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§10.3 随机事件与概率
课标要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与
概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中
简单随机事件的概率．
知识梳理
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
定义 表示符号
将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验
样本空间 Ω
E的样本空间
样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结
样本点 ω
果，称为试验E的样本点
如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那
有限样本空间 Ω
么称样本空间Ω为有限样本空间
(2)随机事件
定义
把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，
随机事件
B，C等表示
样本空间Ω包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都
必然事件
必然发生，因此称Ω为必然事件
空集∅不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可
不可能事件
能事件
2.两个事件的关系和运算
含义 符号表示
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥事件 A与B不能同时发生 A∩B＝∅
对立事件 A与B有且仅有一个发生 A ∩ B ＝ ∅ ， A ∪ B ＝ Ω
3.古典概型的特征(1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间；
(2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等．
4．古典概型的概率公式
对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数
为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝＝.
5．概率的性质
(1)对任意的事件A，都有P(A)≥0；
(2)如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ；
(3)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ 1 － P ( B ) ；
(4)设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) － P ( A ∩ B ) ．
6．频率与概率
(1)频率的稳定性
在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近
摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率估计概率P(A)．
常用结论
1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事
件互斥是对立的必要不充分条件．
2．若事件A，A，…，A 两两互斥，则P(A∪A∪…∪A)＝P(A)＋P(A)＋…＋P(A)．
1 2 n 1 2 n 1 2 n
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．( × )
(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( √ )
(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( √
)
(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．( × )
2．一个人打靶时连续射击两次，与事件“至多有一次中靶”互斥的事件是( )
A．至少有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
答案 B
解析 射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能
同时发生的是“两次都中靶”．
3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
答案 B
解析 由题意知该同学的身高小于160 cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位：cm)内
的概率和该同学的身高超过175 cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.
4．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选
的概率为________．
答案
解析 从甲、乙等5名同学中随机选3名，有C种情况，其中甲、乙都入选有C种情况，
所以甲、乙都入选的概率P＝＝.
题型一 随机事件的关系
命题点1 随机事件间关系的判断
例1 (1)(多选)(2023·大连模拟)有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，
事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件I为“一种报纸也不
订”，下列命题正确的是( )
A．E与G是互斥事件
B．F与I互为对立事件
C．F与G不是互斥事件
D．G与I是互斥事件
答案 BC
解析 对于A，E与G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，所以F与I互为对立事件，故B
正确；
对于C，F与G可以同时发生，不是互斥事件，故C正确；
对于D，G与I可以同时发生，不是互斥事件，故D错误．
(2)(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，
则下列结论正确的是( )
A．A⊆B
B．A∩B＝∅
C．A∪B＝“至少一次中靶”
D．A与B互为对立事件
答案 BC
解析 事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥事件但不是对立事件，所以A，D错误，B正确；A∪B＝“至少一次中靶”，C正确．
命题点2 利用互斥、对立事件求概率
例2 某商场的有奖销售活动中，购满 100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一
个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、
二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)1张奖券的中奖概率；
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
故1张奖券中奖的概率为.
(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，
则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]
＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
命题点3 用频率估计概率
例3 (多选)某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人数，
剩下的为食用米线、汉堡等其他食品(每人只选一种)，结果如表所示：
总人数 食用大米套餐人数 食用面食人数
1 000 550 260
假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套餐”为事件M，“吃面食”为事件N，“吃米
线、汉堡等其他食品”为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则下列结论正确的是(
)
A．P(M)＝0.55 B．P(N)＝0.26
C．P(H)＝0.19 D．P(N∪H)＝0.65
答案 ABC
解析 用频率估计概率得P(M)＝＝0.55，P(N)＝＝0.26，P(H)＝＝0.19，故A，B，C正确；
P(N∪H)表示事件N发生或事件H发生，且N与H互斥，故P(N∪H)＝P(N)＋P(H)＝0.26＋
0.19＝0.45，故D错误．
思维升华 事件关系的运算策略
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现
的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用
互斥事件的概率加法公式．跟踪训练1 (1)从装有10个红球和10个白球的罐子里任取两球，下列情况中互斥而不对立
的两个事件的是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
答案 B
解析 对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”也
可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于 B，“恰
有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是
红球，故两事件不是对立事件；对于 C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与
“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与
“都是红球”是对立事件．
(2)某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的
0.20,0.25,0.3,0.25，这四条流水线的合格率依次为0.95,0.96,0.97,0.98，现在从出厂产品中任
取一件，则恰好抽到不合格产品的概率是________．
答案 0.034
解析 由题意可知，恰好抽到不合格产品的概率为
P＝0.2×(1－0.95)＋0.25×(1－0.96)＋0.3×(1－0.97)＋0.25×(1－0.98)＝0.034.
