC的欧拉线为l，则l过AB的中点，且与直线AB垂直，
由A(1,0)，B(－1,2)可得AB的中点坐标为，即(0,1)，k ＝＝－1，所以k＝1，故l的方程为
AB l
y－1＝x，即y＝x＋1，选项A错误；
因为l与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，故r＝＝2，又圆心M到直线x－y－1＝0的距离d ＝
1
＝，所以圆M上存在三个点到直线x－y－1＝0的距离为，B选项正确；
点(x，y)在圆M上，表示圆上的点与(－1,0)的连线的斜率，当连线与圆相切且位于圆的下方
时(如图所示)，此时k<0，最小，设直线m：y＝k(x＋1)，由＝2，解得k＝±1，因为k<0，所
以k＝－1，即的最小值是－1，C选项错误；
圆x2＋(y－a)2＝2的圆心坐标为(0，a)，半径r ＝，则要想圆M与圆x2＋(y－a)2＝2有公共点，
1
只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，故≤≤3，解得
a∈[－3,3]，故D选项正确．
三、填空题
7．(2024·萍乡模拟)在平面直角坐标系中，直线3x＋4y＋3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得
的弦长为________．
答案 2
解析 设圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为A，则A(2，－1)，该圆的半径为r＝2，
圆心A到直线3x＋4y＋3＝0的距离为d＝＝1，
所以弦长为2＝2＝2.
8．在平面直角坐标系中，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝1，若直线y＝kx＋1上至少存在一点，
使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围为________．
答案
解析 圆(x－2)2＋y2＝1的圆心C的坐标为(2,0)，半径为1，
设直线y＝kx＋1上的点P(m，n)满足条件，
则以点P(m，n)为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即两圆相交或相切，
所以0≤≤2，
所以点P(m，n)到点(2,0)的距离小于等于2，所以点(2,0)到直线y＝kx＋1的距离小于等于2，
所以≤2，
解得k≤.
所以k的取值范围为.
四、解答题
9．已知圆C经过点(0,1)且圆心为C(1,2)．
(1)写出圆C的标准方程；
(2)过点P(2，－1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．
解 (1)由题意知，
圆C的半径r＝＝，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.
(2)由题意知切线斜率存在，故设过点 P(2，－1)的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k
－1＝0，则圆心到直线的距离d＝＝，
所以k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
故所求切线的方程为
7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
由圆的性质易得所求切线长为＝＝2.
10.(2023·怀化模拟)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－y
－4＝0相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点Q，使得OQ＝OA＋
OB？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．
解 (1)设圆O的半径为r，
因为直线x－y－4＝0与圆O相切，
所以r＝＝2，
所以圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)因为直线l：y＝kx＋3与圆O相交于A，B两点，
所以圆心O到直线l的距离d＝<2，
所以k>或k<－.假设存在点Q，使得OQ＝OA＋OB.
因为A，B在圆上，且OQ＝OA＋OB，
同时|OA|＝|OB|，
由向量加法的平行四边形法则可知四边形 OAQB为菱形，所以OQ与AB互相垂直且平分，
所以原点O到直线l：y＝kx＋3的距离d＝OQ＝1.
即＝1，解得k2＝8，则k＝±2，
经验证满足条件．所以存在点Q，使得OQ＝OA＋OB，此时直线l的斜率为±2.
