文档内容
§2.3 幂函数与二次函数
考试要求 1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝， 的图象，了
解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等
式之间的关系解决简单问题．
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 y ＝ x α 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
图象
定义域 R R R { x | x ≥ 0} { x | x ≠ 0}
值域 R { y | y ≥ 0} R { y | y ≥ 0} { y | y ≠ 0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
在 ( － ∞ ， 0]
性
上单调递 在 ( － ∞ ， 0)
质 在R上单 在R上单 在[0，＋∞)上
单调性 减；在 (0 ， 和 (0 ，＋ ∞ )
调递增 调递增 单调递增
＋ ∞ )上单调 上单调递减
递增
公共点 (1,1)
2.二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增；
单调性
在x∈上单调递增 在x∈上单调递减
对称性 函数的图象关于直线x＝－对称
微思考
1．幂函数的图象会不会出现在第一或第四象限？为什么？
提示 幂函数y＝xα(α为常数)，当x>0时，y>0，故幂函数的图象一定经过第一象限，一定
不过第四象限．
2．二次函数的解析式有哪些常用形式？
提示 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)．
1 2
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 是幂函数．( × )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是.( × )
(4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.( √ )
题组二 教材改编
2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A. B．1 C. D．2
答案 C
解析 由幂函数的定义，知
∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.
3.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A．c0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，
∴03－2a>0或3－2a1的取值确定位置后，其余象限
部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．题型二 求二次函数的解析式
例1 (1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；
③对任意x ，x∈(－∞，0)，且x≠x ，都有<0.请写出函数f(x)的一个解析式________．(只
1 2 1 2
要写出一个即可)
答案 f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)
解析 由二次函数的对称性、值域及单调性可得f(x)的解析式可以为f(x)＝(x－2)2＋1，
此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②，
因为对任意x，x∈(－∞，0)，且x≠x，都有<0，
1 2 1 2
等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴f(x)＝(x－2)2＋1满足③，
又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①，
故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5.
(2)已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被 x轴截得的线段长为 2，并且对任意
x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝x2－4x＋3
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3，
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，∴a＝1，
∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
思维升华 求二次函数解析式的方法
跟踪训练1 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)
＝0，则f(x)＝________.
答案 x2＋2x＋1解析 设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，
所以a＝1，b＝2a＝2，
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)二次函数f(x)满足f(2)＝f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________.
答案 －4x2＋4x＋7
解析 方法一 (利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得
解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二 (利用顶点式)
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为直线x＝＝.
又根据题意函数有最大值8，
所以f(x)＝a2＋8.
因为f(2)＝－1，
所以a2＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
题型三 二次函数的图象和性质
命题点1 二次函数的图象
例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．则下列结论正确的是________．
①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0.
答案 ①②⑤
解析 由题图知，a<0，－>0，c>0，∴b>0，ac<0，故②正确，③④错误．又函数图象与x
轴有两交点，∴Δ＝b2－4ac>0，故①正确；又由题图知f(－1)<0，即a－b＋c<0，故⑤正确．
命题点2 二次函数的单调性
例3 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(
)A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为直线x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
答案 －3
解析 由题意知f(x)必为二次函数且a<0，
又＝－1，∴a＝－3.
命题点3 二次函数的值域、最值
例4 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
解 f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草
图)，再“定量”(看图求解)．
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．
无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图
象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
跟踪训练2 (1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大
致是( )
答案 C解析 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，
故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向
下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y
轴的右侧，故应排除B，选C.
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，则f()，f ，f()的大小关系是( )
A．f()|－1|>|－1|，
∴f()1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则实数a的最大值为
________．
答案 2
解析 令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，
原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈，
显然g(t)在上单调递增，
所以f(x)≤8恒成立，即g(t) ＝g(a)≤8成立，
max
所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，
又a>1，所以1f(2m
＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，－)
解析 由题意知f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－
4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，
∴mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒⇒m∈(－∞，－)．
课时精练
1．若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f 等于( )
A．3 B．－3 C. D．－
答案 C
解析 设f(x)＝xα，则＝2α＝3，
∴f ＝α＝.
2．函数 的图象是( )答案 B
解析 由函数图象上的特殊点(1,1)，可排除A，D；由特殊点(8,2)，，可排除C，故选B.
3．若幂函数 在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A．1或3 B．1 C．3 D．2
答案 B
解析 由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，
解得m＝1.
4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
答案 A
解析 由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝－＝2，∴4a＋b＝0，
又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，
∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
5．(多选)(2020·河南省实验中学质检)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋
∞)，则实数m的取值范围为( )
A．0 B．[－3,0]
C．3 D．－3
答案 AD
解析 依题意，得Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，
则m＝0或m＝－3.∴实数m的取值范围是{0，－3}．
6．(多选)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值可以是(
)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 CD
解析 二次函数y＝kx2－4x＋2图象的对称轴为直线x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2；当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间
[1,2]的左侧，则函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k
的取值范围是[2，＋∞)．
7．已知α∈，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________.
答案 －1
解析 ∵α∈，
幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
∴α是奇数，且α<0，∴α＝－1.
8．已知函数f(x)＝4x2＋kx－8在[－1,2]上不单调，则实数k的取值范围是________．
答案 (－16,8)
解析 函数f(x)＝4x2＋kx－8的对称轴为直线x＝－，则－1<－<2，
解得－161，
即a<－时，
f(x) ＝f(－1)＝－2a－1，
max
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－或－1.
13.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，
设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，
即有BM＝MN＝NA，那么a－等于( )
A．0 B．1 C. D．2
答案 A解析 由BM＝MN＝NA，点A(1,0)，B(0,1)，
∴M，N，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，
得
∴ .
14．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是________．
答案
解析 二次函数图象的对称轴为x＝，且f ＝－，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，
可得m∈.
15．(2020·上海复兴高级中学期中)对于问题：当x>0时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，
求实数a的所有可能值．几位同学提供了自己的想法．
甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；
乙：研究函数y＝[(a－1)x－1](x2－ax－1)；
丙：分别研究两个函数y＝(a－1)x－1与y＝x2－ax－1；
1 2
丁：尝试能否参变量分离研究最值问题．
你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为________．
答案
解析 选丙．画出y＝x2－ax－1的草图，y＝x2－ax－1过定点C(0，－1)．
2 2
∴y＝x2－ax－1与x轴有两个交点，且两交点在原点两侧，
2
又y＝(a－1)x－1也过定点C(0，－1)，
1
故直线y＝(a－1)x－1只有过点A，C才满足题意，
1
∴a－1>0，即a>1，令y＝0得x＝，
1将点代入y＝x2－ax－1＝0，
2
解得a＝0(舍)或a＝.
16．是否存在实数a∈[－2,1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－
2,2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
解 f(x)＝(x－a)2＋a－a2，
当－2≤a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，
∴由得a＝－1(舍去)；
当－1≤a≤0时，由得a＝－1；
当0
