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2023届高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量的分布列
一、选择题（共20小题；）
1. 设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数，则
P(X=0)= ()
1 1 2
A. 0 B. C. D.
2 3 3
2. 设 X 是一个离散型随机变量，则下列不能够成为 X 的概率分布的是 ()
A. 0，0，0，1，0
B. 0，0.1，0.2，0.3，0.4
C. p，1−p(p∈R)
1 1 1 1
D. ， ，⋯， ， (n∈N∗)
1×2 2×3 (n−1)n n
3. 设 η 为一个离散型随机变量，则下列选项中可以作为 η 的分布列中各项概率的是 ()
1 1
A. − ，1，
2 2
B. 0.1，0.2，0.3，0.4
1 1 1
C. ， ，⋯， ，⋯
2 3 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
D. ， × ， × ， × ，⋯， ×
2 2 3 2 32 2 33 2 3n
(1) k
4. 设随机变量 ξ 的概率分布列为 P(ξ=k)=a ，其中 k=0,1,2，那么 a 的值为 ()
3
3 27 9 9
A. B. C. D.
5 13 19 13
1
5. 已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= ，k=1,2,⋯，则 P(2<X≤4) 等于 ()
2k
3 2 5 1
A. B. C. D.
16 16 16 2
6. 设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 ξ 描述一次试验的成功次数，则 P(ξ=0)
等于 ()
1 1 2
A. 0 B. C. D.
3 2 3
7. 由于电脑故障，使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失（以“x，y”代替），其分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20
则丢失的两个数据 x，y 依次为 ()
A. 2，5 B. 3，4 C. 4，5 D. 2，38. 若随机变量 X 的分布列为
X −2 −1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当 P(X<a)=0.8 时，实数 a 的取值范围是 ()
A. (−∞,2] B. [1,2] C. (1,2] D. (1,2)
9. 设随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4
1 1 1
P m
3 4 6
则 P(∣X−3∣=1) 等于 ()
7 5 1 1
A. B. C. D.
12 12 4 6
10. 下列表中能成为随机变量 X 的分布列的是 ()
A. B.
X −1 0 1
P 0.3 0.4 0.4
X 1 2 3
P 0.4 0.7 −0.1
C. D.
X −1 0 1
P 0.3 0.4 0.3
X 0.1 0.1 0.7
P 0.3 0.4 0.5
11. 已知随机变量 X 的分布列如表（其中 a 为常数）：
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 A 0.3 0.2 0.1
则 P(1≤X≤3) 等于 ()
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7
12. 设随机变量 X 的概率分布列如下，则 P(∣X−2∣=1) 等于 ()
X 1 2 3 4
1 1 1
P m
6 4 3
7 1 5 1
A. B. C. D.
12 2 12 6
13. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别刻有 1 到 6 个点数）的随机试验中，用 X
表示骰子向上的一面的点数，那么 P(X≤3) 等于 ()
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 4 3 2
14. 某射手射击所得环数 X 的分布列为X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为 ()
A. 0.28 B. 0.88 C. 0.79 D. 0.51
15. 某小组有 5 名男生、 3 名女生，从中任选 3 名同学参加活动，若 X 表示选出女生的人数，
则 P(X≥2)= ()
1 15 2 5
A. B. C. D.
7 56 7 7
16. 已知离散型随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3
3 3 1
P
5 10 10
则 X 的均值 E(X) 等于 ()
3 5
A. B. 2 C. D. 3
2 2
17. 已知某一离散型随机变量 X 的分布列如下，且 E(X)=6.3，则 a 的值为 ()
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
18. 若随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2
1 1 1
P
4 2 4
则 X 的数学期望 E(X) 是 ()
1 1 3
A. B. C. 1 D.
4 2 2
19. 已知 ξ 的分布列为
ξ 1 2 3 4
1 1 1
P m
6 6 3
设 η=2ξ−5，则 E(η)= ()
1 1 2 3
A. B. C. D.
2 3 3 2
i
20. 已知随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= (i=1,2,3,4)，则 P(2<X≤4) 等于 ()
