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§1.6 基本不等式
考试要求 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基
本不等式在生活实际问题中的应用．
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x ＝ y 时，和x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x ＝ y 时，积xy有最大值.(简记：和定积最大)
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．
微思考
1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？
提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，
则这两个正数的积无最大值．
2．函数y＝x＋的最小值是2吗？
提示 不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最小
值．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( × )(2)(a＋b)2≥4ab.( √ )
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( × )
(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.( × )
题组二 教材改编
2．已知x>2，则x＋的最小值是( )
A．1 B．2 C．2 D．4
答案 D
解析 ∵x>2，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．
3．已知函数f(x)＝x＋，若方程f(x)＝a有实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案 D
解析 f(x)＝x＋，
当x>0时，f(x)＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．
当x<0时，f(x)＝－≤－2＝－2，
当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立．
综上，f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
故a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
答案 25
解析 设矩形的一边为x m，面积为y m2，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中00)的最大值为________．
答案
解析 y＝＝≤.当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．
6．函数y＝(x>1)的最小值为________．
答案 4
解析 ∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝＝x＋1＋
＝(x－1)＋＋2≥4.
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法
例1 (1)已知0，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________．
答案 5
解析 ∵x>，∴4x－5>0，
∴f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5.
当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号．
(3)已知函数f(x)＝(x<－1)，则( )
A．f(x)有最小值4 B．f(x)有最小值－4
C．f(x)有最大值4 D．f(x)有最大值－4
答案 A
解析 f(x)＝＝
＝－＝－
＝－(x＋1)＋＋2.
因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
所以f(x)≥2＋2＝4，
当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．
故f(x)有最小值4.
命题点2 常数代换法
例2 若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为( )A．3＋2 B．3＋
C．2＋2 D．3
答案 A
解析 因为2m＋n＝1，
则＋＝·(2m＋n)＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当n＝m，即m＝，n＝－1时等号成立，
所以＋的最小值为3＋2，故选A.
命题点3 消元法
例3 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
答案 6
解析 方法一 (换元消元法)
由已知得9－(x＋3y)＝·x·3y≤·2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二 (代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6.
本例条件不变，求xy的最大值．
解 方法一 9－xy＝x＋3y≥2，
∴9－xy≥2，
令＝t，∴t>0，
∴9－t2≥2t，即t2＋2t－9≤0，
解得00，f(x)＝＋x
＝＋x－＋
＝－＋≤－2＋＝－，
当且仅当＝－x，即x＝－时取等号，故f(x)有最大值－.
(2)已知x>0，y>0且x＋y＝5，则＋的最小值为________．
答案
解析 令x＋1＝m，y＋2＝n，
∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，
则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，
∴＋＝＋＝×(m＋n)＝≥·(2＋2)＝.
当且仅当＝，即m＝n＝4时等号成立．
∴＋的最小值为.
题型二 基本不等式的综合应用
命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
例4 设等差数列{a}的公差为d，其前n项和是S，若a＝d＝1，则的最小值是________．
n n 1
答案解析 a＝a＋(n－1)d＝n，S＝，
n 1 n
所以＝＝
≥＝，
当且仅当n＝，即n＝4时取等号，
所以的最小值是.
命题点2 求参数值或取值范围
例5 (2021·厦门联考)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值
为( )
A. B．2 C．4 D.
答案 B
解析 ∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，
∴m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立，
∵＋≥2＝2，当且仅当＝，即m＝n时取等号，∴a≤2，故实数a的最大值为2，故选B.
思维升华 (1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，
然后利用常数代换法求最值．
(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而
得到参数的值或范围．
跟踪训练2 (1)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(
)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于
9，
∵(x＋y)＝1＋a＋＋≥a＋2＋1，
当且仅当y＝x时，等号成立，
∴a＋2＋1≥9，
∴≥2或≤－4(舍去)，∴a≥4，
即正实数a的最小值为4，故选B.
(2)若△ABC的内角满足3sin A＝sin B＋sin C，则cos A的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得：
cos A＝＝＝＝－
≥－＝.
当且仅当b＝c时等号成立．
综上可得，cos A的最小值是.
题型三 基本不等式的实际应用
例6 小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出 6万元，从第二
年起，每年都比上一年增加支出 2万元，假定该车每年的运输收入均为 25万元．小王在该
车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 x年年底出售，
其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售
收入－总支出)
解 (1)设大货车运输到第x年年底，
该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50＝－x2＋20x－50(00，
可得10－50，且b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为( )
A. B．4 C. D．2
答案 D
解析 4＝2a＋b≥2，
即2≥，两边平方得4≥2ab，
∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2.
