文档内容
28.2.2 应用举例
第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形
教学内容 第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形 课时 1
1.经历探索学习测量中方位角、坡角、坡度的概念，培养学生的抽象能力与几
何直观；可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，理解自然
现象背后的数学原理.
核心素养
2.通过学习利用方向角、坡度解直角三角形并解决实际问题，培养用数学的基
目标
本方法去分析、解决数学或实际问题的习惯，逐步形成理性精神.
3.通过应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题，形成构建数
学模型的意识和观念，能够精确地描述日常生活中的数量关系与空间形式.
1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；
知识目标 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．
教学重点 知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系.
教学难点 能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课 一、复习回顾 导入新知
导入
复习引入
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目
标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如 设计意图：通过复习回顾
图： 方位及方向角的概念，为
学习利用方向角解直角三
角形并解决实际问题做准
备.
二、探究
新知
二、探究新知
知识点一：解与方向角有关的问题
设计意图：通过解决例
题，进一步巩固方位角的
例1 如图，一艘海轮位于灯塔 概念；锻炼自主学习能力
P 的北偏东 65° 方向，距离 和解题能力，在解题过程
灯塔 80 n mile 的 A 处，它 中自发感悟方法与经验.
沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔 P 的南偏东
34°方向上的 B 处，这时，海
轮所在的 B 处距离灯塔 P
有 多 远 （ 精 确 到 0.01 n
mile）？
师生活动：教师引导学生，共同分析解题思路，
学生独立完成计算，教师巡视.
解：如图，在 Rt△APC 中，
PC = PA·cos(90°－65°)= 80×cos25°≈ 72.505.
在 Rt△BPC 中，∠B = 34°，
设计意图：通过例题，进
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东 34°方向 一步帮助掌握方位角的概
时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile. 念；感受解直角三角形在
解决实际问题中的作用；
提高解题能力.
例2 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，
渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海
岛 A 位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C
处，又测得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不
改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？
师生活动：教师引导学生共同分析解题思路，学
生独立计算，教师巡视.
解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F，则 AF 的长是 A
到 BC 上所有点中的最短距离.
∵ BD∥CE∥AF，
∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF =
30°．
∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－ 30°= 30°.
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－ 60° 设计意图：锻炼学生利用
= 30°=∠BAC， 方位角的概念解直角三角
∴ BC = AC = 12 海里． 形，从而解决简单实际问
∴ AF = AC · cos30°= 6 ≈ 10.392 ＞ 8， 题的的能力.
故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
练习1.如图，A，B 两城市相距 200 km. 现计划
在这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段
AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏
东 30°和 B 城市的北偏西 45°的方向上．已知森
林保护区的范围在以 P 点为圆心，100 km 为半
径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公
路 会 不 会 穿 越 保 护 区 ( 参 考 数 据 ：
)？设计意图：通过实际情境
问题，引发学生思考，发
展空间观念；教师顺势引
出坡角与坡度的概念以及
坡度与坡角的关系，提高
抽象能力、形成构建数学
师生活动：学生独立完成计算，教师巡视；学生 模型的意识和观念.
完成后教师适当讲解.
知识点二：解与坡度有关的问题
观察与思考
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条
路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路更陡呢？
设计意图：通过练习帮助
学生掌握坡角与坡度的概
念及关系；学会应用坡角
与坡度的概念及关系解直
角三角形.
3.坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
设计意图：通过例题，锻
练习
炼学生应用坡角与坡度的
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α=____度.
概念及关系解直角三角
2. 斜坡的坡角是 45°，则坡比是 _____.
形；提高解题能力.
3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是
_______.
师生活动：学生独立完成计算，教师巡视；选一
名学生作答，其他同学判断正误.设计意图：考查学生应用
坡角与坡度的概念及关系
例3 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2 . 小刚从山 解直角三角形的能力，以
脚 A 出发，沿山坡向上走了 240 m 到达点 C. 这 及对这类题型解题方法的
座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角 掌握.
度精确到 0.01°，长度精确到 0.1 m）？
师生活动：学生独立完成计算，跟随教师引导师
生共同完成例题.
三、当堂
练习
例4 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6
设计意图：考查学生应用
m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶ 3，斜
坡角与坡度的概念及关系
坡 CD 的坡度 i = 1∶2.5，求：
解直角三角形的能力.
(1) 斜坡 CD 的坡角α(精确到 1°)；
(2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1m).
设计意图：考查学生应用
师生活动：学生独立思考完成计算，选一名学生 方位角的概念解直角三角
板书，教师巡视. 形的能力.
三、当堂练习
1. 如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1 :
，坝高BC = 3 m，则坡面 AB 的长度是
设计意图：考查综合应用
方位角的概念和方程思
想，解决简单实际问题的
能力.
2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛
在 B 岛的北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A，B
两岛的视角∠ACB 等于 °．设计意图：考查学生对坡
角与坡度的概念及关系的
掌握；锻炼应用解直角三
角形的知识解决与坡度有
关的问题.
3. 如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航
行，在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60°方向
上．航行半小时后到达 B 处，此时观测到灯塔
M 在北偏东 30°方向上，那么该船继续航行到达 设计意图：考查学生对方
离灯塔距离最近的位置所需的时间是 . 位角的概念的掌握；锻炼
应用解直角三角形的知识
解决与方位角有关的问
题.
4. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的
宽是 12 米，路基左右两边坡面的坡角分别是 45°
和 30°，求路基下底的宽 (精确到 0.01 米，
1.732 ， 1.414).
5.如图，有一个古建筑 A，它周围 800 米内有古
建筑群，乡村路要由西向东修筑，在 B 点处测
得古建筑 A 在北偏东 60° 方向上，向前直行
1200 米到达 D 点，这时测得古建筑 A 在 D 点
北偏东 30° 方向上，如果不改变修筑的方向，你
认为古建筑群会不会遭到破坏？
第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图中的角 α .
2. 坡度 (或坡比)
板书设计
如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的
比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h∶l .
坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i = 1∶6.
3.坡度与坡角的关系即坡度等于坡角的正切值.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要
求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图
形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充
教学反思
分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.
