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§10.7 概率与统计的综合问题
题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题
例1 (2023·上饶模拟)为了解某高校学生每天的运动时间，随机抽取了100名学生进行调查．
下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间(单位：分钟)的频率分布直方图，将每天
平均运动时间不低于40分钟的学生称为“运动族”．
(1)用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于20分钟，求该学生是“运动族”
的概率；
(2)从样本里的“运动族”学生中随机选取两位同学，用随机变量X表示每天平均运动时间
在40～50分钟之间的学生数，求X的分布列及期望．
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思维升华 高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频
率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据．概率问题以计算为主，往往和
实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来．
跟踪训练1 (2023·呼和浩特模拟)某高校共有15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，
为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，收
集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少个女生样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，
其中样本数据分组的区间为[0,2)，[2，4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]．请估计该校学生每
周平均体育运动时间不低于4个小时的概率；
(3)视样本数据的频率为概率，现从全校随机抽取4名学生，记X为这4名学生中运动时间不
低于4个小时的人数，求X的分布列以及数学期望．
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题型二 回归模型与分布列的综合问题
例2 (2023·韶关模拟)研究表明，如果温差大，且人们不注意保暖，可能会导致自身受到风
寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，要多加防范．某中学数
学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生新增感冒就诊人数之间的关系，他们记录
了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：
日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天
昼夜温差x(℃) 4 7 8 9 14 12
新增感冒就诊人数y(位) y y y y y y
1 2 3 4 5 6
(1)已知第一天新增感冒就诊的学生中有4位男生，从第一天新增感冒就诊的学生中随机抽
取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为，求随机变量X的
分布列和数学期望；
(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数r＝，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归
方程y＝bx＋a，并据此估计昼夜温差为15 ℃时，该校新增感冒就诊的学生人数．
参考数据：＝3 463，(y－)2＝289.
i
参考公式： r＝，b＝，a＝－b.
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跟踪训练2 (2023·武汉模拟)某企业计划新购买100台设备，并将购买的设备分配给100名年
龄不同(视为技术水平不同)的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，
故产生的经济效益也不同．若用变量x表示不同技工的年龄，变量y为相应的效益值(元)，
根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且 y关于x的经验回归方程为y＝1.2x
＋40.6.(1)试预测一名年龄为52岁的技工使用该设备所产生的经济效益；
(2)试根据样本相关系数r的值判断使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关
程度(若0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度很强；若|r|<0.75，则认为y与x的线性
相关程度不强)；
(3)若这批设备有 A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是
0.02,0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加；若 A工序出现故障，则生产成
本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A，B两道工序都出现故障，
则生产成本增加5万元．求这批设备增加的生产成本的期望．
参考数据：(x－)2＝121，(y－)2＝225；
i i
参考公式：经验回归直线y＝a＋bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝，a＝－b，r＝.
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题型三 独立性检验与分布列的综合问题
例3 (2023·聊城模拟)某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和历史这两个科目
中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作
完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情
况统计后得到下表：
思想政治 地理 化学 生物
物理类 100 120 200 180
历史类 120 140 60 80
(1)利用上述样本数据填写下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析
以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异；
生物学科选法
科类 合计
选 不选
物理类
历史类
合计
(2)假设该校高一所有学生中有的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物
理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为，而在历史类的学生中其余两科选择的
是地理和化学的概率为.若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用X表示这100名
学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值E(X)．附：χ2＝.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
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跟踪训练3 (2024·沈阳模拟)随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千家
万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑(俗称“笔记本”)也非常流行．
某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，在街头随机抽取了
50人做调查研究，调查数据如下表所示．
男性 女性 合计
喜欢“台式机” 20 5 25
喜欢“笔记本” 10 15 25
合计 30 20 50
(1)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析喜欢哪种机型与性别是否有关？
(2)该公司针对男性客户做了调查，某季度男性客户中有青年324人，中年216人，老年108
人，用按比例分配的分层随机抽样的方法选出12人，又随机抽出3人进行答谢，这3人中
的青年人数设为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005
x 2.706 3.841 6.635 7.879
α
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