3．若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A．8 B．6
C．4 D．2
答案 C
解析 依题意ab＝a＋b，
∴a＋b＝ab≤2，
即a＋b≤，
∴a＋b≥4，当且仅当a＝b时取等号，
∴a＋b的最小值为4.
4．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平
均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用
与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
答案 B
解析 若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是
＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号．
5．(多选)(2020·新高考全国Ⅰ )已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥ B．2a-b>
C．log a＋log b≥－2 D.＋≤
2 2
答案 ABD
解析 因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以a＋b≥2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤.
对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确；
对于B,2a－b＝22a－1＝×22a，
因为a>0，所以22a>1，即2a－b>，故B正确；
对于C，log a＋log b＝log ab≤log ＝－2，故C错误；
2 2 2 2
对于D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，
得＋≤，故D正确．
6．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋b＋≥2 B.≥
C.≥a＋b D．(a＋b)≥4答案 ACD
解析 ∵a>0，b>0，
∴a＋b＋≥2＋≥2，
当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时取等号，
故A一定成立；
∵a＋b≥2>0，
∴≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
∴≥不一定成立，故B不一定成立；
∵≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
＝＝a＋b－≥2－＝，
当且仅当a＝b时取等号，
∴≥，∴≥a＋b，故C一定成立；
∵(a＋b)＝2＋＋≥4，
当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立．
7．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
答案
解析 由题设知a－3b＝－6，又2a>0,8b>0，所以2a＋≥2＝2· ＝，当且仅当2a＝，
即a＝－3，b＝1时取等号．故2a＋的最小值为.
8．已知实数a，b满足|ln a|＝|ln b|，a≠b，则＋的最小值为________．
答案 4
解析 因为|ln a|＝|ln b|且a≠b，
所以ln a＝－ln b，
即ln a＋ln b＝0，
所以ln(ab)＝0，
所以ab＝1，a>0，b>0，
所以＋≥2＝4，当且仅当a＝，b＝2时，等号成立．
9．若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值为________．
答案
解析 (a＋1)(b＋1)≤2＝，
当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝时取等号，
故(a＋1)(b＋1)的最大值为.
10．命题“∀x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，2＋2)解析 依题意∀x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2>0恒成立，
即a(x－1)0，y>0，且2x＋8y＝xy，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解 (1)∵xy＝2x＋8y≥2，
即xy≥8，即xy≥64，
当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立，
∴xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1，
则x＋y＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
12．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：
千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用．
解 (1)所用时间为t＝(h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50,100]
(或y＝＋x，x∈[50,100])．
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，
即x＝18时等号成立．
故当x＝18时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元．
13.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为
无字证明．现有如图所示图形，点 F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC
＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
答案 D
解析 由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，
又OC＝OB－BC＝－b＝，
则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，
再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D.
14．正实数 x，y 满足 4x2＋y2＋xy＝1，则 xy 的最大值为________；2x＋y 的最大值为
________．
答案
解析 ∵1－xy＝4x2＋y2≥4xy，
∴5xy≤1，∴xy≤，当且仅当y＝2x时取等号，
∵4x2＋y2＋xy＝1，
∴(2x＋y)2－3xy＝1，
∴(2x＋y)2－1＝3xy＝·2x·y≤2，
即(2x＋y)2－1≤(2x＋y)2，
∴(2x＋y)2≤，∴2x＋y≤，
当且仅当2x＝y时，取等号．
15．设a>b>0，则a2＋＋的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
解析 ∵a>b>0，
∴a－b>0，
∴a(a－b)>0，a2＋＋＝a2＋ab－ab＋＋
＝a2－ab＋＋ab＋
＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，
当且仅当
即a＝，b＝时等号成立．
∴a2＋＋的最小值是4.
16．已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数．
(1)求证： ＋＋≥；
(2)是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正
实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
(1)证明 因为a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数，
所以＋＋
＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
＝
≥(3＋2＋2＋2)＝，
当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号，
所以＋＋≥得证．
(2)解 因为a＋b＋c＝3，
所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)，
因此a2＋b2＋c2≥3(当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号)，
所以(a2＋b2＋c2) ＝3，
min
由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立，
即得x2－mx＋1≥0恒成立，
因此Δ＝m2－4≤0 －2≤m≤2.
故存在实数m∈[－2⇒,2]使不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2成立．