2a
9 7 3 1
A. B. C. D.
10 10 5 2
二、填空题（共5小题；）21. 一个均匀的小正方体的六个面中，三个面上标有数 0，两个面上标有数 1，一个面上标有数 2．
将这个小正方体抛掷 2 次，用 X 表示向上的数的积，则随机变量 X 的数学期望是
．
22. 设随机变量 X 的分布列为
X 7 12 15 22 25 30
1 1 k 1
P k 2k
6 3 6 12
则 k 的值为 ．
23. 已知随机变量的 ξ 的分布列如下图所示，则 x+ y= ；若 E(ξ)=1，则
D(ξ)= ．
ξ 0 1 2
1
p x y
3
24. 设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量 Y =∣X−2∣，则 P(Y =2)= ．
25. 已知盒中有 10 个灯泡，其中 8 个正品、 2 个次品．需要从中取出 2 个正品，每次取出 1
个，取出后不放回，直到取出 2 个正品为止，设 ξ 为取出的次数，则 P(ξ=4)=
．
三、解答题（共5小题；）
26. 2016 年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破 9.27 亿．微信用户平均年龄只有
26 岁，97.7% 的用户在 50 岁以下，86.2% 的用户在 18∼36 岁之间．为调查大学生这个
微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取 100 位同学进行了抽样
调查，结果如下：
微信群数量 频数 频率
0至5个 0 0
6至10个 30 0.3
11至15个 30 0.3
16至20个 a c
20个以上 5 b
合计 100 1
（1）求 a，b，c 的值；
（2）若从这 100 位同学中随机抽取 2 人，求这 2 人中恰有 1 人微信群个数超过 15 个的
概率；
（3）以这 100 个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中
随机抽取 3 人，记 X 表示抽到的是微信群个数超过 15 个的人数，求 X 的分布列和数
学期望 EX．
27. 设离散型随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：
（1）2X+1 的分布列；
（2）∣X−1∣ 的分布列．
( k)
28. 已知离散型随机变量 X 的分布列 P X= =ak(k=1,2,3,4,5)．
5
（1）求常数 a 的值；
( 3)
（2）求 P X≥ ；
5
( 1 3)
（3）求 P <X< ．
10 5
29. 箱中装有 4 个白球和 m 个黑球．规定取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得 1 分，现从箱
中任取 3 个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量 X 为取出的 3 个球所得分
之和．
2
（1）若 P(X=6)= ，求 m 的值；
5
（2）当 m=3 时，求 X 的分布列．
30. 2019 年国庆期间，举国上下以各种不同的形式共庆新中国成立 70 周年，某商家计划以“我和
我的祖国”为主题举办一次有奖消费活动，此商家先把某品牌酒重新包装，包装时在每瓶酒的
包装盒底部随机印上“中”国”“梦”三个字样中的一个，之后随机装箱（1 箱 4 瓶），并规
定：若顾客购买的一箱酒中的四瓶酒底部所印的字为同一个字，则此顾客获得一等奖，此箱酒
可优惠 36 元；若顾客购买的一箱酒的四瓶酒底部集齐了“中”“国”二字且仅有此二字，则
此顾客获得二等奖，此箱酒可优惠 27 元；若顾客购买的一箱酒中的四瓶酒的底部集齐了
“中”“国”“梦”三个字，则此顾客获得三等奖，此箱酒可优惠 18 元（注：每箱单独兑奖，
箱与箱之间的包装盒不能混）．
（1）①设 ξ 为顾客购买一箱酒所优惠的钱数，求 ξ 的分布列；
②若不计其他损耗，商家重新包装后每箱酒提价 a 元，试问 a 取什么范围时才能使活动后
的利润不会小于搞活动之前?