题型二 古典概型
例4 (1)(2023·湖北省十一校联考)在“2,3,5,7,11,13,17,19”这8个素数中，任取2个不同的
数，则这两个数之和仍为素数的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 这8个素数中，任取2个不同的数，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(2,17)，
(2,19)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(3,17)，(3,19)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，
(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共28
个样本点，这两个数之和仍为素数的样本点有(2,3)，(2,5)，(2,11)，(2,17)，共4个，
所以这两个数之和仍为素数的概率是＝.
(2)(2023·秦皇岛模拟)某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能
自主选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再
接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入
一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C解析 4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有A＝24(种)选法，
其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有 CA＝4(种)选法，按学校规定每人只能加
入一个社团，由古典概型的概率计算公式可得，甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团
的概率P＝＝.
思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤
跟踪训练2 (1)(2023·济南模拟)从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角
形是直角三角形的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 从正六边形的6个顶点中任取3个，有C＝20(个)三角形，
其中直角三角形，每边对应2个，如图，例如Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12(个)，
所以所求概率为＝.
(2)(2024·茂名模拟)从1,2,3,4,5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整
除的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 从1,2,3,4,5中任选3个不同数字组成一个三位数，有A＝5×4×3＝60(种)可能；
要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，
所以数字为1,2,3时，有A＝3×2×1＝6(种)可能；
数字为1,3,5时，有A＝3×2×1＝6(种)可能；
数字为2,3,4时，有A＝3×2×1＝6(种)可能；
数字为3,4,5时，有A＝3×2×1＝6(种)可能，共24种可能．
所以该三位数能被3整除的概率为＝.
题型三 概率的综合问题
例5 某省高考目前实行“3＋1＋2”模式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生
需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门，已知某大学医学院临床
医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．
(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科
要求的概率；
(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，且三人的选择互不影响，
求这三人中恰有两人的选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求的概率．
解 (1)用a，b分别表示事件“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，f分别表示事件
“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，
则所有选科组合的样本空间
Ω＝{acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef}，共含12个样本点，
设M＝“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合该大学医学院临床医学类招生
选科要求”，则M＝{acd，ace，acf，ade，adf}，共含5个样本点，
∴P(M)＝＝.
(2)设“甲、乙、丙三人每人的选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求”的事
件分别是N ，N ，N ，由题意知事件N ，N ，N 相互独立．
1 2 3 1 2 3
由(1)知P(N )＝P(N )＝P(N )＝.
1 2 3
记N＝“甲、乙、丙三人中恰有两人的选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要
求”，
则N＝N N ∪N N ∪N N ，
1 2 1 3 2 3
则P(N)＝P(N N )＋P(N N )＋P(N N )＝×××3＝.
1 2 1 3 2 3
思维升华 求解概率的综合问题时，一要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类
型，二要根据公式准确计算．
跟踪训练3 为了备战2024年法国巴黎奥运会(第33届夏季奥林匹克运动会)，中国射击队
的甲、乙两名运动员展开队内对抗赛．甲、乙两名运动员对同一目标各射击一次，且两人
命中目标与否互不影响．已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为.
(1)求甲没有命中目标的概率；
(2)在两次射击中，求恰好有一人命中目标的概率．
解 (1)记“甲命中目标”为事件A，则P(A)＝，
所以甲没有命中目标的概率P()＝1－P(A)＝.
(2)记“乙命中目标”为事件B，则P(B)＝，P()＝，
两次射击中，恰好有一人命中目标的事件为A∪B，
由题意知事件A，B相互独立，
所以所求概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.课时精练
一、单项选择题
1．从编号为1,2,3,4的4个球中，任取2个球，则这2个球的编号之和为偶数的概率是(
)
A. B. C. D.
答案 A
解析 从编号为1,2,3,4的4个球中，任取2个球，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，
(3,4)，共6种情况，
其中这2个球的编号之和为偶数的情况有(1,3)，(2,4)，共2种情况，
故这2个球的编号之和为偶数的概率为＝.
