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§9.3 统计模型
课标要求 1.了解相关系数的统计含义.2.了解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用
这些方法解决简单的实际问题.3.会利用统计软件进行数据分析．
知识梳理
1．变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程
度，这种关系称为相关关系．
(2)相关关系的分类：正相关和负相关．
(3)线性相关：如果变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线
性相关．
2．相关系数
(1)r＝.
(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．
(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样
本数据的线性相关程度越弱．
3．一元线性回归模型
(1)我们将y＝bx＋a称为y关于x的回归直线方程，
其中
(2)残差：观测值减去预测值称为残差．
4．列联表与独立性检验
(1)2×2列联表：如果随机事件A与B的样本数据如下表格形式：
A 总计
B a b a＋b
c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
在这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表．
(2)在2×2列联表中，定义随机变量
χ2＝，任意给定α(称为显著性水平)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平
α对应的分位数)，
①若χ2≥k成立，就称在犯错误的概率 不超过 α 的前提下，可以认为A与B不独立(也称A与B有关)，或说有 1 － α 的把握认为A与B有关；
②若χ20时，两个变量正相关
D．两个变量的线性相关性越弱，|r|越接近于0
答案 CD
解析 相关关系是不确定的关系，故A错；
回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故B错；
当相关系数r>0时，两个变量正相关，故C对；
两个变量的线性相关性越弱，|r|越接近于0，故D对．
3．(2023·福州统考)已知变量x和y的统计数据如表：
x 6 7 8 9 10
y 3.5 4 5 6 6.5
若由表中数据得到回归直线方程为y＝0.8x＋a，则当x＝10时的残差为________(注：观测
值减去预测值称为残差)．
答案 －0.1
解析 ＝＝8，
＝＝5，
则a＝5－0.8×8＝－1.4，
所以y＝0.8x－1.4，当x＝10时，y＝6.6，所以当x＝10时的残差为6.5－6.6＝－0.1.
4．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表所
示：
主修专业
性别 总计
非统计专业 统计专业
男 13 10 23
女 7 20 27
总计 20 30 50
为了判断主修专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到 χ2＝≈4.844，因为
χ2>3.841，所以有________的把握可以判定主修专业与性别有关．
附：
α＝P(χ2≥k) 0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
答案 95%
解析 因为χ2>3.841，
所以有95%的把握可以判定主修专业与性别有关．
题型一 成对数据的相关性
例1 (1)(2023·天津)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 r
＝0.824 5，则下列说法正确的是( )
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.824 5
答案 C
解析 根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，故A错误；
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈正相关，故B错误，C正确；
由于r＝0.824 5是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.824 5，故D错误．
(2)(多选)(2023·湛江模拟)某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生
中随机抽测了10人的身高和体重，数据如表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高/cm 165 168 170 172 173 174 175 177 179 182
体重/kg 55 89 61 65 67 70 75 75 78 80
由表中数据制作成如图所示的散点图，
由最小二乘法计算得到回归直线l 的方程为y＝bx＋a ，相关系数为r ；经过残差分析确定
1 1 1 1
(168,89)为离群点(对应残差过大)，把它去掉后，再用剩下的9对数据计算得到回归直线l
2
的方程为y＝bx＋a，相关系数为r.则以下结论中正确的有( )
2 2 2
A．bb
1 2 1 2
C．rr
1 2 1 2
答案 AC
解析 身高的平均数为
＝173.5，
因为离群点(168,89)的横坐标168小于平均值173.5，纵坐标89相对过大，
所以去掉离群点后回归直线的斜率变大，
所以b0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强．
(3)回归直线方程：当b>0时，正相关；当b<0时，负相关．
跟踪训练1 (1)(2023·保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到样本数据如表所示：
x 3 4 5 6 7
y 3.5 2.4 1.1 －0.2 －1.3
根据表格中的数据求得回归直线方程为y＝bx＋a，则下列说法中正确的是( )
A.a>0，b>0 B.a>0，b<0
C.a<0，b>0 D.a<0，b<0
答案 B
解析 由已知数据可知y随着x的增大而减小，则变量x和y之间存在负相关关系，所以
b<0.又＝×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，＝×(3.5＋2.4＋1.1－0.2－1.3)＝1.1，即1.1＝5b＋a，所以
a＝1.1－5b>0.