（2）若顾客一次性购买 3 箱酒，并都中奖，可再加赠一张《我和我的祖国》电影票，顾客小
张一次性购买 3 箱酒，共优惠了 72 元，求小张能得到电影票的概率?答案
1. C 【解析】设失败率为 p，则成功率为 2p，
所以 X 的分布列为
X 0 1
P p 2p
1 1
由 p+2p=1，得 p= ，即 P(X=0)= ．
3 3
2. C 【解析】选项A、B显然合适；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
对于选项D， + +⋯+ + =1− + − +⋯+ − + =1
1×2 2×3 (n−1)n n 2 2 3 n−1 n n
1 1
又 (n∈0,1)， ∈(0,1)，所以D合适；
n n
选项C中，由于 p 是实数，不妨取 p=3，则 1−p=−2<0，不符合非负性，故选C．
利用离散型随机变量分布列的两个性质进行判断．
1 1
3. B 【解析】选项A，因为数列 − ，1， 中含有负数，所以不能作为分布列的概率．选项B，
2 2
0.1，0.2，0.3，0.4 均为正数且其和为 1，可以作为分布列的概率．选项C，因为
1 1 1 1
+ + +⋯+ +⋯>1，所以不能作为分布列的概率．选项D，因为
2 3 4 n
n
1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 +⋯+ 1 × 1 =∑ P = 3 ⋅ ( 1− 1 ) ≠1，所以不能作为分布列的概率．
2 2 3 2 32 2 33 2 3n i 4 3n+1
i=0
4. D
5. A
6. B 【解析】设 P(ξ=1)=p，则 P(ξ=0)=1−p．
依题意知，p=2(1−p)，
2
解得 p= ．
3
1
故 p(ξ=0)=1−p= ．
3
7. A
8. C 【解析】由随机变量 X 的分布列知，P(X<−1)=0.1，P(X<0)=0.3，
P(X<1)=0.5，P(X<2)=0.8，
则当 P(X<a)=0.8 时，实数 a 的取值范围是 (1,2]．
1 1 1
9. B 【解析】根据分布列的性质得出 +m+ + =1，
3 4 6
1
则 m= ，随机变量 X 的分布列为
4X 1 2 3 4
1 1 1 1
P
3 4 4 6
5
所以 P(∣X−3∣=1)=P(X=4)+P(X=2)= ．
12
10. C
11. C 【解析】由概率之和等于 1 可知 A=0.2，
所以 P(1≤X≤3)=0.1+0.2+0.3=0.6．
故选：C．
1 1 1 5
12. C 【解析】m= ，P(∣X−2∣=1)= + = ．
4 4 6 12
13. D
P(X>7)= P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)
14. C 【解析】= 0.28+0.29+0.22
= 0.79.
15. C
16. A
17. C
18. C
1 1 1 1
19. C 【解析】由分布列的性质可得： + + +m=1，解得 m= ，
6 6 3 3
1 1 1 1 17
所以 E(ξ)=1× +2× +3× +4× = ，
6 6 3 3 6
17 2
因为 η=2ξ−5，所以 E(η)=2E(ξ)−5=2× −5= ．
6 3
20. B
【解析】由分布列的性质知，
1 2 3 4
+ + + =1，
2a 2a 2a 2a
则 a=5，
3 4 7
所以 P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)= + = ．
10 10 10
4
21.
9
【解析】当两数中有一个 0 时，X=0；
当两数都为 1 时，X=1；
当两数中有一个 1，一个 2 时，X=2；
当两数都为 2 时，X=4，则 X 可取 0，1，2，4．
1 1 1 1 1 1 3
易知 P(X=0)=2× × +2× × + × = ，
2 3 2 6 2 2 41 1 1
P(X=1)= × = ，
3 3 9
1 1 1
P(X≡2)=2× × = ，
3 6 9
1 1 1
P(X=4)= × = ，
6 6 36
故 X 的分布列为
X 0 1 2 4
3 1 1 1
P
4 9 9 36
1 2 1 4
所以 EX=0+ + + = ．
9 9 9 9
5
22.
38
2 2
23. ，
3 3
1 1
【解析】由题意可知：x+ y+ =1，1× +2×y=1，
3 3
1 1
解得 y= ，x= ，
3 3
2
所以 x+ y= ，
3
1 1 1 2
D(ξ)= (0−1) 2+ ×(1−1) 2+ ×(2−1) 2= ．
3 3 3 3
24. 0.5
【解析】由分布列的性质，知 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，
所以 m=0.3．
由 Y =2，即 ∣X−2∣=2，得 X=4 或 X=0，
所以
P(Y =2) =P(X=4或X=0)
¿ =0.3+0.2
¿ ¿
1
25.
