第十章　§10.8　概率、统计与其他知识的交汇问题_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习_2025高考大一轮复习讲义+课件（完结）_2025高考大一轮复习数学（人教b版）_第七章~第十章

§10.8 概率、统计与其他知识的交汇问题 重点解读 有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突 破定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容．近几年将概率、统计问题与数 列、函数、导数结合，成为创新问题． 题型一 概率、统计与数列的综合问题 例1 (12分)(2023·新高考全国Ⅰ)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命 中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命 中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的 人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率；[切入点：p 与p之间的关系] i＋1 i (3)已知：若随机变量X 服从两点分布，且P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝q，i＝1,2，…，n，则 i i i i E()＝.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)． i i [关键点：利用给出的公式推出E(Y)＝] i [思路分析] (1)利用全概率公式 (2)寻求p 与p之间的关系，构造等比数列 i＋1 i (3)根据结论及等比数列的求和公式求解 解 (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件A，“第i次投篮的人是乙”为事件B，(1分) i i 所以 ①处写出P(B)的概率计算公式 2 ＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.(3分) (2)设P(A)＝p，依题可知，P(B)＝1－p， i i i i 则(5分) ②处写出P(A )的概率计算公式 i＋1 即 ③处写出p 与p的关系 i＋1 i 构造等比数列{p＋λ}，设p ＋λ＝(p＋λ)，解得λ＝－， i i＋1 i 则(7分) ④处构造出等比数列 又p＝，p－＝， 1 1所以是首项为，公比为的等比数列， 即p－＝×i－1，(9分) i ⑤处计算出p i (3)因为p＝×i－1＋，i＝1,2，…，n， i 所以当n∈N 时， ＋ E(Y)＝p＋p＋…＋p＝×＋ 1 2 n ＝＋， ⑥处利用题干结论计算E(Y) 故E(Y)＝＋.(12分) 思维升华 高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概率、 统计为命题情境，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前 n项和，解题时要准确把握 题中所涉及的事件，明确其所属的事件类型． 跟踪训练1 (2023·日照模拟)在卡塔尔举办的世界杯决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队 获得冠军． (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三 个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将 即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其他因素，在一次点球大战中，求门将 在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中， 球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机 传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第 n次传球之前 球在甲脚下的概率为p，易知p＝1，p＝0. n 1 2 ①证明：为等比数列； ②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q，比较p 与q 的大小． n 10 10 (1)解 方法一 X的所有可能取值为0,1,2,3， 在一次扑球中，扑到点球的概率为P＝×××3＝， 所以P(X＝0)＝C3＝， P(X＝1)＝C·×2＝，P(X＝2)＝C·2×＝， P(X＝3)＝C3＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝＝. 方法二 依题意可得门将每次可以扑到点球的概率为p＝×＝， 门将在前三次扑到点球的个数X的所有可能取值为0,1,2,3， 易知X～B， 所以P(X＝k)＝C·k·3－k，k＝0,1,2,3， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的期望E(X)＝3×＝. (2)①证明 第n次传球之前球在甲脚下的概率为p， n 则当n≥2时，第n－1次传球之前球在甲脚下的概率为p ， n－1 第n－1次传球之前球不在甲脚下的概率为1－p ， n－1 则p＝p ×0＋(1－p )×＝－p ＋， n n－1 n－1 n－1 即p－＝－， n 又p－＝， 1 所以是以为首项，－为公比的等比数列． ②解 由①可知p＝n－1＋， n 所以p ＝×9＋<， 10 所以q ＝(1－p ) 10 10 ＝×>， 故p 0，函数f(p)单调递增， 当p∈时，f′(p)<0，函数f(p)单调递减，所以当p＝时，f(p)取得最大值为f ＝C×3×2＝， 此时，p＝＝， 解得n＝3或n＝(舍去)， 所以当n＝3时，f(p)取得最大值. 思维升华 在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的 最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、 不等式或数列的有关性质去实现． 跟踪训练2 学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”． 活动规则如下：一天内参加“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失 败得1分；一天内参加“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次 局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率 为；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，.李明 周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不 影响． (1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和期望； (2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为 f(p)．求当p为何值时，f(p)取得最大值． 解 (1)X的所有可能取值为5,6,7,8,9,10， P(X＝5)＝5＝， P(X＝6)＝C×1×4＝， P(X＝7)＝C×2×3＝＝， P(X＝8)＝C×3×2＝＝， P(X＝9)＝C×4×1＝， P(X＝10)＝C×5＝. 所以X的分布列为 X 5 6 7 8 9 10 P 则E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＋9×＋10×＝＝. (2)由题意知“每天得分不低于3分”的概率为p＋(1－p)×＝＋p(00，f(p)在上单调递增； 当p∈时，f′(p)<0，f(p)在上单调递减， 所以当p＝时，f(p)取得最大值． 课时精练 1．(2023·广州模拟)为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良 好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次 答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对 则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为， 各次答题结果互不影响． (1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率； (2)记甲第i次答题所得分数X(i∈N )的数学期望为E(X)． i ＋ i ①写出E(X )与E(X)满足的等量关系式(直接写出结果，不必证明)； i－1 i ②若E(X)>100，求i的最小值． i 解 (1)记甲前3次答题得分之和为40分为事件A， 则事件A是甲前3次答题中仅答对一次的事件， 所以甲前3次答题得分之和为40分的概率为 P(A)＝C××2＝. (2)①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，， 则E(X)＝20×＋10×＝， 1 甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为×，×，， 则E(X)＝40××＋20××＋10×＝， 2 显然E(X)＝2×＋10×＝E(X)＋， 2 1 i∈N ，i≥2，甲第(i－1)次答题所得分数X 的数学期望为E(X )， ＋ i－1 i－1 因此第i次答对题所得分数为2E(X )，答错题所得分数为10分，其概率分别为，， i－1 于是甲第i次答题所得分数X的数学期望为 i E(X)＝2E(X )×＋10×＝E(X )＋， i i－1 i－1 所以E(X )与E(X)满足的等量关系式是 i－1 i E(X)＝E(X )＋，i∈N ，i≥2，且E(X)＝. i i－1 ＋ 1 ②由①知，E(X)＝， 1 当i∈N ，i≥2时，E(X)＋5＝[E(X )＋5]，而E(X)＋5＝， ＋ i i－1 1 因此数列{E(X)＋5}是以为首项，为公比的等比数列， i E(X)＋5＝×i－1＝15×i， i于是E(X)＝15×i－5， i 由15×i－5>100得i>7， 显然数列是递增数列，而4＝<7， 5＝>7，则有正整数i ＝5， min 所以i的最小值是5. 2．(2023·济宁模拟)某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校 8 000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩 (单位：分)，绘制了频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值； (2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值， σ≈14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数； (3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得 三等奖；全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为 a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为P，求P 的最小值． 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤X≤μ ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997. 解 (1)设样本平均数的估计值为， 则＝10×(40×0.01＋50×0.02＋60×0.03＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)＝62， 所以样本平均数的估计值为62. (2)因为学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝62，σ≈14. 所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90， 所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈×(1－0.954)＝0.023. 所以估计能参加复试的人数为 0．023×8 000＝184. (3)由该学生获一等奖的概率为可知，a2b＝， 则P＝a2(1－b)＋Ca(1－a)b＝a2＋2ab－＝a2＋－. 令P＝f(a)＝a2＋－，00， 所以f(a)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以f(a) ＝f ＝＋－＝， min 所以P的最小值为.