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§10.8 概率、统计与其他知识的交汇问题
重点解读 有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突
破定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容．近几年将概率、统计问题与数列、
函数、导数结合，成为创新问题．
题型一 概率、统计与数列的综合问题
例1 (12分)(2023·新高考全国Ⅰ)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命
中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中
率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是
甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；[切入点：p 与p之间的关系]
i＋1 i
(3)已知：若随机变量X 服从两点分布，且P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝q，i＝1,2，…，n，则
i i i i
E()＝.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．[关键点：利用给
i i
出的公式推出E(Y)＝]
i
[思路分析]
(1)利用全概率公式
(2)寻求p 与p之间的关系，构造等比数列
i＋1 i
(3)根据结论及等比数列的求和公式求解
解 (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件A，“第i次投篮的人是乙”为事件B，(1分)
i i
所以
①处写出P(B)的概率计算公式
2
＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.(3分)
(2)设P(A)＝p，依题可知，P(B)＝1－p，
i i i i
则(5分)
②处写出P(A )的概率计算公式
i＋1
即
③处写出p 与p的关系
i＋1 i
构造等比数列{p＋λ}，设p ＋λ＝(p＋λ)，解得λ＝－，
i i＋1 i
则(7分)
④处构造出等比数列
又p＝，p－＝，
1 1所以是首项为，公比为的等比数列，
即p－＝×i－1，(9分)
i
⑤处计算出p
i
(3)因为p＝×i－1＋，i＝1,2，…，n，
i
所以当n∈N 时，
＋
E(Y)＝p＋p＋…＋p＝×＋
1 2 n
＝＋，
⑥处利用题干结论计算E(Y)
故E(Y)＝＋.(12分)
跟踪训练1 (2023·日照模拟)在卡塔尔举办的世界杯决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队
获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三
个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即
使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其他因素，在一次点球大战中，求门将在前
三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
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思维升华 高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概率、
统计为命题情境，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前n项和，解题时要准确把握题
中所涉及的事件，明确其所属的事件类型．
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，
球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传
向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第 n次传球之前球在
甲脚下的概率为p，易知p＝1，p＝0.
n 1 2
①证明：为等比数列；②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q，比较p 与q 的大小．
n 10 10
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题型二 概率、统计与导数的综合问题
例2 (2023·沈阳模拟)根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸 X(单位：mm)服
从正态分布N(μ，σ2)，并把钢管内径在[μ－σ，μ＋σ]内的产品称为一等品，钢管内径在[μ＋
σ，μ＋2σ]内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品
回收．现从该企业生产的产品中随机抽取 1 000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直
方图如图．
(1)通过检测得样本数据的标准差s＝0.3，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s
作为σ的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率 P ；(同一组中的数据用
1
该组区间的中点值代表)
(2)假如企业包装时要求把2个一等品和n(n≥2，n∈N)个二等品装在同一个箱子中，质检员
从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否
则该箱产品记为B.
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求
出最大值．
参考数据：36.2×0.2＋36.4×0.25＋36.6×0.7＋36.8×0.8＋37×1.1＋37.2×0.8＋37.4×0.65
＋37.6×0.4＋37.8×0.1≈185.
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跟踪训练2 学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．
活动规则如下：一天内参加“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败
得1分；一天内参加“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参
加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，.李明周一到周
五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响．
(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和期望；
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(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为
f(p)．求当p为何值时，f(p)取得最大值．
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