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微重点 4 函数的公切线问题
导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处
理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑
推理、数学运算素养．
考点一 求两函数的公切线
例1 (2022·湘潭模拟)已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的公共切线，则l的方程为
__________．
答案 y＝ex－1或y＝x
解析 设直线l与曲线y＝ex－1相切于点P(a，ea－1)，与曲线y＝ln x＋1相切于点Q(b，ln
b＋1)，
则ea＝＝，
整理得(a－1)(ea－1)＝0，
解得a＝1或a＝0，
当a＝1时，l的方程为y＝ex－1；
当a＝0时，l的方程为y＝x.
规律方法 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线 y＝
f(x)在点P(x ，f(x))处的切线方程是y－f(x)＝f′(x)·(x－x)；求过某点的切线方程，需先设
0 0 0 0 0
出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
跟踪演练1 已知函数f(x)＝x2－2m，g(x)＝3ln x－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线
相同，则m＝________，该切线方程为________．
答案 1 2x－y－3＝0
解析 设函数f(x)＝x2－2m与g(x)＝3ln x－x的公共点为(x，y)，
0 0
f′(x)＝2x，g′(x)＝－1，
则
即
解得x＝m＝1，
0
∴f′(x)＝2，f(x)＝－1，
0 0
切线方程为y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0.
考点二 与公切线有关的求值问题
例2 (2022·河南省百校大联考)已知f(x)＝＋ln x与g(x)＝2x－x3＋c的图象有一条公切线，
则c＝________.
答案 －解析 因为f(x)＝＋ln x，g(x)＝2x－x3＋c，
所以f′(x)＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，g′(x)＝2－3x2≤2(当且仅当x＝0时取等号)，
所以公切线的斜率为2，与f(x)的图象相切于点，与g(x)的图象相切于点(0，c)，
故＝2，即c＝－.
规律方法 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上
构造方程．
跟踪演练2 (2022·湖北省新高考协作体联考)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y＝x3和曲线
y＝x2－x＋a都相切，则实数a的值是( )
A．2 B．1
C．0 D．－2
答案 A
解析 y＝x3的导函数为y′＝3x2，y＝x2－x＋a的导函数为y′＝2x－1，
若直线与y＝x3和y＝x2－x＋a的切点分别为(x，x)，(x，x－x＋a)，
1 2 2
则过(0，－2)的直线为y＝3xx－2，
y＝(2x－1)x－2，
2
则有解得
考点三 判断公切线条数
例3 (2022·菏泽质检)若直线l与曲线y＝ex和y＝ln x都相切，则满足条件的直线l有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．无数条
答案 C
解析 设直线l与曲线y＝ex相切于点(x， )，y′＝ex，
1
∴直线l的方程为y－ ＝ (x－x)，
1
即y＝ ·x－x ＋ .
1
设直线l与曲线y＝ln x相切于点(x，ln x)，
2 2
y′＝，
∴直线l的方程为y－ln x＝(x－x)，
2 2
即y＝·x－1＋ln x，
2
则
消去x 得x － －x－1＝0，
2 1 1
令φ(x)＝xex－ex－x－1，x∈R，φ′(x)＝xex－1，
令g(x)＝xex－1，x∈R.
则g′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，
当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)>0，
∵φ′(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
∴φ′(x) ＝φ′(－1)＝－－1<0，
min
又当x<0时，φ′(x)<0，
且φ′(0)<0，φ′(1)＝e－1>0，
∃x∈(0,1)，使φ′(x)＝0，即x ＝1，
0 0
∴当x∈(－∞，x)时，φ′(x)<0，
0
当x∈(x，＋∞)时，φ′(x)>0，
0
∴φ(x)在(－∞，x)上单调递减，在(x，＋∞)上单调递增，
0 0
∴φ(x) ＝φ(x)＝x － －x－1
min 0 0 0
＝－－x<0，
0
且φ(－2)＝1－>0，φ(2)＝e2－3>0，
∴函数φ(x)有2个零点，即y＝ex与y＝ln x有2条公切线．
规律方法 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数
通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．
跟踪演练3 若a>，则函数y＝ax2与y＝ln x的公切线有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．无数条
答案 C
解析 设切线与曲线y＝ln x相切于点(t，ln t)，
对函数y＝ln x求导得y′＝，
所以曲线y＝ln x在点(t，ln t)处的切线方程为
y－ln t＝(x－t)，即y＝x＋ln t－1，
联立
可得ax2－x＋1－ln t＝0，
由题意可得a≠0且Δ＝－4a(1－ln t)＝0，
可得＝t2－t2ln t，
令g(t)＝t2－t2ln t，其中t>0，
则g′(t)＝2t－(2tln t＋t)＝t(1－2ln t)．当00，函数g(t)单调递增；
当t>时，g′(t)<0，函数g(t)单调递减，
所以g(t) ＝g()＝.