(2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b·ln(kx)与y＝kx＋b 拟合时的相关系
1 1 2 2
数分别为r，r 则比较r，r 的大小结果为( )
1 2 1 2
A．r>r B．r＝r
1 2 1 2
C．r|r|，
1 1 2 2 1 2
又因为x，y负相关，所以－r>－r，即r0.75时，两个变量之间具有很强的线性相关
关系．参考数据：≈5.9.
解 (1)因为＝＝5，
＝＝18.
(x－)(y－)＝16＋12＋5＋0＋0＋3＋6＋27＝69，
i i
(x－)2＝4＋4＋1＋0＋0＋1＋1＋9＝20，
i
(y－)2＝64＋36＋25＋0＋1＋9＋36＋81＝252，
i
所以r＝＝＝≈0.97.
由于|r|>0.75且r非常接近1，
所以y与x具有很强的线性相关关系．
经计算可得
b＝＝＝3.45，
a＝－b＝18－3.45×5＝0.75，
所以所求回归直线方程为y＝3.45x＋0.75.
(2)①当x＝10时，y＝3.45×10＋0.75＝35.25，
所以预计能带动的消费达35.25百万元．
②因为≈14.89%>10%，
所以发放的该轮消费券助力消费复苏不理想．
发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A城市经济发展水
平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；A城市人口数量有限、商品价格水
平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量．(只要写出一个原因
即可)．
命题点2 非线性回归模型
例3 (2024·朝阳模拟)秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警
之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网．后来很多人开
始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人．某奶茶店主记录了入秋后前 7天每天售出的奶
茶数量(单位：杯)如下：
日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
日期代码x 1 2 3 4 5 6 7
杯数y 4 15 22 26 29 31 32(1)请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dln x哪一个更
适宜作为y关于x的回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)建立y关于x的回归方程(结果保留1位小数)，并根据建立的回归方程，试预测要到哪一
天售出的奶茶才能超过35杯？
参考数据：
y y e2.1
i i i i
22.7 1.2 759 235.1 13.2 8.2
其中u＝ln x，＝.
i i i
参考公式：
在回归直线方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b.
解 (1)根据散点图，知y＝c＋dln x更适宜作为y关于x的回归方程模型．
(2)令u＝ln x，则y＝c＋du，
由已知数据得d＝＝≈14.2，
c＝－d≈22.7－14.2×1.2≈5.7，
所以y＝5.7＋14.2u，
故y关于x的非线性回归方程为y＝5.7＋14.2ln x，
令5.7＋14.2ln x>35，
整理得ln x>2.1，即x>e2.1≈8.2，
故当x＝9时，即到第9天才能超过35杯．
思维升华 求回归直线方程的步骤跟踪训练2 小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了 20
家服装店，统计得到了它们的面积x(单位：m2)和日均客流量y(单位：百人)的数据(x，y)(i
i i
＝1,2，…，20)，并计算得 ＝2 400，＝210，(x－)2＝42 000，(x－)(y－)＝6 300.
i i i i i
(1)求y关于x的回归直线方程；
(2)已知服装店每天的经济效益W＝k＋mx(k>0，m>0)，该商场现有60～150 m2的商铺出租，
根据(1)的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺？
附：回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝，a＝－b.
解 (1)由已知可得＝＝120，
i
＝＝10.5，
i
b＝＝＝0.15，
a＝－b＝10.5－0.15×120＝－7.5，
所以回归直线方程为y＝0.15x－7.5.
(2)根据题意得Z＝＝＋m,60≤x≤150.
设f(x)＝＝－，
令t＝，≤t≤，
则f(x)＝g(t)＝0.15t－7.5t2＝－7.5×(t－0.01)2＋0.000 75，
当t＝0.01，即x＝100时，f(x)取最大值，
又因为k>0，m>0，所以此时Z也取最大值，
因此，小李应该租100 m2的商铺．
题型三 列联表与独立性检验
例4 (2023·全国甲卷改编)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40只小白鼠，
随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓
度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量
(单位：g)．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15．2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26．5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35．6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7．8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.518．0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23．6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的
数据的个数，完成如下列联表：