15
26. （1） 由已知得：0+30+30+a+5=100，
解得 a=35，
5 1 35 7
所以 b= = ，c= = ．
100 20 100 20
（2） 记“2 人中恰有 1 人微信群个数超过 15 个”为事件 A，C1 C1
16
则 P(A)= 40 60= ．
C2 33
100
16
所以 2 人中恰有 1 人微信群个数超过 15 个的概率为 ．
33
2
（3） 依题意可知，微信群个数超过 15 个的概率为 P= ．
5
X 的所有可能取值 0，1，2，3．
则
P(X=0)=C0(2) 0 (
1−
2) 3
=
27
，
3 5 5 125
P(X=1)=C1(2) 1 (
1−
2) 2
=
54
，
3 5 5 125
P(X=2)=C2(2) 2 (
1−
2) 1
=
36
，
3 5 5 125
P(X=3)=C3(2) 3 (
1−
2) 0
=
8
，
3 5 5 125
其分布列如下：
X 0 1 2 3
27 54 36 8
P
125 125 125 125
27 54 36 8 6
所以，EX=0× +1× +2× +3× = ．
125 125 125 125 5
27. （1） 由分布列的性质知：0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，
所以 m=0.3．
首先列表为：
X 0 1 2 3 4
2X+1 1 3 5 7 9
∣X−1∣ 1 0 1 2 3
从而由上表得两个分布列为：
2X+1 的分布列：
2X+1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2） ∣X−1∣ 的分布列：
∣X−1∣ 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
28. （1） 由题意得随机变量 X 的分布列如表所示．
1 2 3 4
x 1
5 5 5 5
P a 2a 3a 4a 5a1
由分布列的性质得，a+2a+3a+4a+5a=1，解得 a= ．
15
（2） 解法一：
( 3) ( 3) ( 4)
P X≥ = P X= +P X= +P(X=1)
5 5 5
3 4 5
= + +
15 15 15
4
= .
5
解法二：
( 3) ( 3)
P X≥ = 1−P X<
5 5
( 1 2 )
= 1− +
15 15
4
= .
5
1 3
（3） 因为 <X< ，
10 5
1 2
所以 X= 或 X= ．
5 5
所以
( 1 3) ( 1) ( 2)
P <X< = P X= +P X=
10 5 5 5
1 2
= +
15 15
1
= .
5
29. （1） 由题意得，只有当取出的 3 个球都是白球时，随机变量 X=6，
C3
2
所以 P(X=6)= 4 = ，即 C3 =10，
C3 5 m+4
m+4
所以 m=1．
（2） 由题意得，当 m=3 时，X 的可能取值为 3，4，5，6．
C3
1
C2C1
12
C1C2
18
C3
4
P(X=3)= 3= ，P(X=4)= 3 4= ，P(X=5)= 3 4= ，P(X=6)= 4= ．
C3 35 C3 35 C3 35 C3 35
7 7 7 7
所以 X 的分布列为
X 3 4 5 6
1 12 18 4
P
35 35 35 35
30. （1） ① ξ 的所有可能取值为 36，27，18，0，3 1
P(ξ=36)= =
，
34 27
C1C1+C2
14
P(ξ=27)= 2 4 4= ，
34 81
C1C2A2
4
P(ξ=18)= 3 4 2= ，
34 9
28
P(ξ=0)= ，
81
则 ξ 的分布列为
ξ 36 27 18 0
1 14 4 28
P
27 81 9 81
1 14 4 28
②因为 E(ξ)=36× +27× +18× +0× =14．
27 81 9 81
所以当 a≥14 时，搞活动后的利润不会小于搞活动之前．
（2） 因为 72=36×2=27×2+18=36+18×2，
所以若三箱酒中两箱中一等奖，另一箱不中奖，则小张不能得到电影票；
若三箱酒中两箱中二等奖，另一箱中三等奖，或一箱中一等奖，两箱中三等奖，
则小张能得到电影票，概率设为 P，则
P = ( C2× 14 × 14 × 4 +C1× 1 × 4 × 4)
3 81 81 9 3 27 9 9
304
¿ = .
311
304
所以小张得到电影票的概率为 ．
311