2．江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国
江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌
古朴的民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外．这六大古镇中，其中在苏州的有 3处．
某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为(
)
A. B. C. D.
答案 C
解析 从这6个古镇中挑选2个去旅游有C＝15(种)选法，至少选一个苏州古镇的概率为P
＝1－＝.
3．在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表
示“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件A∪发生的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 掷一枚骰子的试验有6种等可能的结果，依题意知P(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P()＝1－P(B)＝1－＝，
因为表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与互斥，从而P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.
4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A＝“2名全是男生”，
B＝“2名全是女生”，C＝“恰有一名男生”，D＝“至少有一名男生”，则下列关系不
正确的是( )
A．A⊆D B．B∩D＝∅
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
答案 D解析 “至少有1名男生”包含“2名全是男生”“1名男生1名女生”2种情况，
故A⊆D，A∪C＝D，故A，C正确；
事件B与D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B正确，
A∪B表示的是“2名全是男生或2名全是女生”，B∪D表示“2名全是女生或至少有一名
男生”，
故A∪B≠B∪D，故D错误．
5．(2024·杭州模拟)四位爸爸A，B，C，D相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其
中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A的小孩与D交谈的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 方法一 A的小孩等可能地与B，C，D其中一位爸爸交谈，所以A的小孩与D交谈
的概率P＝.
方法二 设A，B，C，D四位爸爸的小孩分别是a，b，c，d，
则交谈组合有9种情况，分别为(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，
Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，
(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)，
A的小孩与D交谈包含的不同组合有3种，分别为(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Bd，Cb，
Da)，(Ad，Bc，Cb，Da)，
∴A的小孩与D交谈的概率P＝＝.
6．(2023·南通调研)将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率
为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 根据题意，将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，
则共有63＝216(种)情况，
它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论：
①若落地时向上的点数不同，
则为1,2,3或1,3,5或2,3,4或2,4,6或3,4,5或4,5,6，共有6种可能，
每种可能的点数顺序可以颠倒，即有A＝6(种)情况，共有6×6＝36(种)情况；
②若落地时向上的点数全相同，有6种情况，
所以共有36＋6＝42(种)情况，则落地时向上的点数能组成等差数列的概率为＝.
二、多项选择题
7．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印
有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，
则( )
A．事件A和事件B是对立事件
B．事件A和事件C是对立事件
C．P(B∪C)＝P(C)
D．P(BC)＝P(C)
答案 BC
解析 因为A∪B表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A
和事件B不是对立事件，故A错误；事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，
则事件A和事件C是互斥事件且和事件为必然事件，则事件 A和事件C是对立事件，故B
正确；又因为B⊆C，所以P(B∪C)＝P(C)，故C正确；P(BC)＝P(B)，故D错误．
8．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，
其概率分布如表所示：
所需时间/分钟 30 40 50 60
线路一 0.5 0.2 0.2 0.1
线路二 0.3 0.5 0.1 0.1
则下列说法正确的是( )
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．线路一所需的平均时间比线路二少
C．如果要求用不超过40分钟的时间从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
答案 BD
解析 “所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以A
错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二
所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以线路一所需的平
均时间比线路二少，所以B正确；线路一所需时间不超过40分钟的概率为0.7，线路二所
需时间不超过40分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以C错误；所需时间之和大于
100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为
0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D正确．
三、填空题
9．(2023·景德镇质检)由于夏季炎热，某小区用电量过大，据统计，一天停电的概率为
0.3，现在用数据0,1,2表示当天停电；用3,4,5,6,7,8,9表示当天不停电，现以两个随机数为
一组，表示连续两天停电情况，经随机模拟得到以下30组数据．
28 21 79 14 56 74 06 89 53 90
14 57 62 30 93 78 63 44 71 2867 03 53 82 47 23 10 94 02 43
根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为________．
答案 0.4
解析 由题意可知连续两天中恰有一天停电的情况有28,14,06,90,14,62,30,71,28,03,82,23，
共12种，
所以连续两天中恰好有一天停电的概率为＝0.4.
10．(2023·益阳质检)甲、乙两人要在一排六个空座上就坐，求甲、乙中间有空位的概率为
________．
答案
解析 甲、乙两人要在一排六个空座上就坐，则有A＝30(种)坐法，而甲、乙相邻的坐法
有5A＝10(种)坐法，则甲、乙中间有空位的概率P＝＝.
11．通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如果某人收到的
验证码aaaa 满足a