max
且当00；
当t>e时，g(t)<0，函数g(t)的图象如图所示，
由题意可知，当a>时，0<<，
由图可知，直线y＝与曲线g(t)有两个交点，
则函数y＝ax2与y＝ln x有两条公切线．
考点四 求参数的取值范围
例4 若曲线C ：y＝x2与曲线C ：y＝(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围为________．
1 2
答案
解析 y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，
y＝(a>0)在点处的切线斜率为en，
如果两个曲线存在公共切线，那么2m＝en.
又由斜率公式得2m＝，
由此得到m＝2n－2，
则4n－4＝en有解，
即y＝4x－4，y＝ex的图象有公共点即可．
当直线y＝4x－4与曲线y＝ex相切时，
设切点为(s，t)，
则es＝4，
且t＝4s－4＝es，可得t＝4，s＝2，
即切点为(2,4)，a＝，故a的取值范围是a≥.
规律方法 利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率 k的函数，转化成函
数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解．
跟踪演练4 若函数f(x)＝4ln x＋1与函数g(x)＝ax2－2x(a>0)的图象存在公切线，则实数a
的取值范围为( )
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C. D.答案 A
解析 因为a>0，设切点为(t，4ln t＋1)，
则f′(t)＝，
则公切线方程为y－4ln t－1＝(x－t)，
即y＝x＋4ln t－3，
联立
可得ax2－x－4ln t＋3＝0，
所以Δ＝2－4a(3－4ln t)＝0，
整理可得a＝，
由可得3－4ln t>0，
解得00，
函数φ(t)在 上单调递增，
当00，
即h′(t)>0，此时函数h(t)单调递增，
所以h(t) ＝h(1)＝3，
min
且当t→0＋时，h(t)→＋∞，
所以函数h(t)的值域为[3，＋∞)，故a≥3.
专题强化练
1．(2022·合肥模拟)已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与y＝g(x)相交，且
在交点处有公切线，则a的值为( )
A. B．e2 C．e D．2e答案 A
解析 设曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的交点为P(x，y)，则＝aln x，
0 0 0
因为f′(x)＝，g′(x)＝，所以＝，即a＝，
则＝aln x＝ln x，
0 0
因为x>0，所以ln x＝2，即x＝e2，
0 0 0
所以a＝＝.
2．(2022·深圳模拟)已知曲线C ：y＝x3，曲线C ：y＝cos x－1与直线l：y＝0，则( )
1 2
A．l与C ，C 均相切
1 2
B．l与C ，C 均不相切
1 2
C．l与C 相切，l与C 不相切
1 2
D．l与C 不相切，l与C 相切
1 2
答案 A
解析 设曲线C ：y＝x3在点A(x，y)处的切线的斜率为0，
1 0 0
则3x＝0，y＝x，所以x＝0，y＝0，切线方程为y＝0，
0 0 0
设曲线C ：y＝cos x－1在点B(x，y)处的切线的斜率为0，
2 1 1
则－sin x＝0，y＝cos x－1，所以x＝2kπ(k∈Z)，y＝0或x＝2kπ＋π(k∈Z)，y＝－2，
1 1 1 1 1 1 1
取x＝0，y＝0可得切线方程为y＝0，
1 1
所以l与C ，C 均相切．
1 2
3．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若经过点A(0，－1)存在一条直线l与f(x)的
图象和g(x)的图象都相切，则a等于( )
A．0 B．－1
C．3 D．－1或3
答案 D
解析 设直线l与f(x)＝xln x相切的切点为(m，mln m)，
由f(x)＝xln x的导数为f′(x)＝1＋ln x，
可得切线的斜率为1＋ln m，
则切线方程为y－mln m＝(1＋ln m)(x－m)，
将A(0，－1)代入切线方程可得
－1－mln m＝(1＋ln m)(0－m)，
解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1，
联立
可得x2＋(a－1)x＋1＝0，
由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或3.
