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必刷大题 20 概率与统计
1．(2023·汕头模拟)袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小
球被取出的可能性都相等．
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望．
解 (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)由题意知，X所有可能的取值为1,2,3,4，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝4)＝＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
随机变量X的数学期望为E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
2．(2023·邵阳模拟)某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选
取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与
“女性”的人数之比为9∶11，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整
理如下表所示．
评价
性别 总计
喜欢 不喜欢
男性 15
女性
总计 50 100
(1)根据所给数据，完成上面的2×2列联表；
(2)判断是否有99.5%的把握认为性别因素与评价结果有关；
(3)电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，用分层抽样的方法选取3人，
进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率
为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，
“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为X，求X的分布列及数学期望．附：χ2＝.
α＝P(χ2≥k) 0.010 0.005 0.001
k 6.635 7.879 10.828
解 (1)男性有100×＝45(人)，女性有100－45＝55(人)，然后可得下表：
评价
性别 总计
喜欢 不喜欢
男性 15 30 45
女性 35 20 55
总计 50 50 100
(2)χ2＝＝≈9.091，
所以有99.5%的把握认为评价结果与性别有关．
(3)由题意得选取的3人中，评价结果为“喜欢”的有1人，“不喜欢”的有2人，
所以X的所有可能取值为150,200,250,300，
则P(X＝150)＝××＝，
P(X＝200)＝×2＋2×××＝，
P(X＝250)＝2×××＋×2＝，
P(X＝300)＝××＝，
所以X的分布列为
X 150 200 250 300
P
数学期望为E(X)＝150×＋200×＋250×＋300×＝.
3．(2023·南京模拟)综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的
方式进行综合素质评价．如图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率分布直方图，
评分在区间[90,100]，[70,90)，[60,70)，[50,60)上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为
了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获 A等级的学生不参加复评，等级不变，对
其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级，原获C
等级的学生有的概率提升为B等级，原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估
计概率，每名学生复评结果相互独立．(1)若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的
人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
(2)从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是 C等级的
概率．
解 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝1)＝××＋×C××＝，
P(ξ＝2)＝×C××＋××＝，
P(ξ＝3)＝××＝，
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
(2)记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C等级”，
则P(B|A)＝＝
＝.
4．杭州第19届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰
赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一
场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰
出局，因此容错率更高．假设最终有四支队伍进入到半决赛，淘汰赛制下会将他们四支队伍
两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两
分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，
败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组
的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个
有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛则总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队
伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个
赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A，B，C，D，其中A对阵其他三个
队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组，CD
同组．
(1)若p＝，在淘汰赛制下，A，C获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率(用p表示)，并据此简单分析一下双败赛制下对队
伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
解 (1)A获得冠军：AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜出，
A获得冠军的概率为P＝××＋××＝，
1
C获得冠军：CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出，
C获得冠军的概率为P＝××＋××＝.
2
(2)淘汰赛制下，A获得冠军的概率为p××p＋p××p＝p2，
双败赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况，
当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军，
若在胜者组A胜利，后一局(与败者组胜者比赛)胜，方可得冠军；
当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军．
综上，A获得冠军的概率为p3(1－p)＋p3＋(1－p)p3＝p3(3－2p)．
令f(p)＝p3(3－2p)－p2＝p2(－2p2＋3p－1)＝p2(2p－1)(1－p)，
若A为强队，则0，
所以双败赛制下对强者更有利．
5．(2024·惠州模拟)为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，
每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐
中选择一种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选
择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为P，
n
①证明：为等比数列；
②证明：当n≥2时，P≤.
n
(1)解 设A＝“第1天选择米饭套餐”，A＝“第2天选择米饭套餐”，
1 2
则 ＝“第1天选择面食套餐”．
1根据题意P(A)＝，
1
P()＝，
1
P(A|A)＝，
2 1
P(A|)＝1－＝，
21
由全概率公式，得P(A)＝P(A)P(A|A)＋P()P(A|)＝×＋×＝.
2 1 2 1 1 21
(2)证明 ①设A＝“第n天选择米饭套餐”，
n
则P＝P(A)，P()＝1－P，
n n n n
根据题意P(A |A)＝，
n＋1 n
P(A | )＝1－＝，
n＋1n
由全概率公式，得P ＝P(A )＝P(A)P(A |A)＋P()P(A |)＝P＋(1－P)＝－P＋，
n＋1 n＋1 n n＋1 n n n＋1n n n n
因此P －＝－.
n＋1
因为P－＝≠0，
1
所以是以为首项，－为公比的等比数列．
②由①可得P＝＋×n－1.
n
当n为大于1的奇数时，P＝＋×n－1≤＋×2＝；
n
当n为正偶数时，P＝－×n－1<<.
n
因此当n≥2时，P≤.
n
6．(2023·阳泉模拟)在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起
搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的，其无线充电器的使用更是
避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线
充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检
测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测三项指标，人工抽检仅对智能
检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品
才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率分别约为，，，设人工抽
检的综合指标不达标率为p(00；
当p∈时，φ′(p)<0，
则φ(p)在上单调递增，在上单调递减，
所以φ(p)有唯一的极大值点p＝.
0
(3)记“芯片人工抽检达标”为事件B，“工人在流水线上进行人工抽检时，抽检一个芯片恰
为合格品”为事件C，
由(2)得P(C)＝P(B|)＝1－p＝，
由(1)得P()＝1－P(A)＝，
所以P(B)＝P()·P(B|)＝×≈93.8%<96%，
因此，该企业需对生产工序进行改良．