4．(2022·邢台模拟)若直线l与函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x的图象分别相切于点A(x ，f(x))，
1 1B(x，g(x))，则xx－x＋x 等于( )
2 2 1 2 1 2
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案 B
解析 由f(x)＝ex，g(x)＝ln x，
得f′(x)＝ex，g′(x)＝，
则 ＝， ＝ln ，即x＝－ln x.
1 2
曲线y＝f(x)在点A处的切线方程为y＝ x＋ (1－x)，
1
曲线y＝g(x)在点B处的切线方程为y＝x－1＋ln x，
2
所以 (1－x)＝－1＋ln x，
1 2
可得(1－x)＝－1－x，
1 1
整理得xx－x＋x＝－1.
1 2 1 2
5．(2022·青岛质检)若函数y＝f(x)的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线y＝f(x)在这两
点处的切线重合，则称函数y＝f(x)为“自重合”函数．下列函数中是“自重合”函数的为(
)
A．y＝ln x＋x B．y＝ex＋1
C．y＝x3 D．y＝x－cos x
答案 D
解析 若曲线y＝f(x)在这两点处的切线重合，首先要保证这两点处导数相同．
A选项中，y′＝＋1；B选项中，y′＝ex，导数均为单调函数，切点不同时，导数值不同，
所以切线不可能重合，故A，B错误；
C选项中，y′＝3x2，若斜率相同，
则切点为(x，x)和(－x，－x)，
0 0
代入解得切线方程分别为y＝3xx－2x和y＝3xx＋2x，
若切线重合，则x＝0，此时两切点为同一点，不符合题意，故C错误；
0
D选项中，y′＝1＋sin x，
令y′＝1＋sin x＝1得x＝kπ(k∈Z)，
则有点(0，－1)，(2π，2π－1)，切线均为y＝x－1，所以存在不同的两点使得切线重合，故
D正确．
6．(2022·南京模拟)若二次函数f(x)＝2x2＋3的图象与曲线C：g(x)＝aex＋3(a>0)存在公切线，
则实数a的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由f(x)＝2x2＋3可得f′(x)＝4x，由g(x)＝aex＋3可得g′(x)＝aex，
设公切线与f(x)＝2x2＋3的图象相切于点(x，2x＋3)，
1
与g(x)＝aex＋3的图象相切于点(x，a ＋3)，
2
所以4x＝a ＝ ，即2x＝，
1 1
可得x＝0或2x＝x＋2，
1 2 1
因为4x＝a ，a>0，则x>0,2x＝x＋2>2，即x>1，
1 1 2 1 2
所以a＝ ，x>1，
2
令h(x)＝，x>1，可得h′(x)＝＝，
由h′(x)>0可得12，
所以h(x)＝在(1,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
所以h(x) ＝h(2)＝＝，
max
所以实数a的最大值为.
7．(2022·保定模拟)若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3(x>0)与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)的公切线，
则m＋n＝________.
答案 5
解析 设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3(x>0)相切于点(a，a3)，
与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)相切于点(b，3b＋m)，
对于函数y＝x3(x>0)，y′＝3x2，则3a2＝3(a>0)，
解得a＝1，
所以13＝3＋m，即m＝－2.
对于函数y＝－x2＋nx－6(x>0)，y′＝－2x＋n，
则－2b＋n＝3(b>0)，
又－b2＋nb－6＝3b－2，
所以－b2＋b(3＋2b)－6＝3b－2，
解得b＝2，n＝7.
所以m＋n＝5.
8．(2022·湖北新高考协作体联考)已知f(x)＝x2－2ax，g(x)＝3a2ln x－b，其中a>0.设两曲线y
＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点的切线相同，则b的最小值为________，曲线y＝f(x)，y
＝g(x)这样的公共切线有______条．
答案 － 1
解析 由f(x)＝x2－2ax，g(x)＝3a2ln x－b，x>0，
则f′(x)＝x－2a，g′(x)＝，
设两曲线的公切点为(x，y)，由题意得，
0 0
即
由x－2a＝得，
0
x－2ax－3a2＝0，
0
解得x＝3a或x＝－a(舍去)，
0 0
所以曲线y＝f(x)，y＝g(x)只有一条这样的公共切线．
b＝3a2ln x－x＋2ax
0 0
＝3a2ln 3a－＋6a2
＝3a2ln 3a＋，
令F(a)＝3a2ln 3a＋，a>0，
则F′(a)＝6aln 3a＋6a＝6a(ln 3a＋1)，
当0时，F′(a)>0，
所以函数F(a)在上单调递减，
在上单调递增，
所以当a＝时，b取得最小值，
为F＝－＋·＝－.
